有关一次函数和二次函数相交的问题
九年级数学上册专题突破19二次函数和反比例函数解密二次函数与一次函数的交点问题新
解密二次函数与一次函数的交点问题1. 知识载体ymxnmnm≠0）+ （1（）一次函数解析式:为常数且=、2acabyaxbxc :,=为常数且+,+≠0）（（2）二次函数解析式解题思想2.数形结合（把交点问题转化为方程问题求解）解题方法3.求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组y?mx?n?，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数：?2y?ax?bx?c??一次函数与二次函数有两个交点；0 （1）△＞?二次函数与一次函数有一个交点；）△=0 （2?二次函数与一次函数没有交点。
0 （3）△＜注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。
2?2xx?1y?y?x?n，分析两图象的交点个数。
抛物线解析式为：，直线解析式为：例22AxABxymxm在轴交于例题1 （历下区二模）已知二次函数的图象与=﹣2两点（点+、﹣422xyDmxmxmBy轴下方的部分的图象在=﹣1时，将函数=﹣﹣点2的左边），且与轴交于点4。
当+QQx有两个公共与图象沿图象的其余部分保持不变，轴翻折，得到一个新的图象当直线。
b点时，求实数的取值范围。
22mxxxymxmm=0得﹣2+2+，解得﹣4=0==，﹣2，令答案：212mDBAmm ﹣4，，0））（0，∴（2﹣，0），（+2，2BAymxx，﹣0，则﹣3，（﹣30），（1，），顶点为（﹣14）时，﹣当=1=+21x??by Q有两个公共点，因为直线与图象213x?y?bb?A，则当直线点时过22 111x?bb?y?B，，0当直线过）时，（122731?bx?by?2xxy只有一个公共点时，﹣2，与+3当直线=﹣1627331bb根据图象，可得﹣＞＜。
＜或2216Q抛折后直线与翻键题的关，还要注意的点拨：弄清直线与图象的交点个数情况是解法。
b的求切物线相时，2BaxybxA，0），）两点。
二次函数与一次函数交点问题
二次函数与一次函数交点问题1. 一次函数（直线）：情况一：一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 为定值时，通过平移去讨论产生的交点问题． 如：b x y +=2是与x y 2=平行的一组直线。
情况二：当一次函数)0(≠+=k b kx y 中，b 为定值时，此时一次函数过定点(0,b)，可以通过旋转的方式， 从而讨论交点个数问题．如：3+=kx y 是过定点），（30的直线； k kx y +=是过定点），（31-的直线。
2. 一次函数与二次函数交点问题情况一：一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠产生交点，求交点坐标方法。
联立二次函数与一次函数的解析式⎩⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2=-++=n c x ax y ，解此一元二次方程即可。
例：一次函数1+=x y 与二次函数322--=x x y 交于A 、B 两点，求交点坐标。
解：联立⎩⎨⎧=+=3-2-12x x y x y 整理得：1322+=--x x x即：0432=--x x ∴.1421-==x x ；∴.0521==y y ；∴A （4,5）、B （-1,0）情况二：当n 为何值时，一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠只有一个交点？有两个交点？无交点？联立二次函数与一次函数的解析式⎩⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2=-++=n c x ax y ，∵ 二次函数c x ax y ++=b 2与一次函数n kx y +=只有一个交点，两个交点，无交点， ∴ 令0=∆，0>∆，0<∆，即可求得n 的值或范围.例：一次函数n x y +=与二次函数322--=x x y 只有一个交点，求n 的值。
解：联立⎩⎨⎧=+=3-2-2x x y n x y 整理得：n x x x +=--322即：0-332=--n x x令0=∆，即0-3-4-9=）（n ∴421-=n。
一次函数与二次函数相交引出的问题
一次函数与二次函数相交引出的问题
郭奕津
【期刊名称】《初中数语外辅导》
【年(卷),期】2000(000)001
【摘要】中考数学的最后一、两道题一般都是考查代数、几何中多个知识点综合运用能力的试题，考生们常常不知从何下手，丢分较多。
本期起，我刊特别开辟此栏目，精选全国各地中考压轴试题进行精析、精解，帮助你闽过难关，决胜中考!【总页数】2页(P25-26)
【作者】郭奕津
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.一次函数和二次函数中的“恒成立问题”
2.关于一次函数和二次函数迭代的一些问题
3.一次函数与反比例函数相交问题的再探究
4.精选问题引出新知,明辨重点突破难点——以二次函数单元起始课为例
5.探讨一次函数和二次函数中恒成立问题
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中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数综合1．如图，在直角坐标平面内，直线y=－x+5与轴和轴分别交于A、B两点，二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求sin∠OCA的值；（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且ABP的面积为10，求点P的坐标．2．如图，已知二次函数y＝12x2－x－32的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求线段EF的最大值．3．如图二次函数的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y 轴于点C．（1）试确定、的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求∠MBC的面积．4．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min{﹣3，2}＝，min{﹣1，﹣2}＝；（2）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；（3）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值.5．已知，二次三项式﹣x2+2x+3.（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围.6．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，且二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.（1）求A，B两点的坐标.（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.7．小明根据华师版八年级下册教材P37学习内容，对函数y= 12x2的图象和性质进行了探究，试将如下尚不完整的过程补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣4n﹣2﹣101234…y…8 4.520.500.52 4.58…；（2）如图，在平面直角三角形坐标系xOy中，已描出了以上表中的部分数值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的大致图象．（3）根据画出的函数图象，小明观察发现：该函数有最小值，没有最大值；当函数值取最小时，自变量x的值为．（4）进一步探究函数的图象发现：①若点A（x a，y a），点B（x b，y b）在函数y= 12x2的图象上；当x a＜x b＜0时，y a与y b的大小关系是；当0＜x a＜x b时，y a与y b的大小关系是；②直线y1恰好经过函数的图象上的点（﹣2，2）与（1，0.5）；当y＜y1时，x的取值范围是．8．如图所示，将抛物线y＝12x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．（1）直接写出新抛物线的解析式为；（2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE∠CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：①求点E的坐标；②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．9．某超市准备销售一种儿童玩具，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该儿童玩具每件的利润不允许高于进货价的60%．设销售这种儿童玩具每月的总利润为w（元），那么每件售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？10．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG∠AB于点G．求出∠PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得∠ABM与∠ABD 的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2.（1）求抛物线的函数关系式；（2）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.13．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C （0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM∠BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若∠BCD和∠ABC面积满足S∠BCD= 35S∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒5 3个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．14．如图，二次函数y=-x²-2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y 轴于点C。
