几何组成分析
几何组成分析的体会与收获
几何组成分析的体会与收获几何学作为一个基础学科，在我们的日常生活和科学研究中都有着重要的地位。
在几何学中，对于图形的组成、结构以及空间中物体的位置和关系有着深刻的研究，而几何组成分析就是一种极其重要的思维方式和方法。
在我的学习和实践中，我深刻感受到了几何组成分析的体会与收获。
一、领会几何组成分析的重要性几何组成分析是几何学中最为重要的分析方法之一，它通过将图形的形态分解成基本的几何元素，从而更好地理解和刻画复杂的物体和空间结构。
因此，几何组成分析在工程技术、艺术、建筑设计等方面都有着广泛的应用。
在我的设计课程中，我曾经遇到过如何设计一个高层建筑的难题。
通过几何组成分析，我将建筑的形态分解成几何元素，再将它们组合起来，设计出了一个兼具美观和实用的建筑。
这一设计的成功，深刻体现了几何组成分析思维的重要性。
二、感受几何组成分析的启示力几何组成分析的思想不仅仅停留在几何学领域，它还可以指导我们在生活中更好地观察和理解事物的本质。
几何组成分析常常被使用于科学研究中，例如通过观察自然界中的几何形态来深入掌握自然的本质规律。
通过运用几何组成分析的思维方式，我们可以更好地理解自然、社会和文化的复杂性，为我们解决实际问题提供有力的启示。
三、探讨几何组成分析的应用前景随着计算机技术的发展，几何组成分析技术得到了极大的应用和发展。
利用计算机几何学和三维数字化技术，可以将几何组成分析应用于制造、计算机辅助设计、数字化娱乐等领域，进一步提高实现精度和效率。
同时，几何组成分析技术将在机器人、人工智能、虚拟现实等领域得到广泛应用和发展。
可以预计，在未来几乎所有的科学和工程技术中，几何组成分析都将起到举足轻重的作用。
四、总结几何组成分析的体会与收获几何组成分析是一种极其重要的思维方式和方法，在我们的日常生活、科学研究和工程技术中都有广泛的应用。
通过几何组成分析的思维方式，我们可以更好地理解并刻画复杂的物体和空间结构，从而更好地解决实际问题。
建筑力学大纲 知识点第四章 几何组成分析
第4章平面体系的几何组成分析4.1几何不变与几何可变体系的概念通常平面体系可以分成三类，即几何不变体系、几何可变体系和瞬变体系。
在不考虑材料微小变形的条件下，体系受力后，能保持其几何形状和位置的不变，而不发生刚体形式的运动，这类体系称为几何不变体系。
图4－2所示在荷载F的作用下，该体系必然发生刚体形式的运动。
此时无论F值如何小，它的几何形状和位置都要发生变化。
这样的体系称为几何可变体系。
图4－1 图4－2图4－3所示体系，这种在原来的位置上发生微小位移后不能再继续移动的体系称为瞬变体系。
（a）（b）（c）图4－34.2刚片·自由度·联系的概念刚片：对体系进行几何组成分析时，由于不考虑材料的变形，所以各个构件均为刚体，由若干个构件组成的几何不变体系也是一个刚体。
研究平面体系时，将刚体称为刚片。
自由度是确定体系位置时所需要的独立参数的数目。
当对刚片施加约束时，它的自由度将减少。
能减少一个自由度的约束称为一个联系。
4 .3 几何不变体系的组成规则无多余联系是指体系内的约束恰好使该体系成为几何不变体系，几何不变体系的基本组成规则有三条。
规则一：二刚片规则。
两刚片用既不完全平行，也不相交于一点的三根链杆联结。
所组成的体系是几何不变的。
规则二：三刚片规则。
三个刚片用不在一条直线的铰两两相联结组成的体系是几何不变的。
规则三：二杆结点规则。
在刚片上加或减去二杆结点时，形成的体系是几何不变的。
4 .4 静定结构和超静定结构·常见的结构形式4.4.1静定结构和超静定结构几何不变体系可分为无多余联系和有多余联系两类。
无多余联系的几何不变体系称为静定结构，有多余联系的几何不变体系则称为超静定结构。
4.4.2常见的结构形式1.梁板体系2.桁架体系3.拱结构体系4.框架、筒体体系5.悬索体系6.薄壳体系7. 膜结构8.树状结构小结(1)体系可以分为几何不变体系和几何可变体系，只有几何不变体系才能用作结构，几何可变及瞬变体系不能用作结构。
结构力学 几何组成分析 几个概念
几何组成分析的几个概念1、几何不变体系与几何可变体系几何不变体系是指受到任意荷载作用下，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
几何可变体系是指即使不考虑材料的应变，在微小的荷载作用下也会产生刚体位移，而不能保持原有的几何形状和位置。
几何可变体系分为几何常变体系和几何瞬变体系。
几何可变体系在很小的荷载作用下会产生刚体位移，经微小位移后仍能继续发生刚体运动，这样的几何可变体系称为几何常变体系。
若原为几何可变体系，经微小位移后即转化为几何不变体系，这类几何可变体系称为几何瞬变体系。
工程结构绝不能采用几何瞬变体系，而且也应避免采用接近于瞬变的体系。
2、自由度指体系在所受限制的许可条件下独立的运动方式，即能确定体系几何位置的彼此独立的几何坐标数目。
平面内一点的自由度为2，一个刚片的自由度为3。
3、约束（联系）约束是指限制体系运动的各种装置，包括外部约束（支座约束）和内部约束。
（1）外部约束一个活动铰支座、固定铰支座和固定支座分别相当于1、2、3个约束。
（2）内部约束一根单链杆相当于1个约束；连接j（j>2）个结点的复链杆，相当于2j-3个单链杆，即相当于2j-3个约束；一个单铰相当于2个约束；连接m（m>2）个刚片的复铰，可折合成（m-1）个单铰，即相当于2(m-1)个约束作用；一单刚结点相当于3个约束；连接m（m>2）个刚片的刚结点称为复刚结点，可折合成（m-1）个单刚结点，即相当于3(m-1)个约束。
约束从能否减少体系的自由度方面来考虑，可分为必要约束和多余约束。
为保持体系几何不变所必须具有的约束称为必要约束，不能使体系的自由度数目减少的约束称为多余约束。
4、瞬铰（虚铰）两个刚片间用两个不共线链杆相连，其约束作用相当于这两根链杆交点位置处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为虚铰或瞬铰（图1a）。
在几何组成分析中，尤其要注意：两刚片间用两根相互平行的链杆相连，两平行链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，如图1b所示。
02结构力学1-几何组成分析
§2-1 基本概念 W = 3m-(3g+2h+b) 四. 计算自由度
例3：计算图示体系的计算自由度 2 1 解法一
9根杆,9个刚片
有几个单铰？
3 3
3根单链杆
2 1
W=3 ×9-(2×12+3)=0
§2-1 基本概念
四. 计算自由度 例3：计算图示体系的计算自由度 铰结链杆体系：完全由两端 铰结的杆件所组成的体系
y 两个刚片一共6个自由 度 加两个单链杆之后：整 个体系有4个自由度 减少2个自由度
