数学中的中国传统文化问题汇编
传统文化走进初中数学课堂的探究
传统文化走进初中数学课堂的探究一、传统文化在初中数学教学中的应用1. 等分问题中国古代就有“等分积问题”,即对于一些面积相等的矩形,如何切割使得每份面积相等。
在初中数学中可以利用传统文化中的《周髀算经》中的《五程尺》问题进行探讨。
学生可以尝试用尺子、直尺等工具将一条线段等分成5段,并找到这些线段长度的规律。
2. 数字推理传统文化中有许多数字谜语,如《算经》中的“九九归一”,《孙子算经》中的“百龙之首”,这些数字谜语可以引入初中数学的数字推理中。
学生可以通过推理解决这些数字谜题,让他们体会到中华民族独特的数字思维方式。
3. 量的转化中华传统文化中的八卦,包含着许多数量关系和量的转化,如“两仪”“五行”“八卦”。
这些概念可以运用到初中数学中的比例、百分数和化简分数等知识的学习中,通过比较、分类等方式,帮助学生理解量的转化和数量关系。
1. 增强文化自信心传统文化是一个民族的根,是其思想文化的重要组成部分。
将中华传统文化融入初中数学课堂,有助于学生加深对自己文化的认知和了解,提升文化自信心。
2. 增强学习兴趣传统文化是一种深厚的情感,能引起学生的共鸣和兴趣,如果融入初中数学教学中,不仅能让学生更好地理解数学知识,还能培养学生的情感与认知。
3. 丰富课堂内容传统文化自古以来就是人们探索世界的重要方式之一,如果将其融入初中数学教学中,能够为课堂带来新的亮点,使课堂内容更为完整、丰富。
4. 培养中华文化意识将中华传统文化融入初中数学教学中,有助于培养学生对中华文化的认知和意识,让他们在了解传统文化的同时,更好地了解中华民族的历史和文化底蕴。
高三数学传统文化
教育部考试中心要求“增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如,在数学中增加数学文化的内容”.因此,我们特别编写了此课时,将数学文化与数学知识相结合.考点一立体几何中的数学传统文化题[典例1]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体,它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图1,图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,当其主视图和左视图完全相同时,它的主视图和俯视图分别可能是()A.a,b B.a,cC.c,b D.b,d[解析]A[当主视图和左视图完全相同时,“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方,主视图为一个圆,俯视图为一个正方形,且两条对角线为实线,故选A.]“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一.本题取材于“牟合方盖”,通过加工改造,添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度.解题从识“图”到想“图”再到构“图”,考生要经历分析、判断的逻辑过程.另外,我国古代数学中的其他著名几何体,如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查.[跟踪训练1]《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2 000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底面圆周长约为( )A .1丈3尺B .5丈4尺C .9丈2尺D .48丈6尺解析:B [设圆柱底面圆半径为r 尺,高为h 尺,依题意,圆柱体积为V =πr 2h =2 000×1.62≈3×r 2×13.33,所以r 2≈81,即r ≈9,所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺=5丈4尺,则圆柱底面圆周长约为5丈4尺,故选B.]考点二 数列中的数学传统文化题[典例2] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )A .192里B .96里C .48里D .24里[解析] B [设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q =12,依题意有a 1⎝⎛⎭⎫1-1261-12= 378,解得a 1=192,则a 2=192×12= 96,即第二天走了96里,故选B.]与等差数列一样,我国古代数学涉及等比数列问题也有很多,因此,涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题,掌握等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式.[跟踪训练2]《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作.其中一个问题大意为:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同).若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为( )A .五寸B .二尺五寸C.三尺五寸D.一丈二尺五寸解析:B[设晷长为等差数列{a n},公差为d,a1=15,a13=135,则15+12d=135,解得d=10.∴a2=15+10=25,∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是2尺5寸.故选B.]考点三算法中的数学传统文化题[典例3]如图所示算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该算法框图,若输入的a,b分别为8,12,则输出的a=()A.4B.2C.0 D.14[解析]A[由算法框图输入的a=8,b=12,按算法框图所示依次执行,可得b=12-8=4,a=8;a=8-4=4,b=4,a=b,所以输出a=4.故选A.]《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想,开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路,这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合.本题算法框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法.[跟踪训练3](2019·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的算法框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,3.则输出v的值为()A. 15B. 16C. 47D. 48解析:D [执行算法框图:输入n =3,x =3,v =1,i =2,i ≥0,是 i ≥0,是, v =1×3+2=5,i =1; i ≥0,是, v =5×3+1=16,i =0; i ≥0,是, v =16×3+0=48,i =-1; i ≥0,否,输出v =48.]考点四 概率统计中的传统文化题[典例4] (2018·全国Ⅰ卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p 1,p 2,p 3,则( )A .p 1=p 2B .p 1=p 3C .p 2=p 3D .p 1=p 2+p 3[解析] A [法一:设直角三角形ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积为S 1=12bc ,区域Ⅱ的面积S 2=12π×⎝⎛⎭⎫c 22+12π×⎝⎛⎭⎫b 22-⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×⎝⎛⎭⎫a 222-12bc =18π(c 2+b 2-a 2)+12bc =12bc ,所以S 1=S 2,由几何概型的知识知p 1=p 2,故选A.法二:不妨设△ABC 为等腰直角三角形,AB =AC =2,则BC =22,所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积,为S 1=12×2×2=2,区域Ⅱ的面积S 2=π×12-⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×(2)22-2=2,区域Ⅲ的面积S 3=π×(2)22-2=π-2.根据几何概型的概率计算公式,得p 1=p 2=2π+2,p 3=π-2π+2,所以p 1≠p 3,p 2≠p 3,p 1≠p 2+p 3,故选A.]从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题,丰富了数学文化题的取材途径.试题插图的创新是本题的一个亮点,其一,增强了数学问题的生活化,使数学的应用更贴近考生的生活实际;其二,有利于考生分析问题和解决问题,这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果;其三,探索了数学试题插图的新形式,给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例.[跟踪训练4](理科)(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.118解析:C [不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法,这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对,所以所求概率p =3C 210=115,故选C.](文科)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日,中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币,直径22毫米, 面额100元.为了测算图中军旗部分的面积,现向硬币内随机投掷100粒芝麻,已知恰有30粒芝麻落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是( )A. 726π5mm 2 B. 363π10mm 2C.363π5mm 2 D.363π20mm 2 解析:B [利用古典概型近似几何概型可得,芝麻落在军旗内的概率为p =30100=310,设军旗的面积为S ,由题意可得:S π×112=310,∴S =310×π×112=36310π()mm 2,故选B.] 考点五 三角函数中的数学传统文化题[典例5] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图,会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为θ,那么tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4= ________ .[解析] 依题意得大、小正方形的边长分别是5,1,于是有5sin θ-5cos θ=1(0<θ<π2),即有sin θ-cos θ=15.从而(sin θ+cos θ)2=2-(sin θ-cos θ)2=4925,则sin θ+cos θ=75,因此sin θ=45,cos θ=35,tan θ=43,故tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4=tan θ+11-tan θ=-7. [答案] -71700多年前,赵爽绘制了极富创意的弦图,采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明.该题取材于第24届国际数学家大会会标,题干大气,设问自然,流露出丰富的文化内涵.既巧妙地考查了三角函数的相关知识,又丰富了弦图的内涵,如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等,小正方形和三角形紧紧簇拥在一起,表明各国数学家要密切合作交流,等等.[跟踪训练5](2019·沈阳监测)刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A. 334π B. 332π C.12πD. 14π解析:B [设圆的半径为R ,则圆的内接正六边形可以分解为6个全等的三角形,且每个三角形的边长为R ,据此可得,圆的面积为S 1=πR 2,其内接正六边形的面积为S 2=6×⎝⎛⎭⎫12×R 2×sin 60°=332R 2,利用几何概型计算公式可得:此点取自该圆内接正六边形的概率是p =S 2S 1=332π.故选B.]特色专题 数学文化[基础训练组]1.二十四节气(The 24 Solar Terms)是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令,是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的,每一个分别相应于地球在黄道上每运动15°所到达的一定位置。
各地高三数学文化题汇编
2017全国各地高三最新数学文化题1.我国古代着名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完. 这样,每日剩下的部分都是前一日的一半. 如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么剩下的部分所成的数列的通项公式为()A.12na n= B.12na n= C.12nna⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 2nna=解:C.2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=1/2(弦⨯矢+矢2).弧田(如图),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π,弦长等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为()A. 6平方米B. 9平方米C. 12平方米D. 15平方米3.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为()A.13B.14C.15D.16解:A.4.中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为()A.24里 B.12里 C.6里 D.3里解:C.5.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n,则a14+a15+a16+a17的值为()A.55 B.52 C.39 D.26解:B.6.吴敬《九章算法比类大全》中描述:远望巍巍塔七层,红灯向下成培增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯()A.5 B.4 C.3 D.2解:C.7.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为()A.13B.14C.15D.16解:A.8.公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值,这就是着名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n值为 (参考数据:3 1.732=,sin150.2588︒≈,sin7.50.1305︒≈)A.12 B.24 C.48 D.96解:B.9.远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满七进一,根据图示可知,孩子已经出生的天数是()A.336 B.510 C.1326 D.3603解:B.10.中国古代数学名着《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若 取3,其体积为(立方寸),则图中的x为()A. B. C. D.解:B.11.欧拉公式e ee=eeee+eeeee(i为虚数单位)是由瑞士着名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,2i e表示的复数在复平面中位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解:B.12.《九章算术》是我国古代的数学巨着,其卷第五“商功”有如下的问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。
数学中的中国传统文化问题汇编
数学中的中国传统文化一、算法问题1.用更相减损术求294和84的最大公约数时,需要做减法的次数为( )A.2 B.3C.4 D.5答案C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42),一共做了4次减法.2.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为( )A.4 B.2C.0 D.14答案B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.3.用辗转相除法求459和357的最大公约数,需要做除法的次数是( )A.1 B.2C.3 D.4答案C解析∵459÷357=1…102,357÷102=3…51,102÷51=2,∴459和357的最大公约数是51,需要做除法的次数是3.4.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,对于求一个n次多项式函数f n(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的具体函数值,运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和次乘法,而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法.对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以此算法极大地缩短了CPU运算时间,因此即使在今天该算法仍具有重要意义.运用秦九韶算法计算f(x)=+4x5-x4+3x3-5x当x=3时的值时,最先计算的是( )A.-5×3=-15B.×3+4=C.3×33-5×3=66D.×36+4×35=答案B解析f(x)=+4x5-x4+3x3-5x=((((+4)x-1)x+3)x+0)x-5)x,然后由内向外计算,最先计算的是×3+4=.5.若用秦九韶算法求多项式f(x)=4x5-x2+2当x=3时的值,则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A.4,2 B.5,3C.5,2 D.6,2答案C解析∵f(x)=((((4x)x)x-1)x)x+2,∴乘法要运算5次,加减法要运算2次.6.已知函数f(x)=6x6+5,当x=x0时,用秦九韶算法求f(x0)的值,需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.21,6,2 B.7,1,2C.0,1,2 D.0,6,1答案D解析∵f(x)=6x6+5,多项式的最高次项的次数是6,∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1,运算过程中不需要乘方运算.7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a 依次为2,2,5,x,n均为2,则输出的s等于( )A.7 B.12C.17 D.34答案C解析第一次运算,a=2,s=2,n=2,k=1,不满足k>n;第二次运算,a=2,s=2×2+2=6,k=2,不满足k>n;第三次运算,a=5,s=6×2+5=17,k=3,满足k>n,输出s=17,故选C.8.用秦九韶算法求多项式f(x)=x3-3x2+2x-11的值时,应把f(x)变形为( )A.x3-(3x+2)x-11 B.(x-3)x2+(2x-11)C.(x-1)(x-2)x-11 D.((x-3)x+2)x-11答案D解析f(x)=x3-3x2+2x-11=((x-3)x+2)x-119.用秦九韶算法求函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7当x=2的值时,v3的结果是( )A.4 B.10C.16 D.33答案C解析函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7=((((3x-2)x+2)x-4)x)x-7,当x=2时,v0=3,v1=3×2-2=4,v2=4×2+2=10,v3=10×2-4=16.10.用秦九韶算法求多项式f(x)=x6-5x5+6x4+x2++2的值,当x=-2时,v1的值为( )A.1 B.7C.-7 D.-5答案C解析∵f(x)=x6-5x5+6x4+x2++2=(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+x+2,∴v0=a6=1,v1=v0x+a5=1×(-2)-5=-7.11.利用秦九韶算法求多项式f(x)=-6x4+5x3+2x+6的值,当x=3时,v3的值为( )A.-486 B.-351C.-115 D.-339答案C解析f(x)=-6x4+5x3+2x+6=(((-6x+5)x+0)x+2)x+6,∴v0=a4=-6,v1=v0x+a3=-6×3+5=-13,v2=v1x+a2=-13×3+0=-39,v3=v2x+a1=-39×3+2=-115.12.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为4,3,则输出v的值为( )A.20 B.61C.183 D.548答案C解析由程序框图知,初始值:n=4,x=3,v=1,i=3,第一次循环:v=6,i=2;第二次循环:v=20,i=1;第三次循环:v=61,i=0;第四次循环:v=183,i=1.结束循环,输出当前v的值183.13.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”,当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生多少天?( ) A.1326B.510C.429D.336答案B解析由题意满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510.14.用秦九韶算法计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1,乘法运算次数为____________.加法运算次数为________.答案 5 5解析∵f(x)=((((5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1,∴乘法要运算5次,加法要运算5次15.若f(x)=x4+3x3+x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,需要乘法m次,加法n次,则m+n=________.答案6解析f(x)=x4+3x3+x+1=(((x+3)x)x+1)x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,乘法运算与加法运算的次数和等于6.16.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a,b,c,d∈N*),则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=…,若令<π<,则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________.答案17.我国古代数学名着《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x.这可以通过方程=x确定x=2,则1+=________.答案解析由题意,可令1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=(x=舍),故1+=.18.用辗转相除法求840与1764的最大公约数.答案1764=840×2+84,840=84×10+0,∴840与1764的最大公约数是84.19.用更相减损术求440与556的最大公约数.答案556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,∴440与556的最大公约数4.20.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.答案f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7,v1=7×3+6=27,v2=27×3+5=86,v3=86×3+4=262,v4=262×3+3=789,v5=789×3+2=2369,v6=2369×3+1=7108,v7=7108×3+0=21324,∴f(3)=21324,即当x=3时,函数值是21324.21.(1)用辗转相除法求840与1785的最大公约数;(2)用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x-4在x=2时的函数值.答案(1)1785=840×2+105,840=105×8+0,∴840与1785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下:f(x)=2x4+3x3+5x-4=x(2x3+3x2+5)-4=x[x(2x2+3x)+5]-4=x{x[x(2x+3)]+5}-4,故当x=2时,f(x)=2×{2×[2×(2×2+3)]+5}-4=62.22.(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数;(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4当x=3时的值.答案(1)779=247×3+38,247=38×6+19,38=19×2.故779与247的最大公约数是19;(2)把多项式改成如下形式:f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4=((((2x+4)x-2)x+8)x+7)x+4.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=3时的值:v0=2,v1=v0x+4=2×3+4=10,v2=v1x-2=10×3-2=28,v3=v2x+8=28×3+8=92,v4=v3x+7=92×3+7=283,v5=v4x+4=283×3+4=853.所以当x=3时,多项式f(x)的值是853.23.(1)用辗转相除法求228与1995的最大公约数;(2)用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+2x3-8x+5在x=2时的值.答案(1)1995=228×8+171,228=171×1+57,171=57×3,因此57是1995与228的最大公约数.(2)f(x)=3x5+2x3-8x+5=((((3x+0)x+2)x+0)x-8)x+5当x=2时,v0=3,v1=3×2=6,v2=6×2+2=14,v3=14×2=28,v4=28×2-8=48,v5=48×2+5=101,所以当x=2时,多项式的值是101.24.(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数;(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数.答案(1)∵168-72=96,96-72=24,72-24=48,48-24=24,故72和168的最大公约数是24.(2)∵280=2×98+84,98=1×84+14,84=6×14,故98和280的最大公约数是14.25.用秦九韶算法求函数f(x)=x5+x3+x2+x+1当x=3时的函数值.答案f(x)=x5+x3+x2+x+1=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,v0=1,v1=v0×3+0=3;v2=v1×3+1=10;v3=v2×3+1=31;v4=v3×3+1=94;v5=v4×3+1=283,即x=3时的函数值为283.二、数列问题1.《九章算术》是我国古代的数学名着,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( )钱钱钱钱答案B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则由题意可知,a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1,则a-2d=a-2×(-)=a=.2.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.问:每等人比下等人多得几斤?”()答案B解析设第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,以此类推,第一等人得金a10斤,则数列{a n}构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,由题意得,即解得d=,∴每一等人比下一等人多得斤金.3.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学着作,书中卷上第二十三问:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈.问日益几何?”其意思为“有个女子织布,每天比前一天多织相同量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织390尺.问:每天多织多少布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,估算出每天多织的布约有( )A.尺B.尺C.尺D.尺答案A解析设每天多织d尺,由题意a1=5,{a n}是等差数列,公差为d,∴S30=30×5+d=390,解得d≈.4.《张丘建算经》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日,第五日,第八日所织之和为十五尺,问第九日所织尺数为( )A.7 B.9C.11 D.13答案D解析设第一天织a1尺,从第二天起每天比第一天多织d尺,由已知得解得a1=-3,d=2,∴第九日所织尺数为a9=a1+8d=-3+8×2=13.5.古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为( )答案C解析由题意可得:每天织布的量组成了等比数列{a n},S5=5,公比q=2,=5,计算可得a1=,所以a3=×22=.6.在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的( )A.33% B.49%C.62% D.88%答案B解析由题意可得:每日的织布量形成等差数列{a n},且a1=5,a30=1,设公差为d,则1=5+29d,解得d=-.∴S10=5×10+×(-)=.S30==90.∴该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的×≈=49%.7.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( )A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺答案B解析由题意可得,每日的织布量形成等差数列{a n},且a1=5,a30=1,所以S30==90.8.在我国古代着名的数学专着《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.9日B.8日C.16日D.12日答案A解析由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{a n},其中a1=103,d=13;驽马每日行的距离成等差数列,记为{b n},其中b1=97,d=-;设第m天相逢,则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m++97m+=2×1125,解得m=9(负值舍去).9.