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合1．如图，二次函数y＝- 34x2+94x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB=6，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x 轴于点B，求△ABC的面积。
5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。
（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。
（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由。
6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax 2交于A ，B 两点，点A 坐标为(1，1)。
（1）水抛物线的函数表达式：（2）连结OA ，OB ，求△AOB 的面积。
7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P(1，-1)，且过Q(5，3)。
一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x与抛物线y=-x2交于A、B两点.21 (2)记一次函数y=x的函数值为y i,二次函数y=^x2 若y i>y2,求x的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y (x-2) 2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B.(1) 求一次函数与二次函数的解析式；(2) 根据图象，写出满足kx+b>(x-2) 2+m的x的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D. (1)求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1, 0), B (3, 0), C (0, -3), 一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点.(1)求一次函数和二次函数的解析式.(2) 当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大?(3) 当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值.(4) 当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0.类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题1如图，一次函数y=x- 1与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，已知二次函数图2象的对称轴为x=1，并与y轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC,求三角形ABC的面积. 瑞练习1：如图，A (-1，0)、B (2，-3)两点在一次函数y i=-x+m与二次函数y2=a«+bx-3的图象上.(1 )求m的值和二次函数的解析式.(2) 二次函数交y轴于。
一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x 与抛物线y=_x 2交于A 、B 两点.21(1) 求交点A 、B 的坐标；(2)记一次函数y=x 的函数值为y i ，二次函数y= — x 2的函数值为y ?2若y i > y 2,求x 的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小 如图，二次函数y= (x-2 ) 2+m 的图象与y 轴交于点C,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B .(1) 求一次函数与二次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足 kx+b >( x-2 ) 2+m 的x 的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与 x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点 一次函数的图象过点 B 、D . (1 )求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式； 函数值的x 的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1，0)，函数图象交于B 、C 两点.(1) 求一次函数和二次函数的解析式. (2)当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？(3) 当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值. (4)当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0.3： 一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于 A( m, 5)和B (3, n )两点，且点B 是抛物线的顶点. (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)在同一坐标系中画岀两个函数的图象;(3)从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随 x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值?类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
1如图，一次函数y=x- 与x 轴交点A 恰好是二次函数与 x 的其中一个交点，已知2二次函数图象的对称轴为 x=1，并与y 轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解 析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为 C 点，连接BC ，求三角形ABC的面积.(1)求m 的值和二次函数的解析式.(2)二次函数交y 轴于。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知直线y=kx+2过一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2−2x+3的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个2．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞43．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（）A．−2＜n＜18B．−3＜n＜−74C．−3＜n＜−2D．−3＜n＜−1584．已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是()A．1＜x＜2B．x＜或x＞1C．＜x＜2D．-1＜x＜25．若min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，当y=min{x2,x+2,8−x}时(x≥0)，则y的最大值是（）A．4B．5C．6D．7 6．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y= x2−x+c（c为常数）在−2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．−2<c<14B．−4<c<94C．−4<c<14D．−10<c<947．二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=kx−9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1<y2，则x的取值范围是（）A．2<x<3B．x>2C．x<3D．x<2或x>38．将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时b的值为（）A．−214或−3B．−134或−3C．214或−3D．134或−39．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=12x2+bx+c的顶点，则方程12x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或210．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时P、Q同时停止移动。