x
1单铰=2个单链杆
y
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 实铰 x
两个单链杆
y
y
虚铰 x
x
§2-1 基本概念
三. 约束（联系）
既不平行又不相交于一点 的三个单链杆=一个固定支 座
三个单链杆=一个固定支座？
§2-2 静定结构的组成规则
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点。
二刚片规则： 二刚片规则： 两个刚片用三根 两个刚片用一 不全平行也不交 个铰和一根不通 于同一点的链杆 过此铰的链杆相 相联，组成无多 联，组成无多余 余联系的几何不 联系的几何不变 变体系。
体系。
§2-2 静定结构的组成规则
x
1单铰=2个约束
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 y
复铰
三个刚片一共9个自由 度 加铰之后：整个体系有 5个自由度 减少4个自由度 x
复铰 等于多少个 单铰？
1连接N个刚片的复铰 =N-1个单铰
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置
平面体系的几何组成分析课件
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2.3 平面体系的计算自由度
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【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
(1)h m1 (3)h m2
m3 (3)h
其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数， r为与地 基之间加入的支杆数。
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2.3 平面体系的计算自由度
在应用公式时，应注意以下几点： (1) 地基是参照物，不计入m中。
(2) 计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余 约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加约 束在计算体系的“全部约束数”d时考虑进去。
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2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
二元体规则
用两根不共线的链杆联结(发展)一个新结点的构造，称为二元 体。于是，规则Ⅰ也可用二元体的组成表述为：
在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不变，且无多余约
束的体系。
A
A
A
①
②
①
②
①
②
由二元体的性质可知：在一个体系上依次加上（或取消）若干 个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结论常为几何组成分 析带来方便。
规则Ⅱ （表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且三根链 杆不全交于一点也不全平行，则组成内部几何不变且无多余约束 的体系。
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2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
《建筑力学》第十章结构的几何组成分析
案例二：复杂结构的几何组成分析
总结词
通过分析复杂结构的几何组成，理解超静定 结构和静定结构的区别。
详细描述
复杂结构通常由多个简单结构组合而成，通 过分析这些结构的连接方式和力的传递路径， 可以判断复杂结构是超静定结构还是静定结 构。超静定结构有多余的约束，使得结构在 力的作用下发生变形，而静定结构则没有多 余的约束，不会发生变形。
02
根据地震的烈度和频率，设计合理的抗震支撑和减震措施。
通过结构的几何组成分析，优化结构的抗震设计，提高结构的
03
抗倒塌能力。
05
案例分析
案例一：简单框架结构的几何组成分析
总结词
通过分析简单框架结构的几何组成，理解几何不变体系和几何可变体系的概念。
详细描述
简单框架结构由若干直线段组成，通过分析这些直线段的连接方式，可以判断 整个结构是几何不变体系还是几何可变体系。几何不变体系在力的作用下不会 发生变形，而几何可变体系则会发生变形。
规则二：多余约束
总结词
多余约束是指结构中存在某些约束，这些约束在限制某些自由度的同时，并没有提供稳定性或平衡性的贡献。
详细描述
多余约束规则指出，一个稳定的结构中不应该有多余的约束存在。多余的约束不仅浪费材料和资源，而且可能导 致结构在受到外力作用时出现失稳或破坏。因此，在结构的几何组成分析中，需要找出并消除多余的约束，以确 保结构的稳定性和经济性。
分析结构的支撑体系 是否合理，如支撑杆 件的布局、连接方式 等。
结构优化设计
通过分析结构的几何组成，找出 结构中的冗余杆件和不必要的约
束。
优化结构的支撑布局和连接方式， 提高结构的承载能力和刚度。
调整结构的几何形状，以改善结 构的受力分布和减少应力集中现
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学几何组成分析
§2－4. 几何组成分析举例
依据：几何不变体系的组成法则。 一般方法： 首先进行简化，如去掉二元体，或将直接观察出的几何 不变部分当作扩大的刚片等；然后根据组成法则选定刚片 和约束（铰和链杆）并作出结论。
例1
例2
例3
§2－5. 几何组成与静定性的关系
根据仅用静力平衡条件是否能确定结构的全部反力和内力 这一特性，将结构划分为静定结构和超静定结构。 凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构，反之静 定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
四杆不平行不变 平行且各自等长常变 平行不等长瞬变
2. 有两个无穷远铰:
3. 有三个无穷远铰:
二、两刚片法则
两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，则 所组成的体系是几何不变的。 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不 变体系.
