2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评 六十八
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+二十 任意角和弧度制及任意角的三角函数
核心素养测评二十任意角和弧度制及任意角的三角函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若sin α<0且tan α<0,则α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选D.由sin α<0,得α的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上;由tan α<0,得α在第二或第四象限,所以α是第四象限角.2.sin 2cos 3tan 4的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,所以sin 2cos 3tan 4<0.3.若角α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【解析】选A.当k为偶数时,令k=2n,α=45°+n·360°,此时α为第一象限角,排除C,D;当k为奇数时,令k=2n+1,α=225°+n·360°,此时α是第三象限角,排除B;所以角α的终边落在第一或第三象限.4.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是( )A. B. C. D.【解析】选B.l=|α|r,所以|α|===.5.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]【解析】选A.由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以解得-2<a≤3.6.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( ) A. B.C. D.【解析】选D.点P,即P,点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),所以θ=.7.(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°,cos150°),则α=( )A.150°B.135°C.300°D.60°【解析】选C.由sin 150°=>0,cos 150°=-<0,可知角α终边上一点的坐标为,所以该点在第四象限,由三角函数的定义得sin α=-,因为0°≤α<360°,所以角α为300°.二、填空题(每小题5分,共15分)8.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是________. 【解析】一个周角是2π,因此分针10分钟转过的角的弧度数为×2π=.答案:9.(2020·扬州模拟)在平面直角坐标系xOy中,60°角终边上一点P 的坐标为(1,m),则实数m的值为________.【解析】因为60°角终边上一点P的坐标为(1,m),所以tan 60°=, 因为tan 60°=,所以m=.答案:10.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________.【解析】设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,所以α=.答案:(15分钟35分)1.(5分)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.设扇形的半径为r(r>0),弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=|α|r2=×4×r2,解得r=1,l=|α|r=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.2.(5分)(2019·南昌模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于( )A.sin 2B.-sin 2C.cos 2D.-cos 2【解析】选D.因为r==2,由任意角的三角函数的定义,sin α==-cos 2.3.(5分)函数y=的定义域为________.【解析】因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示). 所以x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)4.(10分)已知角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边上有一点P(3a,4a),其中a≠0,求sin α,cosα,tanα.【解析】设r=|OP|==5|a|.①当a>0时,r=5a,所以sin α==,cos α==,tan α==;②当a<0时,r=-5a,所以sin α=-,cos α=-,tan α=.综上,sin α=,cos α=,tan α=,或sin α=-,cos α=-,tan α=.5.(10分)已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cos α=x.求sin α+的值.【解析】因为P(x,-)(x≠0),所以点P到原点的距离r=.又cos α=x,所以cos α==x.因为x≠0,所以x=±,r=2.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,sin α=-,=-,所以sin α+=--=-;当x=-时,同理可得sin α+=.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2).(1)若x1=,求x2.(2)过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=S2,求tan α的值.【解析】(1)因为x1=,y1>0,所以y1==,sin α=,cos α=,所以x2=cos=cos αcos-sin αsin=-.(2)S1=sin αcos α=sin 2α.因为α∈,所以α+∈,S2=-sin cos=-sin=-cos 2α.因为S1=S2,所以sin 2α=-cos 2α,即tan 2α=-,所以=-,解得tan α=2或tan α=-.因为α∈,所以tan α=2.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+10.5 曲线与方程
核心考点·精准研析考点一直接法求轨迹方程【典例】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).(1)求△ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为,k AC=,k AB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.由得所以△ABC的外接圆圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0),由MN⊥MP,得·=0,所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,故弦EF中点的轨迹方程为+=.直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.(1)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为( )A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x(2)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为________.【解析】(1)选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).因为·=·,所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).答案:x2+3y2=4(x≠±1)考点二定义法求轨迹方程【典例】1.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.【解析】1.如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|,故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).2.由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点). 设曲线M:+=1(a>b>0,y≠0),则a2=4,b2=a2-=3,所以曲线M的方程为+=1(y≠0).1.定义法的适用范围若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.2.注意2个易误点(1)因对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.(如典例1中,动点M的轨迹是双曲线的一支,故应限制条件x≤-1) (2)不会迁移应用已知条件,而找不到解题思路,而无法解题.(如典例2中,若不能正确转化|CA|+|CB|,则很难求出曲线M的轨迹方程)△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.【解析】如图,令内切圆与三边的切点分别为D,E,F,可知|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=|AE|-|BE|=8-2=6<|AB|=10.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为-=1(x>3).答案:-=1(x>3)考点三相关点法求轨迹方程【典例】如图,已知P是椭圆+y2=1上一点,PM⊥x轴于M.若=λ.(1)求点N的轨迹方程.(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.【解析】(1)设点P,点N的坐标分别为P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),=(x1-x,-y)=(0,-y),由=λ得(0,y-y1)=λ(0,-y).所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.因为P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,则+=1,所以+(1+λ)2y2=1,故+(1+λ)2y2=1为所求的点N的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+λ)2=,解得λ=-或λ=-.故当λ=-或λ=-时,N点的轨迹是圆.相关点法求曲线方程的四个步骤:(2020·济南模拟)已知Q为圆x2+y2=1上一动点,Q在x轴,y轴上的射影分别为点A,B,动点P满足=,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)过点的直线与曲线C交于M,N两点,判断以MN为直径的圆是否过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.【解析】(1)设Q(x0,y0),P(x,y),则+=1,由=得代入+=1,得+y2=1,故曲线C的方程为:+y2=1.(2)假设存在满足条件的定点,由对称性可知,该定点在y轴上,设定点为H(0,m),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-,由,得(1+4k2)x2-kx-=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)-=-,y1y2==k2x1x2-k(x1+x2)+=,因为=(x1,y1-m),=(x2,y2-m),所以·=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2==0,对任意的k恒成立,所以解得m=1,即定点为H(0,1),当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆也过定点(0,1), 综上,以MN为直径的圆过定点(0,1).【变式备选】1.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是( )A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.圆D.椭圆【解析】选B.当ab<0时,方程ax2-ay2=b化简得y2-x2=-,方程表示双曲线.焦点坐标在y轴上.2.已知曲线:①y2=x;②x2+y2=1;③y=x3;④x2-y2=1.上述四条曲线中,满足“若曲线与直线y=kx+b有且仅有一个公共点,则它们必相切”的曲线的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④【解析】选B.①当直线y=kx+b和抛物线y2=x的对称轴平行时,曲线与直线有且仅有一个公共点,但此时直线不是切线,故①错误,②当直线y=kx+b和圆x2+y2=1只有一个公共点时,直线与圆相切,故②正确,③当直线y=kx+b和x轴平行时,直线和y=x3只有一个交点,但此时直线和曲线不相切,故③错误,④当直线y=kx+b和双曲线x2-y2=1的渐近线平行时,直线和双曲线有一个交点,但此时直线y=kx+b和双曲线不相切,故④错误,故正确的只有②.3.如图,△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,|AD|=4,|BC|=8,|AB|=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,则点P在平面α内的轨迹是 ( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【解析】选B.由题意知+2×=10,则|PA|+|PB|=40>|AB|=6,又因为P,A,B三点不共线,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆的一部分.4.已知直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.因为直线y=mx+3m=m(x+3)经过定点P(-3,0),m为斜率;曲线y=是以原点为圆心,半径r=2的圆的上半圆,所以同一坐标系内作出它们的图象,如图,当直线与半圆切于A点时,它们有唯一公共点,此时,直线的倾斜角α满足sin α=,所以cos α==,可得直线的斜率m=tan α==,当直线y=mx+3m的倾斜角由此位置变小时,两图象有两个不同的交点,直到直线斜率m变成0为止,由此可得当0≤m<时,直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评 七十八
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核心素养测评七十八参数方程(20分钟40分)1.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),可得其直角坐标方程为y=x2(-2≤x≤2),由曲线C2的极坐标方程为ρsin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,所以m=x2-x=-,因为-2≤x≤2,曲线C1与曲线C2有公共点,所以-≤m≤6.2.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数,θ∈[0,2π)),曲线C2的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C1,C2的普通方程.(2)求曲线C1上一点P到曲线C2的距离的最大值.【解析】(1)由题意知,曲线C1的普通方程为x2+=1,曲线C2的普通方程为x+y+2=0.(2)设点P的坐标为(cos α,3sin α),则点P到直线C2的距离d==,所以当sin=1,即α=时,d max=2,即点P到曲线C2的距离的最大值为2.3.(10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值. 【解析】(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.因为x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.(2)将代入曲线C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则所以|AB|=|t1-t2|===,所以4cos2α=2,cos α=±,α=或.4.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+七十四+二项分布、正态分布及其应用