《九章算术》是我国古代第一部数学专着,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )升升升升答案A解析自上而下依次设各节容积为a1,a2, (9)由题意得,即,得,所以a2+a3+a8=+=(升).10.中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( ) A.24里B.48里C.96里D.192里答案C解析由题意可知此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得=378,解得a1=192,∴第二天此人走了192×=96里.11.中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )A.24里B.12里C.6里D.3里答案C解析记每天走的路程里数为{a n},可知{a n}是公比q=的等比数列,由S6=378,得S6==378,解得a1=192,∴a6=192×=6.12.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一段截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( )A.6斤B.9斤C.10斤D.12斤答案B解析此问题构成一个等差数列{a n},设首项为2,则a5=4,∴中间3尺的重量为3a3=×3=×3=9(斤),故选B.13.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )A.6斤B.9斤C.斤D.12斤答案A解析依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2,由等差数列性质得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.14.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红灯向下倍加增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?”其意思为“一座塔共七层,从塔顶至塔底,每层灯的数目都是上一层的2倍,已知这座塔共有381盏灯,请问塔顶有几盏灯?”()A.3 B.4C.5 D.6答案A解析由题意设塔顶有a盏灯,由题意由上往下数第n层就有2n-1·a盏灯,∴共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381盏灯,即a=381.解得a=3.15.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢.( )A.3 B.4C.5 D.6答案B解析由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,前n天打洞之和为=2n-1,同理,小老鼠前n天打洞之和为=2-,∴2n-1+2-=10,解得n∈(3,4),取n=4.即两鼠在第4天相逢.16.如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形,在所给的四个三角形图案中,着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项,则{a n}的通项公式可以是( )A.a n=3n-1B.a n=2n-1C.a n=3n D.a n=2n-1答案A解析着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项,分别为a1=1,a2=3,a3=3×3=32,a4=32×3,因此{a n}的通项公式可以是a n=3n-1.17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列.上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.答案解析设该数列{a n}的首项为a1,公差为d,依题意即解得则a5=a1+4d=a1+7d-3d=-=.18.华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片,同学们猜测它是一种乘法表的记录,请你根据这个猜测,判定表示________?(如图)答案395解析图片中记录的是自然数乘以9的运算结果,左列是被乘数,右列是该数乘以9的积数,经过分析可知:其中▽代表1,?代表10,代表60.所以表示60×6+10×3+5×1=395.19.在我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图A所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的着作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle),如图世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C+C=C,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C C … C … C C图A……图B答案=+解析类比观察得,莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子C+C=C,有=+.20.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数,将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}.可以推测:(1)b2012是数列{a n}中的第________项;(2)b2k-1=________.(用k表示)答案(1)5030 (2)解析由题意可得a n=1+2+3+…+n=,n∈N*,故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,由上述规律可知:b2k=a5k=(k∈N*),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{a n}中的第5030项.21.请认真阅读下列材料:“杨辉三角”(1261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数),称为莱布尼兹三角形(如图2)11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1……图1……图2请回答下列问题:(1)记S n为图1中第n行各个数字之和,求S4,S7,并归纳出S n;(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数.答案(1)S4=8=23;S7=64=26;Sn=2n-1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和,故第6行为.三、空间几何体1.我国古代数学名着《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)A.1B.2C.3D.4答案C解析如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.∵积水深9寸,∴水面半径为(14+6)=10寸,则盆中水的体积为π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸).∴平地降雨量等于=3(寸).故选C.2.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为:V=×(底面的圆周长的平方×高).则由此可推得圆周率π的取值为(注:1丈=10尺)( )A.3 B.C.D.答案A解析由题意,圆柱体底面的圆周长48尺,高11尺,∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V=×(底面的圆周长的平方×高),∴V=×(482×11)=2112,设底面圆的半径为R,∴∴π=3.3.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈立方尺,π≈3),则圆柱底圆周长约为( )A.1丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺D.48丈6尺答案B解析设圆柱形谷仓底面半径为r尺,由题意得,谷仓高h=尺.于是谷仓的体积V=πr2·h≈2000×,解得r≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr≈54尺=5丈4尺.4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )答案B解析由题意知L2h≈πr2h?L2≈πr2,而L=2πr,代入得π≈.5.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除,现有一个羡除如图所示,面ABCD、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是( )A.110 B.116C.118 D.120答案D解析过A作AP⊥CD,AM⊥EF,过B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分别为P,M,Q,N,将一侧的几何体放到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为×10×3=15.棱柱的高为8,∴V=15×8=120.故选D.6.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为.后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式,即V牟=r3-V方盖差,r为球的半径,也即正方形的棱长均为2r,从而计算出V球=πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正,棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差,则等于( )答案C解析由题意,V方盖差=r3-V牟=r3-×××π×r3=r3,所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=×r×r×=r3,∴==.7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,当其正视图与侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( )A.a,b B.a,cC.c,b D.b,d答案A解析由直观图可知,其正视图与侧视图完全相同,则其只能是圆,这时其俯视图就是正方形加对角线(实线).故选A.8.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π,即V牟:V球=4∶π.也导出了“牟合方盖”的体积计算公式,即V牟=r3-V方盖差,从而计算出V球=πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正,则( )A.V方盖差>V正B.V方盖差=V正C.V方盖差<V正D.以上三种情况都有可能答案A解析由题意,V方盖差=r3-V牟=r3-××πr3=r3,所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=×r×r×=r3,∴V方盖差>V正.9.我国古代数学名着《数学九章》中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺(注:1丈等于10尺)( )A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺答案C解析由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即木棍的高)长24尺,另一条直角边长5×2=10(尺),因此葛藤长=26(尺).10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为9尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( )A.14斛B.28斛C.36斛D.66斛答案B解析设圆锥的底面半径为r,则r=9,解得r=,故米堆的体积为××π×()2×5≈45,∵1斛米的体积约为立方,∴堆放的米有45÷≈28斛.11.《九章算术》是我国古代着名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注:1丈=10尺=100寸,π≈,°≈)A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸答案D解析如图,AB=10(寸),则AD=5(寸),CD=1(寸),设圆O的半径为x(寸),则OD=(x-1)(寸),在Rt△ADO中,由勾股定理可得52+(x-1)2=x2,解得x=13(寸).∴sin∠AOD==,即∠AOD≈°,则∠AOB=45°.则弓形ACB的面积S=××132-×10×12≈(平方寸).则该木材镶嵌在墙中的体积约为V=×100=633(立方寸).故选D.12.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为________.(容器壁的厚度忽略不计)答案41π解析由题意,该球形容器的半径的最小值为=,∴该球形容器的表面积的最小值为4π·=41π.13.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).(1)如果该沙漏每秒钟漏下的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)?(2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度(精确到.答案(1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H=×8=,底面半径为r=×4=,V=πr2H=π×()2×=,V÷=1986(秒).所以沙全部漏入下部约需1986秒.(2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设高为H′,V=π×42×H′=π,H′=≈.锥形沙堆的高度约为.14.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.答案(1)证明如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设PD=DC=1,BC=λ(λ>0),则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ,1,-1),因为点E是棱PC的中点,所以E(0,,),=(0,,),于是·=0,所以PB⊥DE.又已知EF⊥PB,而DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.因为=(0,1,-1),所以·=0,所以DE⊥PC,而PB∩PC=P,所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)解由PD⊥平面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.由(1)知,PB⊥平面DEF,所以=(-λ,-1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,则cos==||=,结合λ>0,解得λ=,所以==.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.四、其他问题1.我国古代数学名着《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A.134石B.169石C.338石D.1365石答案B解析抽样比是,那么1534石米夹谷1534×≈169(石),故选B.2.2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆。
小学数学传统文化例谈
小学数学传统文化例谈卜宜花(合肥市锦城小学安徽合肥230022)摘要:社会越来越进步,传统文化的作用越发重要。
小学数学课程里蕴含有很多传统文化知识,跟学生讲授这些传统文化知识,让学生在学习中感悟传统文化,一方面可以帮助学生了解我国传统文化,另一方面也能提高学生学习数学的兴趣和效率。
本文通过苏教版小学数学教材中的一些教学例子,谈一谈小学数学里的传统文化。
关键词:小学数学传统文化渗透体验随着新课改的不断推进,传统文化逐渐展现出了强大的魅力,占据的位置也越来越重要。
在小学数学课堂中引入一些传统文化知识,一方面可以帮助学生了解我国的传统文化,另一方面也能激发学生更加积极地去参与课堂活动、思考问题并解决问题,课堂氛围也会变得更加活跃。
长此以往,教师的教学效率以及学生的学习效率都能够得到有效提高。
本文将从成语(谜语),古诗词、对联,几何图形,解决问题的策略和数学学具的角度,结合实例,谈一谈小学数学中传统文化的渗透。
一、成语(谜语)走进数学课堂让成语(谜语)走进数学课堂,数学课堂的气氛立马就不一样了,学生不仅仅觉得有趣味,还能感受到传统文化的味道。
我们可以通过下列途径在数学课堂上进行传统文化的渗透:⑴认识大写数字时,可以这样利用成语出题()心()意()()成群()面()方()全()美只出示部分例子,剩下的可以让学生自己思考或者查阅资料进行补充列举,课下也可以进行相关的填字游戏,将课上知识延伸到课下,不仅仅让学生感受到了传统文化,还能让数学学习氛围更加浓厚,一举多得。
(2)可以利用数字谜语这样出题12345609(打一成语)1+2+3(打一成语)同样的道理,也是只出示部分例子,剩下的交给学生自己去搜集、探索、体验、感受。
(3)成语还可用于课堂教学某个环节1.在学习分数的时候,可以简单地利用成语这样导入PPT显示:一分为二、七上八下教师:从这两个成语字面上的意思来看,你能联想到什么数学知识?17学生迈、丈师:真会观察,分数在生活中见到的频率还是很高的,那分数到底还有哪些秘密呢?今天,我们一起来探究分数的更多秘密吧。
高考数学复习热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题(解析版)
热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题,计算题和证明题比较少,涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。
2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景,以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。
②以数学猜想和定理为命题背景。
③以数学名家的故事为命题背景,以数学家的故事,为考查背景,正是对创新精神数学精神的一种传承。
④以数学的应用为命题背景。
⑤历史名人。
⑥历史发展。
3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时,培养学生的数学素养,不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养,同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就,增强爱国情怀,引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。
这是新高考考察的目的,从而这类问题也是新高考必考题型。
4、数学高考题渗透了大量的数学文化,尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。
但这些题目考查的知识点有限,很多内容并未涉及到。
我们现在的社会在飞速发展,无论是科技还是人的思想都不断地变化。
为了让学生能够更好地适应未来社会的发展,我们的教育需要及时更新,不仅仅要反映在教材,考试也应该与时俱进,而不再是摸小球,投骰子,算水费这些老古董的模型背景,更应该与时俱进。
比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。
像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上,它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料,而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。
除次以外,同样可以结合其他学科知识和实际民生,比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景,进入数学高考题。
【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升,做题时能够做到有的放矢,减少对这类问题的恐惧心理。
2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化,题目前面都是以文言文的形式出现,而后面都会对给出译文,译文才是本题的关键题意,所以这类题的关键地方是在译文上理解。
2019年高考数学二轮复习专项三 特色讲练数学传统文化
年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析2018卷Ⅲ三视图·T 3数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型,预计在高考中,数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查,也不排除以解答题的形式考查,难度适中或容易.2017卷Ⅰ中国古代太极图与几何概型·T 2 卷Ⅱ数列求和·T 3 2016卷Ⅱ秦九韶算法·T 8立体几何中的数学文化题立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等.[典型例题](1)(2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究,从其中的一些数学用语可见,譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示,已知该几何体的高为22,则该几何体外接球的表面积为________.(2)(2018·黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是几何体的高,“幂”是截面面积.其意:如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ,一个焦点为(5,0).直线y =0与y =3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ,则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为________.【解析】 (1)由该几何体的三视图还原其直观图,并放入长方体中,如图中的三棱锥A -BCD 所示,其中AB =22,BC =CD =2,易知长方体的外接球即三棱锥A BCD 的外接球,设外接球的直径为2R ,所以4R 2=(22)2+(2)2+(2)2=8+2+2=12,则R 2=3,因此外接球的表面积S =4πR 2=12π.(2)由题意可得双曲线的方程为x 2-y 24=1,直线y =3在第一象限内与渐近线的交点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫32,3,与双曲线在第一象限内的交点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫132,3,在所得几何体中,在高为h 处作一截面,则截面面积为π⎝⎛⎭⎫1+h 24-h24=π,根据祖暅原理,可得该几何体的体积与底面面积为π,高为3的圆柱的体积相同,故所得几何体的体积为3π.【答案】 (1)12π (2)3π(1)本例(1)以“鳖臑”为背景,考查由三视图还原几何体,并求几何体的表面积.此类问题源于生活中的盖房问题.这将引领师生关注生产、生活中的社会问题,体现数学文化“以数化人”的功能.对于其他几何体,如“刍童”“羡除”等,需要给予关注.(2)祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个关于几何体体积的著名定理,祖暅提出这个原理,要比其他国家的数学家早一千多年.人教A 版《必修2》教材第30页专门介绍了祖暅原理.本题取材于祖暅原理,既考查了考生的基础知识和基本技能,又展示了中华优秀传统文化.[对点训练]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113解析:选A.依题意,设圆锥的底面半径为r ,则V =13πr 2h ≈7264L 2h =7264(2πr )2h ,化简得π≈227.故选A.数列中的数学文化题数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景,考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式.[典型例题](1)《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何.其意思是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟 B.107斗粟 C.157斗粟 D.207斗粟 (2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,所谓隙积,即“积之有隙”者,如累棋、层坛之类,这种长方台形状的物体垛积.设隙积共n 层,上底由a ×b 个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c ×d 个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s =n 6[(2a +c )b +(2c +a )d ]+n6(c -a ),其中a 是上底长,b 是上底宽,c 是下底长,d 是下底宽,n 为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为( )A .83B .84C .85D .86【解析】 (1)法一:设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1,a 2,a 3,则这3个数依次成等比数列,公比q =2,所以a 1+2a 1+4a 1=5,解得a 1=57,故a 3=207,a 3-a 1=207-57=157,故选C.法二:羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4,故牛主人应赔偿5×47=207(斗),羊主人应赔偿5×17=57(斗),故牛主人比羊主人多赔偿了207-57=157(斗),故选C. (2)由三视图知,n =5,a =3,b =1,c =7,d =5,代入公式s =n 6[(2a +c )b +(2c +a )d ]+n6(c -a )得s =85,故选C.【答案】 (1)C (2)C解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题,掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n 项和公式.[对点训练]《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均输章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为:已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中,丙所得为( )A.76钱B.56钱C.23钱 D.1钱解析:选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,设每人所得依次为a -2d 、a -d 、a 、a +d 、a +2d ,则a -2d +a -d +a +a +d +a +2d =5,解得a =1,即丙所得为1钱,故选D.算法中的数学文化题算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景,考查程序框图.[典型例题](1)公元三世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了割圆术.利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n 为(参考数据:sin 15°≈0.258 8,sin 7.5°≈0.130 5)( )A .12B .24C .36D .48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明,戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告,烽火台上点火表示数字1,不点火表示数字0,这蕴含了进位制的思想.图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图,若输入a =110011,k =2,n =7,则输出的b =( )A .19B .31C.51 D.63【解析】(1)按照程序框图执行,n=6,S=3sin 60°=332,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=12,S=6sin 30°=3,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=24,S=12sin 15°≈12×0.258 8=3.105 6,满足条件S≥3.10,跳出循环,输出n的值为24,故选B.(2)按照程序框图执行,b依次为0,1,3,3,3,19,51,当b=51时,i=i+1=7,跳出循环,故输出b=51.故选C.【答案】(1)B(2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例.其中,更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法,课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化,但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景,强化了试题的“文化育人”功能.[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步;第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.现给出“更相减损术”的程序框图如图所示,如果输入的a=114,b=30,则输出的n为()A.3 B.6C.7 D.30解析:选C.a=114,b=30,k=1,n=0,a,b都是偶数,a=57,b=15,k=2,a,b不满足都为偶数,a=b不成立,a>b成立,a=57-15=42,n=0+1=1;a=b不成立,a>b成立,a=42-15=27,n=1+1=2;a=b不成立,a>b成立,a=27-15=12,n=2+1=3;a=b不成立,a>b不成立,a=15,b=12,a =15-12=3,n=3+1=4;a=b不成立,a>b不成立,a=12,b=3,a=12-3=9,n=4+1=5;a=b不成立,a>b成立,a=9-3=6,n=5+1=6;a=b不成立,a>b成立,a=6-3=3,n=6+1=7;a=b成立,输出的kb=6,n=7.概率中的数学文化题概率中的数学文化题一般以优秀传统文化为背景,考查古典概型和几何概型.[典型例题](1)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,田忌获胜的概率是( )A.13B.14C.15D.16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O 被函数y =3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案,如图所示,其中小圆的半径均为1,现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A.136B.118C.112D.19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,对阵情况如下表:齐王的马 上 上 上 中 中 中 下 下 下 田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中,有3种对抗情况田忌能赢,所以田忌获胜的概率P =39=13.