平面向量基本定理和向量坐标运算
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AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B|的最小值为__5__.
【解析】解法一：以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平 面直角坐标系，设 DC＝a，DP＝x.
∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)， B(1，a)，P(0，x)， P→A＝(2，－x)，P→B＝(1，a－x)， ∴P→A＋3P→B＝(5,3a－4x)， |P→A＋3P→B|2＝25＋(3a－4x)2≥25， ∴|P→A＋3P→B|的最小值为 5.
解法二：设D→P＝xD→C(0≤x≤1)，∴P→C＝(1－x)D→C， P→A＝D→A－D→P＝D→A－xD→C， P→B＝P→C＋C→B＝(1－x)D→C＋12D→A， ∴P→A＋3P→B＝52D→A＋(3－4x)D→C，|P→A＋3P→B|2＝245D→A2 ＋2×52×(3－4x)D→A·D→C＋(3－4x)2·D→C2＝25＋(3－4x)2·D→C 2≥25， ∴|P→A＋3P→B|的最小值为 5.
【点评】选择一组基底表示平面内的所有向量，这 是化归的思想，可给解题带来很多方便．
(3)设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)． 则 ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)， 所以 f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， 又 mf(a)＋nf(b) ＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1) ＝(ma2,2ma2－ma1)＋(nb2,2nb2－nb1) ＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1) ＝f(ma＋nb)．
平面向量基本定量是向量正交分解的依据，是向量坐标运 算的基础，理解了该定理就能很好地掌握平面向量的各种知识．
(2)向量的正交分解． 如果基底的两个基向量 e1、e2 互相垂直，则称这个基底
为 正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解．事实
上向量的正交分解就是把一个向量分解为两个互相垂直的向
量．
3．向量的坐标运算
A．0
B．1
C．5
D．10
【解析】建立平面直角坐标系，设 Ai(xi，yi)， i＝1,2,3,4,5
M(x，y)，则 x＝∑ i＝551xi，y＝∑ i＝551yi，故这样的点 M
只有一个．
【点评】解决向量问题常用的方法有：几何法、 代数法，选择合适的方法解题，如本题用代数方 法比几何法优越．
(2011 天津)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，
＝(1,2)下的坐标为 (0,2) ．
【知识要点】 1．平面向量的基本定理． (1)如果 e1 和 e2 是一个平面内的两个不平行的向量，那么对
于该平面内的任一向量 a，存在 惟一 的一对实数 λ1、λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线向量 e1、e2 叫做向量 a 关于基底{e1， e2}的分解．
联立①②解得xy＝ ＝－3 6 或xy＝ ＝2－1 .
【点评】在(1)的解答中，为了将的坐标表示出来， 用到了性质：a1，a2，…，an是首尾相连的向量，则 a1＋a2＋…＋an＝0.
(2)证明：E→M＝(17－p)a＋37b，E→F＝－pa＋qb， ∵E→F与E→M共线， ∴17－－pp＝37q，17q－pq＝－37p，即71p＋73q＝1.
(则1)若a＋ab＝＝(x(1x，1＋y1x)，2，b＝y1＋(x2y，2)y．2)，
即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和．
(则2)若a－ab＝＝((xx1，1－y1x)2，，by＝1－(xy2，2) y．2)．
即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1．)
第28讲 平面向量的基本定理和 向量的坐标运算
【学习目标】
(1)了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的 正交分解及其坐标表示；
(2)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理 解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件．
【基础检测】
1．若向量 a 的起点坐标为(3,1)，终点坐标
为(－1，－3)，则向量 a 的坐标为( C )
【点评】本例是新定义题型，分析求解的关键是阅 读理解“新定义”即“向量函数”，领会“向量函 数”对应下坐标的转换法则，并应用该法则解决相 关问题．
〔备选题〕例 5 设 A1，A2，A3，A4，A5 是平面坐
标系中给定的 5 个不同的点，则使M→A1＋M→A2＋M→A3＋
M→A4＋M→A5＝0 成立的点 M 的个数为( B )
【解析】设点 P(x，y)，由 MP ＝12 MN 得
(x－3，y＋2)＝12(－8,1)，
从而xy－＋32＝＝－12 4 ，求得xy＝＝－－132 ，故选 A.