一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
练习1：如图，A （-1，0）、B （2，-3）两点在一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象上．（1）求m 的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y 轴于C ，求△ABC 的面积．变式：已知一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象交于两点A （-1，0）、B （2，-3），且二次函数与y 轴交于点C ，P 为抛物线顶点．求△ABP 的面积．练习2：如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21x 2+bx+c 的图象与一次函数y=21x+1的图象交于B ，C 两点，与x 轴交于D ，E 两点，且D 点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；1.附加题：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点A （3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MN ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．,2.如图，过y 轴上点A 的一次函数与反比例函数相交于B 、D 两点，B （﹣2，3），BC ⊥x 轴于C ，四边形OABC 面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）当x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）3.如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．4.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．。
(完整版)一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=21x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=21x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
中考专题复习7：一次函数与二次函数相交问题
中考专题复习7：一次函数与二次函数相交问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小
如图，已知直线y=x 与抛物线y=2
1x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；
（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=2
1x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．
类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小 如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．
A B C O x y
练习：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B （3，0），C（0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．
（1）求一次函数和二次函数的解析式．
（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？
（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．
（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．。
(完整版)二次函数交点问题,解析式,应用
二次函数的交点问题巧解方法：1、二次函数与x 轴、y 轴的交点：分别令y=0,x=0；2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点：联立两个函数表达式，解方程.例1、如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．例2、已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积例3、.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
例4、已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．训练题1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过 象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是 ．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ．8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ．9．抛物线y=x 2－2x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是 ．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则的值是（）A ．－3B ．3C ．D ．－12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－＜1B ．0＜－＜2C ．1＜－＜2D ．－=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？a b a ca cbc b a +++++2121a b 2a b 2a b 2a b2函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的关系一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数类型，在数学中起到了重要的作用。
它们之间存在着密切的联系和关系。
本文将就一次函数与二次函数的关系展开讨论。
一、定义和特点1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的图像呈现线性关系，随着x的变化，y的值也会按一定比例的变化。
2. 二次函数：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
二次函数的图像一般呈现非线性关系，具有曲线的特点。
二、图像关系一次函数和二次函数的图像具有不同的形态，但它们之间存在着一些关系。
1. 平移关系：一次函数和二次函数可以通过平移来相互转换。
通过对一次函数的图像进行水平、垂直方向的平移，可以得到二次函数的图像，反之亦然。
这种平移关系体现了一次函数和二次函数之间的相似性和联系。
2. 变换关系：一次函数和二次函数的图像在作一些变换时也存在关系。
例如，通过改变二次函数的二次项系数a的大小和正负可以改变抛物线的开口方向，使其与直线的趋势更接近，从而与一次函数的图像相似。
三、求解方法1. 交点求解：一次函数和二次函数的图像在某些情况下会相交，求解它们的交点有着重要的意义。
通过联立一次函数和二次函数的表达式，可以得到方程 ax + b = cx^2 + dx + f。
通过解这个方程，可以求得一次函数和二次函数的交点坐标，进而研究它们之间的关系。
2. 最值求解：一次函数和二次函数都有其定义域范围内的最值。
通过求解一次函数的最值和二次函数的最值，比较它们的大小关系，可以进一步研究二者之间的关系。
四、应用场景1. 经济学：一次函数和二次函数可以用来描述经济学中的一些现象。