三、二元体法则
联结一个新结点的不共线两链杆装置称为二元体。 一个体系不因增加或减少二元体而改变其原有的几何组成 性质。
四、几点说明
按上述几何不变体系的组成法则所组成的体系，从保证其 几何不变性来说，它具备了最低限度的约束数目，即符合 上述法则组成的体系为几何不变无多余约束的体系。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目少，则该 体系是几何可变的。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目多，则该 体系是几何不变有多余约束的体系。
第二章
体系的几何组成分析
§2－1. 几何组成分析的目的
一、基本概念
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的条件下， 若能保持其几何形状和位置不变者，称为几何不变体系。 否则，为几何可变体系。
几何可变体系不能作为结构，结构必须是几何不变体系。 几何组成分析：对体系几何组成的性质和规律进行的分 析。
几何组成分析
几何组成分析几何组成分析（也称为结构几何学）是结构力学的一个重要方法，用于研究结构的形态、几何特性及其对结构力学特性的影响。
通过对结构的几何分析，可以获得结构的稳定性、刚度、位移、变形等重要信息，对结构的设计和优化具有重要意义。
几何组成分析的基本原理是根据结构的形态及其载荷情况，利用几何学的基本概念和计算方法，对结构的各个组成部分进行几何分析，并结合材料力学原理，求解结构的刚度矩阵、位移向量和变形矩阵等重要参数。
其中，结构的刚度矩阵描述结构在载荷作用下的刚度特性；位移向量表示结构在载荷作用下的位移；而变形矩阵则描述结构在载荷作用下的变化情况。
1.结构的坐标系及基本概念：建立合适的坐标系，确定结构的基本要素，如结构的节点、杆件或面坯等。
2.结构的构件模型：根据结构的具体形态和几何特性，采用适当的模型对结构的构件进行建模和描述。
3.结构的几何约束：根据结构的形态和几何特性，确定结构的几何约束条件，如节点和杆件的位移、角度等。
4.结构的刚度计算：根据结构的几何模型和几何约束条件，利用刚度法或变分原理，求解结构的刚度矩阵和刚度方程。
5.结构的位移计算：通过求解结构的刚度方程，得到结构的位移向量，描述结构在载荷作用下的位移的大小和方向。
6.结构的变形分析：根据结构的位移向量和几何约束条件，计算结构的变形矩阵，描述结构在载荷作用下的形变情况。
通过几何组成分析，可以定量描述结构的形态、几何特性及其对结构力学特性的影响。
它既可以作为结构静力分析的一种方法，用于求解结构的刚度、位移和变形等参数；也可以应用于结构动力分析，研究结构在动载荷作用下的动力响应。
几何组成分析在工程实践中具有非常重要的应用价值。
首先，它可以辅助结构工程师进行结构设计和优化，提高结构的稳定性和刚度性能。
其次，在结构检测和维修中，几何组成分析可以用于评估结构的变形和破坏情况，指导结构的维修方案和控制措施。
此外，几何组成分析还可以应用于结构材料的研究和性能表征，为结构材料的选择和设计提供科学依据。
几何组成分析
课堂练习题
课堂练习题
课堂练习题
几何组成分析
几何组成分析的三个基本规则
三刚片规则 二刚片规则 二元体规则
依据：三角形 为几何不变体
三 刚 片 规 则
三个刚片用不在同一直线上的三个铰俩俩相 连，则所形成的体系为无多余约束的几何不变体系。
注：可以是 实用不全交于一点、也不全平行的三根链 杆相联，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
例题分析
结论：几何不变 且无多余约束
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
例题分析
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
结论：几何瞬变！
例题分析
结论：几何不变 且无多余约束
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
O1 O2
例题分析
结论：三点共线 几何瞬变
4
Ⅰ
6
Ⅲ
3
5
Ⅱ
1 2
三刚片组成规则中关于虚铰 在无限远处的一般规律总结
i. 一个虚铰在无限远处 若有一个连接两刚片的虚铰位于无限远，则 当其余两个铰（实铰或虚铰）的连线与形成无 限远虚铰的两根链杆不平行时，体系是几何不 变的； ii.两个虚铰在无限远处
or
两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相 联，则所组成的体系为无多余约束的几何不变体系。
二元体规则（点和刚片的组成规则）
平面内的一点和一个刚片，用不在同一直线上 的两根链杆相联，则两者可组成一个几何不变的 整体，且无多余约束。这两根链杆称为二元体。
二元体规则（点和刚片的组成规则） 推论：
在一个已知体系上增加或去掉 一个二元体不影响其机动性。
若有两个位于无限远处的虚铰，则当形成两 个无限远虚铰的四根链杆不全平行时（只两两 平行），体系几何不变；如果四根全平行，则 为瞬变体系。
第2章体系几何组成分析
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
10
4、刚性连接：刚结点、固定端支座
将两刚片联结成一个整体的结点 图示两刚片有六个自由度, 加刚性联结后有三个自由度
一个单刚结点可减少三个自由 度相当于三个约束。 刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余 约束,若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
