分形岩石力学

分形岩石力学
背景：随着经济全球化和信息技术的高速发展，特别对于发展中国家的来说，经济建设成为重中之重，当然经济建设活动中很多都是以岩石工程为对象的经济建设。

所以我们对矿产资源勘探、能源消耗方面及力学研究方面的要求越来越高，人们对岩石力学提出更多更高的要求。

发展和提高岩石力学的理论和方法的研究水平已变得非常重要。

所以把非线性学科引入岩石力学的研究中句很重要的现实意义。

实践表明，分形几何是研究岩石力学的有力工具，首先岩石力学是一个随机、多变、不稳定以及许多不确定因素影响的一个复杂的非线性系统。

由于地址的演化，不同平尺度的地质现象很具有相似性，一些较小尺度的地质现象往往重演着大尺度的地质现象的演化过程，所以把分形理论引入到岩石力学的研究当中去是非常适合的和正确的。

结合分形理论我们能够比较精确的刻画出岩体结构的复杂程度，定量表征岩石的完整性和节理岩体的质量。

这些都给岩石力学的研究带来了极大的便宜。

一、分形的概念和定义
分形的英文词fractal来源于拉丁文fractus，由Mandelbrot1975年引入国内对fractal的翻译方法有“碎片”、“碎形”、“分数维”和“分维”等等。

近年来人们开始一致使用“分形”这一译法。

定义一：是由Mandelbrot第一个给出的-----设集合F⊂R n的Hausdorff的维数是D。

如果F的Hausdorff维数D严格大于它的拓扑维数D T=n，即D>D T，我们称集合F为分形集，简称为分形。

即：
F={D:D>D T}
定义二：局部与整体以某种方式相似的形叫分形。

定义二强调了自相似的特性，反应了自然界中很广泛的一类物质的基本属性：局部与局域，局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性。

但是相比定义一，定义二缺乏了不具有自相似但却满足D>D T的这一类集合。

Falconer对分形提出了一个新的认识，即把分形看成是具有某些性质的集合，而不去寻找精确的定义，因为严格的定义几乎总要排除一些特殊的东西。

他提出一个分形可以描述为：
定义三：F是分形，如果F具有如下典型性质：
①具有精细的结构，具有任意小的比例细节；
②具有不规则性，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；
③一般具有近似的或统计意义的部分与整体之间的自相似性；
④通常以某种方式定义的“分形维数”大于它的拓扑维数；
⑤可以通过令人感兴趣的递归、迭代等简单的方法生成。

类似地Edgar给出了一个分形的粗滤定义：
定义四：分形集合就是比在经典集合考虑的集合更不规则的集合。

这个集合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到。

定义三与定义四虽然不严密，但是却易于理解，粗略的说，分形就是不规则形状的几何，但是这种不规则性（粗糙性）具有层次性，即在不同层次（尺度）下均能观察到。

分形目前还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。

粗略的说，分形是没有明确特征标度大自然本身描绘的曲线，如海岸线、布朗粒子运动轨迹等都有两个共同的特点。

首先，它们不像数学家设计的曲线那样纯粹。

它们的自相似性是通过大量的统计而抽象出来的其次，它们的自相似性只存在于“无标度区间”，一旦逾越这个区间，自相似性就不复存在，就更谈不上分形了。

通常人们把这曲线称为无规则分形曲线。

所谓无标度性是指论测量单位如何改变，所研究的客的性质均不发生变化，而“无标度区间”可以说是客体具有的自相似性区间。

因此，自然界的无规则分形是具有上下端限制的，或者说是不完全规则的事物。

Mandelbrot引入统计自相似性概念作为自然界景物的更一般和更逼真的模型。

在一个“统计自相似性”的景物中，组成景物的各部分具有和整体相似的一般结构，只是根据某个比例缩小或某个局部改变的复制品。

二、分形维数的定义及计算方法
维数：是指定量描述分形系统的参数。

分形几何是研究被经典数学家称之为“病态”的不规则集合，这些不规则集合一般来说是不光滑的，定量地表述这种不规则性是分形维数。

所有分形都具有一个重要特征，可通过一个特征数，即分形维数测定其不平度，复杂性和卷积度。

维数的计算方法：比如要测量挪威海岸线的长度如图1，当选取不同的长度单位进行测量时，我们得到的结果将会差别很大。

当尺寸选择比较大的时候，海岸线的港湾就容易被忽略；当选择长度单位比较小时，小的港湾也可能被忽略；常年的海水冲刷，海岸线非常的曲折，所以无论怎样选取测量单位总会有一些细节测量不到，测量单位越小结果越大。

有图2我们可以得到
Lε=L0ε1−D
其中L是海岸线长度，ε未测量长度单位，D为维数，L0为常数。

对于挪威海岸线D=1.5.人们考察了许多自然曲线，如断层迹长、英国海岸线等等，均存在以上关系并且1<D<2。

Feder(1988)提出可以把上式作为分形曲线的一中定义：曲线长度尺码ε的变化关系如上式，则该曲线是分形曲线。

D为曲线的分维。

一般地对于分形曲线D>1，则
lim ε→∞Lε=L0lim
ε→∞
ε1−D=∞
表明曲线的长度随尺码趋于零而趋于无穷。

如ε并不趋于零，则表明Lε岁尺码ε
的减小而增大。

图1
图2 Hausdorff维数：
ℋ(x)D=lim
δ→0ℋδ(X)
D=lim
δ→0
[inf U i D
∞
i=1
]=sup U j D
∞
j
分维D可以表示为：
D=log(N i+1
i
)/log(
δi
i+1
)
其中，δ为盒子的码尺，N为覆盖一个分形集合所需的盒子数目。

