理论力学第六章 刚体的运动
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第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位 置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时 间t的单值连续函数，即 (t ) 上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
yM = 0
这就是M点的运动方程。M点沿x轴作直线运动，其速度和加速度分 别为 dxM vM vMx r sin t dt dv aM aMx Mx r 2 cos t dt 这也就是所求平移滑杆的速度和加速度。当其为正时，指向x轴正 向，为负时，指向x轴负向。 目录
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第六章 刚体的运动\刚体的平行移动 平移刚体上A、B两点的位置可用 矢量rA,、rB表示，且有
rA rB rBA
z
vA A1 A2 A 3
将上式两边对时间t求一阶和二阶导数， 注意到矢量rBA的大小和方向始终不变， 是常矢量，得 v A vB a A aB
rA O
x
A r vB AB B1 B2 B3 B aA rB aB y
第六章 刚体的运动\刚体的平行移动
6.1 刚体的平行移动
刚体在运动过程中如果其上任一直线始终与其原来的位置保持 平行，则刚体的这种运动称为平行移动，简称平移。例如，车厢在 直线轨道上的运动，摆动式送料机上送料槽的运动等都是平移的实 例。其中车厢上各点的运动轨迹是直线，刚体的这种平移称为直线 平移，送料槽及平行连杆上各点的运动轨迹是曲线，称为曲线平移。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。 目录
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2.2 角速度
角速度是反映刚体转动快慢的物理量。设在瞬t刚体的转角为， 经时间间隔 t，转角变为 + ， 称为角位移。 / t *称 为刚体在t 时间间隔内的平均角速度，当t 趋于零时，即得刚体在 t瞬时的角速度为 d * lim lim
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2 刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。 刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
t 0 t 0
t
dt
上式表明, 刚体定轴转动的角速度等于转角对时间的一阶导数。 角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表 明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减 小，刚体作顺时针转动。 角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚 体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速 n之间的换算关系为 2 nπ nπ 60 30 目录
第六章 刚体的运动\刚体的平行移动
【例6.1】 曲柄滑杆机构如图所示，当曲柄OA绕定轴O转动时， 通过滑杆槽中的滑块A带动滑杆在水平滑道中往复移动。若曲柄OA 长为r，曲柄与x轴正向的夹角=t（其中 为常数），求滑杆运动 的速度和加速度。
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第六章 刚体的运动\刚体的平行移动 【解】 滑杆的运动显然是直线平移， 现选滑杆上滑杆槽的中点M来代表整个 滑杆的运动，在图示直角坐标系Oxy中， M点在任意瞬时的位置坐标为 x M r cos r cos t
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第六章 刚体的运动\刚体的平行移动
下面研究刚体平移时其上各点的轨迹、速度和加速度之间的关 系。 z A1 A2 A3 在平移刚体上任选一条直线AB，其 A 上A、B两点的轨迹及AB在不同瞬时t1、t2、 B1 B2 B3 B t3…的位置A1B1、A2B2,、A3B3、…如图所 O 示。由刚体及刚体平移的定义知，这些 y 线段都彼此平行且等长, 故四边形 x A1B1B2A2、 A2B2B3A3、…均为平行四边形 。显然，将折线A1A2A3… 沿AB方向移动AB一段距离后，便可与折线B1B2B3…逐点重合。当t1、 t2、t3、…无限接近时，折线A1A2A3…的极限就是A点的轨迹，而折 线B1B2B3…的极限就是B点的轨迹。由此可知，平移刚体上任意两 点的 的形状都相同，且彼此平行。
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
t 0 t 0
t
dt
dt
上式表明，刚体定轴转动的角加速度等于角速度对时间的一阶导数， 或等于转角对时间的二阶导数。
角加速度是代数量，当为正时，的代数值随时间增大；反之， 则减小。当 与同号时，角速度的绝对值随时间增大，刚体加速 转动；当与异号时，角速度的绝对值随时间减小，刚体减速转动。 角加速度的单位是rad/s2。 目录
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2.3 角加速度
角加速度是反映刚体转动时角速度变化快慢的物理量。设在瞬时t 刚体的角速度为，经时间间隔t ，角速度改变了 ， /t*称 为刚体在t时间间隔内的平均角加速度，当t 趋于零时，即得刚体 在t瞬时的角加速度为 d d 2 lim * lim 2
上两式表明，在任一瞬时A、B两点的速度相同，加速度也相同。 由于A、B两点是平移刚体上的任意两点，故可得结论：刚体平 移时其上各点的轨迹形状完全相同且互相平行，在同一瞬时各点的 速度和加速度都相同。 根据上述结论，刚体的平移可以用刚体内任意一点的运动来代 替。这样，刚体的平移问题就归结为上一章中已经研究过的点的运 动问题。 目录