故选A.(2)函数y =3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6,0)和点(-6,0),则大圆的半径为6,面积为36π,而小圆的半径为1,两个小圆的面积和为2π,所以所求的概率是2π36π=118.故选B.【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景,考查了古典概型,趣味性很强,利于缓解考生在考场的紧张心理,体现了对考生的人文关怀.(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景,考查几何概型,角度新颖,所给图形有利于考生分析问题和解决问题,给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例.[对点训练]《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是( )A.π15 B.2π5 C.2π15D.4π15解析:选C.因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步,所以其斜边长为13步,设其内切圆的半径为r ,则12×5×12=12(5+12+13)r ,解得r =2.由几何概型的概率公式,得此点取自内切圆内的概率P =4π12×5×12=2π15.故选C.三角函数中的数学文化题三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景,考查解三角形或三角变换.[典型例题](2018·益阳、湘潭调研)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”,填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积”.若把这段文字写成公式,即S =14⎣⎡⎦⎤c 2a 2-⎝⎛⎭⎫c 2+a 2-b 222,现有周长为22+5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C =(2-1)∶5∶(2+1),用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( )A.32 B.34 C.52D.54【解析】 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =(2-1)∶5∶(2+1),可设三角形的三边分别为a =(2-1)x ,b =5x ,c =(2+1)x ,由题意得(2-1)x +5x +(2+1)x =(22+5)x =22+5,则x =1,故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S =14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2+1)2(2-1)2-⎝ ⎛⎭⎪⎫3+22+3-22-522=34,故选B. 【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S =p (p -a )(p -b )(p -c ),其中p =12(a +b +c ))在形式上不一样,但两者完全等价,它填补了我国传统数学的一项空白,从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平,人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍.本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式,考查了运算求解能力,同时也传播了中华优秀传统文化.[对点训练]第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图,会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为θ,那么tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4=________.解析:依题意得大、小正方形的边长分别是5,1,于是有5sin θ-5cos θ=1(0<θ<π2),即有sin θ-cos θ=15.从而(sin θ+cos θ)2=2-(sin θ-cos θ)2=4925,则sin θ+cos θ=75,因此sin θ=45,cos θ=35,tan θ=43,故tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4=tan θ+11-tan θ=-7.答案:-7函数中的数学文化题函数中的数学文化题一般以中华优秀传统文化为背景,考查函数的图象与性质.[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”,给出下列命题:①对于任意一个圆O ,其“太极函数”有无数个; ②函数f (x )=ln(x 2+x 2+1)可以是某个圆的“太极函数”; ③正弦函数y =sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y =f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y =f (x )的图象是中心对称图形. 其中正确的命题为( )A .①③B .①③④C .②③D .①④【解析】 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O ,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f (x )=ln(x 2+x 2+1)的图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y =sin x 图象的对称中心上,则正弦函数y =sin x 是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y =sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确; 函数y =f (x )的图象是中心对称图形,则y =f (x )是“太极函数”,但函数y =f (x )是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误.故选A.【答案】 A中华太极图,悠悠千古昭著于世,像朝日那样辉煌宏丽,又像明月那样清亮壮美.它是我们华夏先祖的智慧结晶,它是中国传统文化的骄傲象征,它更是中华民族献给人类文明的无价之宝.试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性.[对点训练]在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,鳖臑ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,且BD ⊥CD ,AB =BD =CD ,点P 在棱AC 上运动,设CP 的长度为x ,若△PBD 的面积为f (x ),则函数y =f (x )的图象大致是( )解析:选A.如图,作PQ ⊥BC 于Q ,作QR ⊥BD 于R ,连接PR ,则PQ ∥AB ,QR ∥CD . 因为PQ ⊥BD ,又PQ ∩QR =Q ,所以BD ⊥平面PQR ,所以BD ⊥PR ,即PR 为△PBD 中BD 边上的高.设AB =BD =CD =1,则CP AC =x 3=PQ 1,即PQ =x 3,又QR 1=BQ BC =APAC =3-x 3,所以QR =3-x 3,所以PR =PQ 2+QR 2=⎝⎛⎭⎫x 32+⎝ ⎛⎭⎪⎫3-x 32=332x 2-23x +3,所以f (x )=362x 2-23x +3=66⎝⎛⎭⎫x -322+34,故选A.一、选择题1.(2018·合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A .五寸B .二尺五寸C .三尺五寸D .四尺五寸解析:选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n },公差为d ,a 1=15,a 13=135,则15+12d =135,解得d =10.所以a 2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸.故选B.2.(2018·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例.若输入n ,x 的值分别为3,3,则输出v 的值为( )A .15B .16C .47D .48解析:选D.执行程序框图,n =3,x =3,v =1,i =2≥0,v =1×3+2=5,i =1≥0,v =5×3+1=16,i =0≥0,v =16×3+0=48,i =-1<0,退出循环,输出v 的值为48.故选D.3.(2018·沈阳教学质量监测(一))刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334πB.332πC.12πD.14π解析:选B.如图,在单位圆中作其内接正六边形,则所求概率P =S 六边形S 圆=34×12×6π×12=332π.4.(2018·高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析:选D.从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122,第一个单音的频率为f ,由等比数列的概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为f ,公比为122的等比数列,记为{a n },则第八个单音频率为a 8=f (122)8-1=1227f ,故选D.5.(2018·潍坊模拟)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉,甲戌、乙亥、丙子、…、癸未,甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳,…,癸亥,60个为一周,周而复始,循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的( )A .己亥年B .戊戌年C .庚子年D .辛丑年解析:选C.由题意知2014年是甲午年,则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年.6.(2018·惠州第二次调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:卦名 符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽0113依次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号为“”,其表示的十进制数是( ) A .33 B .34 C .36D .35解析:选B.由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010,转化为十进制数为0×20+1×21+0×22+0×23+0×24+1×25=34.故选B.7.(2018·兰州模拟)刘徽《九章算术注》记载:“邪解立方,得两堑堵.邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”意即把一长方体沿对角面一分为二,这相同的两块叫堑堵,沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积之比为定值2∶1,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为( )A.3πB.3π2C .3πD .4π解析:选B.由三视图得阳马是一个四棱锥,如图中四棱锥P -ABCD ,其中底面是边长为1的正方形,侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A =1,所以PC =3,PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的直径,所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323=3π2,故选B.8.(2018·唐山五校联考)割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.这是公元三世纪我国古代数学家刘徽大胆地应用以直代曲、无限趋近求圆周率的思想方法.现利用刘徽的“割圆术”思想设计一个计算圆周率的近似值的程序框图(如图).若输入的a =3,n =10,则输出的n =( )A .20B .40C .80D .160参考数据:α 36° 18° 9° 4.5° sin α0.587 80.309 00.156 40.078 5解析:选B.当a =3,n =10时,b =3,a =12×10sin 360°10=2.939,此时|a -b |=0.061>0.05,不满足条件,则n =20,b =2.939,a =12×20×sin 360°20=3.090,此时|a -b |=0.151>0.05,不满足条件,则n =40,b =3.090,a =12×40×sin 360°40=3.128,此时|a -b |=0.038<0.05,满足条件,故输出的n =40.故选B. 9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则△ABC 的面积S =14⎣⎡⎦⎤c 2a 2-⎝⎛⎭⎫c 2+a 2-b 222.若a 2sin C =4sinA ,(a +c )2=12+b 2,则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A. 3 B .2 C .3D. 6解析:选A.根据正弦定理,由a 2sin C =4sin A ,得ac =4.再结合(a +c )2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4,则S =14⎣⎡⎦⎤c 2a 2-⎝⎛⎭⎫c 2+a 2-b 222=16-44=3,故选A. 10.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高乘之,六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为( )A.392B.752C .39D.6018解析:选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9,则下底面的宽为18-2x 2=9-x .由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积V =16×3×[(3×2+x )×2+(2x +3)(9-x )]=-x 2+17x 2+392,故当x =92时,体积取得最大值,最大值为-⎝⎛⎭⎫922+92×172+392=752.故选B.11.(2018·昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,提出下面的体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面面积,“势”是几何体的高.意思是:若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.现在一旋转体D (如图1所示),它是由抛物线y =x 2(x ≥0),直线y =4及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周形成的几何体,旋转体D 的参照体的三视图如图2所示,利用祖暅原理,则旋转体D 的体积是( )A.16π3 B .6π C .8πD .16π解析:选C.由三视图知参照体是一个直三棱柱,其体积V =12×4×4×π=8π,故旋转体D 的体积为8π,故选C.12.(2018·郑州第一次质量预测)刍甍,中国古代算数中的一种几何形体,《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也”.翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”.如图为一个刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该茅草屋顶的面积为( )A .24B .32 5C .64D .32 6解析:选B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示,其中S 四边形ABED =S 四边形ACFD ,S △ABC =S △DEF .过点A 向平面BCFE 作垂线,垂足为A ′,作AM ⊥CF 于点M ,作AN ⊥BC 于点N ,连接A ′N ,易知AA ′=4,A ′N =CM =8-42=2,CN =12BC =2.在Rt △AA ′N 中,AN =AA ′2+A ′N 2=42+22=25,在Rt △ANC 中,AC=CN 2+AN 2=22+(25)2=26,在Rt △AMC 中,AM =AC 2-CM 2=(26)2-22=2 5.所以S四边形ACFD =12×(4+8)×25=125,S △ABC=12×BC ×AN =12×4×25=4 5.所以该茅草屋顶的面积为2×125+2×45=325,故选B.二、填空题13.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,莞草第1天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第________天时,蒲草和莞草的高度相同.(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0).解析:由题意得,蒲草的长度组成首项为a 1=3,公比为12的等比数列{a n },设其前n 项和为A n ;莞草的长度组成首项为b 1=1,公比为2的等比数列{b n },设其前n 项和为B n .则A n =3⎝⎛⎭⎫1-12n 1-12,B n =2n -12-1,令3⎝⎛⎭⎫1-12n 1-12=2n -12-1,化简得2n +62n =7(n ∈N *),解得2n =6,所以n =lg 6lg 2=1+lg 3lg 2≈3,即第3天时蒲草和莞草长度相等.答案:314.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n =________.解析:第一次循环,得S =2,否;第二次循环,得n =2,a =12,A =2,S =92,否;第三次循环,得n=3,a =14,A =4,S =354,否;第四次循环,得n =4,a =18,A =8,S =1358>10,是,输出的n =4.答案:415.(2018·广州调研)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律,俗称“杨辉三角”.现将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表,由上往下数,记第n 行各数字的和为S n ,如S 1=1,S 2=2,S 3=2,S 4=4,…,则S 126=________.解析:题图②中的三角形数表,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,有1个1,第2次全行的数都为1的是第2行,有2个1,第3次全行的数都为1的是第4行,有4个1,依此类推,第n 次全行的数都为1的是第2n-1行,有2n-1个1.第1行,1个1,第2行,2个1,第3行,2个1,第4行,4个1;第1行1的个数是第2行1的个数的12,第2行与第3行1的个数相同,第3行1的个数是第4行1的个数的12;第5行,2个1,第6行,4个1,第7行,4个1,第8行,8个1;第5行1的个数是第6行1的个数的12,第6行与第7行1的个数相同,第7行1的个数是第8行1的个数的12.根据以上规律,当n =8时,第28-1行有128个1,即S 128=128,第127行有64个1,即S 127=64,第126行有64个1,即S 126=64. 答案:6416.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,于五世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是几何体的高,“幂”是截面积.意思是,两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.现有下题:在xOy 平面上,将两个半圆弧(x -1)2+y 2=1(x ≥1)和(x -3)2+y 2=1(x ≥3)、两条直线y =1和y =-1围成的封闭图形记为D ,如图所示阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,y )(|y |≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为4π1-y 2+8π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为________.解析:根据提示,一个底面半径为1,高为2π的圆柱平放,一个高为2,底面积为8π的长方体,这两个几何体与Ω放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故它们的体积相等,即Ω的体积为π·12·2π+2·8π=2π2+16π.答案:2π2+16π。
高考数学二轮复习 第二部分 专题二 数学传统文化的创新应用问题习题-人教版高三全册数学试题
专题二 数学传统文化的创新应用问题一、选择题1.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题:“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之,问底子几何?”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束,下一层3束,再下一层6束……)成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示从上往下第二层开始的每层茭草束数,则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A .91B .105C .120D .210解析:由题意得,从上往下第n 层茭草束数为1+2+3+…+n =n n +12.∴1+3+6+…+n n +12=680,即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n +12n +1+12nn +1=16n (n +1)(n +2)=680,∴n (n +1)(n +2)=15×16×17,∴n =15.故倒数第二层为第14层,该层茭草总束数为14×152=105.答案:B2.《X 丘建算经》卷上第23题:今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?意思是:现有一女子善于织布,若第1天织5尺布,从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织930尺布(注:1匹=10丈,1丈=10尺),则每天比前一天多织( ) A.47尺布 B.5229尺布 C.815尺布 D.1631尺布 解析:设公差为d ,则由a 1=5,S 30=30×5+30×292d =930,解得d =5229.答案:B3.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为: 第一步:构造数列1,12,13,14,…,1n.第二步:将数列①的各项乘以n ,得数列(记为)a 1,a 2,a 3,…,a n . 则a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n 等于( ) A .n 2B .(n -1)2C .n (n -1)D .n (n +1)解析:a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n =n 1·n 2+n 2·n 3+…+n n -1·n n =n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2+12·3+…+1n -1n =n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+12-13+…+1n -1-1n =n 2·n -1n =n (n -1). 答案:C4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九面一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式,根据π=3.141 59…判断,下列近似公式中最精确的一个是( ) A .d ≈ 3169VB .d ≈ 32V C .d ≈ 3300157VD .d ≈ 32111V解析:由球体积公式得d = 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78,300157≈1.910 82803,2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π,所以选D.答案:D5.(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯,”诗中描述的这个宝塔古称浮屠,本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,那么塔顶有________盏灯.( ) A .2 B .3 C .5D .6解析:本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }.∵S 7=a 11-271-2=381,∴可解得a 1=3,即塔顶有3盏灯,故选B. 答案:B6.(2017·某某调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若π取3,其体积为12.6(单位:立方寸),则图中的x 为( )A .1.2B .1.6C .1.8D .2.4解析:该几何体是一个组合体,左边是一个底面半径为12的圆柱,右边是一个长、宽、高分别为5.4-x 、3、1的长方体,∴组合体的体积V =V 圆柱+V 长方体=π·(12)2×x +(5.4-x )×3×1=12.6(其中π=3),解得x =1.6.故选B. 答案:B7.《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论术比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺,问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB =1尺,弓形高CD =1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin 22.5°≈513)A .600立方寸B .610立方寸C .620立方寸D .633立方寸解析:连接OA ,OB ,OD ,设⊙O 的半径为R ,则(R -1)2+52=R 2,∴R =13.sin ∠AOD =AD AO =513.∴∠AOD ≈22.5°,即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB =S扇形OACB-S △OAB =12×π4×132-12×10×12≈6.33平方寸.∴该木材镶嵌在墙中的体积为V =S 弓形ACB ×100≈633立方寸.选D.答案:D8.(2017·某某模拟)李冶( 1192—1279),真定栾城(今某某省某某市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算) ( ) A .10步,50步 B .20步,60步 C .30步,70步D .40步,80步解析:设圆池的半径为r 步,则方田的边长为(2r +40)步,由题意,得(2r +40)2-3r 2=13.75×240,解得r =10或r =-170(舍),所以圆池的直径为20步,方田的边长为60步.故选B. 答案:B 二、填空题9.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列.上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.解析:设该数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+7d =43,d =766,则a 5=a 1+4d =a 1+7d -3d =43-2166=6766.答案:676610.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{a n },则此数列的项数为________.解析:能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数,故a n =15n -14.由a n =15n -14≤2 016,解得n ≤4063,又n ∈N *,故此数列的项数为135.答案:13511.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1, 3,6,10,…记为数列{a n },将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n },可以推测:(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项; (2)b 2k -1=________(用k 表示). 解析:由题意可得a n =1+2+3+…+n =n n +12,n ∈N *,故b 1=a 4,b 2=a 5,b 3=a 9,b 4=a 10,b 5=a 14,b 6=a 15,由上述规律可知:b 2k =a 5k =5k5k +12(k 为正整数),b 2k -1=a 5k -1=5k -15k -1+12=5k5k -12, 故b 2 012=b 2×1 006=a 5×1 006=a 5 030,即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项. 答案:(1)5 030 (2)5k5k -1212.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是几何体的高,“幂”是截面积.意思是,两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.现有下题:在xOy 平面上,将两个半圆弧(x -1)2+y 2=1(x ≥1)和(x -3)2+y 2=1(x ≥3)、两条直线y =1和y =-1围成的封闭图形记为D ,如图所示阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,y )(|y |≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为4π1-y 2+8π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为________.解析:根据提示,一个底面半径为1,高为2π的圆柱平放,一个高为2,底面积为8π的长方体,这两个几何体与Ω放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故它们的体积相等,即Ω的体积为π·12·2π+2·8π=2π2+16π. 答案:2π2+16π传统文化训练二一、选择题1.(2017·某某模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析:自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3a 7+a 8+a 9=4,因为a 2+a 3=a 1+a 4,a 7+a 9=2a 8,故a 2+a 3+a 8=32+43=176.选A.答案:A2.(2017·某某模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为N ≡n (mod m ),例如11≡2(mod 3).