核心素养测评七十四二项分布、正态分布及其应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.三次均为红球的概率为××=,三次均为黄、绿球的概率也为,所以抽取3次颜色相同的概率为++=.2.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则P(B)= ( )A. B. C. D.【解析】选C.因为P==,P==,所以P===.3.已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一粒豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)= ( )A.1-B.C.1-D.【解析】选C.设正方形ABCD的边长为2,则内切圆的半径为1,正方形EFGH的边长为,所以P==,P=,所以P===1-.4.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=(ABC)∪(AB)∪(A C),且A,B,C相互独立,ABC,AB,A C互斥, 所以P(E)=P(ABC)+P(AB)+P(A C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P()+P(A)·P()P(C)=××+××1-+×1-×=.5. 甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选A.设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P(··)= P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=1-×1-×1-=.所以击中的概率P=1-P(··)=.6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为p p≥,则n的最小值为( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为p p≥,所以p=1-n≥,所以n≤.所以n的最小值为4.7.已知随机变量X服从二项分布X～B6,,则P(X=2)等于( )A. B. C. D.【解析】选D.因为随机变量X服从二项分布X～B6,,所以P(X=2)=21-4=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为________.【解析】设甲击中目标记为事件A,乙击中目标记为事件B,则P(A∩)= 0.6×0.3=0.18,P(∩B)=0.4×0.7=0.28,P(∩)=0.4×0.3=0.12,所以甲、乙至多一人击中目标的概率为0.18+0.28+0.12=0.58.答案:0.589.将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,所求概率P=6+6+6=.答案:10.甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p p>,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.则p的值为__________,设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,则随机变量ξ的分布列为__________.【解析】依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以有p2+(1-p)2=.解得p=或p=.因为p>,所以p=.依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=1-=,P(ξ=6)=1-1-·1=.所以随机变量ξ的分布列为:ξ 2 4 6P答案:ξ 2 4 6P(15分钟35分)1.(5分)质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.质检部门从中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好,则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选A.设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”,事件D表示“检测通过”,事件E表示“检测良好”,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.所以P(E|D)====.2.(5分)一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个黄球,一个绿球”,则P(B|A)= ( )A. B. C. D.【解析】选D. 因为P==,P==,所以P===.【变式备选】袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是,现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球,甲先取,乙后取,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球每一次被取到的机会是等可能的,那么甲取到白球的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选 D.设白球有n个,=,n=3,所以P(甲取到白球)=+××+×××=.3.(5分)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是________.【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,所以第3次击中目标的概率是0.9,所以①正确,因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以本题是一个独立重复试验,根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1,所以②不正确,因为至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14.所以③正确. 答案:①③4.(10分)一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内.(1)恰有一套设备能正常工作的概率;(2)能进行通讯的概率.【解析】记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A,“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.由题意知P(A)=p3,P(B)=p3,P()=1-p3,P()=1-p3.(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·+·B)=P(A·)+P(·B) =p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6.(2)两套设备都不能正常工作的概率为P( ·)=P()·P()=(1-p3)2.至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为1-P(·)=1-P()·P()=1-(1-p3)2=2p3-p6. 【变式备选】甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设P n表示经过n次传递后球回到甲手中的概率,求:(1)P2的值;(2)P n(用n表示)的值.【解析】(1)经过一次传球后,落在乙丙丁手中的概率分別为,而落在甲手中概率为0,因此P1= 0,两次传球后球落在甲手中的概率为P2= ×+×+×=.(2)要想经过n次传球后球落在甲的手中,那么在n-1次传球后球一定不在甲手中,所以P n=(1-P n-1), n= 2, 3, 4, …,因此P3=(1-P2)=×=,P4=(1-P3)=×=,P5=(1-P4)=×=,P6=(1-P5)=×=,因为P n=(1-P n-1) ,所以P n-=-P n-1- ,P n-=P1-·,所以P n=-·.5.(10分)(2020·太原模拟)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好地制定2020年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.利用该正态分布,求:(i)在2020年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?附:参考数据与公式≈2.63,X～N(μ,σ2)则①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 3.【解析】(1)=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40(千元).(2)由题意,X～N(17.40,6.92).(i)因为P(X>μ-σ)=+≈0.841 4,所以μ-σ=17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.(ii)由P(X≥12.14)=P(X≥μ-2σ)=0.5+≈0.977 3,得每位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.977 3,记1 000位农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ,则ξ～B(103,p),其中p=0.977 3,于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(ξ=k)=p k(1-p,从而由=>1,得k<1 001p,而1 001p=978.277 3,所以,当0≤k≤978时,P(ξ=k-1)<P(ξ=k) ,当979≤k≤1 000时, P(ξ=k-1)>P(ξ=k),由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+六十九 分类加法计数原理与分步乘法计数原理】
核心素养测评六十九分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,从A到O的不同的走法(不重复过一点)有______种( )A.1B.2C.4D.5【解析】选D.分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和A→C→O,有2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O,有2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5(种)不同的走法.2.将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是 ( )A.2 160B.720C.240D.120【解题指南】按顺序分步骤确定每张门票的分法种数,根据分步乘法计数原理得到结果.【解析】选B.分步来完成此事.第1张有10种分法,第2张有9种分法,第3张有8种分法,共有10×9×8=720(种)分法.3.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )A.10种B.25种C.52种D.24种【解析】选D.每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理可知,共有24种不同的走法.4.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( )A.36种B.48种C.96种D.192种【解析】选C.设4门课程分别为1,2,3,4,甲选修2门,可有1,2;1,3;1,4;2,3; 2,4;3,4共6种情况,同理乙,丙均可有1,2,3;1,2,4;2,3,4;1,3,4共4种情况,所以不同的选修方案共有6×4×4=96(种).5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是 ( )A.65B.56C.30D.11【解析】选B.每一位同学有5种不同的选择,则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是56.6.《九章算术》中记载有“阳马,鳖臑(biēnào)”,阳马是底面为矩形,有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,鳖臑是四个面都是直角三角形的四面体.若以正方体的顶点为阳马的顶点,可以得到m个阳马,以正方体的顶点为鳖臑的顶点,可以得到n个鳖臑,则( )A.m=12,n=24B.m=36,n=24C.m=12,n=72D.m=36,n=72【解析】选D.因为以正方体的一个顶点为四棱锥的顶点所得的阳马有3个,而正方体有12个顶点,所以阳马的个数m=36,因为每个阳马可以拆分为2个鳖臑,所以鳖臑的个数n=72.7.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演,原节目单上有9个节目已经排好顺序,又有3个新节目需要加进去,不改变原来的顺序,则新节目单的排法有______种 ( )A.12B.27C.729D.1 320【解题指南】可以考虑3个新节目逐一加入原来的节目单中去. 【解析】选D.第一步:9个节目空出10个位置,可以加入1个新来的节目,所以加入一个新节目有10种方法,第二步:从排好的10个节目空出的11个位置中,加入第2个新节目,有11种方法,第三步:从排好的11个节目空出的12个位置中,加入第3个新节目,有12种方法,所以由分步乘法计数原理得加入3个新节目后的节目单的排法有10×11×12=1 320(种).二、填空题(每小题5分,共15分)8.小明计划在2019年的暑假从他居住的昆明到北京去游学,他可以坐动车,也可以乘高铁,还可以乘飞机,已知动车每日5班,高铁每日10班,飞机每日2班,则小明在某一天从昆明到北京有________种出行方式.【解析】出行方式分3类,动车有5种方式,高铁有10种方式,飞机有2种方式,这三类的每一种方式都可以达到出行目的,所以由分类加法计数原理得共有5+10+2=17种出行方式.答案:179.甲组有4名男同学、2名女同学;乙组有5名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有______种.【解析】分两类:第一类,甲组1男1女,乙组2男0女,再分两个步骤,第一步甲组选1男1女,有4×2=8(种)方法,第二步乙组选2男0女,把5个男同学编号1,2,3,4,5,从中选2人,有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,有10种方法,所以第一类共有8×10=80种方法,第二类,甲组2男0女,乙组1男1女,再分两个步骤,第一步甲组选2男0女,把4个男同学编号1,2,3,4,从中选2人,有12,13,14,23,24,34,共6种方法,第二步乙组选1男1女,有5×2=10(种)方法,所以第二类共有6×10=60种方法,所以选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有80+60=140(种).答案:14010.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M 的“子集对”共有________个.【解析】当A={1}时,B有23-1种情况;当A={2}时,B有22-1种情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1种情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况.所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).答案:17(15分钟35分)1.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6种B.12种C.30种D.36种【解析】选C.考虑问题的反面:甲、乙所选的课程2门都相同,把4门课程编号为1,2,3,4,从中选2门,有12,13,14,23,24,34共6种方法,所以甲、乙的选法都有6种,所以甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6×6-6=30(种).2.(5分)一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看这4道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有( ) A.24种 B.36种C.48种D.72种【解析】选B.