2单自由度系统振动1

在石油机械振动研究中，计算确定机械振动系统的固有频 率是很重要的。除用建立振动系统微分方程的方法外，还 有几种常用的方法，即静变形法、能量法和瑞利法。
在机械振动系统中，当质量块处于静平衡状态时，弹簧 的弹性力与质量块的重力互相平衡，即有以下关系式
k j mg k
mg
j
• 故机械振动系统的固有频率为：
（2）系统的频率和周期
机械振动系统振动的圆频率
机械振动系统的振动频率
K n m
（2.10）
n 1 fn 2 2
K 1 m T
（2.11）
•
机械振动系统的振动周期：
T
1
fn
2
K
（2.12）
m
由此可见，机械振动系统的圆频率n和频率
fn
只与机械系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关。 圆频率单位为弧度/秒，频率单位为赫兹。因此,当机械 振动系统的结构确定之后，机械系统的振动频率就固定 不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的
2

1 kA 2
2
sin
2

n
t

1 1 m n 2 A 2 cos 2 nt kA 2 sin 2 2
① 当t
2
nt E
0 时
V 0
② t
1 Tmax mn 2A2 E 2
2 n 时
（2.27）
T 0
Vmax

1 KA 2
2
E
（2.28）
• 由机械能守恒定律，有 Tmax Vmax
（4）常力对振动特性的影响
• 常力作用只改变机械振动系统的平衡位置，而不影响机械 振动系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位。 因此，在分析机械振动时，只要以平衡位置作为坐点，就 可以不考虑常力。
• 【例2-1】 如图2.5所示一质量块安放在长度为的无重弹 性简支梁的中点，其静挠度为2mm。若将此物块在梁未变 形位置处无初速释放，试求系统的振动规律。
第2章 单自由度系统振动
2.1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。 例如：图2.1中(a)悬臂锤削镗杆；(b)外圆磨床的砂轮主轴；
(c)安装在地上的床身等。
图2.1 单自由度振动系统
(d)
单自由度振动系统是指用一个独立参量便可 确定系统几何位置的机械振动系统。最简单的单 自由度振动系统是一个弹簧连接一个质量的系统。 所有的单自由度机械振动系统经过简化， 用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这 个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。 在单自由度机械振动系统中，振动质量m、 弹簧刚度k 、阻尼系数C 是机械振动系统的三个 基本要素。有时在机械振动系统中还作用有一个 持续作用的激振力 F。
j j1 j2 j3 ji
n i1
mg j1 k1
mg j2 k2
mg j3 k3
mg mg mg mg j k k1 k2 k3 n 1 mg i1 ki
n 1 1 k i1 ki
k
1 k1k 2k 3 1 1 1 k 2k 3 k1k 2 k1k 3 k1 k3 k2
（2.29）
即
1 m n2 A 2
2
1 KA 2
2
根据上式即可算出机械振动系统的固有频率：
n
；
k m
【例2-4】如图2.10所示，两个相同的塔轮相啮合的齿轮半 径皆为R ；半径为r 的鼓轮上绕有细绳，轮 I 连一铅直弹 簧，轮II挂一重物。塔轮对轴的转动惯量为m 。求此振动 系统的固有频率。
Cx

kx
P0 sin t
Cx
kx P 0 sin t
m x (a) m x
m x (b )
图2.2
振动体受力情况
简化过程
• 该式就是单自由度线性振动系统的运动微 分方程式的普遍式。它可以分为以下几种 不同的情况： ①单自由度系统无阻尼自由振动
m x kx 0
②单自由度系统有阻尼自由振动
弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件
阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件
质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件
应用牛顿第二定律 ,图2.2(a)所示，取所有与坐标 方向一致的力、速度和加速度为正，则：
F0 sin wt Cx kx m x
如图2.2(b)所示，动静法分析知，作用在振动体上的外力 与假想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系。这样可得： （2.1） 0
W mg k 1
j
k 2
j
k 3
j


n
i 1
K i
j
总弹簧刚度
k
mg
j

K
i1
n
i
并联机械振动系统的固有圆频率
n
m
k m
k1 k2 k3 m
在图2.6（b）所示的机械振动系统中，若将质量块 m1和 m2 看成是由两个分质量块所组成
mm x A 02
初相角 arctan
00
v0
x arctan( ) 2 最后得系统的自由振动规律为
0
v2 0
2
2
x 2cos( 70t)mm(t以s计)
【例2-2】 试确定图2.6中各个机械振动系统的固有频率。
【解】在图2.6（a）所示的机械振动系统中，质量块m
作铅直方向位移（平动）时，引起各分弹簧的等量伸长。 重力W mg 弹簧的静伸长为j
图2.10 塔轮机构 【解】以振动系统平衡时重物的位置为原点，取x 轴如图。 重物于任意坐标
x处，速度为 x ，两塔轮的角速度皆为
效弹簧刚度等于各分弹簧刚度之和；串联弹簧的总等效 弹簧刚度的倒数等于各分弹簧刚度倒数之和。
2.2.2扭转振动
实际上，在石油机械中常常碰到另一种需要用角 位移作广 义坐标来表达其机械振动状态的扭转振动系统和多体系统。 这些系统形式上虽然不同，但它们的运动微分方程却具有 相同的形式。 由刚体转动微分方程的表达式为：
大小无关。
n
fn
•
机械振动系统质量增大和刚度减小都会使机 械系统固有频率下降；反之，要提高机械振动 系统的固有频率，应减小机械振动系统质量和 增大机械振动系统刚度。这一性质在定性研究 机械振动，特别是希望调整机械振动系统的固 有频率时是极重要的性质。
图2.4 单自由度振动系统的振幅和初相位
（3）机械振动系统的振幅和初相位
2 n
k m
x
2 n
x 0
齐次二阶常系数线性微分方程
C 1cos ntisin ntC 2cos ntisin
b 1cos ntb 2sin nt 式中 : b 1C 1C 2; b 2iC 1C 2
• 单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频 率相同的简谐振动，而这两个同频率的简 谐振动，合成后仍是一个简谐振动，即：
Asin t

n

1 2
k I
k I
f
k T2 I
若t 0时， 0 , 0 振幅A和初相位
的表达式
n
A
2 2 0 0 2 n
tg
1 0 0
• 2.2.3计算机械振动系统固有频率的其 它方法 （1）静变形法
x A sin( nt )
1 2 1 2 2 而系统的势能V 为弹簧势能与重力势能的和， 若选平衡
dx v dt 在瞬时t物块的动能为
速度为