3．已知 a＝(4,5)，b＝(8，y)，且 a∥b，
则 y 等于( B )
A．5
B．10
32 C. 5
D．15
4．若 α，β 是一组基底，向量 γ＝x·α＋y·β(x， y∈R)，则称(x，y)为向量 γ 在基底 α，β 下的坐标， 现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的 坐标为(－2,2)，则 a 在另一组基底 m＝(－1,1)，n
A．(3,1)
B．(－1，－3)
C．(－4，－4)
Baidu Nhomakorabea
D．(4,4)
【解析】a＝(－1－3，－3－1)＝(－4，－4)， 故选 C.
2．已知点 M(3，－2)，N(－5，－1)，点 P
满足 MP ＝12 MN ，则点 P 的坐标是( A )
A．(－1，－32)
B．(1，32)
C．(32，1)
D．(－32，－1)
【解析】(1)∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， 即(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝A→D， ∴A→D＝(4＋x，y－2)， 又B→C∥D→A， ∴x(y－2)－y(4＋x)＝0⇒x＋2y＝0.① (2)由A→C＝A→D＋D→C＝(6＋x，y＋1)， B→D＝B→A＋A→D＝(x－2，y－3)． 又A→C⊥B→D， ∴(x－2)(x＋6)＋(y－3)(y＋1)＝0， ∴x2＋y2＋4x－2y－15＝0，②
即一个向量的坐标，等于表示此向量的有向线段的终点
坐标减去始点坐标．
(4)若 a＝(x1，y1)，λ∈R，则 λa＝(λx1，λy1) ．
即向量数乘积的坐标，等于数乘以向量的相应坐标．
4．两向量平行和垂直的坐标表示 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－y1x2＝0. (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
【解析】解法一：以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平 面直角坐标系，设 DC＝a，DP＝x.
∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)， B(1，a)，P(0，x)， P→A＝(2，－x)，P→B＝(1，a－x)， ∴P→A＋3P→B＝(5,3a－4x)， |P→A＋3P→B|2＝25＋(3a－4x)2≥25， ∴|P→A＋3P→B|的最小值为 5.
解法二：设D→P＝xD→C(0≤x≤1)，∴P→C＝(1－x)D→C， P→A＝D→A－D→P＝D→A－xD→C， P→B＝P→C＋C→B＝(1－x)D→C＋12D→A， ∴P→A＋3P→B＝52D→A＋(3－4x)D→C，|P→A＋3P→B|2＝245D→A2 ＋2×52×(3－4x)D→A·D→C＋(3－4x)2·D→C2＝25＋(3－4x)2·D→C 2≥25， ∴|P→A＋3P→B|的最小值为 5.
【点评】选择一组基底表示平面内的所有向量，这 是化归的思想，可给解题带来很多方便．
(3)设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)． 则 ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)， 所以 f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， 又 mf(a)＋nf(b) ＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1) ＝(ma2,2ma2－ma1)＋(nb2,2nb2－nb1) ＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1) ＝f(ma＋nb)．
平面向量基本定量是向量正交分解的依据，是向量坐标运 算的基础，理解了该定理就能很好地掌握平面向量的各种知识．
(2)向量的正交分解． 如果基底的两个基向量 e1、e2 互相垂直，则称这个基底
为 正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解．事实
上向量的正交分解就是把一个向量分解为两个互相垂直的向
量．
3．向量的坐标运算
A．0
B．1
C．5
D．10
【解析】建立平面直角坐标系，设 Ai(xi，yi)， i＝1,2,3,4,5
M(x，y)，则 x＝∑ i＝551xi，y＝∑ i＝551yi，故这样的点 M
只有一个．
【点评】解决向量问题常用的方法有：几何法、 代数法，选择合适的方法解题，如本题用代数方 法比几何法优越．
(2011 天津)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，
＝(1,2)下的坐标为 (0,2) ．
【知识要点】 1．平面向量的基本定理． (1)如果 e1 和 e2 是一个平面内的两个不平行的向量，那么对
于该平面内的任一向量 a，存在 惟一 的一对实数 λ1、λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线向量 e1、e2 叫做向量 a 关于基底{e1， e2}的分解．
联立①②解得xy＝ ＝－3 6 或xy＝ ＝2－1 .