但是这个分维计算公式仅适应于严格自相似分形，这样只知道任意两步的码尺及对应的“盒子”数目，就可以直接计算分维。

容量维：若N(ε)是能够覆盖住一个点集的直径为ε的小球（称ε球）的最小数目，则点集的容量维定义为
D0=−lim
ε→0
log N(ε)/logε
信息维：在容量维定义中，只考虑了所需的ε球的个数，而对每个球所覆盖的点数的多少却没加区别，于是提出了信息维的定义：
D1=−lim
ε→0
P i ln(1/P i)/lnεN
i=1
式中Pi是一个点落在第i个球中的概率。

当Pi=1/N时，D1=D0，可见信息维是容量维的一个推广。

关联维数：
D2=−lim
ε→0
log C(ε)/logε
其中C(ε)为系统的一个解序列。

C(ε)也称为相关整数。

如果给定一组实测数据序列x1, x2, x3, …, x i, …, x N则C(ε)可以定义为
C(ε)=lim
N→∞1
2
[θ ε− x i−x j
N
i,j=1
]
这里的θ(x)为Heaviside函数。

假定具有尺度ε的一些球的象空间的一个分割，并定义Pi(ε)为一个点落在第i个球上的概率，Renyi引入广义熵Kq(ε)（对于q=0,1,2，…,n）为：
K q(ε)=log P i q
N
i=1
/(1−q)
从而广义维定义为：
D3=−lim
ε→0
K q(ε)/logε
显然当q=0,1,2时Dq分别等于分数维D0（容量维），信息维D1。

自相似维数：
D s=−
log N
log r N
=log N/log(1/r)
维数的测定方法一般总结为一下五种：
a)根据相关函数求维数；
b)根据频谱求维数；
c)改变观察尺度求维数；
d)根据分布函数求维数；
e)根据关系求维数。

三、分形在岩爆方面的应用
岩爆的物理过程可以用近年来发展的损伤力学来描述。

由于岩石内部存在自然损伤，在外力作用下，岩体内部将形成局部损伤拉应力状态，这将导致岩石的局部微破裂。

随着开采诱发的应力逐渐增加，局部破裂也在增长。

岩石形成的微破裂区集聚，我们称之为“集聚区”或严重损伤区。

加上可能处于地质构造弱面，随着诱发的拉应力增加，严重损伤区进一步演化为岩爆的震心，此时会发生岩爆现象。

虽然岩爆的过程复杂，但在数学上我们可认为它是一个分形的过程微地震事件几乎均匀的分布在高应力区，对应着高的分形维数值，岩爆发生时，微地震事件集聚式爆发，对应较低的分形维数，这就是岩爆分形几何的机理。

在二维情况下，一个微地震事件对应一个裂纹表面单元A i形成这样一个断裂所需要的应变能耗散至少是
E i=γs A i
其中γs是表面自由能。

根据测得的微地震事件或断裂事件分布的分形，于是得到A i∝γ2，面积大于A i的断裂面表面单元或裂纹岛的数目n满足分形分布
n=n0A i−D/2
式中n0为非分形分布时的裂纹岛数目。

当断裂事件趋近于一个集聚时，n0→1。

根据损伤力学分析，一个岩爆实际上等效于岩体断裂事件的一个集聚和汇合。

这样岩爆所释放的能量为
E t=γs A i n=γs A i1−D/2
上式的分形维Dϵ[0,2] 。

由于我们考虑的问题是矿山这样中等尺寸的的对象，A i 的尺度是m2的量级。

所以对于三维情况，有如下公式
E t/∝V i1−D/3
再根据地震学中的不同，其累积频度满足如下关系
log N=a−bM
分形维数值
D=2b
Sato等发现水力开采引起的微地震活动也满足方程。

图3应变能释放与分形维数的定性相关曲线
图4地震能量释放与分形维数的相关曲线
对图3和图4做回归分析可以得到
D=C1exp⁡[−C2E]
式中C1和C2中随区域和测量尺寸而变化的常数，分形数D∈[0,3],E为释放能。

上述方程从分形和物理机理上做出了理论解释，说明了为什么低的分形数对应于矿山中的岩爆和地震学中的大地震。

岩爆所经历的物理过程就是一个有断裂到突发的宏观中等尺度断裂的过程。

这个空间分布是集聚分形，其分维随岩石微断裂的演化发展而减小，而最低分形维数值则出现在临近主岩爆发生之时。

事实上，一次岩爆可以看成岩体内破裂的一个分形集聚现象。

并且方程给出了岩体破裂的分形集聚的分形维数与能量释放的负
指数相关关系。

这一结果从理论上结识了在地震和矿山岩爆中一个低分维值对应一个强破坏的产生这样一个分形自然现象，更重要的是：这个研究可以用来预测微地震事件位置分布的降维现象可以预测、预报矿山中岩爆的放生和发展。