位置为零势能点，有
1 Px x k V 2
st st
• 注意到kstP ，则 V 1 kx 2 代入系统的能量方程式，可得
（2）能量法
在石油机械无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的
损失，这样的机械系统称为保守系统。能量法是 从机械
• 能守恒定律出发的，对于计算较复杂系统的固有频率往往 更方便。
x
x
P
图2.9单自由度振动系统
• 对图2.9所示，无阻尼自由振动系统，当系统作自由振 动时，物块的运动为简谐振动，它的运动规律可以写为
F
st
mg
x
x
图2.5简支梁
• 【解】此无重弹性梁相当于一弹簧，其静挠度相当于弹簧 的静伸长，则梁的的刚度系数为
mg

列出运动微分方程为
st
重物在梁上振动时，所受的力有重力mg和弹性力 F 若取其平衡位置为坐标原点， x 轴方向铅直向下，可
d2x m 2 mg k( st x) kx dt
图2.3
单自由度系统无阻尼自由振动动力学模型
• 假设质量块的质量为 m ，它所受的重力为 W ， 弹簧刚度为 k 。弹簧未受力时的原长为 l ，挂上 质量块后，弹簧的静伸长为 j 。此时系统处于静 平衡状态，平衡位置为O-O，由静平衡条件得：
k
j
W
（2.2）
当机械振动系统受到外界某种初始干扰后，机械振 动系统的静平衡状态受到破坏，在弹性恢复力作用下， 使机械振动系统产生自由振动。若取静平衡位置为坐标 统的广义坐标，取向下为正。则当质量块离开平衡位
m m1 m2
n1
k1 ; m1

n1

n 2 2 2

固有圆频率
n
n2
k2 m2
k1 k m 1 m m
1

k m m
2
k1m ; k
k 2m k k
k 1 k2
整个机械振动系统的固有圆频率
k k 1k2 n m m
mg
在图2.6（c）所示的机械振动系统中，质量块m的重力W 通过弹簧传至固定点。
k2 2x d 2 • 设 0 ，则上式可改写为 x 2 00 m dt 上述振动微分方程的解为 x Asin(0t )
其中固有频率 70 0 st 在初瞬时 t 0 ,物块位于未变形的梁上，其坐标
k g m
x0st 2mm , 重物初速度 v0 0, 则振幅为

I
M I
（2.16）
式中M——施加于转动物体上的力矩； ——转动物体对于转动轴的转动惯量； ——角加速度。
图2.7 扭转振动系统
机械振动系统圆盘的扭转的运动微分方程为
I K K 0 I
2 n
扭转自由振动的微分方程
通解
置
时，质量块所受的作用力,重力 W 和弹性 力 k j x ，使质量块产生加速运动。
x
m x W k j x kx
即


m x kx0 （2.3）
（2.3）式即为单自由度系统无阻尼自由振动的运动微
分方程式。
k x x 0 m

通解:
int int
m x Cx kx 0
③单自由度系统无阻尼受迫振动
m x kx P0 sin t
④单自由度系统有阻尼受迫振动
m x Cx kx P0 sin t
振动模型
2.2 单自由度系统无阻尼自由振动
• 石油机械中，无阻尼自由振动是指机械振动系统 不受外力，也不受阻尼力影响时所作的振动。其 动力学模型如图2.3所示。
• 运动微分方程中，A 是机械振动系统质量块相对于振动中 心点的最大位移，称为振幅。 则是初相位，它决定了 质点运动的起始位置。 和初相位 是两个待定系数，它的大小 取决于初始条件 n , x 0 , x 0 的数值。 • 振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特 性。
• 振幅 A
2 1 2 2
设振动系统的初始条件为： 解得：
t 0时, x x0, x x 0
1
A
x
2 0
x 02 2 tg
n
x 0 n x 0
2.2.1振动特性的讨论
(1)振动的类型
石油机械中，无阻尼自由振动是简谐振动。其振动 特性只决定于机械振动系统的弹性和质量块的惯性。
机械振动系统的固有圆频率
n
k m
k1 k2 k3 k2k3 k1k2 k1k3m
机械振动系统中的弹性环节往往可由多个弹簧组成。其组 成的方式可以是并联，也可以是串联，或串并联同时存在。为 了计算其固有频率，就需要根据各分弹簧刚度来确定机械振动 系统总的弹簧刚度。总结一下得出以下规则：并联弹簧的总等
1 fn 2
k 1 m 2
g
j
（2.26）
因此，知道了质量块处的弹簧静变形 确定出机械振动系统的固有频率。
。

,就可以计算
j
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EJ 。其自由端有一集中质， 试求这一机械振动系统的固有频率
• 【解】 由材料力学可知，悬臂梁在自由端由集中力所引 起的静挠度为：
mgl 3EJ
j
3
1 3EnJ 2 ml3 这是确定机械振动系统的固有频率。