现将该问题以程序框图给出,执行该程序框图,则输出的n 等于( )A .21B .22C .23D .24解析:当n =21时,21被3整除,执行否.当n =22时,22除以3余1,执行否; 当n =23时,23除以3余2,执行是;又23除以5余3,执行是,输出的n =23.故选C. 答案:C3.(2017·某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半,我手上就有90钱);乙复语甲丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成七十;丙复语甲乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六,则乙手上有________钱.( ) A .28 B .32 C .56D .70解析:设甲、乙、丙三人各持有x ,y ,z 钱,则⎩⎪⎨⎪⎧x +y +z 2=90y +x +z 2=70z +x +y 2=56,解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x =72y =32z =4,所以乙手上有32钱. 答案:B4.(2017·某某模拟)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A -BCD 中,AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ,AB =BD =CD ,点P 在棱AC 上运动,设CP 的长度为x ,若△PBD 的面积为f (x ),则f (x )的图象大致是( )解析:如图,作PQ ⊥BC 于Q ,作QR ⊥BD 于R ,连接PR ,则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ,QR ∥CD .设AB =BD =CD =1,则CP AC =x 3=PQ 1,即PQ =x 3,又QR 1=BQ BC =AP AC =3-x 3,所以QR =3-x3,所以PR =PQ 2+QR 2=x32+3-x 32=332x 2-23x +3, 所以f (x )=362x 2-23x +3=66x -322+34,故选A.答案:A5.欧拉公式e i x=cos x +isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数之间的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,复数e π4i·e 3π4i +(1+i)2的虚部是( )A .-1B .1C .-2D .2解析:依题意得,e π4i·e 3π4i +(1+i)2=(cos π4+isin π4)(cos 3π4+isin 3π4)+2i =-1+2i ,其虚部是2,选D. 答案:D6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a ,b 分别为5,2,则输出的n =( )A .2B .3C .4D .5解析:程序运行如下:n =1,a =5+52=152,b =4,a >b ,继续循环;n =2,a =152+12×152=454,b =8,a >b ,继续循环;n =3,a =454+12×454=1358,b =16,a >b ,继续循环;n =4,a =1358+12×1358=40516, b =32,此时,a <b .输出n =4,故选C.答案:C7.(2017·某某中学调研)今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,问:几何日相逢?( ) A .12日 B .16日 C .8日D .9日解析:由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n =103+13(n -1)=13n +90,驽马每日所行里数也构成一等差数列,其通项公式为b n =97-12(n -1)=-12n +1952,二马相逢时所走路程之和为2×1 125=2 250,所以n a 1+a n2+n b 1+b n2=2 250,即n 103+13n +902+n 97-12n +19522=2 250,化简得n 2+31n -360=0,解得n =9或n =-40(舍去),故选D.答案:D8.埃及数学中有一个独特现象:除23用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个单位分数和的形式,例如25=13+115,可以这样理解:假定有两个面包,要平均分给5个人,若每人分得一个面包的12,不够,若每人分得一个面包的13,还余13,再将这13分成5份,每人分得115,这样每人分得13+115.形如2n (n =5,7,9,11,…)的分数的分解:25=13+115,27=14+128,29=15+145,按此规律,2n=( )A.2n +1+2n n +1 B.1n +1+1n n +1C.1n +2+1nn +2 D.12n +1+12n +12n +3解析:根据分面包原理知,等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半, 第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积,两个数的原始分子都是1, 即2n =1n +12+1nn +12=2n +1+2n n +1.故选A. 答案:A 二、填空题9.某同学想求斐波那契数列0,1,1,2,…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和,他设计了一个程序框图,则满足条件的整数P 的值为________.解析:由题意,第1次循环:a =0,b =1,i =3,S =0+1=1,求出第3项c =1,求出前3项和 S =0+1+1=2,a =1,b =1,满足条件,i =4,执行循环体;第2次循环:求出第4项c =1+1=2,求出前4项和S =0+1+1+2=4,a =1,b =2,满足条件,i =5,执行循环体,…… 第8次循环:求出第10项c ,求出前10项和S ,此时i =10,由题意不满足条件,跳出循环,输出S 的值,故判断框内应为“i ≤9?”,所以P 的值为9.答案:910.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为n n +12=12n 2+12n .记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 N (n,3)=12n 2+12n , 正方形数 N (n,4)=n 2,五边形数 N (n,5)=32n 2-12n , 六边形数 N (n,6)=2n 2-n ,……可以推测N (n ,k )的表达式,由此计算N (10,24)=________. 解析:由N (n,4)=n 2,N (n,6)=2n 2-n ,…,可以推测:当k 为偶数时,N (n ,k )=⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2-1n 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫k2-2n ,于是N (n,24)=11n 2-10n ,故N (10,24)=11×102-10×10=1 000.答案:1 00011.(2017·某某模拟)辗转相除法,又名欧几里得算法,乃求两个正整数之最大公因子的算法.它是已知最古老的算法之一,在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》.图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法.若输入m =5 280,n =12 155,则输出的m 的值为________.解析:通解:依题意,当输入m =5 280,n =12 155时,执行题中的程序框图,进行第一次循环时,m 除以n 的余数r =5 280,m =12 155,n =5 280,r ≠0;进行第二次循环时,m 除以n 的余数r =1 595,m =5 280,n =1 595,r ≠0;进行第三次循环时,m 除以n 的余数r =495,m =1 595,n =495,r ≠0;进行第四次循环时,m 除以n 的余数r =110,m =495,n =110,r ≠0;进行第五次循环时,m 除以n 的余数r =55,m =110,n =55,r ≠0;进行第六次循环时,m 除以n 的余数r =0,m =55,n =0,r =0,此时结束循环,输出的m 的值为55.优解:依题意,注意到5 280=25×3×5×11,12 155=5×11×221,因此5 280与12 155的最大公因子是55,即输出的m 的值为55.答案:5512.(2017·某某模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术.隙积术意即:将木桶一层层堆放成坛状,最上一层长有a 个,宽有b 个,共计ab 个木桶,每一层长宽各比上一层多一个,共堆放n 层,设最底层长有c 个,宽有d 个,则共计有木桶n [2a +c b +2c +a d +d -b ]6个,假设最上层有长2宽1共2个木桶,每一层的长宽各比上一层多一个,共堆放15层,则木桶的个数为________个.解析:根据题意可知,a =2,b =1,n =15,则c =2+14=16,d =1+14=15,代入题中所给的公式,可计算出木桶的个数为15×20+34×15+146=1 360. 答案:1 360。
数学中的中国传统文化问题大全
数学中的中国传统文化一、算法问题1.用更相减损术求294和84的最大公约数时,需要做减法的次数为( )A.2 B.3C.4 D.5答案C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42),一共做了4次减法.2.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为( )A.4 B.2C.0 D.14答案B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.3.用辗转相除法求459和357的最大公约数,需要做除法的次数是( )A.1 B.2C.3 D.4答案C解析∵459÷357=1…102,357÷102=3…51,102÷51=2,∴459和357的最大公约数是51,需要做除法的次数是3.4.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,对于求一个n次多项式函数f n(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的具体函数值,运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和n?n+1?2次乘法,而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法.对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以此算法极大地缩短了CPU运算时间,因此即使在今天该算法仍具有重要意义.运用秦九韶算法计算f(x)=+4x5-x4+3x3-5x当x=3时的值时,最先计算的是( )A.-5×3=-15B.×3+4=C.3×33-5×3=66D.×36+4×35=1答案B解析f(x)=+4x5-x4+3x3-5x=((((+4)x-1)x+3)x+0)x-5)x,然后由内向外计算,最先计算的是×3+4=.5.若用秦九韶算法求多项式f(x)=4x5-x2+2当x=3时的值,则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A.4,2 B.5,3C.5,2 D.6,2答案C解析∵f(x)=((((4x)x)x-1)x)x+2,∴乘法要运算5次,加减法要运算2次.6.已知函数f(x)=6x6+5,当x=x0时,用秦九韶算法求f(x0)的值,需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.21,6,2 B.7,1,2C.0,1,2 D.0,6,1答案D解析∵f(x)=6x6+5,多项式的最高次项的次数是6,∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1,运算过程中不需要乘方运算.7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a依次为2,2,5,x,n均为2,则输出的s等于( )A.7 B.12C.17 D.34答案C解析第一次运算,a=2,s=2,n=2,k=1,不满足k>n;第二次运算,a=2,s=2×2+2=6,k=2,不满足k>n;第三次运算,a=5,s=6×2+5=17,k=3,满足k>n,输出s=17,故选C.8.用秦九韶算法求多项式f(x)=x3-3x2+2x-11的值时,应把f(x)变形为( )A.x3-(3x+2)x-11 B.(x-3)x2+(2x-11)C.(x-1)(x-2)x-11 D.((x-3)x+2)x-11答案D解析f(x)=x3-3x2+2x-11=((x-3)x+2)x-119.用秦九韶算法求函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7当x=2的值时,v3的结果是( )A.4 B.10C.16 D.33答案C解析函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7=((((3x-2)x+2)x-4)x)x-7,当x=2时,v0=3,v1=3×2-2=4,v2=4×2+2=10,v3=10×2-4=16.10.用秦九韶算法求多项式f(x)=x6-5x5+6x4+x2++2的值,当x=-2时,v1的值为( )A.1 B.7C.-7 D.-5答案 C解析∵f(x)=x6-5x5+6x4+x2++2=(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+x+2,∴v0=a6=1, v1=v0x+a5=1×(-2)-5=-7.11.利用秦九韶算法求多项式f(x)=-6x4+5x3+2x+6的值,当x=3时,v3的值为( )A.-486 B.-351C.-115 D.-339答案C解析f(x)=-6x4+5x3+2x+6=(((-6x+5)x+0)x+2)x+6,∴v0=a4=-6,v1=v0x+a3=-6×3+5=-13,v2=v1x+a2=-13×3+0=-39,v3=v2x+a1=-39×3+2=-115.12.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为4,3,则输出v的值为( )A.20 B.61C.183 D.548答案C解析由程序框图知,初始值:n=4,x=3,v=1,i=3,第一次循环:v=6,i=2;第二次循环:v=20,i=1;第三次循环:v=61,i=0;第四次循环:v=183,i=1.结束循环,输出当前v的值183.13.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”,当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生多少天?( )A.1 326 B.510 C.429 D.336答案B解析由题意满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510.14.用秦九韶算法计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1,乘法运算次数为____________.加法运算次数为________.答案 5 5解析∵f(x)=((((5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1,∴乘法要运算5次,加法要运算5次15.若f(x)=x4+3x3+x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,需要乘法m次,加法n次,则m+n=________.答案6解析f(x)=x4+3x3+x+1=(((x+3)x)x+1)x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,乘法运算与加法运算的次数和等于6.16.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc(a,b,c,d∈N*),则b+da+c是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=59…,若令3110<π<4915,则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值,即3110<π<165,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________.答案22 717.我国古代数学名着《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在222…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x.这可以通过方程2+x=x确定x=2,则1+11+11+…=________.答案1+52解析由题意,可令1+11+11+…=x,即1+1x=x,即x2-x-1=0,解得x=1+52(x=1-52舍),故1+11+11+…=1+52.18.用辗转相除法求840与1 764的最大公约数.答案 1 764=840×2+84,840=84×10+0,∴840与1 764的最大公约数是84.19.用更相减损术求440 与556的最大公约数.答案556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,∴440与556的最大公约数4.20.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.答案f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7,v1=7×3+6=27,v2=27×3+5=86,v3=86×3+4=262,v4=262×3+3=789,v5=789×3+2=2 369,v6=2 369×3+1=7 108,v7=7 108×3+0=21 324,∴f(3)=21 324,即当x=3时,函数值是21 324.21.(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数;(2)用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x-4在x=2时的函数值.答案(1)1 785=840×2+105,840=105×8+0,∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下:f(x)=2x4+3x3+5x-4=x(2x3+3x2+5)-4=x[x(2x2+3x)+5]-4=x{x[x(2x+3)]+5}-4,故当x=2时,f(x)=2×{2×[2×(2×2+3)]+5}-4=62.22.(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数;(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4当x=3时的值.答案(1)779=247×3+38,247=38×6+19,38=19×2.故779与247的最大公约数是19;(2)把多项式改成如下形式:f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4=((((2x+4)x-2)x+8)x+7)x+4.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=3时的值:v0=2,v1=v0x+4=2×3+4=10,v2=v1x-2=10×3-2=28,v3=v2x+8=28×3+8=92,v4=v3x+7=92×3+7=283,v5=v4x+4=283×3+4=853.所以当x=3时,多项式f(x)的值是853.23.(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数;(2)用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+2x3-8x+5在x=2时的值.答案(1)1 995=228×8+171,228=171×1+57,171=57×3,因此57是1 995与228的最大公约数.(2)f(x)=3x5+2x3-8x+5=((((3x+0)x+2)x+0)x-8)x+5当x=2时,v0=3,v1=3×2=6,v2=6×2+2=14,v3=14×2=28,v4=28×2-8=48,v5=48×2+5=101,所以当x=2时,多项式的值是101.24.(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数;(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数.答案(1)∵168-72=96,96-72=24,72-24=48,48-24=24,故72和168的最大公约数是24.(2)∵280=2×98+84,98=1×84+14,84=6×14,故98和280的最大公约数是14.25.用秦九韶算法求函数f(x)=x5+x3+x2+x+1当x=3时的函数值.答案f(x)=x5+x3+x2+x+1=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,v0=1,v1=v0×3+0=3;v2=v1×3+1=10;v3=v2×3+1=31;v4=v3×3+1=94;v5=v4×3+1=283,即x=3时的函数值为283.二、数列问题1.《九章算术》是我国古代的数学名着,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( )钱钱钱钱答案B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则由题意可知,a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1,则a -2d =a -2×(-a 6)=43a =43.2.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.问:每等人比下等人多得几斤?”( )答案 B解析 设第十等人得金a 1斤,第九等人得金a 2斤,以此类推,第一等人得金a 10斤, 则数列{a n }构成等差数列,设公差为d ,则每一等人比下一等人多得d 斤金, 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+24d =4,解得d =778, ∴每一等人比下一等人多得778斤金. 3.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学着作,书中卷上第二十三问:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈.问日益几何?”其意思为“有个女子织布,每天比前一天多织相同量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织390尺.问:每天多织多少布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,估算出每天多织的布约有( ) A .尺 B .尺 C .尺 D .尺答案 A解析 设每天多织d 尺,由题意a 1=5,{a n }是等差数列,公差为d , ∴S 30=30×5+30×292d =390, 解得d ≈.4.《张丘建算经》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日,第五日,第八日所织之和为十五尺,问第九日所织尺数为( ) A .7 B .9 C .11 D .13答案 D解析 设第一天织a 1尺,从第二天起每天比第一天多织d 尺, 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1+7×62d =21,a 1+d +a 1+4d +a 1+7d =15,解得a 1=-3,d =2,∴第九日所织尺数为a 9=a 1+8d =-3+8×2=13.5.古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?” 意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为( )答案C解析由题意可得:每天织布的量组成了等比数列{a n},S5=5,公比q=2 ,a1?1-25?1-2=5,计算可得a1=531,所以a3=531×22=2031.6.在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的( )A.33% B.49%C.62% D.88%答案B解析由题意可得:每日的织布量形成等差数列{a n},且a1=5,a30=1,设公差为d,则1=5+29d,解得d=-4 29 .∴S10=5×10+10×92×(-429)=1 27029.S30=30×?5+1?2=90.∴该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈=49%.7.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( )A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺答案B解析由题意可得,每日的织布量形成等差数列{a n},且a1=5,a30=1,所以S30=30×?5+1?2=90.8.在我国古代着名的数学专着《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.9日B.8日C.16日D.12日答案A解析 由题意知,良马每日行的距离成等差数列, 记为{a n },其中a 1=103,d =13; 驽马每日行的距离成等差数列, 记为{b n },其中b 1=97,d =-;设第m 天相逢,则a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+…+b m =103m +m ?m -1?×132+97m +m ?m -1?×?-?2=2×1 125,解得m =9(负值舍去).9.《九章算术》是我国古代第一部数学专着,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( ) 升 升 升 升答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1,a 2,…a 9,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧2?a 2+a 3?=33a 8=4,得⎩⎨⎧a 2+a 3=32,a 8=43,所以a 2+a 3+a 8=32+43=176(升).10.中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( ) A .24里 B .48里 C .96里 D .192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1-?12?6]1-12=378,解得a 1=192,∴第二天此人走了192×12=96里.11.中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( ) A .24里B .12里C .6里D .3里答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n },可知{a n }是公比q =12的等比数列,由S 6=378,得S 6=a 1?1-126?1-12=378,解得a 1=192,∴a 6=192×125=6.12.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一段截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .6斤 B .9斤 C .10斤 D .12斤答案 B解析 此问题构成一个等差数列{a n },设首项为2,则a 5=4,∴中间3尺的重量为3a 3=a 1+a 52×3=2+42×3=9(斤), 故选B.13.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A .6斤 B .9斤 C .斤 D .12 斤答案 A解析 依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列, 设首项a 1=4,则a 5=2,由等差数列性质得a 2+a 4=a 1+a 5=6, 所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.14.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红灯向下倍加增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?”其意思为“一座塔共七层,从塔顶至塔底,每层灯的数目都是上一层的2倍,已知这座塔共有381盏灯,请问塔顶有几盏灯?”( ) A .3 B .4 C .5 D .6答案 A解析 由题意设塔顶有a 盏灯,由题意由上往下数第n 层就有2n -1·a 盏灯,∴共有(1+2+4+8+16+32+64)a =381盏灯, 即1×?1-27?1-2a =381.解得a =3.15.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢.( ) A .3 B .4 C .5 D .6答案 B解析 由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列, 前n 天打洞之和为1-2n1-2=2n-1,同理,小老鼠前n 天打洞之和为1-?12?n1-12=2-12n -1,∴2n-1+2-12n -1=10,解得n ∈(3,4),取n =4. 即两鼠在第4天相逢.16.如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形,在所给的四个三角形图案中,着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( ) A .a n =3n -1B .a n =2n -1C .a n =3nD .a n =2n -1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项,分别为a 1=1,a 2=3,a 3=3×3=32,a 4=32×3,因此{a n }的通项公式可以是a n =3n -1.17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列.上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升. 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得⎩⎨⎧a 1+7d =43,d =766,则a 5=a 1+4d =a 1+7d -3d =43-2166=6766.18.华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片,同学们猜测它是一种乘法表的记录,请你根据这个猜测,判定表示________?(如图)答案395解析图片中记录的是自然数乘以9的运算结果,左列是被乘数,右列是该数乘以9的积数,经过分析可知:其中▽代表1,?代表10,代表60.所以表示60×6+10×3+5×1=395.19.在我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图A所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的着作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle),如图世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C r n+C r+1n=C r+1n+1,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C0n C1n…C r n…C n-1n C n n图A1 C1n+1C0n1C1n+1C1n…1C1n+1C r n…1C1n+1C n-1n1C1n+1C n n图B答案1C1n+1C r n=1C1n+2C r n+1+1C1n+2C r+1n+1解析类比观察得,莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C1n+1,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子C r n+C r+1n=C r+1n+1,有1C1n+1C r n=1C1n+2C r n+1+1C1n+2C r+1n+1.20.