A
B
A
4、由一基本刚片开始，逐步增 加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个 刚片相连，再用规则判定。
E C A D
F
B
25
(2,3)
(1,3)
Ⅱ Ⅲ
(1,2)
Ⅰ
三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。26
5、当体系杆件数较多 时，将刚片选得分散些， 用链杆相连，而不用单 铰相连。
因此，静定结构的几何组成特征是几何不变且无多 余约束，超静定结构也为几何不变但有多余约束。通过 几何组成分析可以判定结构是静定的还是超静定的。
绝大部分的建筑结构都是超静定结构。
38
§2-5 静定结构和超静定结构
从受力特征看： 凡只需利用静力平衡条件就能确定全部支座反力和内 力的结构称为静定结构。 全部支座反力或内力不能只由静力平衡条件来确定的 结构称为超静定结构。
6、刚片的等效代换：在不改变刚片 与周围的连结方式的前提下，可以改变 它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
如：链杆即刚片，刚片可化为链杆， 折杆与直杆等效，实铰与虚铰等效， 几何不变体可看为刚片 Ⅰ Ⅱ
.
几何瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系 29
结构的几何组成分析
结构的几何组成分析结构的几何组成分析是建筑设计中的一个重要环节，它涉及到结构的形式和几何特征，通过分析结构的几何组成，可以评估结构的稳定性、刚度和性能，并为后续的结构设计提供依据。
以下是对结构的几何组成分析的详细介绍。
1.结构的几何形式结构的几何形式是指结构的整体形状和布局，它包括建筑的平面形式和立面形式。
建筑的平面形式通常是对称的，例如对称轴线、对称平面。
立面形式主要体现建筑的垂直方向的几何特征，包括建筑的高度、层高、外墙的形式等。
通过分析结构的几何形式，可以了解结构的总体布局和形态特征。
2.结构的几何参数结构的几何参数是指结构中各个构件和元件的尺寸和形状，它包括构件的截面形状、长度、宽度、高度等参数。
通过分析结构的几何参数，可以确定结构的尺寸比例，进而评估结构的刚度和稳定性。
例如，在分析桥梁的几何参数时，通过确定桥梁的主跨长度、桥梁墩高和桥梁宽度等参数，可以评估桥梁的刚度和承载能力。
3.结构的几何构造结构的几何构造是指结构中的构件和元件之间的相互连接方式和排列方式。
不同的几何构造方式会影响结构的刚度和稳定性。
常见的几何构造包括平行构造、直交构造、等距构造等。
通过分析结构的几何构造，可以评估结构的整体刚度和受力性能，并为结构的材料选择和构造方式提供依据。
4.结构的几何约束结构的几何约束是指结构中各个构件和元件之间的相互约束关系。
几何约束决定了结构的运动自由度，影响结构的整体稳定性和刚度。
常见的几何约束方式包括铰支约束、弹性支座约束、弹簧约束等。
通过分析结构的几何约束，可以确定结构的运动自由度，进而评估结构的刚度和稳定性。
在进行结构的几何组成分析时，通常采用计算机辅助设计软件进行建模和分析。
通过建立结构的几何模型，可以对结构的几何特征进行精确描述，并对结构的性能进行定量分析。
同时，可以通过调整结构的几何参数和几何构造，优化结构的性能和经济性。
总之，结构的几何组成分析是建筑设计中不可或缺的一个环节，通过对结构的几何形式、几何参数、几何构造和几何约束进行分析，可以评估结构的稳定性、刚度和性能，为结构的后续设计和施工提供依据。
《几何组成分析举例》课件
合理的结构布置和连接方式可以提供更多的约束，从而提高结构的稳定性。
PART 02
几何组成分析的步骤
确定研究对象的范围和边界
明确目标
在进行几何组成分析时，首先需要明确研究对象的具体范围和边界，以便有针对 性地进行分析。这包括确定所研究结构的尺寸、形状、连接方式等，以及明确哪 些部分属于结构的基本组成单元。
PART 05
结论与展望
几何组成分析的重要性和意义
几何组成分析是研究物质结构的重要方法，对于理解物质的基本性质和行为具有重 要意义。
通过几何组成分析，可以深入了解物质的微观结构和宏观性质之间的关系，为材料 科学、物理学和化学等领域的研究提供有力支持。
几何组成分析在医学、生物学和地球科学等领域也有广泛应用，对于解释生命现象 、疾病机理和地质构造等方面具有重要意义。
活载
活载是指使用过程中可能作用在 结构上的临时荷载，如人群、车 辆或堆料。活载可能引起结构的 较大变形和应力，因此分析时应
特别关注。
风载和地震荷载
风载和地震荷载是自然因素引起 的动荷载，具有随机性和不可预 测性。在几何组成分析中，应考 虑这些荷载对结构稳定性和安全
性的影响。
结合实际工程背景进行应用和分析
目前研究的不足与展望
目前几何组成分析在理论和应用方面仍 存在一些挑战和问题，例如如何更准确
地描述和预测物质的性质和行为。
未来研究需要进一步深化对物质结构的 理解，探索更有效的几何组成分析方法 和技术，以提高分析的精度和可靠性。
随着科技的不断进步和应用需求的增加 ，几何组成分析将会有更广泛的应用前 景和发展空间，为人类认识世界和改造
举例说明在实际工程中，如何综合考虑 材料属性和连接方调整 结构，提高结构的稳定性和安全性。
几何组成分析公开课一等奖课件省赛课获奖课件
◆在计算自由度的式子中，部件能够是点，也能够是 刚片。但刚片必须是内部没有多出约束的刚片，如果 碰到内部有多出约束的刚片，则应把它变成内部无多 出约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束 总数时应当考虑进去。