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第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位 置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时 间t的单值连续函数，即 (t ) 上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
yM = 0
这就是M点的运动方程。M点沿x轴作直线运动，其速度和加速度分 别为 dxM vM vMx r sin t dt dv aM aMx Mx r 2 cos t dt 这也就是所求平移滑杆的速度和加速度。当其为正时，指向x轴正 向，为负时，指向x轴负向。 目录
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第六章 刚体的运动\刚体的平行移动 平移刚体上A、B两点的位置可用 矢量rA,、rB表示，且有
rA rB rBA
z
vA A1 A2 A 3
将上式两边对时间t求一阶和二阶导数， 注意到矢量rBA的大小和方向始终不变， 是常矢量，得 v A vB a A aB
rA O
x
A r vB AB B1 B2 B3 B aA rB aB y
第六章 刚体的运动\刚体的平行移动
6.1 刚体的平行移动
刚体在运动过程中如果其上任一直线始终与其原来的位置保持 平行，则刚体的这种运动称为平行移动，简称平移。例如，车厢在 直线轨道上的运动，摆动式送料机上送料槽的运动等都是平移的实 例。其中车厢上各点的运动轨迹是直线，刚体的这种平移称为直线 平移，送料槽及平行连杆上各点的运动轨迹是曲线，称为曲线平移。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。 目录
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2.2 角速度
角速度是反映刚体转动快慢的物理量。设在瞬t刚体的转角为， 经时间间隔 t，转角变为 + ， 称为角位移。 / t *称 为刚体在t 时间间隔内的平均角速度，当t 趋于零时，即得刚体在 t瞬时的角速度为 d * lim lim
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2 刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。 刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
t 0 t 0
t
dt
上式表明, 刚体定轴转动的角速度等于转角对时间的一阶导数。 角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表 明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减 小，刚体作顺时针转动。 角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚 体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速 n之间的换算关系为 2 nπ nπ 60 30 目录
第六章 刚体的运动\刚体的平行移动
【例6.1】 曲柄滑杆机构如图所示，当曲柄OA绕定轴O转动时， 通过滑杆槽中的滑块A带动滑杆在水平滑道中往复移动。若曲柄OA 长为r，曲柄与x轴正向的夹角=t（其中 为常数），求滑杆运动 的速度和加速度。
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第六章 刚体的运动\刚体的平行移动 【解】 滑杆的运动显然是直线平移， 现选滑杆上滑杆槽的中点M来代表整个 滑杆的运动，在图示直角坐标系Oxy中， M点在任意瞬时的位置坐标为 x M r cos r cos t
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第六章 刚体的运动\刚体的平行移动
下面研究刚体平移时其上各点的轨迹、速度和加速度之间的关 系。 z A1 A2 A3 在平移刚体上任选一条直线AB，其 A 上A、B两点的轨迹及AB在不同瞬时t1、t2、 B1 B2 B3 B t3…的位置A1B1、A2B2,、A3B3、…如图所 O 示。由刚体及刚体平移的定义知，这些 y 线段都彼此平行且等长, 故四边形 x A1B1B2A2、 A2B2B3A3、…均为平行四边形 。显然，将折线A1A2A3… 沿AB方向移动AB一段距离后，便可与折线B1B2B3…逐点重合。当t1、 t2、t3、…无限接近时，折线A1A2A3…的极限就是A点的轨迹，而折 线B1B2B3…的极限就是B点的轨迹。由此可知，平移刚体上任意两 点的 的形状都相同，且彼此平行。
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
t 0 t 0
t
dt
dt
上式表明，刚体定轴转动的角加速度等于角速度对时间的一阶导数， 或等于转角对时间的二阶导数。
角加速度是代数量，当为正时，的代数值随时间增大；反之， 则减小。当 与同号时，角速度的绝对值随时间增大，刚体加速 转动；当与异号时，角速度的绝对值随时间减小，刚体减速转动。 角加速度的单位是rad/s2。 目录
第六章 刚体的运动\刚体的定轴转动
6.2.3 角加速度
角加速度是反映刚体转动时角速度变化快慢的物理量。设在瞬时t 刚体的角速度为，经时间间隔t ，角速度改变了 ， /t*称 为刚体在t时间间隔内的平均角加速度，当t 趋于零时，即得刚体 在t瞬时的角加速度为 d d 2 lim * lim 2
上两式表明，在任一瞬时A、B两点的速度相同，加速度也相同。 由于A、B两点是平移刚体上的任意两点，故可得结论：刚体平 移时其上各点的轨迹形状完全相同且互相平行，在同一瞬时各点的 速度和加速度都相同。 根据上述结论，刚体的平移可以用刚体内任意一点的运动来代 替。这样，刚体的平移问题就归结为上一章中已经研究过的点的运 动问题。 目录