按照甲的情形分类:第一类:甲照看第一道工序,则丙照看第四道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12(种)方案,第二类:甲照看第四道工序,则乙照看第一道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12(种)方案,第三类:甲不照看第一道工序,也不照看第四道工序,则乙照看第一道工序,丙照看第四道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12种方案,所以由分类加法计数原理得不同的安排方案共有12+12+12=36(种).【一题多解】选B.按照4道工序的安排分为两个步骤,第一步安排第一道工序和第四道工序,(1)甲照看第一道工序,丙照看第四道工序,(2)甲照看第四道工序,乙照看第一道工序,(3)乙照看第一道工序,丙照看第四道工序,所以符合条件的方案有3种,第二步安排余下的两道工序,有4×3=12(种)方案,由分步乘法计数原理得不同的安排方案有3×12=36(种).3.(5分)如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有 ( )A.256种B.128种C.72种D.64种【解析】选C.按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).4.(10分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任意选取3个不同的数字,(1)求这3个数字组成等差数列的个数;(2)求以这3个数字为边长组成的三角形的个数.【解析】(1)按照公差的大小分类:公差为1的数列,有8个(0,1,2;1,2,3;2,3,4;…;7,8,9),公差为2的数列,有6个(0,2,4;1,3,5;2,4,6;…;5,7,9),公差为3的数列,有4个(0,3,6;1,4,7;2,5,8;3,6,9),公差为4的数列,有2个(0,4,8;1,5,9),所以公差为正数的等差数列有8+6+4+2=20(个).由对称性可知公差为负数的等差数列也有20个,所以这3个数字组成等差数列的个数为40.(2)按照边长最大的边分类:最长边为9,有7,8,9;6,8,9;5,8,9;4,8,9;3,8,9;2,8,9;6,7,9;5,7,9;4,7,9;3,7,9;5,6,9;4,6,9,共12个;最长边为8,有6,7,8;5,7,8;4,7,8;3,7,8;2,7,8;5,6,8;4,6,8;3,6,8;4,5,8,共9个;最长边为7,有5,6,7;4,6,7;3,6,7;2,6,7;4,5,7;3,5,7,共6个;最长边为6,有4,5,6,共1个.所以能组成三角形的个数为12+9+6+1=28.5.(10分)现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法? 【解析】(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理共有5+2+7=14(种)不同的选法.(2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法.(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种)不同的选法.第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法. 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法, 所以有10+35+14=59(种)不同的选法.【拓广探索练】1.(2020·聊城模拟)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首数为2的“六合数”共有( ) A.18 B.15 C.12 D.9【解析】选B.若由3个2,一个0组成六合数,符合题意的有3个;若由2个2,2个1组成六合数,有3个;若由1个2,1个0,1个3,1个1,符合条件的六合数有6个;若由1个2,1个4,2个0组成六合数,共有3个.依分类加法计数原理可知:共有3+3+6+3=15个.2.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P 的个数为______.【解析】依题意可知:当a=1时,b=5,6,两种情况;当a=2时,b=5,6,两种情况;当a=3时,b=4,5,6,三种情况;当a=4时,b=3,5,6,三种情况;当a=5或6时,b各有五种情况.所以,共有2+2+3+3+5+5=20种情况.答案:20关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评 六
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核心素养测评六函数的奇偶性、对称性与周期性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( ) A.y=- B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.【变式备选】下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( )A.y=B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|【解析】选B.因为y=是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以A错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=在(0,+∞)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增函数,所以C,D错误.2.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln (e x+1)-bx是偶函数,则log a b= ( )A.1B.-1C.-D.【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.因为g(1)=g(-1),所以ln (e+1)-b=ln +b,所以b=,所以log2=-1.3.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( )A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数.【变式备选】设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】选C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)·g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选C.因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知,f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,2)上单调递减,则下列结论正确的是( )A.0<f(1)<f(3)B.f(3)<0<f(1)C.f(1)<0<f(3)D.f(3)<f(1)<0【解析】选C.由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(3)=f(-1),又f(x)在 [0,2)上单调递减,所以函数f(x)在(-2,2)上单调递减,所以f(-1)>f(0)>f(1),即f(1)<0<f(3),故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________.【解析】令g(x)=ln(-x),则g(-x)=ln(+x)=ln(+x)=ln=-ln(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数,由已知,f(x)=g(x)+1,f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3,所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2.答案:-2【变式备选】函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=________. 【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.答案:-x2-x7.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.【解析】因为f(2)=0,f(x-1)>0,所以f(x-1)>f(2),又因为f(x)是偶函数,所以f(|x-1|)>f(2),又f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3,所以x∈(-1,3).答案:(-1,3)8.定义:函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[-2b,3b-1]上的函数f(x)=x3-ax2-(b+2)x是奇函数,则a+b=________,函数f(x)的极差为________.【解析】由f(x)在[-2b,3b-1]上为奇函数,所以区间关于原点对称,故-2b+3b-1=0,解得b=1,又由f(-x)+f(x)=0可求得a=0,所以a+b=1.又f(x)=x3-3x, f'(x)=3x2-3,易知f(x)在(-2,-1),(1,2)上单调递增,f(x)在(-1,1)上单调递减,所以在[-2,2]上的最大值、最小值分别为f(-1)=f(2)=2,f(1)=f(-2)=-2,所以极差为4.答案:1 4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有f=-f成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值.【解析】(1)由f=-f,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f=-f=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.(15分钟35分)1.(5分)(2020·佛山模拟)若函数f(x)=(a∈R)为偶函数,则下列结论正确的是 ( )A.f(a)>f(2a)>f(0)B.f(a)>f(0)>f(2a)C.f(2a)>f(a)>f(0)D.f(2a)>f(0)>f(a)【解析】选C.因为函数f(x)=(a∈R)为偶函数,所以f(-1)=f(1),解得a=1.又因为函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(2a)>f(a)>f(0).【变式备选】设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】选A.由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即|g(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.2.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )A.奇函数,且在(0,1)内是增函数B.奇函数,且在(0,1)内是减函数C.偶函数,且在(0,1)内是增函数D.偶函数,且在(0,1)内是减函数【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数.3.(5分)(2020·海口模拟)设函数f(x)=,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________.【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)==1-,故f(x)单调递增,又f(0)=0,从而f(x)是R上的增函数,故f(x)>f(2x-1)等价于x>2x-1,解得x<1.答案:(-∞,1)【变式备选】设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是________.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,所以解得-1≤m<.答案:4.(10分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.(1)求实数a的取值范围.(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式. 【解析】(1)f(x)=要使函数f(x)有最小值,需所以-2≤a≤2,故a的取值范围为[-2,2].(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数,所以g(0)=0.设x>0,则-x<0.所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,所以g(x)=5.(10分)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值.(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.【拓广探索练】1.(2020·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(2 019)= ( )A.1B.-1C.0D.log23【解析】选B.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,因为当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),所以f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1.2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则有f(t+2)=f(t),因此2是函数f(x)的周期,故①正确;当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增函数,根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;由②知,f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.答案:①②关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+七+指数与指数函数