无多出 约 束的刚片
一种多出 约束的刚片
S=各刚片的自由度总和 - 非多出约束 S=各刚片的自由度总和 - （全部约束数 - 多出约束数n） S=各刚片的自由度总和 - 全部约束数 + 多出约束数n 因此， S = W + n
注意：体系的实际自由度s、多出约束数n都不是负 数，即:s≥0，n≥0。
作业：
试求图示体系的自由度
B D 1
2
A
第二章 平面体系的机动分析
（平面体系的几何构成分析 ）
本章重要内容
➢几何构造分析的几个概念 ➢几何不变体系的构成规律 ➢平面杆件体系的计算自由度
本章从几何构造的角度来讨论构造。
构造能否承受多个可能的荷载，取决于其几何 构造的合理性。构造本身应是几何稳固的，并 保持其几何形状不变，才干承受荷载。反之， 如果构造体系是几何不稳固的，不能保持其几 何形状不变，则其不能承受任意荷载。因此， 从几何构造的角度看，构造应有合理的几何构 造，应是一种几何形状不变的体系。
另一种解法
按铰结体系计算 6个铰结点 12根单链杆
W=2 ×6-12=0
必要约束：除去约束后，体系的自由度将增加。
由于除去图中任意一 根杆，体系都将有一 种自由度，因此图中 全部的杆都是必要的 约束。
多出约束：除去约束后，体系的自由度并不变化。
图中上部四根杆 和三根支座杆都是 必要的约束。
几何组成分析
几何组成分析
几何组成分析是几何学中一个相当重要且普遍应用的一个技术，它凭借空间的几何结构及形状，可以帮助人们快速的把复杂的几何图形划分为其组成的几何元素，比如体积、曲面等等，为后续的分析提供了有力的帮助。
几何组成分析的主要步骤包括：首先，利用图形采样技术对空间图形进行采样；其次，利用几何分析技术，进行各个采样点之间的连接；然后，在图形中进行分割和识别，完成形状划分；最后，空间图形拓扑结构化，得到图形的几何元素。
目前，几何组成分析技术在各行各业中得到了广泛的应用，主要用于几何形状的划分及识别，如制造工程中零件的设计、机械工程中机器人识别，以及地理信息系统等。
例如，在精密制造中，几何组成分析可以帮助把复杂的零件形状划分为若干元素，有效提高加工精度和加工效率；而在机器人加工中，几何组成分析还可以帮助机器人识别目标零件的形状，提高机器人加工准确性。
此外，几何组成分析技术也在地理信息系统中被广泛应用，特别是有关城市建筑物、地表尺度及地面走行路线的分析，几何组成分析技术用于对各种尺度的建筑物进行划分，或分析街道、道路和其它地表特征，对地理信息系统的建设及使用有着重要的作用。
总之，几何组成分析技术在几何学及相关领域有着重要的应用潜力，它不仅可以帮助人们快速的把复杂的几何图形划分为其组成的几何元素，还可以在制造、机器人等行业中发挥重要作用，极大的提高
了生产效率、降低了成本，应被广泛的重视及使用。
平面体系的几何组成分析
平面体系的几何组成分析平面体系是指在二维平面上展示和分析的几何结构，可以是二维图形、图表或者平面上的线条、点等。
几何组成分析是对平面体系中组成要素的形态和关系进行研究、描述和解释的过程。
在平面体系的几何组成分析中，主要包括以下几个方面的内容：1.几何形态分析：几何形态分析是对平面体系中的形状、大小、比例关系等几何特征进行分析和描述的过程。
在几何形态分析中，可以通过测量、标注、计算等方法获取图形的尺寸信息，并通过比较、计算等方法揭示出图形的相似性、对称性等几何特征。
2.几何结构分析：几何结构分析是对平面体系中各个组成要素之间的关系进行研究和解释的过程。
在几何结构分析中，可以根据图形之间的相对位置、相互连接关系等，判断图形的层次结构、组合关系等几何关系，并通过分析这些几何关系揭示出图形之间的相互作用和约束关系。
3.几何变换分析：几何变换分析是对平面体系中的图形进行变换、平移、旋转等操作，以研究和揭示几何要素之间的关系和规律的过程。
在几何变换分析中，可以通过变换操作改变图形的形态、位置等几何特征，并观察这些变换对图形的几何关系和性质的影响，进而揭示出图形之间的变换关系和对称性等几何规律。
4.几何拓扑分析：几何拓扑分析是对平面体系中的点、线、面等几何要素之间的拓扑关系进行研究和表示的过程。
在几何拓扑分析中，可以通过判断要素之间的相交、包含、连接等关系，建立起点、边、面等要素之间的拓扑关系，并通过分析这些拓扑关系揭示出图形的几何拓扑特征和性质。
5.几何组合分析：几何组合分析是对平面体系中的各个组成要素进行组合、排列等操作，以研究和描述图形的整体特征和性质的过程。
在几何组合分析中，可以将各个组成要素进行组合或排列，形成新的图形，并通过分析这些组合或排列揭示出图形的组成特征、数量关系等几何特征。
几何组成分析不仅可以帮助我们理解和描述平面体系中的几何特征和规律，还可以应用于许多领域，如建筑设计、工程规划、地理信息系统等。
结构力学几何组成分析
例6、 E
3、当体系杆件
D
数较多时，将刚
片选得分散些，
用链杆相连，
A
B
而不用单铰相连。
O13 O23
O12
F D
Ⅰ
F
Ⅱ
C A
C B
Ⅲ
22
（Ⅰ,Ⅱ） 例
Ⅰ
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
(Ⅰ,Ⅲ)
（Ⅱ，Ⅲ） （Ⅰ,Ⅱ）
（Ⅱ，Ⅲ）
如图示，三刚片以共线三铰相连 三刚片以三个无穷远处虚铰相连
几何瞬变体系
组成瞬变体系
S=（各部件自由度总数）－（非多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数－多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数）+（多余约束数）
所以：
S = WW + n
思考题2.16