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数,将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测:(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项; (2)b 2k -1=________.(用k 表示) 答案 (1)5 030 (2)5k ?5k -1?2解析 由题意可得a n =1+2+3+…+n =n ?n +1?2,n ∈N *,故b 1=a 4,b 2=a 5,b 3=a 9,b 4=a 10,b 5=a 14,b 6=a 15, 由上述规律可知:b 2k =a 5k =5k ?5k +1?2(k ∈N *), b 2k -1=a 5k -1=?5k -1??5k -1+1?2=5k ?5k -1?2,故b 2 012=b 2×1 006=a 5×1 006=a 5 030, 即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项. 21.请认真阅读下列材料:“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数),称为莱布尼兹三角形(如图2)1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1… … 图1 … … 图2请回答下列问题:(1)记S n 为图1中第n 行各个数字之和,求S 4,S 7,并归纳出S n ; (2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数. 答案 (1)S 4=8=23;S 7=64=26; Sn =2n -1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和, 故第6行为16 130 160 160 130 16.三、空间几何体1.我国古代数学名着《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 C解析 如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸. ∵积水深9寸,∴水面半径为12(14+6)=10寸,则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142=3(寸).故选C.2.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为:V =112×(底面的圆周长的平方×高).则由此可推得圆周率π的取值为(注:1丈=10尺)( ) A .3 B . C . D .答案 A解析 由题意,圆柱体底面的圆周长48尺,高11尺, ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V =112×(底面的圆周长的平方×高), ∴V =112×(482×11)=2 112,设底面圆的半径为R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧2πR =48,πR 2×11=2 112,∴π=3.3.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈立方尺,π≈3),则圆柱底圆周长约为( ) A .1丈3尺 B .5丈4尺 C .9丈2尺 D .48丈6尺答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺,由题意得,谷仓高h=403尺.于是谷仓的体积V=πr2·h≈2 000×,解得r≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr≈54尺=5丈4尺.4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )答案B解析由题意知275L2h≈13πr2h?275L2≈13πr2,而L=2πr,代入得π≈258.5.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除,现有一个羡除如图所示,面ABCD、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是( )A.110 B.116C.118 D.120答案D解析过A作AP⊥CD,AM⊥EF,过B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分别为P,M,Q,N,将一侧的几何体放到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为12×10×3=15.棱柱的高为8,∴V=15×8=120.故选D.6.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式,即18V牟=r3-V方盖差,r为球的半径,也即正方形的棱长均为2r,从而计算出V球=43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正,棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差,则V方盖差V正等于( )答案C解析由题意,V方盖差=r3-18V牟=r3-18×4π×43×π×r3=13r3,所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=13×r×r× r2-?22r?2=26r3,∴V方盖差V正=13r326r3= 2.7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,当其正视图与侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( )A.a,b B.a,cC.c,b D.b,d答案A解析由直观图可知,其正视图与侧视图完全相同,则其只能是圆,这时其俯视图就是正方形加对角线(实线).故选A.8.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π,即V牟:V球=4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式,即18V牟=r3-V方盖差,从而计算出V球=43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正,则( ) A.V方盖差>V正B.V方盖差=V正C.V方盖差<V正D.以上三种情况都有可能答案A解析由题意,V方盖差=r3-18V牟=r3-18×4π×43πr3=13r3,所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=13×r×r× r2-?22r?2=26r3,∴V方盖差>V正.9.我国古代数学名着《数学九章》中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺(注:1丈等于10尺)( )A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺答案C解析 由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即木棍的高)长24尺,另一条直角边长5×2=10(尺),因此葛藤长242+102=26(尺).10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为9尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .28斛 C .36斛 D .66斛答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ,则π2r =9,解得r =18π, 故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45,∵1斛米的体积约为立方, ∴堆放的米有45÷≈28斛.11.《九章算术》是我国古代着名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB =1尺,弓形高CD =1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注:1丈=10尺=100寸,π≈,sin °≈513) A .600立方寸 B .610立方寸 C .620立方寸 D .633立方寸答案 D 解析 如图,AB =10(寸),则AD =5(寸),CD =1(寸),设圆O 的半径为x (寸),则OD =(x -1)(寸), 在Rt△ADO 中,由勾股定理可得52+(x -1)2=x 2, 解得x =13(寸). ∴sin∠AOD =AD AO =513, 即∠AOD ≈°,则∠AOB =45°.则弓形¼ACB 的面积S =12×π4×132-12×10×12 ≈(平方寸).则该木材镶嵌在墙中的体积约为V =×100 =633(立方寸).故选D.12.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为________.(容器壁的厚度忽略不计)答案41π解析由题意,该球形容器的半径的最小值为1236+4+1=412,∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414=41π.13.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).(1)如果该沙漏每秒钟漏下 cm3的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)?(2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度(精确到.答案(1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H=23×8=163,底面半径为r=23×4=83,V=13πr2H=13π×(83)2×163=,V÷=1 986(秒).所以沙全部漏入下部约需1 986秒.(2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设高为H′,V=13π×42×H′=1 02481π,H′=6427≈.锥形沙堆的高度约为 cm.14.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.。
关于中国结的数学问题
关于中国结的数学问题
《中国结的数学问题》
中国结是一种具有中国传统文化特色的手工艺品,它的结构美观、独特,常常被用于装饰和礼品。
然而,除了美观外,中国结还蕴含着一些数学问题,让我们来看看其中的一些。
首先,我们可以从几何角度来探讨中国结的数学问题。
中国结的结构多种多样,不同的结构形式可以通过不同的折叠和编织方式得到。
我们可以通过数学知识来分析这些结构的几何特征,比如角度、长度、曲率等,从而探讨不同结构之间的数学关系。
其次,我们可以从组合数学的角度来研究中国结。
中国结的编织过程常常涉及到不同颜色的线和不同的编织顺序,这就涉及到了排列组合的数学问题。
我们可以通过排列组合的知识,来计算中国结有多少种不同的编织方式,从而探讨不同方式之间的数学规律。
此外,在数学教育中,我们也可以通过中国结来引入一些数学概念,比如对称性、变换等。
通过中国结这个具体形象,让学生更直观地理解抽象的数学概念,从而提高他们的数学学习兴趣和能力。
因此,中国结不仅仅是一种美观的手工艺品,它还蕴含着丰富的数学问题和数学知识。
通过研究中国结的数学问题,我们不仅可以更深入地理解这一传统文化艺术品,还可以拓展数学教育的方式和内容,为学生提供更丰富的数学学习体验。
小学数学传统文化试题答案
小学数学传统文化试题答案一、填空题1. 在古代中国,算盘是常用的计算工具,它起源于____朝代。
答案:宋2. 中国古代数学家祖冲之,最为人所知的成就是计算出了圆周率的值在____之间。
答案:3.1415926和3.14159273. “九章算术”是中国古代一部重要的数学著作,它大约成书于____朝代。
答案:汉4. 中国传统的“二十四节气”是根据太阳在黄道上的位置划分的,其中“立春”标志着春天的开始,它通常落在公历的____月。
答案:25. 在中国传统文化中,八卦是象征宇宙变化的基本符号,其中代表天的卦象是____。
答案:乾二、判断题1. 中国古代的“算经十书”是指十本关于算术的专著。
答案:×(“算经十书”是指中国古代十种不同类型的算术书籍的总称,而非十本专著)2. “鸡兔同笼”问题是中国古代数学中的一个著名问题,它最早出现在《九章算术》中。
答案:√3. 中国传统数学中,使用“上中下”来表示分数的分子、分母,其中“上”表示分子。
答案:×4. 中国古代数学家李冶在《测圆海镜》中提出了“密率”这一概念,它的数值是355/113。
答案:√5. 中国传统的“易经”中,通过六十四卦的变化来预测未来,每一卦由六个爻组成。
答案:√三、简答题1. 请简述中国古代数学中的“天元术”。
答:天元术是中国古代数学中的一种代数方法,主要用于解决高次方程的问题。
它起源于宋朝,由数学家秦九韶在《数书九章》中首次提出。
天元术的核心思想是将未知数视为“天元”,通过设立方程并进行演算求解,这种方法在当时是非常先进的代数技巧。
2. 描述“商高公式”在中国古代数学中的应用及其意义。
答:商高公式是中国古代数学中用于计算直角三角形斜边和直角边比例的一个公式,其表述为“勾三股四弦五”。
这个公式揭示了直角三角形边长之间的比例关系,是中国古代数学对几何学的重要贡献。
它不仅在数学理论上具有重要意义,而且在实际测量、建筑等领域有着广泛的应用。
在数学教学中渗透传统文化案例
数学教课中浸透传统文化事例—鸡兔同笼问题本节课的内容是人教版义务教育课程标准实验教材六年级数学上册第七单元数学广角“鸡兔同笼”问题。
生活是数学的源泉。
本节课依照“从生活中来,到生活中去”的理念设计一条主线。
“以学生的发展为本,在学习过程中培育学生的数感。
指引学生把学到的知识应用到生活中去,用数学的目光去察看、思虑、解决四周的问题。
经过向学生供给了现实、风趣、富裕挑战的学习素材,借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题,使学生睁开议论,从多角度思虑,运用多种方法解题,学生能够应用猜想法、列表法(逐个列表法、跳跃式列表法、取中列表法)、假定法、列方程解决问题。
学生依据自己的经验,逐渐研究不一样的方法,找到解决问题的策略,在合作沟通学习的过程中,累积解决问题的经验,掌握解决问题的方法,同时在教课中浸透中华优异传统文化。
大概在1500 年前,在《孙子算经》记录的还认识了古代对这种题的解法叫做“砍足法”解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变为了“独角鸡”,每只兔就变为了“双脚兔”。
这一思路新奇而奇异,也令古今中外数学家赞美不已。
这种思想方法叫化归法。
化归法就是在解决问题时,先不对问题采纳直接的剖析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转变,直到最后把它归成某个已经解决的问题,很多小学算术应用题都能够转变为这种问题。
因而可知这个问题的研究不只能够使学生认识到数学中的一些重要的数学思想并且还认识到我国古代很早的数学论著中就已经波及到先进的数学思想和方法,无不令他们叹服。
教材剖析:“鸡兔同笼”问题是我公民间广为流传的数学趣题,一方面培育学生逻辑推理能力。
另一方面使学生领会代数方法的一般性。
本节课借助《孙子算经》中记录的“鸡兔同笼” 原题进行介绍,并经过学生绞尽脑汁该问题的画面激发学生解决该类问题的兴趣。
因为“鸡兔同笼”原题的数据较大,不便于学生进行探究,所以教材以化繁为简的思想为指导,先在例 1 中安排一道数据较小的“鸡兔同笼” 问题让学生研究解决的方法。
专题二第2讲高考中的数学传统文化
热点4 【例4】
数学推理与算法中的数学文化
公元263年左右,我国数学家刘徽发现:当
圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼 近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽 得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是 著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计 的一个程序框图,则输出n的值为_____.(参考数据:sin 15°≈0.258 8,sin 7.5°≈0.130 5, 3≈1.732)
《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光 点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意 思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( A.1盏 B.3盏 C.5盏 )
D.9盏
(2)(2018· 济南调研)《九章算术》之后,人们学会了 用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第 22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始, 每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一 月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一 天多织________尺布.( ) 1 8 16 16 A. B. C. D. 2 15 31 29 解析:(1)设灯塔的顶层有x盏灯,则各层的灯数an
[变式训练]
(1)我国古代数学名著《九章算术》有
“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒, 则这批米内夹谷约为( A.134石 ) B.169石
C.338石 D.1 365石 (2)如图是某老师讲解欧阳修《卖油翁》的课件用
图,若铜钱的直径为3 cm,中间有边长为0.25 cm的正方 形孔,则随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不 计),则油滴正好落入孔中的概率是________.
数学中的中国传统文化
数学中的中国传统文化教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如,在数学中增加数学文化的内容.”因此,我们特别策划了此专题,将数学文化与数学知识相结合,选取典型样题深度解读,希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.一、算法问题1.用更相减损术求294和84的最大公约数时,需要做减法的次数为()A.2 B.3C.4 D.5答案 C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42),一共做了4次减法.2.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为()A.4 B.2C.0 D.14答案 B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.3.用辗转相除法求459和357的最大公约数,需要做除法的次数是()A.1 B.2C.3 D.4答案 C解析∵459÷357=1…102,357÷102=3…51,102÷51=2,∴459和357的最大公约数是51,需要做除法的次数是3.124.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,对于求一个n 次多项式函数f n (x )=a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a 0的具体函数值,运用常规方法计算出结果最多需要n 次加法和n (n +1)2次乘法,而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n 次加法和n 次乘法.对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以此算法极大地缩短了CPU 运算时间,因此即使在今天该算法仍具有重要意义.运用秦九韶算法计算f (x )=0.5x 6+4x 5-x 4+3x 3-5x 当x =3时的值时,最先计算的是( )A .-5×3=-15B .0.5×3+4=5.5C .3×33-5×3=66D .0.5×36+4×35=1 336.6答案 B解析 f (x )=0.5x 6+4x 5-x 4+3x 3-5x =(((((0.5x +4)x -1)x +3)x +0)x -5)x ,然后由内向外计算,最先计算的是0.5×3+4=5.5.5.若用秦九韶算法求多项式f (x )=4x 5-x 2+2当x =3时的值,则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A .4,2B .5,3C .5,2D .6,2 答案 C解析 ∵f (x )=((((4x )x )x -1)x )x +2,∴乘法要运算5次,加减法要运算2次.6.已知函数f (x )=6x 6+5,当x =x 0时,用秦九韶算法求f (x 0)的值,需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A .21,6,2B .7,1,2C .0,1,2D .0,6,1答案 D解析 ∵f (x )=6x 6+5,多项式的最高次项的次数是6,∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1,运算过程中不需要乘方运算.7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a依次为2,2,5,x,n均为2,则输出的s等于()A.7 B.12C.17 D.34答案 C解析第一次运算,a=2,s=2,n=2,k=1,不满足k>n;第二次运算,a=2,s=2×2+2=6,k=2,不满足k>n;第三次运算,a=5,s=6×2+5=17,k=3,满足k>n,输出s=17,故选C.8.用秦九韶算法求多项式f(x)=x3-3x2+2x-11的值时,应把f(x)变形为()A.x3-(3x+2)x-11 B.(x-3)x2+(2x-11)C.(x-1)(x-2)x-11 D.((x-3)x+2)x-11答案 D解析f(x)=x3-3x2+2x-11=((x-3)x+2)x-119.用秦九韶算法求函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7当x=2的值时,v3的结果是() A.4 B.10C.16 D.33答案 C解析函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7=((((3x-2)x+2)x-4)x)x-7,3当x=2时,v0=3,v1=3×2-2=4,v2=4×2+2=10,v3=10×2-4=16.10.用秦九韶算法求多项式f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2的值,当x=-2时,v1的值为()A.1 B.7C.-7 D.-5答案 C解析∵f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2=(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+0.3)x+2,∴v0=a6=1, v1=v0x+a5=1×(-2)-5=-7.11.利用秦九韶算法求多项式f(x)=-6x4+5x3+2x+6的值,当x=3时,v3的值为() A.-486 B.-351C.-115 D.-339答案 C解析f(x)=-6x4+5x3+2x+6=(((-6x+5)x+0)x+2)x+6,∴v0=a4=-6,v1=v0x+a3=-6×3+5=-13,v2=v1x+a2=-13×3+0=-39,v3=v2x+a1=-39×3+2=-115.12.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为4,3,则输出v的值为()A.20 B.61C.183 D.5484答案 C解析由程序框图知,初始值:n=4,x=3,v=1,i=3,第一次循环:v=6,i=2;第二次循环:v=20,i=1;第三次循环:v=61,i=0;第四次循环:v=183,i=1.结束循环,输出当前v的值183.13.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”,当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生多少天?()A.1 326 B.510 C.429 D.336答案 B解析由题意满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510.14.用秦九韶算法计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1,乘法运算次数为____________.加法运算次数为________.答案5 5解析∵f(x)=((((5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1,∴乘法要运算5次,加法要运算5次15.若f(x)=x4+3x3+x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,需要乘法m次,加法n次,则m+n =________.答案 6解析f(x)=x4+3x3+x+1=(((x+3)x)x+1)x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,乘法运算与加法运算的次数和等于6.16.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,56其理论依据是:设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ,b ,c ,d ∈N *),则b +d a +c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.141 59…,若令3110<π<4915,则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值,即3110<π<165,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________.答案 22717.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在 222…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x .这可以通过方程2+x =x 确定x =2,则1+11+11+…=________. 答案 1+52解析 由题意,可令1+11+11+…=x ,即1+1x =x ,即x 2-x -1=0,解得x =1+52(x =1-52舍),故1+11+11+…=1+52. 18.用辗转相除法求840与1 764的最大公约数.答案 1 764=840×2+84,840=84×10+0,∴840与1 764的最大公约数是84.19.用更相减损术求440 与556的最大公约数.答案 556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,∴440与556的最大公约数4.20.用秦九韶算法求多项式f (x )=7x 7+6x 6+5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x 当x =3时的值. 答案 f (x )=((((((7x +6)x +5)x +4)x +3)x +2)x +1)xv 0=7,v 1=7×3+6=27,v2=27×3+5=86,v3=86×3+4=262,v4=262×3+3=789,v5=789×3+2=2 369,v6=2 369×3+1=7 108,v7=7 108×3+0=21 324,∴f(3)=21 324,即当x=3时,函数值是21 324.21.(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数;(2)用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x-4在x=2时的函数值.答案(1)1 785=840×2+105,840=105×8+0,∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下:f(x)=2x4+3x3+5x-4=x(2x3+3x2+5)-4=x[x(2x2+3x)+5]-4=x{x[x(2x+3)]+5}-4,故当x=2时,f(x)=2×{2×[2×(2×2+3)]+5}-4=62.22.(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数;(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4当x=3时的值.答案(1)779=247×3+38,247=38×6+19,38=19×2.故779与247的最大公约数是19;(2)把多项式改成如下形式:f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4=((((2x+4)x-2)x+8)x+7)x+4.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=3时的值:v0=2,v1=v0x+4=2×3+4=10,v2=v1x-2=10×3-2=28,v3=v2x+8=28×3+8=92,v4=v3x+7=92×3+7=283,v5=v4x+4=283×3+4=853.所以当x=3时,多项式f(x)的值是853.23.(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数;(2)用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+2x3-8x+5在x=2时的值.答案(1)1 995=228×8+171,228=171×1+57,7171=57×3,因此57是1 995与228的最大公约数.(2)f(x)=3x5+2x3-8x+5=((((3x+0)x+2)x+0)x-8)x+5当x=2时,v0=3,v1=3×2=6,v2=6×2+2=14,v3=14×2=28,v4=28×2-8=48,v5=48×2+5=101,所以当x=2时,多项式的值是101.24.(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数;(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数.答案(1)∵168-72=96,96-72=24,72-24=48,48-24=24,故72和168的最大公约数是24.(2)∵280=2×98+84,98=1×84+14,84=6×14,故98和280的最大公约数是14.25.用秦九韶算法求函数f(x)=x5+x3+x2+x+1当x=3时的函数值.答案f(x)=x5+x3+x2+x+1=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,v0=1,v1=v0×3+0=3;v2=v1×3+1=10;v3=v2×3+1=31;v4=v3×3+1=94;v5=v4×3+1=283,即x=3时的函数值为283.89二、数列问题1.