土的本构关系

[
]
1 2
3 = τ oct = 3 J 2 2
5.主应力空间与π 平面 主应力空间与
主应力空间：
空间对角线和
π
平面：
α = β = γ = 540 44′
1 l=m=n= 3
平均主应力p
1 1 (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = I1 = 3σ oct = 3 p OQ = 3 3
偏应力q
σ x σ y σ z {σ } = τ xy τ yz τ zx
{σ }T = {σ x , σ y , σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx }
2. 应力张量的主应力和应力不变量
l = cos α m = cos β n = cos γ
0
εv
3 0
ε 0 ε 11 − v 3 0 + ε 21 εv ε 31 3
ε 12 ε 22 − ε 32 εv
3
ε 23 εv ε 33 − 3
ε 13
或者表示为：
1 ε ij = ε kk δ ij + eij 3
(
)
[
] [
]
4、八面体应变及应变 、
体应变：
π
平面
ε v = ε kk = ε 1 + ε 2 + ε 3 = ε x + ε y + ε z = I1ε
广义剪应变：
ε=
2 (ε1 − ε 2 )2 + (ε 2 − ε 3 )2 + (ε 3 − ε1 ) 3
[
2 1/ 2
]
4 = J 2ε 3
ε x ε y εz {ε } = γ xy γ yz γ zx
ε 13 ε x = 1 γ ε 23 2 yx ε 33 1 γ zx 2
1 2
γ xy εy 1 2 γ zy
1 2 1 2
3、土体变形的弹塑性 、
4、土应力应变的各向异性和土的结构性 、
5、土的流变性 、
6、影响土土应力应变关系的应力条件 、
（1）应力水平 ）
（2）应力路径 ）
（3）应力历史 ）
2.4 土的弹性模型
2.4.1 概述
1、线弹性模型
1 ε x = σ x −ν (σ y + σ z ) E 1 ε y = σ y −ν (σ z + σ x ) E 1 ε z = σ x −ν (σ y + σ z ) E 2(1 +ν ) γ xy = τ xy E 2(1 +ν ) γ yz = τ yz E 2(1 +ν ) γ zx = τ zx E
s
2 oct
1 2 2 2 = s + s + s = σ1 + σ 2 + σ 3 3
2 x 2 y 2 z
(
)
八面体正应力：
σ oct
1 I1 = sxl + s y m + sz n = σ 1 + σ 2 + σ 3 = σ m = 3 3
1 2 2 2 = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) 3
e1 = ε 1 −
偏主应变：
εv εv εv
3 3 3
e2 = ε 2 − e3 = ε 3 −
I1ε = ε x + ε y + ε z = ε 1 + ε 2 + ε 3 = ε kk = ε v
I 2ε 1 2 2 2 = ε xε y + ε yε z + ε z ε x − γ xy + γ yz + γ zx = ε 1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε 1 4 1 2 2 2 = ε xε yε z + γ xyγ yzγ zx − ε xγ xy + ε z γ yz + ε yγ zx = ε 1ε 2ε 3 4
[ [ [
] ] ]
亦可表示成：
p = Kε v q = 3Gε
式中：
E K= 3(1 − 2v ) E G= 2(1 + v )
{σ } = [D ]{ε }
1 v 1 − v v 1 − v [D] = E (1 − v ) 0 (1 + v )(1 − 2v ) 0 0 1 − 2v 2(1 − v )
球应力张量：
1 1 1 σ m = σ kk = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 3 3 3
偏应力张量：
sij = σ ij − 1 σ kkδ ij 3
第一偏应力不变量：
J1 = skk ≡ 0
第二偏应力不变量：
1 1 2 2 2 J 2 = sij s ji = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) 2 6
1/ 2
应变洛德角：
2ε 2 − ε 1 − ε 3 tan θε = 3 (ε 1 − ε 3 )
2.3 土的应力应变特性
土的主要应力应变特性：非线性、弹塑性、剪胀性； 土的主要应力应变特性 主要影响因素：应力水平、应力路径、应力历史。 主要影响因素
1、土应力应变关系的非线性 、
2、土的剪胀性 、
= σ 1σ 2σ 3
3.球应力张量与偏应力状态 球应力张量与偏应力状态
τ 12 τ 13 0 σ 11 − σ m σ 11 τ 12 τ 13 σ m 0 σ ij = τ 21 σ 22 τ 23 = 0 σ m 0 + τ 21 σ 22 − σ m τ 23 τ 31 τ 32 σ 33 0 0 σ m τ 31 τ 32 σ 33 − σ m
(
)
八面体剪应力：
2 2 τ oct = soct − σ oct
[
]
1 2
2 2 = J2 3
1
平均主应力p：
p = σ oct
广义剪应力q：
1 1 = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 3 3
1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 q= 2
3、应变不变量和偏应变不变 、 量
I 3ε
[
( (
)
)]
J1ε = 0
J 2ε = 1 2 2 2 (ε x − ε y )2 + (ε y − ε z )2 + (ε z − ε x )2 + 3 γ xy + γ yz + γ zx 6 2 1 1 2 2 2 2 2 = (ε 1 − ε 2 ) + (ε 2 − ε 3 ) + (ε 3 − ε 1 ) = e12 + e2 + e3 6 2 1 1 3 3 (2ε1 − ε 2 − ε 3 )(2ε 2 − ε1 − ε 3 )(2ε 3 − ε1 − ε 2 ) J 3ε = (e13 + e2 + e3 ) = 3 27
2 2 2 I 2 = σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy − τ yz − τ zx
= σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
第三应力不变量：
2 2 2 I 3 = σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ xτ yz − σ yτ zx − σ zτ xy
其中：
2σ 2 − σ 1 − σ 3 µσ = σ1 − σ 3
洛德参数
σ 2 −σ3 b= σ1 − σ 3
洛德角和应力不变量的关系：
3 3 J3 sin 3θ = − 3 2 J2/2
2.2.2 应变
1、应变张量 、
ε 11 ε 12 ε ε ij = 21 ε 22 ε 31 ε 32
2.2 应力和应变
2.2.1 应力
o
1. 应力分量与应力张量
法向应力： σ x
x
y
X
σy σz
Y
z
τ xy =τ yx
剪应力：
σz
τ zx
τ yx
τ zy τ xy
σx
τ yz = τ zy τ zx = τ xz
σy
Z
τ yz
τ xz
σ x τ xy τ xz σ 11 τ 12 τ 13 σ ij = τ yx σ y τ yz = τ 21 σ 22 τ 23 τ zx τ zy σ z τ 31 τ 32 σ 33
PQ = OP − OQ = = 3τ oct = 2 J 2 =
应力洛德角 θ
2
2
1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 3 2 q 3
[
]
2σ 2 − σ 1 − σ 3 µθ 2b − 1 tan θ = = = 3 (σ 1 − σ 3 ) 3 3
第三偏应力不变量：
[
]
1 1 (2σ 1 − σ 2 − σ 3 )(2σ 2 − σ 1 − σ 3 )(2σ 3 − σ 1 − σ 2 ) J 3 = sij s jk ski = 3 27