由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是
体系的实际自由度！
13
§2.3无多余约束几何不变体系的组成规则
5、由基础开始逐件组装
6、刚片的等效代换： (等效是指与外部连结等效）
a.可以将一个几何不变无多余约束的部分视为一个刚片。化零为整。 b.在不改变刚片与周围的连结方式的前提下，可以改变它的大小、形状及 内部组成。变化组成。 c.内部组成改变后，又可将该刚片视为一个由多个(新的)刚片(或链杆)组成 的几何不变体系，并进而各自发挥其连接或约束作用。化整为零。
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3 =0
10
本例中采用了无铰封闭框 的概念，课本中未介绍。其实 图示体系去掉全部支座后，剩 下的是一个有三个内部多余约 束的刚片。如果将封闭框在上 端截开，才能变成无内部多余 约束的刚片，可见截开处应视 为一个刚结点。
几何组成分析(结构力学)
动画演示
单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 3、虚铰（瞬铰）
动画演示
1
能形成虚铰 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 2 的是链杆 4 3 瞬铰 O ( 2，3 ) 单铰 A 定轴转动 绕瞬心转动！
3、一固定支座或一单刚结点(simple rigid joint，联结两个刚片的
（3） 两刚片之间用全交于一虚铰的三链杆相连（延长线交于 一点），几何瞬变。
（4） 两刚片之间用三根平行但不等长的链杆相连，瞬变体系。 （5） 两刚片之间用三根平行且等长的链杆相连，可变体系。 （6） 三刚片用位于同一直线上的三个单铰（实铰或虚铰）两 两相连，瞬变体系。 （内力、反力无穷大或不能确定）
多余约束的说明：
①不能减少体系自由度的约束 ②相对性 ③静定+超静定
④ 作用：
调整内力分布； 提高安全度
注：只有必要约束对 体系的自由度有影响， 而多余约束则对体系 的自由度没有影响。
【例】
去掉一个多余约束。
去掉一个多余约束。
去掉一个必要约束。
#多余约束的个数是一定的，位置是不一定。
四、虚铰（瞬铰）virtual hinge
三、约束（或联系）(constraint)
指阻止或限制体系运动的装置。凡减少一个自由度的装置，称为一 个联系(或约束)。s
y
B
y x
A
y
B
A
2
1
n=2
x
o
x
o
1、一活动铰支座或一链杆(connection link:两端铰接的杆件或刚片) ：S=1
动画演示 动画演示
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰。 加单铰前体系有六个自由度。 加单铰后体系有四个自由度。
几何组成分析举例
【例2-3】对如图2-18所示体系进行几何组成分析。
图2-18 例2-3图【解】如图2-18(a)所示体系，分别将曲杆AC、曲杆BD及基础当作刚片Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ。
其中，刚片Ⅰ、Ⅲ间通过实铰A相连，刚片Ⅱ、Ⅲ间通过实铰B相连，刚片Ⅰ、Ⅱ间通过链杆CD、EF相连（虚铰在其交点O处）。
三刚片间通过两个实铰A、B及一个虚铰O两两相连，这三铰不共线，形成几何不变体系且无多余约束。
如图2-18(b)所示体系，分别以杆CD、杆AB及基础作为三个刚片：Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
刚片Ⅰ、Ⅱ间通过平行链杆AC、BD相连（虚铰（Ⅰ, Ⅱ）在无穷远处），刚片Ⅰ、Ⅲ间分别通过C、D处的支座链杆相连（虚铰在结点D处），刚片Ⅱ、Ⅲ间分别通过A、B处的支座链杆相连（虚铰在结点A处）。
三刚片间通过两个有限远虚铰（在结点A和D处）及一个无限远处虚铰（Ⅰ, Ⅱ）两两相连，由于两个有限远处虚铰的连线AD，与形成无穷处虚铰的平行链杆（杆AC、BD）不平行，因此形成的是几何不变体系且无多余约束。
如图2-18(c)所示体系，分别以铰结三角形124、铰结三角形237及杆56作为基本刚片：刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
刚片Ⅰ、Ⅱ间通过实铰2相连，刚片Ⅰ、Ⅲ间通过平行链杆16、45相连，刚片Ⅱ、Ⅲ间通过平行链杆35、67相连，这两对平行链杆形成的虚铰（Ⅰ,Ⅲ）、（Ⅱ,Ⅲ）均位于无穷远处。
这样，三刚片通过三铰两两相连，其中两铰位于无穷远处，由于形成两个无穷远处虚铰的两对平行链杆不互相平行，因此上部体系为无多余约束的几何不变部分。
上部体系再分别通过三个支座链杆与基础相连，按两刚片规则，形成的整个体系为无多余约束的几何不变体系。
如图2-18(d)所示体系，分别以杆15、36及24作为三个基本刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
刚片Ⅰ、Ⅱ间通过一对平行链杆13、56相连，刚片Ⅰ、Ⅲ间通过一对平行链杆12、54相连，刚片Ⅱ、Ⅲ通过一对平行链杆23、46相连。
三对平行链杆形成的虚铰均在无穷远处，因而形成的上部体系是几何瞬变体系。
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几何不变体系
在任意荷载作用下，在不考虑材料应
变的条件下，几何形状和位置均保持不变 的体系。
4/76
几何可变体系
在一般荷载作用下，在不考虑材料应 变的条件下，几何形状或位置将发生改变 的体系。
常变体系
5/76
几何可变体系
常变体系