例如，成本函数和收入函数可以分别为一次函数和二次函数，通过研究它们之间的关系，可以得到经济学中的重要结论，如均衡价格、利润最大化等。
一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习及答案
一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习1.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0（m ＞1）。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
2.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C 。
（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式。
3.已知关于x 的方程mx 2+（3m +1）x +3=0（m ≠0）。
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y =mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
4.已知一次函数1y kx b=+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）。
二次函数与一次函数结合问题
二次函数与一次函数相结合的专题一、知识点1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）①一般式法：设二次函数为)0(2≠++=a c bx ax y 利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们二次函数经过几个点的坐标，到底需要几个点的坐标就能求出解析式呢就看c b a ,,不知道几个，3个系数都不知道就需要3个点的坐标，2个系数不知道就需要2个点的坐标，1个系数都不知道就需要1个点的坐标。
把坐标带入函数，然后求解方程组得到系数，就可以得到解析式；例：已知二次函数),,(2均为常数c b a c bx ax y ++=的图象经过三点A （2,0），B （0，-6），C （1，-2），求这个二次函数的解析式；解：把A （2,0），B （0，-6），C （1，-2）代入c bx ax y ++=2，得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==++65126024c b a c b a c c b a 所以二次函数的解析式为：652-+-=x x y②顶点式法：设二次函数为)0()(2≠+-=a k h x a y￥利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们一个条件就是对称轴和顶点坐标，因为在所设的函数中，对称轴就是x=h ，所以顶点坐标是（h,k ）。
只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了h 和k 两个未知数（a,h,k ）的值，需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a ，即求出了解析式；例：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数经过点A （），求这个二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数为5)1(2+-=x a y ，又因为函数经过点A （0,7），把A （0,7）代入函数得 2,75)10(2=∴=+-a a所以二次函数的解析式为：742,5)1(222+-=+-=x x y x y 即③交点式法：设二次函数为)0)()((21≠--=a x x x x a y利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们某二次函数与x 轴的两个交点的坐标，所以只需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a ，即求出了解析式；例、已知某二次函数的图象与x 轴相交于两点A （3,0）和B （5,0），且该二次函数经过点C （6,6），求该二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数的解析式为)5)(3(--=x x a y。
一次函数与二次函数图像的交点问题
A
B
(3)已知点P(m,0)是x轴上的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线交(2) 中的二次函数图象于点M,交一次函数y=px+q的图象于点N.若只有当 1<m<5时,点M位于点N的下方,求一次函数y=px+q 的解析式．
C A
解：依题意并结合图象可知，一次函数的图
象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
解：∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3）， ∴m+4=3．∴m=-1． ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3． ∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B,C， ∴令y=0，即-x2+2x+3=0 ． 解得x1=-1，x2=3． 又∵点B在点C左侧， ∴点B的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(3,0)．
一次函数与二次函数 图像的交点问题
高级教师 萧老师
核心考点 考纲要求 考试题型 中考分值 考查频率
会根据二次
点在函数图 函数解析式
象上的意义； 求其图象与
一次函数、 坐标轴的交
二次函数、 点坐标；会 解答题
4-7分 ★ ★ ★ ★ ★
一元二次方 利用二次函
程
数的图象求
一元二次方
程的近似解.
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初四数学《有关一次函数和二次函数相交的问题》
主备人：钱宝玉 审核：刘丽苹 崔 斌
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=
2
1
x 2
交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=2
1
x 2
的函数值为y 2
． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．
类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小
如图，二次函数y=（x-2）2
+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2
+m 的x 的取值范围．
练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．
练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．
（1）求一次函数和二次函数的解析式．
（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．
A
B
C O
x
y
练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．
（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？
类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
如图，一次函数y=x-
2
1
与x 轴交点A 恰好是二次函数与x 的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为x=1，并与y 轴的交点为（0，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C 点，连接BC ，求三角形ABC 的面积．
练习1：如图，A （-1，0）、B （2，-3）两点在一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2
+bx-3的图象上． （1）求m 的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y 轴于C ，求△ABC 的面积．
变式：已知一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2
+bx-3的图象交于两点A （-1，0）、B （2，-3），且二次函数与y 轴交于点C ，P 为抛物线顶点．求△ABP 的面积．
练习2：如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21x 2
+bx+c 的图象与一次函数y=21
x+1的图
象交于B ，C 两点，与x 轴交于D ，E 两点，且D 点坐标为（1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；。