核心素养测评七指数与指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数f(x)=的值域是 ( )A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选B.令u=2x-1,则u>-1,且u≠0,y=,则y<-2或y>0.2.已知a>b>1,a b=b a,ln a=4ln b,则= ( )A. B. 2 C. D.4【解析】选D.a>b>1,ln a=4ln b⇒ln a=ln b4⇒a=b4,a b=b a⇒b4b=b a⇒4b=a⇒=4.3.(2019·武汉模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则 ( )A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c【解析】选B.因为a=0.24=0.001 6,b=0.32=0.09,c=0.43=0.064,所以b>c>a.4.(a2-a+2 021)-x-1<(a2-a+2 021)2x+5的解集为( )A.(-∞,-4)B.(-4,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)【解析】选D.因为a2-a+2 021>1,所以-x-1<2x+5,所以x>-2.5.(2019·太原模拟)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0【解析】选D.由题干图象知f(x)是减函数,所以0<a<1,又由图象在y轴上的截距小于1可知a-b<1,即-b>0,所以b<0.6.(2020·北京模拟)若e a+πb≥e-b+π-a,则有( )A.a+b≤0B.a-b≥0C.a-b≤0D.a+b≥0【解析】选D.令f(x)=e x-π-x,则f(x)在R上单调递增,又e a+πb≥e-b+π-a,所以e a-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.7.定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,则不等式f(x)>0的解集为 ( )A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,7]C.(-2,0)∪(2,+∞)D.[-7,-2)∪(2,7]【解析】选B.当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7]上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当0<x≤7时,f(x)>0等价于f(x)>f(2),即2<x≤7,因为f(x)是定义在[-7,7]上的奇函数,所以-7≤x<0时,f(x)在[-7,0)上单调递增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等价于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,7].二、填空题(每小题5分,共15分)8.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________. 【解析】设f(x)=a x(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=a m=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.答案:9.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________,f(x)的值域为________.【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)==1-.因为2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,所以f(x)的值域为(-1,1).答案:1(-1,1)10.给出下列结论:①当a<0时,(a2=a3;②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);③函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;④若2x=16,3y=,则x+y=7.其中正确结论的序号有________.【解析】因为a<0时,(a2>0,a3<0,所以①错;②显然正确;解,得x≥2且x≠,所以③正确;因为2x=16,所以x=4,因为3y==3-3,所以y=-3,所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.故②③正确.答案:②③(15分钟35分)1.(5分)(2020·太原模拟)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c【解析】选B.把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,又>>,所以<<,即b<a<c.2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.因为a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0,b<1, 所以0<2a<1,2-a>1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0<c<1,所以1<2c<2,所以f(c)=|2c-1|=2c-1,又因为f(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2.【变式备选】(2020·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.3.(5分)(2020·北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=ar t+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为____________mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小的整数的值为________.【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;所以M(4)=100+24=26.56;由100+24<24.001得:<(0.1)5;所以lg<lg(0.1)5;所以tlg<-5;所以t[lg2-(1-lg2)]<-5;所以t(2lg 2-1)<-5,代入lg 2≈0.301得:-0.398t<-5;解得t>12.6;所以最小的整数t的值是13.答案:26.56 13【变式备选】已知a-=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.【解析】因为a-=3,所以a2+=+2·a·=9+2=11,而=a2++2=13,所以a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.4.(10分)已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式,并画出图象.(2)判断该函数的奇偶性和单调性.【解析】(1)因为函数y=a+b的图象过原点,所以0=a+b,即a+b=0,所以b=-a.函数y=a-a=a.又0<≤1,-1<-1≤0.且y=a+b无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,所以a<0且0≤a<-a,所以-a=2,函数y=-2+2.用描点法画出函数的图象,如图.(2)显然函数的定义域为R.令y=f(x),则f(-x)=-2+2=-2+2=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,y=-2+2=-2+2为单调增函数.当x<0时,y=-2+2=-2+2为单调减函数.所以y=-2+2在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.5.(10分)已知函数f(x)=.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R 上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2]. (2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+选修4-5+1 绝对值不等式
核心考点·精准研析考点一绝对值不等式的解法1.求不等式|1-2x|<1的解集.2.求不等式|x-5|+|x+3|≥6的解集.3.求不等式x+|2x+3|≥2的解集.【解析】1.因为|1-2x|<1,所以|2x-1|<1,所以-1<2x-1<1,所以0<x<1,所以不等式的解集为{x|0<x<1}.2.因为|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8>6,所以原不等式的解集为R.3.因为原不等式可化为或解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.考点二绝对值不等式性质的应用【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=|2x+1|.(1)解不等式f(x)>x+5.(2)若对于任意x,y∈R,有|x-3y-1|<,|2y+1|<,求证f(x)<1.【解题导思】联想解题(1)去绝对值,解不等式(2)利用转化化归思想,用x-3y-1和2y+1表示2x+1【解析】(1)f(x)>x+5⇒|2x+1|>x+5⇒2x+1>x+5或2x+1<-x-5,所以解集为{x|x>4或x<-2}.(2)f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|≤2|x-3y-1|+3|2y+1|<+=1.利用不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R)和|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式.1.若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,求|2x+3y+1|的最大值.【解析】因为|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,所以|2x+3y+1|的最大值为7.2.若a≥2,x∈R,求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.【证明】因为|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以|x-1+a|+|x-a|≥3成立.考点三绝对值不等式的综合应用命题精解读考什么:(1)考查解不等式、求参数、图象、恒成立及存在性等问题(2)考查学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养和数形结合、转化化归、分类讨论等数学【思想方法】怎么考:与函数、方程、图象等结合考查关于绝对值不等式的问题新趋势:以绝对值不等式为载体,与其他知识相结合,考查学生对知识的灵活运用学霸好方法求参数问题的解题思路:(1)参数在绝对值内时,分类讨论,解不等式(2)参数在绝对值外时,结合图象,最值等问题,利用数形结合、分类讨论、恒成立、存在性等方法解决含有参数的绝对值不等式问题【典例】已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立,等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1,不满足题意;若a>0,则|ax-1|<1的解集为,所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].函数图象与绝对值不等式【典例】(2018·全国卷Ⅲ)设函数f=+.(1)画出y=f的图象;(2)当x∈时, f≤ax+b,求a+b的最小值.【解析】(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,因此a+b的最小值为5.恒成立和存在性问题【典例】(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).关闭Word文档返回原板块。
21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心考点·精准研析 集 合 含解析
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核心考点·精准研析考点一集合的含义及表示1.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )A.3B.6C.8D.92.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= ( )A. B. C.0 D.0或3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 021+b2 021为( )A.1B.0C.-1D.±14.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A 中元素的个数为 ( )A.9B.8C.5D.4【解析】 1.选 D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4), (4,1),(4,2),(4,4),共9个.2.选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的取值为0或.3.选C.由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 021+b2 021=(-1)2 021+02 021=-1.4.选A.由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为9.1.集合定义应用要明确构成集合的元素,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后看元素的限制条件是什么,准确把握集合的含义.2.二次项系数讨论若二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等的二次项系数含有参数,必须讨论二次项系数为0的情况.【秒杀绝招】1.排除法解T2,a=0时显然方程有一个解,排除A、B,当a≠0时,由Δ=0解得a=,排除C.2.图象法解T4,画出圆x2+y2=3,在圆内找整点.如图所示,在圆内共有9个整点,故选A.考点二集合间的基本关系【典例】1.(2020·邯郸模拟)已知集合A={x|x2-4x<5},B={x|<2},则下列判断正确的是( )A.-1,2∈AB.∉BC.B⊆AD.A∪B={x|-5<x<4}2.(2019·大庆模拟)集合A=,B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B的子集个数为 ( )A.5B.8C.3D.23.已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若B⊆A,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)【解题导思】序号联想解题1 由集合A,想到一元二次方程的根2 由求集合B子集的个数,想到子集计算公式2n3 由B⊆A,想到列不等式组【解析】1.选C.因为A={x|-1<x<5},B={x|0≤x<4},所以B⊆A.2.选 B.由≤0得-1≤x<3,则A={-1,0,1,2},B={y|y=x2+1,x∈A}={1,2,5},其子集的个数为23=8个.3.选 C.集合A={x|y=}={x|-2≤x≤2},因为B⊆A,所以有所以-2≤a≤1.1.集合间基本关系的两种判定方法(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系.(2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合,从元素或图形中寻找关系.2.求参数的方法将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.1.已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a 的取值集合为________.【解析】1.选D.由M∪N=M,得N⊆M.又M中有2个元素,故其子集的个数为22=4,所以集合N的个数为4.2.A={-3,2},若a=0,则B=∅,满足B⊆A;若a≠0,则B=,由B⊆A 知,=-3或=2,故a=-或a=,因此a 的取值集合为.答案:考点三集合的运算命题精解读考什么:(1)集合的交、并、补集运算.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和数形结合等数学思想.怎么考:与不等式结合,考查集合的基本运算,属基础题类型.新趋势:以集合为载体,考查解不等式、集合的交、并、补等知识以及数形结合等数学思想.学霸好方法1.集合运算方法:若集合可以用列举法表示,则一一列举集合的元素;若与不等式结合,则解不等式后画数轴求解.2.交汇问题:集合的运算与函数、不等式、方程等相结合,考查相关的性质和运算.集合的交集、并集运算【典例】1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}2.设集合A={x||x|<1},B={x|x(x-3)<0},则A∪B= ( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,3)D.(1,3)【解析】 1.选 C.由题意得M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2}.2.选C.A={x|-1<x<1},B={x|0<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3}.涉及不等式的集合运算时,借助什么工具解题?提示:当题目中涉及不等式时,常借助数轴解题.集合的补集运算【典例】1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A= ( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}2.(2019·资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}【解析】1.选B.方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.方法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁R A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.2.选D.图中阴影部分表示集合为∁U(A∪B),又A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},所以A∪B={x|x>-1},所以∁U(A∪B)={x|x≤-1}.怎样求阴影部分所表示的集合?