瞬变体系 常变体系——可以发生大位移的几何可变体系 叫作常变体系。 几何不变体 瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成 系 为几何不变的体系称为瞬变体系。 o
图
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2
15/74
四、必要（非多余）约束和多余约束
• 链杆1、2（不共线）， 将A与地面相连接，为必 要约束。
A
1 2
• 链杆1、2、3（不全共 线），将A 与地面相连接， 只限制了两个自由度，有一 根链杆是多余约束（多余联 系）。
A 1 3 2
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16/74
• • •
必要约束：
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• 例13: 对图示体系作几何组成分析
O12
Ⅰ
O13
Ⅱ
Ⅲ
O23
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50/74
O23
O12
O13
Ⅲ
O23
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ
O13
Ⅰ
Ⅰ
O12
一虚铰在无穷远处
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两虚铰在无穷远处
51/74
O12
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
O23
O13
三虚铰在无穷远处
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瞬变
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1、一个点和一个刚片的连接 规律1 : • 一个点与一个刚片用 两根不在一直线的链 杆相连，构成内部几 何不变且无多余约束 的体系。 A
B
C
Ⅰ
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引论: 二元体(片)规则
• 二元体(片）：由两根相 互不平行的链杆联接一个新 结点的装置，称为二元体 （片）。 • 二元体规则：在一个刚片 上增加一个二元体，体系仍 为几何不变体系。并且无多 余约束。
A
二元体
B
C
Ⅰ
Ⅰ
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例：
• 结论：在一个体系 上，增加或拆除二元 体（片），不会改变 原体系的几何性质。
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2、平面内两个刚片的连接
•
规律2：
两刚片用一铰和一
根链杆相连，且链杆及
B
其延长线不通过该铰，
构成内部几何不变且无
Ⅱ
A C
多余约束的体系。
Ⅰ
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A
B
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12/74
•
2、简单铰 — 联结两刚 片的圆柱铰。 • 被约束物体在单铰联结 处不能有任何相对移动， 减少了被约束物体的两个 运动自由度。 • 一个单铰=两个约束=两 根链杆。
Ⅰ
A
Ⅱ
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•
3、复铰 — 联结两个 以上刚片的圆柱铰。
一个复铰=（n – 1 ）个单铰。
Ⅰ
Ⅱ
两虚铰方向不平 行（两对平行链杆 互不平行），体系 几何不变。
两虚铰方向平行 （两对平行链杆相 互平行），体系几
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
何可变。
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Ⅲ
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3、 三虚铰在无穷远处
Ⅰ
Ⅱ
瞬变体系
Ⅲ
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§2-4 几何组成分析举例
利用简单组成规则进行几何组成分析注意问题：
1、如果体系只用三根不全交于一点也不全平行的支 座链杆与基础相连，则其几何不变性只取决于体系 本身，因此只需对体系本身做几何组成分析。 2、如果体系上有二元体，则可先将其撤除，使体系 的组成简化。但应注意只能撤除暴露在体系最外面 的二元体，而不可以从体系中间任意抽取。
21/74
规律2的推论：
两刚片用不全
交于一点也不全平 行的三根链杆相联
，则组成的体系是 没有多余约束的几 何不变体系。
Ⅱ
Ⅰ
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3、平面内三个刚片的连接
规律3：
三个刚片用三个铰两两相 连，且三个铰不在同一直线 上，构成内部几何不变且无 多余约束的体系。
B
Ⅱ Ⅲ
A
Ⅰ
C
Ⅱ
Ⅲ Ⅰ
三刚片六链杆
2
Ⅱ
D
3
Ⅰ
结论：几何不变，无多 余约束。
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例3：分析图示体系
解：