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( )A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d ,则由题意可知,a -2d +a -d =a +a +d +a +2d ,即a =-6d ,又a -2d +a -d +a +a +d +a +2d =5a =5,∴a =1,则a -2d =a -2×(-a 6)=43a =43. 2.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.问:每等人比下等人多得几斤?”( )A.439B.778C.776D.58110答案 B解析 设第十等人得金a 1斤,第九等人得金a 2斤,以此类推,第一等人得金a 10斤, 则数列{a n }构成等差数列,设公差为d ,则每一等人比下一等人多得d 斤金,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+24d =4,解得d =778, ∴每一等人比下一等人多得778斤金. 3.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作,书中卷上第二十三问:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈.问日益几何?”其意思为“有个女子织布,每天比前一天多织相同量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织390尺.问:每天多织多少布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,估算出每天多织的布约有( )A .0.55尺B .0.53尺C .0.52尺D .0.5尺 答案 A解析 设每天多织d 尺,由题意a 1=5,{a n }是等差数列,公差为d ,∴S 30=30×5+30×292d =390, 解得d ≈0.55.4.《张丘建算经》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日,第五日,第八日所织之和为十五尺,问第九日所织尺数为( )A .7B .9C .11D .13 答案 D解析 设第一天织a 1尺,从第二天起每天比第一天多织d 尺,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1+7×62d =21,a 1+d +a 1+4d +a 1+7d =15,解得a 1=-3,d =2,∴第九日所织尺数为a 9=a 1+8d =-3+8×2=13.5.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?” 意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为( )A.23B.815C.2031D.35答案 C解析 由题意可得:每天织布的量组成了等比数列{a n },S 5=5,公比q =2 ,a 1(1-25)1-2=5, 计算可得a 1=531,所以a 3=531×22=2031. 6.在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的( )A .33%B .49%C .62%D .88% 答案 B解析 由题意可得:每日的织布量形成等差数列{a n },且a 1=5,a 30=1,设公差为d ,则1=5+29d ,解得d =-429. ∴S 10=5×10+10×92×(-429)=1 27029. S 30=30×(5+1)2=90. ∴该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈0.49=49%. 7.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( )A .30尺B .90尺C .150尺D .180尺 答案 B解析 由题意可得,每日的织布量形成等差数列{a n },且a 1=5,a 30=1,所以S 30=30×(5+1)2=90. 8.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A .9日B .8日C .16日D .12日答案 A解析 由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{a n },其中a 1=103,d =13;驽马每日行的距离成等差数列,记为{b n },其中b 1=97,d =-0.5;设第m 天相逢,则a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+…+b m=103m +m (m -1)×132+97m +m (m -1)×(-0.5)2=2×1 125,解得m =9(负值舍去).9.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )A.176升B.72升C.11366升 D.10933升 答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1,a 2,…a 9, 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 2+a 3+a 4=3a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 2+a 3)=33a 8=4,得⎩⎨⎧ a 2+a 3=32,a 8=43,所以a 2+a 3+a 8=32+43=176(升). 10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )A .24里B .48里C .96里D .192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列, 由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1-(12)6]1-12=378,解得a 1=192, ∴第二天此人走了192×12=96里. 11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )A .24里B .12里C .6里D .3里 答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n },可知{a n }是公比q =12的等比数列, 由S 6=378,得S 6=a 1(1-126)1-12=378,解得a 1=192,∴a 6=192×125=6. 12.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一段截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( )A .6斤B .9斤C .10斤D .12斤答案 B解析 此问题构成一个等差数列{a n },设首项为2,则a 5=4,∴中间3尺的重量为3a 3=a 1+a 52×3=2+42×3=9(斤), 故选B.13.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )A .6斤B .9斤C .9.5斤D .12 斤 答案 A解析 依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,设首项a 1=4,则a 5=2,由等差数列性质得a 2+a 4=a 1+a 5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.14.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红灯向下倍加增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?”其意思为“一座塔共七层,从塔顶至塔底,每层灯的数目都是上一层的2倍,已知这座塔共有381盏灯,请问塔顶有几盏灯?”( )A .3B .4C .5D .6答案 A解析 由题意设塔顶有a 盏灯,由题意由上往下数第n 层就有2n -1·a 盏灯,∴共有(1+2+4+8+16+32+64)a =381盏灯,即1×(1-27)1-2a =381. 解得a =3.15.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢.( )A .3B .4C .5D .6答案 B解析 由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,前n 天打洞之和为1-2n 1-2=2n -1, 同理,小老鼠前n 天打洞之和为1-(12)n 1-12=2-12n -1, ∴2n -1+2-12n -1=10,解得n ∈(3,4),取n =4. 即两鼠在第4天相逢.16.如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形,在所给的四个三角形图案中,着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )A .a n =3n -1B .a n =2n -1C .a n =3nD .a n =2n -1 答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项,分别为a 1=1,a 2=3,a 3=3×3=32,a 4=32×3,因此{a n }的通项公式可以是a n =3n -1.17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列.上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升. 答案 6766 解析 设该数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4, 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得⎩⎨⎧ a 1+7d =43,d =766,则a 5=a 1+4d =a 1+7d -3d =43-2166=6766. 18.华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片,同学们猜测它是一种乘法表的记录,请你根据这个猜测,判定表示________?(如图)答案 395解析 图片中记录的是自然数乘以9的运算结果,左列是被乘数,右列是该数乘以9的积数,经过分析可知:其中▽代表1,⊲代表10,代表60.所以表示60×6+10×3+5×1=395.19.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图A 所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle),如图 A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C r n +C r +1n =C r +1n +1,其中n 是行数,r ∈N . 请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n-1n C n n图A12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 120 1516 130 160 160 130 161C 1n +1C 0n 1C 1n +1C 1n …1C 1n +1C r n …1C 1n +1C n -1n 1C 1n +1C n n 图B答案 1C 1n +1C r n =1C 1n +2C r n +1+1C 1n +2C r +1n +1 解析 类比观察得,莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n +1,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子C r n +C r +1n =C r +1n +1,有1C 1n +1C r n =1C 1n +2C r n +1+1C 1n +2C r +1n +1. 20.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数,将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n },将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测:(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项;(2)b 2k -1=________.(用k 表示)答案 (1)5 030 (2)5k (5k -1)2解析 由题意可得a n =1+2+3+…+n =n (n +1)2,n ∈N *, 故b 1=a 4,b 2=a 5,b 3=a 9,b 4=a 10,b 5=a 14,b 6=a 15,由上述规律可知:b 2k =a 5k =5k (5k +1)2(k ∈N *), b 2k -1=a 5k -1=(5k -1)(5k -1+1)2=5k (5k -1)2,故b 2 012=b 2×1 006=a 5×1 006=a 5 030,即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项.21.请认真阅读下列材料:“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数),称为莱布尼兹三角形(如图2)11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1… …图11112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 15… …图2请回答下列问题:(1)记S n 为图1中第n 行各个数字之和,求S 4,S 7,并归纳出S n ;(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数.答案 (1)S 4=8=23;S 7=64=26;Sn =2n -1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和,故第6行为16 130 160 160 130 16. 三、空间几何体1.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)A .1B .2C .3D .4答案 C解析 如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.∵积水深9寸,∴水面半径为12(14+6)=10寸, 则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸). ∴平地降雨量等于588ππ×142=3(寸). 故选C.2.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为:V =112×(底面的圆周长的平方×高).则由此可推得圆周率π的取值为(注:1丈=10尺)( )A .3B .3.14C .3.2D .3.3答案 A解析 由题意,圆柱体底面的圆周长48尺,高11尺,∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V =112×(底面的圆周长的平方×高), ∴V =112×(482×11)=2 112,设底面圆的半径为R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2πR =48,πR 2×11=2 112, ∴π=3.3.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底圆周长约为( )A .1丈3尺B .5丈4尺C .9丈2尺D .48丈6尺 答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺,由题意得,谷仓高h =403尺. 于是谷仓的体积V =πr 2·h ≈2 000×1.62,解得r ≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr ≈54尺=5丈4尺.4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113 答案 B解析 由题意知275L 2h ≈13πr 2h ⇒275L 2≈13πr 2,而L =2πr ,代入得π≈258. 5.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除,现有一个羡除如图所示,面ABCD 、面ABFE 、面CDEF 均为等腰梯形,AB ∥CD ∥EF ,AB =6,CD =8,EF =10,EF 到面ABCD 的距离为3,CD 与AB 间的距离为10,则这个羡除的体积是( )A .110B .116C .118D .120答案 D解析 过A 作AP ⊥CD ,AM ⊥EF ,过B 作BQ ⊥CD ,BN ⊥EF ,垂足分别为P ,M ,Q ,N ,将一侧的几何体放到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为12×10×3=15.棱柱的高为8,∴V =15×8=120. 故选D.6.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式,即18V 牟=r 3-V 方盖差,r 为球的半径,也即正方形的棱长均为2r ,从而计算出V 球=43πr 3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正,棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方盖差,则V 方盖差V 正等于( )A.12B.22C. 2D. 3答案 C解析 由题意,V 方盖差=r 3-18V 牟=r 3-18×4π×43×π×r 3=13r 3,所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为 V 正=13×r ×r ×r 2-(22r )2=26r 3, ∴V 方盖差V 正=13r 326r 3= 2.7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,当其正视图与侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( )A .a ,bB .a ,cC .c ,bD .b ,d答案 A解析 由直观图可知,其正视图与侧视图完全相同,则其只能是圆,这时其俯视图就是正方形加对角线(实线). 故选A.8.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π,即V 牟:V 球=4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式,即18V 牟=r 3-V 方盖差,从而计算出V 球=43πr 3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正,则( ) A .V 方盖差>V 正B .V 方盖差=V 正C .V 方盖差<V 正D .以上三种情况都有可能 答案 A解析 由题意,V 方盖差=r 3-18V 牟=r 3-18×4π×43πr 3=13r 3,所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正=13×r ×r ×r 2-(22r )2=26r 3, ∴V 方盖差>V 正.9.我国古代数学名著《数学九章》 中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺(注:1丈等于10尺)( ) A .29尺 B .24尺 C .26尺 D .30尺答案 C解析 由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即木棍的高)长24尺,另一条直角边长5×2=10(尺),因此葛藤长242+102=26(尺).10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为9尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( )A .14斛B .28斛C .36斛D .66斛答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ,则π2r =9,解得r =18π,故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45,∵1斛米的体积约为1.62立方, ∴堆放的米有45÷1.62≈28斛.11.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB =1尺,弓形高CD =1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin 22.5°≈513)A .600立方寸B .610立方寸C .620立方寸D .633立方寸答案 D 解析 如图,AB =10(寸),则AD =5(寸),CD =1(寸), 设圆O 的半径为x (寸),则OD =(x -1)(寸), 在Rt △ADO 中,由勾股定理可得52+(x -1)2=x 2, 解得x =13(寸).∴sin ∠AOD =AD AO =513,即∠AOD ≈22.5°,则∠AOB =45°.则弓形ACB 的面积S =12×π4×132-12×10×12≈6.33(平方寸).则该木材镶嵌在墙中的体积约为V =6.33×100 =633(立方寸). 故选D.12.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组, 经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为________.(容器壁的厚度忽略不计)答案 41π解析 由题意,该球形容器的半径的最小值为1236+4+1=412, ∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414=41π.13.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm ,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm 3的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)? (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm).答案 (1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 H =23×8=163,底面半径为r =23×4=83,V =13πr 2H =13π×(83)2×163=39.71,V ÷0.02=1 986(秒).所以沙全部漏入下部约需1 986秒.(2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4, 设高为H ′,V =13π×42×H ′=1 02481π,H ′=6427≈2.4.锥形沙堆的高度约为2.4 cm.14.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P -ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD =CD ,过棱PC 的中点E ,作EF ⊥PB 交PB 于点F ,连接DE ,DF ,BD ,BE .(1)证明:PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.。
中国古代数学名题——三阶换方
我国古代数学名题——三阶换方概述:1. 三阶换方是我国古代数学中的一个重要问题,涉及到代数方程与几何图形的相互关系,充分展示了我国古代数学的丰富内涵和高超智慧。
历史渊源:2. 三阶换方的历史可以追溯到我国古代的《周髀算经》,其中记载了对三阶换方问题的探讨和解法。
在我国古代数学发展的各个阶段,都有学者对三阶换方问题进行了深入研究,为我国古代数学的发展做出了重要贡献。
问题表述与求解方法:3. 三阶换方问题是指如何构造一个边长与底的乘积与高的乘积相等的正方形。
其数学表述为:若边长为a,底为b,高为c,求正方形的边长x,使得ax^2 = bc。
4. 古代学者在研究三阶换方问题时,提出了多种解法,包括几何图形的构造法、变量替换法、勾股定理的运用等。
这些方法既展示了古代学者的数学才华,也为后人探索数学规律提供了宝贵的经验。
数学意义与应用价值:5. 三阶换方问题的研究对于我国古代数学的发展具有重要意义,它不仅拓展了数学领域的研究范围,还促进了数学理论的进一步探索和发展。
6. 三阶换方问题的解法也为古代建筑、农业生产等领域提供了实际的应用价值,为古代社会的发展做出了贡献。
现代研究与传承:7. 虽然三阶换方问题在现代数学中已经被更为先进的理论和方法取代,但其对于数学研究方法的影响仍然存在。
一些现代数学研究者通过对三阶换方问题的再研究,发现了其在抽象代数、几何学等领域的深刻内涵。
8. 我国古代数学宝贵的传统文化资源为我们提供了充足的研究素材,对三阶换方问题的传承和研究有助于继承和发扬中华民族的数学文化遗产。
结语:9. 三阶换方问题是我国古代数学的一颗璀璨明珠,它不仅展示了古代数学家的才华横溢和智慧,也为我国古代数学的发展和丰富传统文化留下了宝贵的遗产。
我们应当珍惜这一宝贵的文化遗产,继承并传承下去,为推动我国数学事业的发展做出积极贡献。
对于我国古代数学而言,三阶换方问题是一个具有代表性的数学难题,其传承和研究对于推动我国古代数学文化的传统,继承和发扬中华民族的数学文化遗产有着重要的意义。
数学中的传统文化问题大全
数学中的传统文化问题大全Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】数学中的中国传统文化一、算法问题1.用更相减损术求294和84的最大公约数时,需要做减法的次数为( )A.2 B.3C.4 D.5答案C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42),一共做了4次减法.2.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为( )A.4 B.2C.0 D.14答案B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.3.用辗转相除法求459和357的最大公约数,需要做除法的次数是( )A.1 B.2C.3 D.4答案C解析∵459÷357=1…102,357÷102=3…51,102÷51=2,∴459和357的最大公约数是51,需要做除法的次数是3.4.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,对于求一个n次多项式函数f n(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的具体函数值,运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和n?n+1?2次乘法,而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法.对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以此算法极大地缩短了CPU运算时间,因此即使在今天该算法仍具有重要意义.运用秦九韶算法计算f(x)=+4x5-x4+3x3-5x当x=3时的值时,最先计算的是( )A.-5×3=-15B.×3+4=C.3×33-5×3=66D.×36+4×35=1答案B解析f(x)=+4x5-x4+3x3-5x=((((+4)x-1)x+3)x+0)x-5)x,然后由内向外计算,最先计算的是×3+4=.5.若用秦九韶算法求多项式f(x)=4x5-x2+2当x=3时的值,则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A.4,2 B.5,3C.5,2 D.6,2答案C解析∵f(x)=((((4x)x)x-1)x)x+2,∴乘法要运算5次,加减法要运算2次.6.已知函数f(x)=6x6+5,当x=x0时,用秦九韶算法求f(x0)的值,需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.21,6,2 B.7,1,2C.0,1,2 D.0,6,1答案D解析∵f(x)=6x6+5,多项式的最高次项的次数是6,∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1,运算过程中不需要乘方运算.7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a依次为2,2,5,x,n均为2,则输出的s等于( )A.7 B.12C.17 D.34答案C解析第一次运算,a=2,s=2,n=2,k=1,不满足k>n;第二次运算,a=2,s=2×2+2=6,k=2,不满足k>n;第三次运算,a=5,s=6×2+5=17,k=3,满足k>n,输出s=17,故选C.8.用秦九韶算法求多项式f(x)=x3-3x2+2x-11的值时,应把f(x)变形为( )A.x3-(3x+2)x-11 B.(x-3)x2+(2x-11)C.(x-1)(x-2)x-11 D.((x-3)x+2)x-11答案D解析f(x)=x3-3x2+2x-11=((x-3)x+2)x-119.用秦九韶算法求函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7当x=2的值时,v3的结果是( )A.4 B.10C.16 D.33答案C解析函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7=((((3x-2)x+2)x-4)x)x-7,当x=2时,v0=3,v1=3×2-2=4,v2=4×2+2=10,v3=10×2-4=16.10.用秦九韶算法求多项式f(x)=x6-5x5+6x4+x2++2的值,当x=-2时,v1的值为( ) A.1 B.7C.-7 D.-5答案 C解析∵f(x)=x6-5x5+6x4+x2++2=(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+x+2,∴v0=a6=1, v1=v0x+a5=1×(-2)-5=-7.11.利用秦九韶算法求多项式f(x)=-6x4+5x3+2x+6的值,当x=3时,v3的值为( ) A.-486 B.-351C.-115 D.-339答案C解析f(x)=-6x4+5x3+2x+6=(((-6x+5)x+0)x+2)x+6,∴v0=a4=-6,v1=v0x+a3=-6×3+5=-13,v2=v1x+a2=-13×3+0=-39,v3=v2x+a1=-39×3+2=-115.12.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为4,3,则输出v的值为( )A.20 B.61C.183 D.548答案C解析由程序框图知,初始值:n=4,x=3,v=1,i=3,第一次循环:v=6,i=2;第二次循环:v=20,i=1;第三次循环:v=61,i=0;第四次循环:v=183,i=1.结束循环,输出当前v的值183.13.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”,当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生多少天( )A.1 326 B.510 C.429 D.336答案B解析由题意满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510.14.用秦九韶算法计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1,乘法运算次数为____________.加法运算次数为________.答案 5 5解析∵f(x)=((((5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1,∴乘法要运算5次,加法要运算5次15.若f(x)=x4+3x3+x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,需要乘法m次,加法n次,则m+n =________.答案6解析f(x)=x4+3x3+x+1=(((x+3)x)x+1)x+1,用秦九韶算法计算f(π)时,乘法运算与加法运算的次数和等于6.16.