提示:先用集合间的关系和集合的运算表示阴影,再根据集合运算求解.利用集合的运算求参数【典例】1.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.42.已知集合A={x|a-1<x<2a+1},B={x|3<x<7},若A∩B=A,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-2]C.(-2,+∞)D.[-2,+∞)【解析】1.选D.由题意可知{a,a2}={4,16},所以a=4.2.选B.因为A∩B=A,所以A⊆B,当A=∅时,a-1≥2a+1,解得a≤-2;当A≠∅时,有不等式组无解.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-2].当A⊆B,讨论集合A时容易忽视哪种情况?提示:容易忽视A=∅的情况.1.设集合M={x|x<4},集合N={x|x2-2x<0},则下列关系中正确的是( )A.M∪N=MB.M∪(∁R N)=MC.N∪(∁R M)=RD.M∩N=M【解析】选A.因为M={x|x<4},N={x|0<x<2},所以M∪N={x|x<4}=M,A 正确;M∪∁R N =R≠M,B错误;N∪(∁R M)={x|0<x<2}∪{x|x≥4}≠R,C错误;M∩N={x|0<x<2}=N,D错误.2.(2019·西安模拟)设集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x≤2,x∈Z},则(∁R A)∩B=( ) A.{1} B.{2} C.{1,2} D.∅【解析】选D.A={x|x≤1或x≥2},则∁R A={x|1<x<2}.又集合B={x|x≤2,x∈Z},所以(∁R A)∩B=∅.3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )A.-1<a≤2B.a>2C.a≥-1D.a>-1【解析】选D.由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示:易知a>-1.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y ∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B 中元素的个数为( )A.77B.49C.45D.30【解析】选C.集合A表示如图所示的所有“”,集合B表示如图所示的所有“”+所有“”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合A⊕B表示如图所示的所有“”+所有“”+所有“·”,共45个.故A⊕B中元素的个数为45.关闭Word文档返回原板块。
21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心考点·精准研析 1 算法与程序框图基本算法语句 含解析
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核心考点·精准研析考点一顺序结构与条件结构1.阅读如图所示程序框图,运行相应的程序,若输入x=1,则输出的结果为()A.-1B.2C.0D.无法判断2.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数x 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+∞)3.(2020·郑州模拟)已知某程序框图如图所示,当输入的x的值为5时,输出的y的值恰好是,则在空白的处理框中应填入的关系式可以是 ( )A.y=x3B.y=C.y=3xD.y=3-x【解析】1.选B.因为输入的x值为1大于0,所以执行y=2x=2,输出2.2.选B.分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数f(x)=的函数值.又因为输出的函数值在区间内,所以x∈[-2,-1].3.选C.由程序框图可知,当输入的x的值为5时,第一次运行,x=5-2=3;第二次运行,x=3-2=1;第三次运行,x=1-2=-1,此时x≤0,退出循环,要使输出的y 的值为,只有C中的函数y=3x符合要求.应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按顺序进行.(2)条件结构:利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足.考点二循环结构命题精解读考什么:(1)考查利用程序框图求输入、输出的值、补全程序框图.(2)考查数学运算的核心素养.怎么考:与基本初等函数、数列等结合,考查程序框图的应用.学霸 1.循环结构问题的解题思路好方法(1)要关注初始值和输入值.(2)要关注循环结构的运算次数,当运算即将结束时,要采用逐一代入的方法进行验证.(3)关注判断条件的选择,如判断条件中的等号是否选取问题,应验证相等时运算是否符合题意.2.交汇问题与基本初等函数、数列、三角知识交汇时,注意相关的知识、方法在计算中的应用.求输出值【典例】(2019·全国卷Ⅲ)执行程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s的值等于 ( )A.2-B.2-C.2-D.2-【解析】选C.第一次循环:s=1,x=;第二次循环:s=1+,x=;第三次循环:s=1++,x=;第四次循环:s=1+++,x=;…第七次循环:s=1+++…+,x=,此时循环结束,可得s=1+++…+=2-.结合本题说出解题基本流程?提示:首先明确输入量、起始值、运算方法,然后根据框图结构,一步一步代入求值.求输入值【典例】执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为 ( )A.5B.4C.3D.2【解析】选D.程序执行过程如下:t=1,M=100,S=0,1≤N,S=0+100=100,M=-=-10,t=2,2≤N,S=100-10=90,M=-=1,t=3,3>2,输出S=90<91.符合题意.所以N=2成立.故2是最小值.本题的解题方法是什么?提示:根据程序框图逐步运算,直到输出的S<91即可得到t的最大值,即N的最小值.补全程序框图【典例】(2019·深圳模拟)某程序框图如图所示,若输出的S=26,则判断框内应填( )A.k>3?B.k>4?C.k>5?D.k>6?【解析】选A.程序在运行过程中,各变量的值变化如表:k S 是否继续循环前 1 1 /第一次 2 4 是第二次 3 11 是第三次 4 26 否可得,当k=4时,S=26.此时应该结束循环并输出S的值为26,所以判断框应该填入的条件为k>3?.解决此类题的关键是什么?提示:通过逐步运算,确定运算执行的总次数是关键.判断运算次数【典例】若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是()A.5B.6C.7D.8【解析】选A.当n=5时,n不满足第一个判断框中的条件,n=16,k=1,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=8,k=2,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=4,k=3,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=2,k=4,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=1,k=5,n满足第二个判断框中的条件,退出循环,即输出的结果为k=5.1.某程序框图如图所示,则运行该程序后输出S= ( )A. B. C. D.【解析】选D.模拟执行程序框图,可得S=1,n=1,不满足条件n>5,S=1+,n=2;不满足条件n>5,S=1++,n=3;不满足条件n>5,S=1+++,n=4;不满足条件n>5,S=1++++,n=5;不满足条件n>5,S=1+++++,n=6;满足条件n>5,退出循环,输出S的值.S=1+++++=.2.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍以此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是( )A.i<20,S=S-,i=2iB.i≤20,S=S-,i=2iC.i<20,S=,i=i+1D.i≤20,S=,i=i+1【解析】选D.根据题意可知,第一天S=,所以满足S=,不满足S=S-,故排除A,B,由框图可知,计算第二十天的剩余时,有S=,且i=21,所以循环条件应该是i≤20.3.执行如图所示的程序框图,若输出i的值为2,则输入x的最大值是( )A.5B.6C.11D.22【解析】选D.执行该程序可知解得即8<x≤22,所以输入x的最大值是22.1.按如图所示的流程图进行计算.若输出的x=202,则输入的正实数x 值的个数最多为 ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.程序框图当x>100时结束循环,输出x的值为202:令202=3x+1,解得x=67,即输入x=67时,输出结果为202.202=3(3x+1)+1,解得x=22,即输入x=22时,输出结果202.202=3(3(3x+1)+1)+1.即201=3(3(3x+1)+1),所以67=3(3x+1)+1,即22=3x+1,解得x=7,输入x=7时,输出结果202.202=3(3(3(3x+1)+1)+1)+1.解得x=2,输入x=2时,输出结果202.202=3(3(3(3(3x+1)+1)+1)+1)+1.解得x=,输入x=时,输出结果202.综上,共有5个不同的正实数x值.2.执行如图所示的程序框图,输出的s的值为________.【解析】依题意,数列的项以6为周期重复出现,且前6项和等于0,因为2 017=6×336+1,所以数列的前2 017项和等于336×0+sin =,执行题中的程序框图,输出s的值等于数列的前2 017项和,等于. 答案:考点三程序框图的交汇问题【典例】1.(2020·合肥模拟)中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”即“有数被三除余二,被五除余三,被七除余二,问该数为多少?”为解决此问题,现有同学设计如图所示的程序框图,则框图中的“”处应填入 ( )A.∈N?B.∈N?C.∈N?D.∈N?2.(2019·太原模拟)执行如图所示的程序框图,设输出的数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素a,则函数y=x a,x∈[0,+∞)是增函数的概率为________.【解题导思】序号联想解题1 由三三数之剩二,七七数之剩二,想到最小公倍数212 由幂函数在[0,+∞)上是增函数,想到a>0【解析】1.选A.根据题意可知,此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a:a=3k+2,a=5n+3,a=7m+2,k,n,m∈N,根据程序框图可知,数a已经满足a=5n+3,n∈N,所以还要满足a=3k+2,k∈N和a=7m+2,m∈N 并且还要用一个条件给出,即a-2既能被3整除又能被7整除,所以a-2能被21整除,故在“”处应填入∈N?.2.执行程序框图,x=-3,y=3;x=-2,y=0;x=-1,y=-1;x=0,y=0;x=1,y=3;x=2,y=8;x=3,y=15;x=4,退出循环,则集合A中的元素有-1,0,3,8,15,共5个,若函数y=x a,x∈[0,+∞)为增函数,则a>0,所以所求的概率为.答案:程序框图与其他知识点的交汇问题(1)涉及古代数学文化的题目关键是理解文言条件,将条件翻译过来后进行解题.(2)与初等函数等知识点融合的题目关键是利用相关的性质进行求值、判断,与程序框图有机结合.1.某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位学生进行调查.如表是这50位学生睡眠时间的频率分布表:组别(i) 睡眠时间组中值(Z i) 频数频率(P i)1 [4.5,5.5) 52 0.042 [5.5,6.5) 6 6 0.123 [6.5,7.5) 7 20 0.404 [7.5,8.5) 8 18 0.365 [8.5,9.5) 9 3 0.066 [9.5,10.5] 10 1 0.02现根据如图所示的程序框图用计算机统计平均睡眠时间,则判断框①中应填入的条件是( )A.i>4?B.i>5?C.i>6?D.i>7?【解析】选 B.根据题目中程序框图,用计算机统计平均睡眠时间,总共执行6次循环,则判断框①中应填入的条件是i>5?(或i≥6?). 2.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=________.【解析】第一次循环,得S=2;第二次循环,得n=2,a=,A=2,S=;第三次循环,得n=3,a=,A=4,S=;第四次循环,得n=4,a=,A=8,S=>10,结束循环,输出的n=4.答案:4关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+六十六 随+机+抽+样
核心素养测评六十六随机抽样(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.在下列抽样试验中,适合用抽签法的是 ( )A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂各取一箱产品,在两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验【解析】选B.总体数量不多,抽取的样本量也不大时,使用抽签法.2.为了了解某班学生的身高情况,决定从50名同学中选取10名进行检测(已编号为00～49),利用随机数表法进行抽取,得到如下3组编号,正确的是( )①26,94,29,27,43,99,55,19,81,06;②20,26,31,40,24,36,19,34,03,48;③04,00,45,32,44,22,04,11,08,49.A.①B.②C.③D.②③【解析】选B.获取的样本号码应跳过不在样本编号内的号码,并应去掉重复号码,由此判断②正确.3.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,合理的抽样方法是 ( )A.抽签法B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.随机数法【解析】选C.我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.4.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002, (999)从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001, 002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个样本编号为( )A.700B.669C.695D.676【解析】选C.由题意可知,第一组随机抽取的编号为015,分段间隔数k== =20,由题意知抽出的这些号码是以15为首项,20为公差的等差数列,则抽取的第35个样本编号为15+(35-1)×20=695.5.(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【解析】选C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的学生人数为80-60=20,所以阅读过《西游记》的学生人数为90-20=70,故所求的估计值为=0.7.6.2020年夏季来临,某品牌饮料举行夏季促销活动,瓶盖内部分别印有标识A“谢谢惠顾”、标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”,每箱中印有A,B,C标识的饮料数量之比为3∶1∶2,若顾客购买了一箱(12瓶)该品牌饮料,则兑换“品牌纪念币”的数量为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.根据题意,印有“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一,即12×=4.7.某电视台为了调查节目的收视率,现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本,这4 300人中青年人1 600人,且中年人人数是老年人人数的2倍,现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中青年人有320人,则抽取的样本中老年人的人数为( ) A.90 B.180 C.270 D.360【解析】选B.设老年人有x人,从中抽取y人,则1 600+3x=4 300,得x=900,即老年人有900人,则=,得y=180.8.