AB 与基础视为扩 大的刚片Ⅰ，BC视为 刚片Ⅱ，用铰B和链杆 1联结，满足规律4， 视为扩大的刚片Ⅰ’ ， CD视为刚片Ⅲ，与Ⅰ’， 用铰C和链杆2，3联结， 有一个多余约束。
Ⅱ
1
Ⅲ
2 3
Ⅰ
Ⅰ’
结论：有一个多余约束的 几何不变体系。
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例7(b)：分析图示体系
• 解：
用规则1，2及其推 OⅠⅡ 论均不妥。 Ⅰ • 体系有九根杆，规 律3适用。取三根不相 邻的链杆作刚片，相连 的三个铰共线。 •
Ⅱ
OⅠ
Ⅲ
ⅢO
ⅡⅢ
结论：体系内部几何瞬变。
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例8: 对图示体系作几何组成分析
I III
• §2-4 几何组成分析举例 • §2-5 平面杆件体系的计算自由度*
• §2-6 结构的几何组成和静定性的关系
2/76
§2-1 几何组成分析的目的、几何不变体 系和几何可变体系
平面杆件结构:
是由若干根杆件构成的能支承荷载的平面杆件 体系，而任一杆件体系却不一定能作为结构。
前提条件:
不考虑结构受力后由于材料的应变而产生的微小 变形，即把组成体系的每根杆件都看作完全不变形的 刚性杆件。
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例4：图示体系的几何组成分析。
1 2
Ⅱ
3
Ⅱ
4
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
Ⅰ
Ⅰ
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∞
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例5：分析图示体系
• 解： 两刚片装配方式。 • 从内部出发，
•
①支座杆为3，可先不考 虑基础，分析体系本身。 ② 几何不变部分，可 视为一刚片。
Ⅰ
ⅡADLeabharlann →Ⅰ，CBE→Ⅱ，ⅠⅡ用铰C和链杆DE
小结:
• （1）应用以上基本规律，可组成各 种各样的平面杆系体系（结构），关键 是灵活应用。 • （2）用基本规律分析平面杆系体系 时，体系中所有杆件（部件）不可重复 使用，也不可漏掉，否则有误。
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• • • • • • •
（3）有些在分析中常用的方法，可归 纳如下： 支杆数为 3， 体系本身先（分析）； 支杆多于 3， 地与体系联； 几何不变者，常可作刚片； 曲杆两端铰，可作链杆看； 二元体遇到，可以先去掉。 等等
B
A
C
A’
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•
2、瞬变体系的静力特征： B A ① ②
l
C
A’
l
受力分析：
由∑x=0
∑y=0
FN1=FN2=FN
2FN sinθ- FP =0
FN= FP /2sinθ
FN1 A’ FN2 θ FP
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•
θ趋近于零，则FN趋近于无穷大。 表明：瞬变体系即使在很小的荷载作 用下，也会产生很大的内力，从而导致体 系迅速破坏。
第二章
结构的几何组成分析
本章提要：介绍自由度和约束的概念，然后 讨论几何不变无多余约束的平面杆件体系的 组成规律，并归结为三个规则。
河北科技师范学院 1/76
• §2-1 几何组成分析的目的、几何不变 体系和几何可变体系 • §2-2 自由度和约束的概念
• §2-3 几何不变无多余约束的平面杆件 体系的几何组成规律
•（n — 复铰连接的刚片数） 如图：n = 3 – 1=2个单铰。 • 4、简单刚结 — 联结两个 刚片的刚结。 看成一个刚片即可。
A
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
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三、实铰与虚铰（瞬铰）
• 从瞬时微小运动来看，与 A点有实铰的约束作用一样。
相交在∞点
A
Ⅱ Ⅰ
图
1 A’
无穷远处的瞬铰
A
Ⅱ
Ⅱ Ⅰ
Ⅰ
支座约束和刚片间的连接约束 B
支座约束：
1、活动铰支座相当于一个约束 2、 固定铰支座相当于两个约束 3、固定支座相当于三个约束 4、定向铰支座相当于两个约束
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A
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刚片间的连接约束
• 1、链杆 — 两端是铰的刚性 杆件。 • 被约束物体不能沿链杆方向 移动，减少了被约束物体的一个 运动自由度。 • 一根链杆=一个约束。
E
F
C
D
A
B
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解Ⅱ：因为基础可视为几何不变的刚片，可用减 二元体的方法进行分析。
G E F G
E
F
C
D
C A
D
B
A
B
例2：分析图示体系
解：
固定一个刚片的 装配方式。
AB部分与基础固 结在一起，可视为一 扩大的刚片Ⅰ。CD视 为刚片Ⅱ，Ⅰ、Ⅱ用 链杆1，2，3联结。
A
B
1
C
A B
C
B1
几何可变体系不能作为结构来使用。
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几何组成分析的目的
（1）检查并保证体系的几何不变性。（