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc(a,b,c,d∈N*),则b+da+c是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=59…,若令3110<π<4915,则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值,即3110<π<165,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________.答案22 717.我国古代数学名着《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在222…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x.这可以通过方程2+x=x确定x=2,则1+11+11+…=________.答案1+52解析由题意,可令1+11+11+…=x,即1+1x=x,即x2-x-1=0,解得x=1+52(x=1-52舍),故1+11+11+…=1+52.18.用辗转相除法求840与1 764的最大公约数.答案 1 764=840×2+84,840=84×10+0,∴840与1 764的最大公约数是84.19.用更相减损术求440 与556的最大公约数.答案556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,∴440与556的最大公约数4.20.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.答案f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7,v1=7×3+6=27,v2=27×3+5=86,v3=86×3+4=262,v4=262×3+3=789,v5=789×3+2=2 369,v6=2 369×3+1=7 108,v7=7 108×3+0=21 324,∴f(3)=21 324,即当x=3时,函数值是21 324.21.(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数;(2)用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x-4在x=2时的函数值.答案(1)1 785=840×2+105,840=105×8+0,∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下:f(x)=2x4+3x3+5x-4=x(2x3+3x2+5)-4=x[x(2x2+3x)+5]-4=x{x[x(2x+3)]+5}-4,故当x=2时,f(x)=2×{2×[2×(2×2+3)]+5}-4=62. 22.(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数;(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4当x=3时的值.答案(1)779=247×3+38,247=38×6+19,38=19×2.故779与247的最大公约数是19;(2)把多项式改成如下形式:f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4=((((2x+4)x-2)x+8)x+7)x+4.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=3时的值:v0=2,v1=v0x+4=2×3+4=10,v2=v1x-2=10×3-2=28,v3=v2x+8=28×3+8=92,v4=v3x+7=92×3+7=283,v5=v4x+4=283×3+4=853.所以当x=3时,多项式f(x)的值是853.23.(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数;(2)用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+2x3-8x+5在x=2时的值.答案(1)1 995=228×8+171,228=171×1+57,171=57×3,因此57是1 995与228的最大公约数.(2)f(x)=3x5+2x3-8x+5=((((3x+0)x+2)x+0)x-8)x+5当x=2时,v0=3,v1=3×2=6,v2=6×2+2=14,v3=14×2=28,v4=28×2-8=48,v5=48×2+5=101,所以当x=2时,多项式的值是101.24.(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数;(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数.答案(1)∵168-72=96,96-72=24,72-24=48,48-24=24,故72和168的最大公约数是24.(2)∵280=2×98+84,98=1×84+14,84=6×14,故98和280的最大公约数是14.25.用秦九韶算法求函数f(x)=x5+x3+x2+x+1当x=3时的函数值.答案f(x)=x5+x3+x2+x+1=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,v0=1,v1=v0×3+0=3;v2=v1×3+1=10;v3=v2×3+1=31;v4=v3×3+1=94;v5=v4×3+1=283,即x=3时的函数值为283.二、数列问题1.《九章算术》是我国古代的数学名着,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( ) 钱 钱 钱 钱答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d ,则由题意可知,a -2d +a -d =a +a +d +a +2d ,即a =-6d , 又a -2d +a -d +a +a +d +a +2d =5a =5,∴a =1,则a -2d =a -2×(-a 6)=43a =43.2.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.问:每等人比下等人多得几斤”( )答案 B解析 设第十等人得金a 1斤,第九等人得金a 2斤,以此类推,第一等人得金a 10斤, 则数列{a n }构成等差数列,设公差为d ,则每一等人比下一等人多得d 斤金,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+24d =4,解得d =778, ∴每一等人比下一等人多得778斤金. 3.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学着作,书中卷上第二十三问:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈.问日益几何”其意思为“有个女子织布,每天比前一天多织相同量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织390尺.问:每天多织多少布”已知1匹=4丈,1丈=10尺,估算出每天多织的布约有( ) A .尺 B .尺 C .尺 D .尺答案 A解析 设每天多织d 尺,由题意a 1=5,{a n }是等差数列,公差为d , ∴S 30=30×5+30×292d =390, 解得d ≈.4.《张丘建算经》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日,第五日,第八日所织之和为十五尺,问第九日所织尺数为( ) A .7 B .9 C .11 D .13答案 D解析 设第一天织a 1尺,从第二天起每天比第一天多织d 尺, 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1+7×62d =21,a 1+d +a 1+4d +a 1+7d =15,解得a 1=-3,d =2,∴第九日所织尺数为a 9=a 1+8d =-3+8×2=13.5.古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何” 意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少”根据已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为( ) 答案 C解析 由题意可得:每天织布的量组成了等比数列{a n },S 5=5,公比q =2 ,a 1?1-25?1-2=5,计算可得a 1=531,所以a 3=531×22=2031. 6.在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的( ) A .33% B .49% C .62% D .88%答案 B解析 由题意可得:每日的织布量形成等差数列{a n }, 且a 1=5,a 30=1,设公差为d ,则1=5+29d ,解得d =-429. ∴S 10=5×10+10×92×(-429)=1 27029. S 30=30×?5+1?2=90. ∴该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈=49%. 7.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( ) A .30尺 B .90尺 C .150尺 D .180尺答案 B解析 由题意可得,每日的织布量形成等差数列{a n }, 且a 1=5,a 30=1, 所以S 30=30×?5+1?2=90. 8.在我国古代着名的数学专着《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢( ) A .9日 B .8日 C .16日 D .12日答案 A解析 由题意知,良马每日行的距离成等差数列, 记为{a n },其中a 1=103,d =13; 驽马每日行的距离成等差数列, 记为{b n },其中b 1=97,d =-;设第m 天相逢,则a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+…+b m =103m +m ?m -1?×132+97m +m ?m -1?×?-?2=2×1 125,解得m =9(负值舍去).9.《九章算术》是我国古代第一部数学专着,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少”该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( ) 升 升 升 升答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1,a 2,…a 9,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧2?a 2+a 3?=33a 8=4,得⎩⎨⎧a 2+a 3=32,a 8=43,所以a 2+a 3+a 8=32+43=176(升).10.中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( ) A .24里 B .48里 C .96里 D .192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1-?12?6]1-12=378,解得a 1=192,∴第二天此人走了192×12=96里.11.中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( ) A .24里 B .12里 C .6里 D .3里答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n },可知{a n }是公比q =12的等比数列,由S 6=378,得S 6=a 1?1-126?1-12=378,解得a 1=192,∴a 6=192×125=6.12.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何”意思是:“现有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一段截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( )A.6斤B.9斤C.10斤D.12斤答案B解析此问题构成一个等差数列{a n},设首项为2,则a5=4,∴中间3尺的重量为3a3=a1+a52×3=2+42×3=9(斤),故选B.13.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )A.6斤B.9斤C.斤D.12 斤答案A解析依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2,由等差数列性质得a2+a4=a1+a5=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.14.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红灯向下倍加增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯”其意思为“一座塔共七层,从塔顶至塔底,每层灯的数目都是上一层的2倍,已知这座塔共有381盏灯,请问塔顶有几盏灯”() A.3 B.4C.5 D.6答案A解析由题意设塔顶有a盏灯,由题意由上往下数第n层就有2n-1·a盏灯,∴共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381盏灯,即1×?1-27?1-2a=381.解得a=3.15.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢”上述问题中,两鼠在第几天相逢.( )A .3B .4C .5D .6答案 B解析 由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列, 前n 天打洞之和为1-2n1-2=2n-1,同理,小老鼠前n 天打洞之和为1-?12?n1-12=2-12n -1,∴2n-1+2-12n -1=10,解得n ∈(3,4),取n =4. 即两鼠在第4天相逢.16.如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形,在所给的四个三角形图案中,着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )A .a n =3n -1B .a n =2n -1C .a n =3nD .a n =2n -1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项,分别为a 1=1,a 2=3,a 3=3×3=32,a 4=32×3,因此{a n }的通项公式可以是a n =3n -1.17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列.上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升. 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1,公差为d , 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得⎩⎨⎧a 1+7d =43,d =766,则a 5=a 1+4d =a 1+7d -3d =43-2166=6766.18.华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片,同学们猜测它是一种乘法表的记录,请你根据这个猜测,判定表示________(如图)答案395解析图片中记录的是自然数乘以9的运算结果,左列是被乘数,右列是该数乘以9的积数,经过分析可知:其中▽代表1,?代表10,代表60.所以表示60×6+10×3+5×1=395.19.在我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图A所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的着作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle),如图世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C r n+C r+1n=C r+1n+1,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C0n C1n…C r n…C n-1n C n n图A1 21 21 316131 41121121415 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 1C 1n +1C 0n 1C 1n +1C 1n …1C 1n +1Cr n…1C 1n +1C n -1n 1C 1n +1C n n图B答案1C 1n +1Cr n=1C 1n +2C r n +1+1C 1n +2C r +1n +1解析 类比观察得,莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n +1,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子C r n +C r +1n =C r +1n +1, 有1C 1n +1Cr n=1C 1n +2C r n +1+1C 1n +2C r +1n +1. 20.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数,将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n },将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测:(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项; (2)b 2k -1=________.(用k 表示) 答案 (1)5 030 (2)5k ?5k -1?2解析 由题意可得a n =1+2+3+…+n =n ?n +1?2,n ∈N *,故b 1=a 4,b 2=a 5,b 3=a 9,b 4=a 10,b 5=a 14,b 6=a 15, 由上述规律可知:b 2k =a 5k =5k ?5k +1?2(k ∈N *), b 2k -1=a 5k -1=?5k -1??5k -1+1?2=5k ?5k -1?2,故b 2 012=b 2×1 006=a 5×1 006=a 5 030, 即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项. 21.请认真阅读下列材料:“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数),称为莱布尼兹三角形(如图2)1 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1……图1111 21 21 316131 4112112141 512013012015……图2请回答下列问题:(1)记S n为图1中第n行各个数字之和,求S4,S7,并归纳出S n;(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数.答案(1)S4=8=23;S7=64=26;Sn=2n-1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和,故第6行为1613016016013016.三、空间几何体1.我国古代数学名着《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.∵积水深9寸,∴水面半径为12(14+6)=10寸,则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142=3(寸).故选C.2.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为:V =112×(底面的圆周长的平方×高).则由此可推得圆周率π的取值为(注:1丈=10尺)( ) A .3 B . C . D .答案 A解析 由题意,圆柱体底面的圆周长48尺,高11尺, ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V =112×(底面的圆周长的平方×高), ∴V =112×(482×11)=2 112, 设底面圆的半径为R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧2πR =48,πR 2×11=2 112,∴π=3.3.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈立方尺,π≈3),则圆柱底圆周长约为( ) A .1丈3尺 B .5丈4尺 C .9丈2尺 D .48丈6尺答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺, 由题意得,谷仓高h =403尺.于是谷仓的体积V=πr2·h≈2 000×,解得r≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr≈54尺=5丈4尺.4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )答案B解析由题意知275L2h≈13πr2h?275L2≈13πr2,而L=2πr,代入得π≈258.5.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除,现有一个羡除如图所示,面ABCD、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是( )A.110 B.116C.118 D.120答案D解析过A作AP⊥CD,AM⊥EF,过B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分别为P,M,Q,N,将一侧的几何体放到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为12×10×3=15.棱柱的高为8,∴V=15×8=120.故选D.6.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式,即18V牟=r3-V方盖差,r为球的半径,也即正方形的棱长均为2r,从而计算出V球=43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正,棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差,则V方盖差V正等于( )答案C解析由题意,V方盖差=r3-18V牟=r3-18×4π×43×π×r3=13r3,所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=13×r×r× r2-?22r?2=26r3,∴V方盖差V正=13r326r3= 2.7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,当其正视图与侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( )A.a,b B.a,cC.c,b D.b,d答案A解析由直观图可知,其正视图与侧视图完全相同,则其只能是圆,这时其俯视图就是正方形加对角线(实线).故选A.8.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π,即V牟:V球=4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式,即18V牟=r3-V方盖差,从而计算出V球=43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正,则( )A.V方盖差>V正B.V方盖差=V正C.V方盖差<V正D.以上三种情况都有可能答案A解析由题意,V方盖差=r3-18V牟=r3-18×4π×43πr3=13r3,所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=13×r×r× r2-?22r?2=26r3,∴V方盖差>V正.9.我国古代数学名着《数学九章》中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺(注:1丈等于10尺)( )A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺答案C解析由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即木棍的高)长24尺,另一条直角边长5×2=10(尺),因此葛藤长242+102=26(尺).10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为9尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( )A.14斛B.28斛C.36斛D.66斛答案B解析设圆锥的底面半径为r,则π2r=9,解得r=18π,故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45,∵1斛米的体积约为立方,∴堆放的米有45÷≈28斛.11.《九章算术》是我国古代着名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注:1丈=10尺=100寸,π≈,sin °≈5 13)A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸答案D解析如图,AB =10(寸),则AD =5(寸),CD =1(寸),设圆O 的半径为x (寸),则OD =(x -1)(寸), 在Rt△ADO 中,由勾股定理可得52+(x -1)2=x 2, 解得x =13(寸). ∴sin∠AOD =AD AO =513, 即∠AOD ≈°,则∠AOB =45°.则弓形ACB 的面积S =12×π4×132-12×10×12≈(平方寸).则该木材镶嵌在墙中的体积约为V =×100 =633(立方寸). 故选D.12.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组, 经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为________.(容器壁的厚度忽略不计)答案 41π解析 由题意,该球形容器的半径的最小值为1236+4+1=412, ∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414=41π. 13.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm ,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).(1)如果该沙漏每秒钟漏下 cm 3的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)(2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度(精确到.答案 (1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H =23×8=163,底面半径为r =23×4=83,V =13πr 2H =13π×(83)2×163=, V ÷=1 986(秒).所以沙全部漏入下部约需1 986秒.(2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4, 设高为H ′,V =13π×42×H ′=1 02481π, H ′=6427≈.锥形沙堆的高度约为 cm.14.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P -ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD =CD ,过棱PC 的中点E ,作EF ⊥PB 交PB 于点F ,连接DE ,DF ,BD ,BE .(1)证明:PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.。