(2020·潍坊模拟)总体由编号为00,01,02,…,48,49的50个个体组成,利用下面的随机数表选取8个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为( )附:第6行至第9行的随机数表:2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 49503211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125A.3B.16C.38D.49【解析】选C.从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字,选出来的编号在00～49的前4个个体的编号为33,16,20,38,所以选出来的第4个个体的编号为38.二、填空题(每小题5分,共10分)9.某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1～20号,第二组21～40号,…,第五组81～100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为________.【解析】设在第一组中抽取的编号为a1,则在各组中抽取的编号满足首项为a1,公差为20的等差数列,即a n=a1+×20,又第二组抽取的编号为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以第四组抽取的编号为4+×20=64.答案:6410.某校共有学生2 000名,各年级男、女学生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为________.一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 z【解析】由题意可知二年级女生有380人,那么三年级的学生人数应该是2 000-373-377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×=16. 答案:16(15分钟35分)1.(5分)(2020·怀化模拟)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%),现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过( )A.6粒B.7粒C.8粒D.9粒【解析】选B.由题意,米合格,则n不超过235×=7.05,所以n≤7.2.(5分)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【解析】选C.由已知将1 000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到,所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{a n},公差d=10,所以a n=6+10(n-1)(n∈N*),若8=6+10(n-1),则n=1.2,不合题意;若200=6+10(n-1),则n=20.4,不合题意;若616=6+10(n-1),则n=62,符合题意;若815=6+10(n-1),则n=81.9,不合题意,故选C.【变式备选】一个总体中有90个个体,随机编号0,1,2,…,89,依从小到大的编号顺序平均分成9个小组,组号依次为1,2,3,…,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本,规定:如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同,若m=8,则在第8组中抽取的号码是________.【解析】由题意知m=8,k=8,则m+k=16,也就是第8组抽取的号码个位数字为6,十位数字为8-1=7,故抽取的号码为76.答案:763.(5分)某高中在校学生有2 000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山的比赛活动.每人都参与而且只能参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如表:高一年级高二年级高三年级跑步 a b c登山x y z其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________.【解析】根据题意可知,样本中参与跑步的人数为200×=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×=36.答案:36【变式备选】200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1～200编号,分为40组,分别为1～5,6～10,…,196～200,若第5组抽取号码为22,则第8组抽取号码为________.若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人.【解析】将1～200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×5=37;由已知条件得,200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%=100,设在40岁以下年龄段中应抽取x人,则=,解得x=20.答案:37204.(10分)某单位有2 000名职工,老年、中年、青年在管理、技术开发、营销、生产各部门中的分布情况如表:(1)若要抽取40人调查身体情况,则应该怎样抽样?(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?【解析】(1)因为身体状况主要与年龄有关,所以应按老年、中年、青年进行分层抽样,要抽取40人,根据老年、中年、青年职工人数比为1∶3∶6,可以在老年、中年、青年职工中分别抽取4人、12人、24人.(2)因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门,所以可用按部门分层抽样的方法进行抽样.要抽取25人,根据各部门职工人数比为2∶4∶6∶13,可以在管理、技术开发、营销、生产各部门的职工中分别随机抽取2人、4人、6人、13人.5.(10分)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%,登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本.试求:(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例.(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.【解析】(1)设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a,b,c,则有=47.5%,=10%.解得b=50%,c=10%.故a=1-50%-10%=40%.即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中,抽取的青年人人数为200××40%=60;抽取的中年人人数为200××50%=75;抽取的老年人人数为200××10%=15.【变式备选】1.某学校高一年级1 802人,高二年级1 600人,高三年级1 499人,现采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为( )A.35,33,30B.36,32,30C.36,33,29D.35,32,31【解析】选B.先将每个年级的人数凑整,得高一:1 800人,高二:1 600人,高三:1 500人,则三个年级的总人数所占比例分别为,,,因此,各年级抽取人数分别为98×=36,98×=32,98×=30.2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.【解析】该地区中小学生总人数为3 500+2 000+4 500=10 000,则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%=20.答案:200,20关闭Word文档返回原板块。
21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心考点·精准研析 3 合情推理与演绎推理 含解析
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核心考点·精准研析考点一类比推理1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )A.4πB.8πC.16πD.32π2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为()A.3B.5C.D.3【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,则当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,则=,所以r=h,故截面面积为4π-,把y=h代入椭圆+=1可得x=±,所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-,由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2=16π.2.选 B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=,则所求距离d==5.类比推理的分类考点二演绎推理【典例】已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N+).(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{a n}的通项公式.(2)运用(1)中的猜想,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.【解题导思】序号题目拆解(1) 猜想数列的通项公式根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想(2) 证明数列是等差数列证明-=常数【解析】(1)因为数列{a n}中,a1=1,a n+1=,a2=,a3=,a4=,猜想:a n=.(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若a n+1-a n=d,d是常数,则{a n}是等差数列,…大前提又因为-=,为常数;…小前提所以数列是等差数列.…结论演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.设数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=2-S n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.(2)用三段论证明数列{a n}是等比数列.【解析】(1)由a n=2-S n,当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,…由此归纳推理得a n=(n∈N*).(2)因为通项公式为a n的数列{a n},若=p,p是非零常数,则{a n}是等比数列;因为通项公式a n=,又=;所以通项公式a n =的数列{a n}是等比数列. 考点三归纳推理命题精解读考什么:(1)考查数学定义、等式、不等式的证明.(2)考查逻辑推理的核心素养.怎么考:与数列、基本初等函数结合考查数学概念、数列相关的等式、不等式的证明.新趋势:与三角、统计等知识点的交汇问题.学霸好方法1.数字排列问题的解题方法先从行的规律归纳开头与末尾的数与所在行的关系式,再从列的规律归纳数与所在列的关系式,最后归纳表中各个数与行列的关系式2.与式子有关的推理(1)与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律.(2)与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出式子即可.3.图形问题的解法与图形变化有关的归纳推理,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.与数字有关的归纳推理【典例】(2019·宜昌模拟)大衍数列,源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,揭示了中国传统文化中的太极衍生原理(其衍生过程如图所示).已知大衍数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列第25项与第26项之和为( )A.600B.650C.700D.750【解析】选B.0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162,180 ,200,220,242,264,288,312,338,故此数列第25项与第26项之和为312+338=650.从前10项数字的特征归纳出什么规律?提示:n为奇数时a n=,n为偶数时,a n=.与式子有关的归纳推理【典例】(2019·武汉模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,……,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n正方形数N(n,4)=n2五边形数N(n,5)=n2-n六边形数N(n,6)=2n2-n可以推测N(n,k)=________,由此计算N(5,12)=________.【解析】原已知式子可化为:N(n,3)=n2+n=n2+n;N(n,4)=n2=n2+n;N(n,5)=n2-n=n2+n;N(n,6)=2n2-n=n2+n;可推测N(n,k)=n2+n,故N(5,12)=5×52-4×5=105.答案:n2+n 105与图形有关的归纳推理【典例】(2020·衡水模拟)如图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来,……,如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n,则+++…+= ( )A. B. C. D.【解析】选A.a3=12,a4=20,a5=30,猜想a n=n(n+1)(n≥3,n∈N*),所以==-,所以+++…+=+++…+=-=.1.(2020·临沂模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……,F(1)=F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n},则数列{a n}的前2 019项的和为( )A.672B.673C.1 346D.2 019【解析】选C.由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以2的余数,可得{a n}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,所以{a n}是周期为3的周期数列,一个周期中三项和为1+1+0=2,因为2 019=673×3,所以数列{a n}的前2 019项的和为673×2=1 346.2.(2019·郑州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n,将该数列按下列格式(第n行有2n-1个数)排成一个数阵,则该数阵第8行从左向右第8个数字为( )A.142B.270C.526D.1 038【解析】选B.由题意,知S n=n2+n,当n=1时,a1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,所以a n=2n,又由数阵知,每一行的项数依次构成数列1,2,4,8…,构成首项为1,公比为2的等比数列,由等比数列的前n项和公式知,该数阵第8行从左到右第8个数为数列的第+8=135项,所以该数为a135=2×135=270.3.(2020·山东省实验中学模拟)观察下列式子,ln 2>,ln 3>+,ln 4>++,……,根据上述规律,第n个不等式应该为________. 【解析】根据题意,对于第一个不等式,ln 2>,则有ln(1+1)>, 对于第二个不等式,ln 3>+,则有ln(2+1)>+,对于第三个不等式,ln 4>++,则有ln(3+1)>++,以此类推:第n个不等式为:ln(n+1)>++…+.答案:ln(n+1)>++…+1.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,…,以此类推,则格点坐标(22,23)的标签为( )A.2 109B.2 107C.2 207D.2 209【解析】选C.观察图象得点(1,0)处标1,即12,点(2,1)处标9,即32,点(3,2)处标25,即52,归纳点(n+1,n)处标(2n+1)2,则格点坐标(24,23)的标签为(2×23+1)2=2 209,又点(22,23)在点(24,23)左边两格,即格点坐标(22,23)的标签为2 207.2.观察下列恒等式:=tan α+;=tan α+2tan 2α+;=tan α+2tan 2α+4tan 4α+;…请你把结论推广到一般情形,则得到的第n个等式为________.【解析】由=tan α+;=tan α+2tan 2α+;=tan α+2tan 2α+4tan 4α+;可得=tan α+2tan 2α+4tan 4α+…+2n-1·tan 2n-1α+. 答案:=tan α+2tan 2α+4tan 4α+…+2n-1tan2n-1α+关闭Word文档返回原板块。