【点评】在(1)的解答中，为了将的坐标表示出来， 用到了性质：a1，a2，…，an是首尾相连的向量，则 a1＋a2＋…＋an＝0.
(2)证明：E→M＝(17－p)a＋37b，E→F＝－pa＋qb， ∵E→F与E→M共线， ∴17－－pp＝37q，17q－pq＝－37p，即71p＋73q＝1.
(则1)若a＋ab＝＝(x(1x，1＋y1x)，2，b＝y1＋(x2y，2)y．2)，
即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和．
(则2)若a－ab＝＝((xx1，1－y1x)2，，by＝1－(xy2，2) y．2)．
即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1．)
第28讲 平面向量的基本定理和 向量的坐标运算
【学习目标】
(1)了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的 正交分解及其坐标表示；
(2)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理 解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件．
【基础检测】
1．若向量 a 的起点坐标为(3,1)，终点坐标
为(－1，－3)，则向量 a 的坐标为( C )
【点评】本例是新定义题型，分析求解的关键是阅 读理解“新定义”即“向量函数”，领会“向量函 数”对应下坐标的转换法则，并应用该法则解决相 关问题．
〔备选题〕例 5 设 A1，A2，A3，A4，A5 是平面坐
标系中给定的 5 个不同的点，则使M→A1＋M→A2＋M→A3＋
M→A4＋M→A5＝0 成立的点 M 的个数为( B )
【解析】设点 P(x，y)，由 MP ＝12 MN 得
(x－3，y＋2)＝12(－8,1)，
从而xy－＋32＝＝－12 4 ，求得xy＝＝－－132 ，故选 A.
3．已知 a＝(4,5)，b＝(8，y)，且 a∥b，
则 y 等于( B )
A．5
B．10
32 C. 5
D．15
4．若 α，β 是一组基底，向量 γ＝x·α＋y·β(x， y∈R)，则称(x，y)为向量 γ 在基底 α，β 下的坐标， 现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的 坐标为(－2,2)，则 a 在另一组基底 m＝(－1,1)，n
A．(3,1)
B．(－1，－3)
C．(－4，－4)
Baidu Nhomakorabea
D．(4,4)
【解析】a＝(－1－3，－3－1)＝(－4，－4)， 故选 C.
2．已知点 M(3，－2)，N(－5，－1)，点 P
满足 MP ＝12 MN ，则点 P 的坐标是( A )
A．(－1，－32)
B．(1，32)
C．(32，1)
D．(－32，－1)
【解析】(1)∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， 即(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝A→D， ∴A→D＝(4＋x，y－2)， 又B→C∥D→A， ∴x(y－2)－y(4＋x)＝0⇒x＋2y＝0.① (2)由A→C＝A→D＋D→C＝(6＋x，y＋1)， B→D＝B→A＋A→D＝(x－2，y－3)． 又A→C⊥B→D， ∴(x－2)(x＋6)＋(y－3)(y＋1)＝0， ∴x2＋y2＋4x－2y－15＝0，②
即一个向量的坐标，等于表示此向量的有向线段的终点
坐标减去始点坐标．
(4)若 a＝(x1，y1)，λ∈R，则 λa＝(λx1，λy1) ．
即向量数乘积的坐标，等于数乘以向量的相应坐标．
4．两向量平行和垂直的坐标表示 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－y1x2＝0. (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.