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数学中的中国传统文化一、算法问题1.用更相减损术求294和84的最大公约数时,需要做减法的次数为()A.2 B.3C.4 D.5答案 C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42),一共做了4次减法.2.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为()A.4 B.2C.0 D.14答案 B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.3.用辗转相除法求459和357的最大公约数,需要做除法的次数是()A.1 B.2C.3 D.4答案 C解析∵459÷357=1…102,357÷102=3…51,102÷51=2,∴459和357的最大公约数是51,需要做除法的次数是3.4.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,对于求一个n次多项式函数f n(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的具体函数值,运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和n(n+1)2次乘法,而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法.对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以此算法极大地缩短了CPU运算时间,因此即使在今天该算法仍具有重要意义.运用秦九韶算法计算f(x)=0.5x6+4x5-x4+3x3-5x当x=3时的值时,最先计算的是()A.-5×3=-15B.0.5×3+4=5.5C.3×33-5×3=66D.0.5×36+4×35=1 336.6答案 B解析f(x)=0.5x6+4x5-x4+3x3-5x=(((((0.5x+4)x-1)x+3)x+0)x-5)x,然后由内向外计算,最先计算的是0.5×3+4=5.5.5.若用秦九韶算法求多项式f(x)=4x5-x2+2当x=3时的值,则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A.4,2 B.5,3C.5,2 D.6,2答案 C解析∵f(x)=((((4x)x)x-1)x)x+2,∴乘法要运算5次,加减法要运算2次.6.已知函数f(x)=6x6+5,当x=x0时,用秦九韶算法求f(x0)的值,需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为()A.21,6,2 B.7,1,2C.0,1,2 D.0,6,1答案 D解析∵f(x)=6x6+5,多项式的最高次项的次数是6,∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1,运算过程中不需要乘方运算.7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a依次为2,2,5,x,n均为2,则输出的s等于()A.7 B.12C.17 D.34答案 C解析第一次运算,a=2,s=2,n=2,k=1,不满足k>n;第二次运算,a=2,s=2×2+2=6,k=2,不满足k>n;第三次运算,a=5,s=6×2+5=17,k=3,满足k>n,输出s=17,故选C.8.用秦九韶算法求多项式f(x)=x3-3x2+2x-11的值时,应把f(x)变形为()A.x3-(3x+2)x-11 B.(x-3)x2+(2x-11)C.(x-1)(x-2)x-11 D.((x-3)x+2)x-11答案 D解析f(x)=x3-3x2+2x-11=((x-3)x+2)x-119.用秦九韶算法求函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7当x=2的值时,v3的结果是() A.4 B.10C.16 D.33答案 C解析函数f(x)=3x5-2x4+2x3-4x2-7=((((3x-2)x+2)x-4)x)x-7,当x=2时,v0=3,v1=3×2-2=4,v2=4×2+2=10,v3=10×2-4=16.10.用秦九韶算法求多项式f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2的值,当x=-2时,v1的值为()A.1 B.7C.-7 D.-5答案 C解析∵f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2=(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+0.3)x+2,∴v0=a6=1, v1=v0x+a5=1×(-2)-5=-7.11.利用秦九韶算法求多项式f(x)=-6x4+5x3+2x+6的值,当x=3时,v3的值为() A.-486 B.-351C.-115 D.-339答案 C解析f(x)=-6x4+5x3+2x+6=(((-6x+5)x+0)x+2)x+6,∴v0=a4=-6,v1=v0x+a3=-6×3+5=-13,v2=v1x+a2=-13×3+0=-39,v3=v2x+a1=-39×3+2=-115.12.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为4,3,则输出v的值为()A.20 B.61C.183 D.548答案 C解析由程序框图知,初始值:n=4,x=3,v=1,i=3,第一次循环:v=6,i=2;第二次循环:v=20,i=1;第三次循环:v=61,i=0;第四次循环:v=183,i=1.结束循环,输出当前v的值183.13.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”,当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生多少天?( )A .1 326B .510C .429D .336答案 B解析 由题意满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510.14.用秦九韶算法计算多项式f (x )=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x +1,乘法运算次数为____________.加法运算次数为________.答案 5 5解析 ∵f (x )=((((5x +4)x +3)x +2)x +1)x +1,∴乘法要运算5次,加法要运算5次15.若f (x )=x 4+3x 3+x +1,用秦九韶算法计算f (π)时,需要乘法m 次,加法n 次,则m +n =________.答案 6解析 f (x )=x 4+3x 3+x +1=(((x +3)x )x +1)x +1,用秦九韶算法计算f (π)时,乘法运算与加法运算的次数和等于6.16.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ,b ,c ,d ∈N *),则b +d a +c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.141 59…,若令3110<π<4915,则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值,即3110<π<165,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________.答案 22717.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在222…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x .这可以通过方程2+x =x 确定x =2,则1+11+11+…=________. 答案 1+52解析 由题意,可令1+11+11+…=x ,即1+1x =x ,即x 2-x -1=0,解得x =1+52(x =1-52舍),故1+11+11+…=1+52. 18.用辗转相除法求840与1 764的最大公约数.答案 1 764=840×2+84,840=84×10+0,∴840与1 764的最大公约数是84.19.用更相减损术求440 与556的最大公约数.答案 556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,∴440与556的最大公约数4.20.用秦九韶算法求多项式f (x )=7x 7+6x 6+5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x 当x =3时的值. 答案 f (x )=((((((7x +6)x +5)x +4)x +3)x +2)x +1)xv 0=7,v 1=7×3+6=27,v 2=27×3+5=86,v 3=86×3+4=262,v 4=262×3+3=789,v 5=789×3+2=2 369,v 6=2 369×3+1=7 108,v 7=7 108×3+0=21 324,∴f (3)=21 324,即当x =3时,函数值是21 324.21.(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数;(2)用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x-4在x=2时的函数值.答案(1)1 785=840×2+105,840=105×8+0,∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下:f(x)=2x4+3x3+5x-4=x(2x3+3x2+5)-4=x[x(2x2+3x)+5]-4=x{x[x(2x +3)]+5}-4,故当x=2时,f(x)=2×{2×[2×(2×2+3)]+5}-4=62.22.(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数;(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4当x=3时的值.答案(1)779=247×3+38,247=38×6+19,38=19×2.故779与247的最大公约数是19;(2)把多项式改成如下形式:f(x)=2x5+4x4-2x3+8x2+7x+4=((((2x+4)x-2)x+8)x+7)x+4.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=3时的值:v0=2,v1=v0x+4=2×3+4=10,v2=v1x-2=10×3-2=28,v3=v2x+8=28×3+8=92,v4=v3x+7=92×3+7=283,v5=v4x+4=283×3+4=853.所以当x=3时,多项式f(x)的值是853.23.(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数;(2)用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+2x3-8x+5在x=2时的值.答案(1)1 995=228×8+171,228=171×1+57,171=57×3,因此57是1 995与228的最大公约数.(2)f(x)=3x5+2x3-8x+5=((((3x+0)x+2)x+0)x-8)x+5当x=2时,v0=3,v1=3×2=6,v2=6×2+2=14,v3=14×2=28,v4=28×2-8=48,v5=48×2+5=101,所以当x=2时,多项式的值是101.24.(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数;(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数.答案(1)∵168-72=96,96-72=24,72-24=48,48-24=24,故72和168的最大公约数是24.(2)∵280=2×98+84,98=1×84+14,84=6×14,故98和280的最大公约数是14.25.用秦九韶算法求函数f(x)=x5+x3+x2+x+1当x=3时的函数值.答案f(x)=x5+x3+x2+x+1=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,v0=1,v1=v0×3+0=3;v2=v1×3+1=10;v3=v2×3+1=31;v4=v3×3+1=94;v5=v4×3+1=283,即x=3时的函数值为283.二、数列问题1.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( )A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d ,则由题意可知,a -2d +a -d =a +a +d +a +2d ,即a =-6d ,又a -2d +a -d +a +a +d +a +2d =5a =5,∴a =1,则a -2d =a -2×(-a 6)=43a =43. 2.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.问:每等人比下等人多得几斤?”( )A.439 B.778 C.776D.581 答案 B解析 设第十等人得金a 1斤,第九等人得金a 2斤,以此类推,第一等人得金a 10斤, 则数列{a n }构成等差数列,设公差为d ,则每一等人比下一等人多得d 斤金,由题意得⎩⎨⎧ a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4,即⎩⎨⎧4a 1+6d =3,3a 1+24d =4,解得d =778, ∴每一等人比下一等人多得778斤金. 3.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作,书中卷上第二十三问:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈.问日益几何?”其意思为“有个女子织布,每天比前一天多织相同量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织390尺.问:每天多织多少布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,估算出每天多织的布约有( )A .0.55尺B .0.53尺C .0.52尺D .0.5尺 答案 A解析 设每天多织d 尺,由题意a 1=5,{a n }是等差数列,公差为d ,∴S 30=30×5+30×292d =390, 解得d ≈0.55.4.《张丘建算经》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,第二日,第五日,第八日所织之和为十五尺,问第九日所织尺数为( )A .7B .9C .11D .13 答案 D解析 设第一天织a 1尺,从第二天起每天比第一天多织d 尺,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1+7×62d =21,a 1+d +a 1+4d +a 1+7d =15,解得a 1=-3,d =2,∴第九日所织尺数为a 9=a 1+8d =-3+8×2=13.5.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?” 意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为( ) A.23B.815C.2031D.35 答案 C解析 由题意可得:每天织布的量组成了等比数列{a n },S 5=5,公比q =2 ,a 1(1-25)1-2=5, 计算可得a 1=531,所以a 3=531×22=2031. 6.在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的( ) A .33% B .49% C .62% D .88%答案 B解析 由题意可得:每日的织布量形成等差数列{a n }, 且a 1=5,a 30=1,设公差为d ,则1=5+29d ,解得d =-429. ∴S 10=5×10+10×92×(-429)=1 27029. S 30=30×(5+1)2=90.∴该女子到第10日时,大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈0.49=49%. 7.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( ) A .30尺 B .90尺 C .150尺 D .180尺答案 B解析 由题意可得,每日的织布量形成等差数列{a n }, 且a 1=5,a 30=1, 所以S 30=30×(5+1)2=90. 8.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( ) A .9日 B .8日 C .16日 D .12日答案 A解析 由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{a n },其中a 1=103,d =13; 驽马每日行的距离成等差数列, 记为{b n },其中b 1=97,d =-0.5;设第m 天相逢,则a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+…+b m =103m +m (m -1)×132+97m +m (m -1)×(-0.5)2=2×1 125,解得m =9(负值舍去).9.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1,a 2,…a 9,由题意得⎩⎨⎧ a 1+a 2+a 3+a 4=3a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎨⎧2(a 2+a 3)=33a 8=4,得⎩⎨⎧a 2+a 3=32,a 8=43,所以a 2+a 3+a 8=32+43=176(升).10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( ) A .24里 B .48里 C .96里 D .192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1-(12)6]1-12=378,解得a 1=192,∴第二天此人走了192×12=96里.11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( ) A .24里 B .12里 C .6里 D .3里答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n },可知{a n }是公比q =12的等比数列,由S 6=378,得S 6=a 1(1-126)1-12=378,解得a 1=192,∴a 6=192×125=6.12.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一段截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .6斤 B .9斤 C .10斤 D .12斤 答案 B解析 此问题构成一个等差数列{a n },设首项为2,则a 5=4,∴中间3尺的重量为3a 3=a 1+a 52×3=2+42×3=9(斤), 故选B.13.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A .6斤 B .9斤 C .9.5斤 D .12 斤答案 A解析 依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,设首项a 1=4,则a 5=2,由等差数列性质得a 2+a 4=a 1+a 5=6, 所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.14.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红灯向下倍加增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?”其意思为“一座塔共七层,从塔顶至塔底,每层灯的数目都是上一层的2倍,已知这座塔共有381盏灯,请问塔顶有几盏灯?”( ) A .3 B .4 C .5 D .6答案 A解析 由题意设塔顶有a 盏灯,由题意由上往下数第n 层就有2n -1·a 盏灯, ∴共有(1+2+4+8+16+32+64)a =381盏灯, 即1×(1-27)1-2a =381.解得a =3.15.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”上述问题中,两鼠在第几天相逢.( ) A .3 B .4 C .5 D .6 答案 B解析 由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列, 前n 天打洞之和为1-2n 1-2=2n -1,同理,小老鼠前n 天打洞之和为1-(12)n1-12=2-12n -1,∴2n -1+2-12n -1=10,解得n ∈(3,4),取n =4.即两鼠在第4天相逢.16.如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形,在所给的四个三角形图案中,着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )A .a n =3n -1B .a n =2n -1C .a n =3nD .a n =2n -1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项,分别为a 1=1,a 2=3,a 3=3×3=32,a 4=32×3,因此{a n }的通项公式可以是a n =3n -1.17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列.上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升. 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意⎩⎨⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎨⎧4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得⎩⎨⎧a 1+7d =43,d =766,则a 5=a 1+4d =a 1+7d -3d =43-2166=6766.18.华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片,同学们猜测它是一种乘法表的记录,请你根据这个猜测,判定表示________?(如图)答案 395解析图片中记录的是自然数乘以9的运算结果,左列是被乘数,右列是该数乘以9的积数,经过分析可知:其中▽代表1,⊲代表10,代表60.所以表示60×6+10×3+5×1=395.19.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图A所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle),如图A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C r n+C r+1n=C r+1n+1,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.1 112 1133 11464 11510105 1…C0n C1n…C r n…C n-1n C n n图A1 21 21 316131 4112112141 5120130120151 6130160160130161C1n+1C0n1C1n+1C1n…1C1n+1C r n…1C1n+1C n-1n1C1n+1C n n图B答案1C1n+1C r n=1C1n+2C r n+1+1C1n+2C r+1n+1解析类比观察得,莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C1n+1,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子C rn +C r+1n=C r+1n+1,有1 C1n+1C r n =1C1n+2C r n+1+1C1n+2C r+1n+1.20.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数,将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n },将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测:(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项; (2)b 2k -1=________.(用k 表示) 答案 (1)5 030 (2)5k (5k -1)2解析 由题意可得a n =1+2+3+…+n =n (n +1)2,n ∈N *,故b 1=a 4,b 2=a 5,b 3=a 9,b 4=a 10,b 5=a 14,b 6=a 15, 由上述规律可知:b 2k =a 5k =5k (5k +1)2(k ∈N *),b 2k -1=a 5k -1=(5k -1)(5k -1+1)2=5k (5k -1)2,故b 2 012=b 2×1 006=a 5×1 006=a 5 030, 即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项. 21.请认真阅读下列材料:“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数),称为莱布尼兹三角形(如图2)1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1… … 图1 11 12 1213 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15… … 图2请回答下列问题:(1)记S n 为图1中第n 行各个数字之和,求S 4,S 7,并归纳出S n ; (2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数. 答案 (1)S 4=8=23; S 7=64=26; Sn =2n -1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和, 故第6行为16 130 160 160 130 16.三、空间几何体1.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 C解析 如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.∵积水深9寸,∴水面半径为12(14+6)=10寸,则盆中水的体积为13π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142=3(寸).故选C.2.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为:V =112×(底面的圆周长的平方×高).则由此可推得圆周率π的取值为(注:1丈=10尺)( ) A .3 B .3.14 C .3.2 D .3.3答案 A解析 由题意,圆柱体底面的圆周长48尺,高11尺, ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V =112×(底面的圆周长的平方×高), ∴V =112×(482×11)=2 112, 设底面圆的半径为R ,∴⎩⎨⎧2πR =48,πR 2×11=2 112,∴π=3.3.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底圆周长约为( ) A .1丈3尺 B .5丈4尺 C .9丈2尺 D .48丈6尺答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺, 由题意得,谷仓高h =403尺. 于是谷仓的体积V =πr 2·h ≈2 000×1.62, 解得r ≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr ≈54尺=5丈4尺.4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227 B.258C.15750 D.355113答案 B解析由题意知275L2h≈13πr2h⇒275L2≈13πr2,而L=2πr,代入得π≈258.5.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除,现有一个羡除如图所示,面ABCD、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是()A.110 B.116C.118 D.120答案 D解析过A作AP⊥CD,AM⊥EF,过B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分别为P,M,Q,N,将一侧的几何体放到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为12×10×3=15.棱柱的高为8,∴V=15×8=120.故选D.6.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式,即18V牟=r3-V方盖差,r为球的半径,也即正方形的棱长均为2r,从而计算出V球=43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正,棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差,则V方盖差V正等于()A.12 B.22C. 2D. 3 答案 C解析由题意,V方盖差=r3-18V牟=r3-18×4π×43×π×r3=13r3,所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=13×r×r×r2-(22r)2=26r3,∴V方盖差V正=13r326r3= 2.7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,当其正视图与侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是()A.a,b B.a,cC.c,b D.b,d答案 A解析 由直观图可知,其正视图与侧视图完全相同,则其只能是圆,这时其俯视图就是正方形加对角线(实线). 故选A.8.刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积:他不直接给出球体的体积,而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算,“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π,即V 牟:V 球=4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式,即18V牟=r 3-V 方盖差,从而计算出V 球=43πr 3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正,则( )A .V 方盖差>V 正B .V 方盖差=V 正C .V 方盖差<V 正D .以上三种情况都有可能 答案 A解析 由题意,V 方盖差=r 3-18V 牟=r 3-18×4π×43πr 3=13r 3,所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正=13×r ×r ×r 2-(22r )2=26r 3, ∴V 方盖差>V 正.9.我国古代数学名著《数学九章》 中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺(注:1丈等于10尺)( ) A .29尺 B .24尺 C .26尺 D .30尺答案 C解析 由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即木棍的高)长24尺,另一条直角边长5×2=10(尺),因此葛藤长242+102=26(尺).10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为9尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( )A .14斛B .28斛C .36斛D .66斛答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ,则π2r =9,解得r =18π,故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45,∵1斛米的体积约为1.62立方, ∴堆放的米有45÷1.62≈28斛.11.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB =1尺,弓形高CD =1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin 22.5°≈513)A .600立方寸B .610立方寸C .620立方寸D .633立方寸答案 D 解析 如图,AB =10(寸),则AD =5(寸),CD =1(寸), 设圆O 的半径为x (寸),则OD =(x -1)(寸), 在Rt △ADO 中,由勾股定理可得52+(x -1)2=x 2, 解得x =13(寸). ∴sin ∠AOD =AD AO =513, 即∠AOD ≈22.5°,则∠AOB =45°.则弓形ACB 的面积S =12×π4×132-12×10×12≈6.33(平方寸).则该木材镶嵌在墙中的体积约为V =6.33×100 =633(立方寸). 故选D.12.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组, 经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为________.(容器壁的厚度忽略不计)答案 41π解析 由题意,该球形容器的半径的最小值为1236+4+1=412, ∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414=41π. 13.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm ,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm 3的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)?(2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm).答案 (1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 H =23×8=163,底面半径为r =23×4=83,V =13πr 2H =13π×(83)2×163=39.71,V ÷0.02=1 986(秒).所以沙全部漏入下部约需1 986秒.(2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4, 设高为H ′,V =13π×42×H ′=1 02481π,H ′=6427≈2.4. 锥形沙堆的高度约为2.4 cm.14.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P -ABCD 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD =CD ,过棱PC 的中点E ,作EF ⊥PB 交PB 于点F ,连接DE ,DF ,BD ,BE .(1)证明:PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写。