【高考复习】2021年高考数学第一轮复习攻略
【高考复习】2021年高考数学第一轮复习攻略数学是很多同学头疼的一科，进入了紧张的
高中三年级
复习当中。
是不是第一轮复习就有点让你力不从心，用好复习攻略会让你省不少事。
掌握解决问题的基本思路
第一轮复习，主要要做的就是对。
数学的基础知识理解与掌握，基本的数学解题思路
分析与数学方法的运用。
具体如下：
① 梳理知识点，形成完整的知识体系，深入理解每一个知识点
②提高复习效率，尽量使自己的思维跟上老师的思维
③ 先预习，然后听课，先复习，然后做作业，有目的地听课。
反复练习，熟能生巧
在反复掌握基本思维和解决问题的方法之后，我们需要掌握解决问题的基本知识。
①多做典型题，找规律。
②做题由易到难做③注重解题的准确性而不是速度。
④学会
独立思考，自己摸索。
找出错误的问题，并在反思中加以改进
准备一个错题本，会是考试之前最好的复习资料。
归纳好出错的原因，理清解题思路，在反思的过程中，也是完善自己不足的过程。
学会参加考试
在考试时，先做同类型的题目，思考比较集中，有利于提高单位时间的效益。
步步为营，由点到面。
时间紧迫时，学会取舍，先把大分值拿到手。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+四 函数及其表示 (1)
核心素养测评四函数及其表示(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )【解析】选B.对于选项A中函数定义域不是[-2,2];对于选项B符合题意;对于选项C中当x=2时,有两个y值与之对应,所以该图象不表示函数;D中函数值域不是[0,2],所以它不符合题意.【变式备选】已知A={x|x=n2,n∈N},给出下列关系式:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能够表示函数f:A→A的个数是 ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.对于⑤,当x=1时,x2+1A,故⑤错误,由函数定义可知①②③④均正确.2.(2019·郑州模拟)函数f(x)=ln+的定义域为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选B.要使函数f(x)有意义,应满足解得x>1,故函数f(x)=ln+的定义域为(1,+∞).【变式备选】函数f(x)=(x-2)0+ 的定义域是 ( )A.B.C.(-∞,+∞)D.∪(2,+∞)【解析】选D.要使函数f(x)有意义,只需所以x>-且x≠2,所以函数f(x)的定义域是∪(2,+∞).3.设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f= ( )A.2B.4C.6D.8【解析】选C.当x≥1时,函数f(x)为一次函数,所以0<a<1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),解得a=,则f=f(4)=2×(4-1)=6.4.(2020·福州模拟)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f+f(x-1)的定义域为 ( )A.(-2,0)B.(-2,2)C.(0,2)D.【解析】选C.由题意得所以所以0<x<2,所以函数g(x)=f+f(x-1)的定义域为(0,2).5.(2020·太原模拟)若函数f(x)满足f(1-ln x)=,则f(2)等于( )A. B.e C. D.-1【解析】选B.令1-ln x=t,则x=e1-t,于是f(t)=,即f(x)=,故f(2)=e.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.由1-ln x=2,得x=,这时==e,即f(2)=e.6.设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a=( )A.1B.C.D.2【解析】选B.若a>0,则f(a)=-a2<0,f(f(a))=a4-2a2+2=2,得a=.若a≤0,则f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,无解.7.具有性质:f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数:①y=x-;②y=ln ;③y=其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【解析】选 B.①②③中分别令f(x)=y,则对于①,f(x)=x-,f=-x=-f(x),满足题意;对于②,f(x)=ln ,则f=ln ≠-f(x),不满足题意;对于③,f=即f=则f=-f(x).所以满足“倒负”变换的函数是①③.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(1)定义域相同,值域相同,但对应关系不同的两个函数分别为________ _____________.(2)值域相同,对应关系相同,但定义域不同的两个函数分别为____________.【解析】(1)答案不唯一.因为y=与y=-两个函数的定义域都为{x|x ≠0},值域都为{y|y≠0}.而对应关系不同,所以两函数分别为f(x)=,g(x)=-.答案:f(x)=,g(x)=-(答案不唯一)(2)答案不唯一.函数f(x)=1,x∈[-1,1]与g(x)=1,x∈[0,1]的值域都是{1},而定义域一个为[-1,1],另一个为[0,1],其对应关系都是:所有x对应的y值都是1.因此这两个函数可以为f(x)=1,x∈[-1,1],g(x)=1,x∈[0,1].答案:f(x)=1,x∈[-1,1],g(x)=1,x∈[0,1](答案不唯一)9.已知f=lg x,则f(x)的解析式为________.【解析】令+1=t,由于x>0,所以t>1且x=,所以f(t)=lg ,即f(x)=lg (x>1).答案:f(x)=lg (x>1)10.(2020·北京模拟)血药浓度(Serum Drug Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度(单位:mg/mL),通常用血药浓度来研究药物的作用强度.如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况,其中点A i的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值时所用的时间,其他点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位:h),点A i的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值.(i=1,2,3)①记V i为服用第i种药后达到血药浓度峰值时,血药浓度提高的平均速度,则V1,V2,V3中最大的是____________;②记T i为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间,则T1,T2,T3中最大的是________.【解析】①设A i(x i,y i),则V i=,由于0<x1<x2<x3,0<y2<y3<y1,所以>,>,即V1最大;②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点,由图可知A3经历的时间最长,所以T1,T2,T3中最大的是T3.答案:①V1②T3(15分钟35分)1.(5分)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域为( ) A.[-3,7] B.[-1,4]C.[-5,5]D.【解析】选D.因为y=f(x+1)的定义域为[-2,3],所以-1≤x+1≤4.由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,即y=f(2x-1)的定义域为.2.(5分)(2019·贵阳模拟)若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数:①f(x)=;②f(x)=2x;③f(x)=lg (x2+2).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( )A.①③B.②C.①②D.③【解析】选B.对于①,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则=+1,所以+x0+1=0(x0≠0,且x0≠-1),显然该方程无实根,因此①不是“1的饱和函数”;对于②,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则=+2,解得x0=1,因此②是“1的饱和函数”;对于③,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则lg [(x0+1)2+2]=lg (+2)+lg (12+2),化简得2-2x0+3=0,显然该方程无实根,因此③不是“1的饱和函数”.【变式备选】(2020·日照模拟)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的实数x,都有f[f(x)-e x]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln2)= ( )A.1B.e+1C.e+3D.3【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的单调函数,不妨设f(c)=e+1,所以f(x)-e x=c,f(x)=e x+c.所以f(c)=e c+c=e+1.所以c=1.所以f(x)=e x+1.所以f(ln 2)=e ln2+1=3.3.(5分)已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)=________.【解析】由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程组得f(x)=-x+.答案:-x+【变式备选】下列四个结论中,正确的结论序号是________.①f(x)=与g(x)=表示同一函数;②函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;④若f(x)= |x-1|-|x|,则f=0.【解析】对于①,由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于③,f(x)与g(t)的定义域和对应关系均分别对应相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数;对于④,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.答案:②③4.(10分)设函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解析式.(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象.【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得解得a=-1,b=1,所以f(x)=(2)f(x)的图象如图所示.5.(10分)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数f(x)的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=0,所以c=0,所以f(x)=ax2+bx.又因为f(x+1)=f(x)+x+1,所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,所以(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,所以解得所以f(x)=x2+x.【变式备选】若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为________.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=c=3.所以f(x)=ax2+bx+3,所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2. 所以所以所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+3.答案:f(x)=x2-x+3关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+五十五直线与圆、圆与圆的位置关系
核心素养测评五十五直线与圆、圆与圆的位置关系(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.圆(x-2)2+y2=1与直线3x+4y+2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.以上三种情况都有可能【解析】选C.圆(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0),半径是r=1,因为圆心(2,0)到直线3x+4y+2=0的距离d==,满足d>r,所以圆(x-2)2+y2=1与直线3x+4y+2=0的位置关系是相离.2.(2020·桂林模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.3.过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为( ) A. B.2 C.2 D.4【解析】选D.过点(0,1)且倾斜角为的直线l为y-1=x,即x-y+1=0,因为圆x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,圆心到直线l:x-y+1=0的距离d==1,所以直线被圆截得的弦长l=2=4.4.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系是( )A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定【解析】选C.直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则>1,即a2+b2<1,所以点P(b,a)在圆C内部.5.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m= ( )A.21B.19C.9D.-11【解析】选 C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,所以m=9.6.已知两点A(-1,0),B(1,0)以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C 上存在点P,满足·=0,则r的取值范围是( )A.[3,6]B.[3,5]C.[4,5]D.[4,6]【解析】选D.因为·=0,所以点P在以A(-1,0),B(1,0)两点为直径的圆上,该圆方程为:x2+y2=1,又点P在圆C上,所以两圆有公共点.两圆的圆心距d==5, 所以|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.7.若直线l:4x-ay+1=0平分圆C:(x+2)2+(y-2)2=4,则实数a的值为( )A.-B.C. D.或【解析】选A.当直线经过圆心时平分圆,所以,圆心C(-2,2)在直线l:4x-ay+1=0上,所以4×(-2)-a×2+1=0,解得a=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是________.【解析】切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.答案:2x+y+5=0或2x+y-5=09.圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k=________.【解析】由题意知,圆的标准方程为x2+(y+1)2=4.较短弧所对圆心角是90°,所以圆心(0,-1)到直线x+y-k=0的距离为r=.即=,解得k=1或-3.答案:1或-310.(2020·合肥模拟)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab的最大值为________.【解析】由已知得圆C1的圆心C1(a,-2),圆C2的圆心C2(-b,-2),由两圆外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab≤9,所以ab≤.答案:(15分钟35分)1.(5分)已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为 ( )A.15B.9C.1D.-【解析】选B.由题意得,原点到直线x+y=2k的距离d=≤,且k2-2k+3>0,解得-3≤k≤1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当k=-3时,ab取得最大值9.2.(5分)(2019·江西模拟)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为( )A.x-y-3=0或7x-y-15=0B.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0D.x+y-3=0或7x+y-15=0【解析】选D.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,),(2,-),所以S△OPQ=×2×2=2.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2),则圆心到直线PQ的距离d=,由平面几何知识得|PQ|=2,S△OPQ=·|PQ|·d=·2·d=≤=,当且仅当9-d2=d2,即d2=时,S△OPQ取得最大值.因为2<,所以S△OPQ的最大值为,此时=,解得k=-1或k=-7,此时直线l的方程为x+y-3=0或7x+y-15=0.3.(5分)(2020·湖南模拟)已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是________.【解析】因为m>0,n>0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1,所以=1,即|m+n|=.两边平方并整理得mn=m+n+1.由基本不等式mn≤可得m+n+1≤,即(m+n)2-4(m+n)-4≥0解得m+n≥2+2.当且仅当m=n时等号成立.答案:(2+2,+∞)4.(10分)已知圆(x-1)2+y2=25,直线ax-y+5=0与圆相交于不同的两点A,B.(1)求实数a的取值范围.(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4),求实数a的值.【解析】(1)由题设知<5,故12a 2-5a>0,所以a<0或a>.故实数a的取值范围为(-∞,0)∪.(2)圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),又弦AB的垂直平分线过圆心(1,0)及P(-2,4),所以k l==-,又k AB=a,且AB⊥l,所以k l·k AB=-1,即a·=-1,所以a=.5.(10分)已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.(1)求圆C的方程.(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程. 【解析】(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),则=.化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.所以C点坐标为(1,-2),半径r=|AC|==.故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C 截得的弦长为2,满足条件.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,由题意得=1,解得k=-,则直线l的方程为y=-x.综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.关闭Word文档返回原板块。
【高考复习】2021年高考数学第一轮复习方法及策略
【高考复习】2021年高考数学第一轮复习方法及策略高考数学第一轮复习方法及策略》，供同学们参考学习。
1端正态度，切忌浮躁，忌急于求成在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。
主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分。
这主要是因为：(1)对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。
第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。
如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。
(2)复习的时候心不静。
心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰复习就会没有效率。
建议在开始一个学科的复习之前，先静下心来认真想一想接下来需要复习哪一块儿，需要做多少事情，然后认真去做，同时需要集中注意力，这样才会有很好的效果。
(3)在第一轮复习阶段，学习的重心应该转移到基础复习上来。
因此，建议广大同学在第一轮复习时千万不要急于求成，一定要静下心来，认真揣摩每个知识点，弄清每一个原理。
只有这样，一轮复习才能显出成效。
更多数学方法方法请查看<<>>1提高课堂听课效率，勤动手，多动脑高三的课一般有两种形式：复习课和评讲课，到高三所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些还不会，因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂，增强听课的主动性。
现在学生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。
此外还要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。
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核心素养测评六十八变量间的相关关系与统计案例(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用独立性检验法算得K2的观测值为5,又已知P(K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,则下列说法正确的是( )A.有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C.有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”【解析】选A.依题意K2的观测值为k=5,且P(K2≥3.841)=0.05因此有95%的把握认为“X和Y有关系”.2.(2020·许昌模拟)“吸烟有害健康,吸烟会对身体造成伤害”.美国癌症协会研究表明,开始吸烟年龄X分别为16岁、18岁、20岁和22岁者,其得肺癌的相对危险度Y依次为15.10,12.81,9.72,3.21;每天吸烟支数U分别为10,20,30者,其得肺癌的相对危险度V分别为7.5,9.5和16.6,用r1表示变量X与Y之间的线性相关系数,用r2表示变量U与V之间的线性相关系数,则下列说法正确的是( )A.r1=r2B.r1>r2>0C.0<r1<r2D.r1<0<r2【解析】选D.由题意可知,开始吸烟年龄递增时,得肺癌的相对危险度呈递减趋势,所以吸烟年龄与得肺癌的危险度呈负相关,所以r1<0,同理可知,得肺癌的危险度与每天吸烟支数呈正相关,所以r2>0.因此可得r1<0<r2.3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线=x+近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是( )A.线性相关关系较强,的值为1.25B.线性相关关系较强,的值为0.83C.线性相关关系较强,的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值【解析】选B.散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的正线性相关关系,且直线斜率小于1.4.(2020·南昌模拟)某公司在2015～2019年的收入与支出如表所示:收入x(亿元) 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9支出y(亿元) 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8根据表中数据可得回归方程为y=0.8x+a,依此估计2020年该公司收入为8亿元时支出为 ( )A.4.2亿元B.4.4亿元C.5.2亿元D.5.4亿元【解析】选C.根据表中数据,计算=×(2.2+2.6+4.0+5.3+5.9)=4,=×(0.2+1.5+2.0+2.5+3.8)=2,所以=2-0.8×4=-1.2,所以回归直线方程为=0.8x-1.2,计算x=8时=0.8×8-1.2=5.2(亿元),即2020年该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·长春模拟)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示,并得到其回归直线的方程为l 1:=0.68x+,计算其相关系数为r1,相关指数为.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l 2:=x+0.68,相关系数为r2,相关指数为.以下结论中,不正确的序号是________.①r1>0,r2>0 ②>③=0.12 ④0<<0.68【解析】由图可知两变量呈现正相关,故r1>0,r2>0,且r1<r2,故<,故①正确,②不正确.又回归直线l 1:=0.68x+必经过样本点的中心(3.5,2.5),所以=2.5-0.68×3.5=0.12,③正确.回归直线l 2:=x+0.68必经过样本点的中心(3,2),所以2=×3+0.68,所以=0.44,也可直接根据图象判断0<<0.68(比较两直线的倾斜程度),故④正确.答案:②6.某学校社团为调查学生课余学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示,将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料判断________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.非围棋迷围棋迷总计男女10 55总计附:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有100×0.25=25人,从而2×2列联表如下所示:非围棋迷围棋迷总计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2的观测值k==≈3.030,因为3.030<3.841,所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.答案:不能三、解答题7.(10分)(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2, (17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.【命题意图】本题考查线性回归方程的运用和函数模型的拟合选用,重点考查学生的识图、读图能力和数据分析能力.【解析】(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:方法一:从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.方法二:从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.(15分钟35分)1.(5分)已知某次考试之后,班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本,他们的数学、物理成绩(单位:分)对应如表:学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学成绩60 65 70 75 80 85 90 95物理成绩72 77 80 84 88 90 93 95给出散点图如图:根据以上信息,判断下列结论:①根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系;②根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系;③从全班随机抽取甲、乙两名同学,若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由散点图知,各点都分布在一条直线附近,故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系,但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系,故①正确,②错误;若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高,故③错误.综上,正确的个数为1.2.(5分)通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由K2=算得,K2的观测值为k=≈7.8.附表:P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828参照附表,得到的正确结论是( )A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.根据独立性检验的定义,由K2的观测值为k≈7.8>6.635,可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下,即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.3.(5分)在2019年3月15日那天,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示:价格x 9 9.5 m 10.5 11销售量y 11 n 8 6 5由散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n=________.【解析】==8+,==6+.回归直线一定经过样本点的中心(,),即6+=-3.2+40,即3.2m+n=42.又因为m+n=20,即解得答案:104.(10分)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如折线图所示:(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势.(3)试以第3年的前4个月的数据(如表),用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.月份x 1 2 3 4利润y(单位:百万元) 4 4 6 6相关公式:==,=-.【解析】(1)由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元).第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41(百万元),所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)因为=2.5,=5,12+22+32+42=30,1×4+2×4+3×6+4×6=54,所以==0.8,所以=5-2.5×0.8=3.因此线性回归方程为=0.8x+3. 当x=8时,=0.8×8+3=9.4.所以估计第3年8月份的利润为9.4百万元.5.(10分)(2020·珠海模拟)某种仪器随着使用年限的增加,每年的维护费相应增加. 现对一批该仪器进行调查,得到这批仪器自购入使用之日起,前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如表:年份x(年) 1 2 3 4 5维护费y(万元) 0.7 1.2 1.6 2.1 2.4(1)根据表中所给数据,试建立y关于x的线性回归方程=x+.(2)若该仪器的价格是每台12万元,你认为应该使用满五年换一次仪器,还是应该使用满八年换一次仪器?并说明理由.参考公式:用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式:== ,=-.【解析】(1)=3,=1.6,=9,=4.8,x i y i=0.7+2.4+4.8+8.4+12=28.3,=1+4+9+16+25=55.所以,===0.43,=-=1.6-0.43×3=0.31.所以回归方程为=0.43x+0.31.(2)若满五年换一次仪器,则每年每台仪器的平均费用为:y1==4(万元)若满八年换一次设备,则每年每台设备的平均费用为:y2===3.745(万元).因为y1>y2,所以应该使用满八年换一次仪器.关闭Word文档返回原板块。