第16章教材习题解答

第16章 电磁场

16.1 一条铜棒长为L = 0.5m ，水平放置，可绕距离A 端为L /5处和棒垂

直的轴OO`在水平面内旋转，每秒转动一周．铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如图所示，磁感应强度B = 1.0×10-4T ．求铜棒两端A 、B 的电势

差，何端电势高． 解：设想一个半径为R 的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为ω，经过时间d t 后转过的角度为d θ = ωd t ，扫过的面积为 d S = R 2d θ/2，

切割的磁通量为 d Φ = B d S = BR 2d θ/2，动生电动势的大小为 ε = d Φ/d t = ωBR 2/2． 根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高．

AO 和BO 段的动生电动势大小分别为

22()2550AO B L

BL ωωε=

=，2

2416()2550

BO B L BL

ωωε==

． 由于BO > AO ，所以B 端的电势比A 端更高，A 和B 端的电势差为

2310BO AO

BL ωεεε=-=242

332 1.010(0.5)1010

ωπ-⨯⨯⨯==

BL = 4.71×10-4(V)． [讨论]如果棒上两点到o 的距离分别为L 和l ，则两点间的电势差为

2

2

2()(2)

2

2

2

B L l Bl B L Ll ωωωε++=

-

=

．

16.2 一长直载流导线电流强度为I ，铜棒AB 长为L ，A 端与直导线的距离为x A ，AB 与直导线的夹角为θ，以水平速度v 向右运动．求AB 棒的动生电动势为多少，何端电势高？

解：在棒上长为l 处取一线元d l ，在垂直于速度方向上的长度为 d l ⊥ =

d l cos θ；线元到直线之间的距离为r = x A + l sin θ， 直线电流在线元处产生的磁感应强度为0022(sin )

A I I

B r x l μμππθ=

=

+． 由于B ，v 和d l ⊥相互垂直，线元上动生电动势的大小为0cos d d d 2(sin )

A Iv l

Bv l x l μθεπθ⊥==+，

棒的动生电动势为

cos d 2sin L

A Iv l

x l μθεπ

θ=+⎰

cos d(sin )2sin sin L

A A Iv x l x l μθθπθθ+=+⎰0sin cot ln 2A A Iv x L x μθ

θπ+=， A 端的电势高．

[讨论]（1）当θ→π/2时，cot θ = cos θ/sin θ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势． （2）当θ→0时，由于

sin sin sin ln

ln(1)A A A A x L L L x x x θθθ+=+→，所以02A

IvL

x μεπ→，

这就是棒垂直割磁力线时所产生电动势．

16.3 如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB ，质量为m ，长为L ．在导轨上的端接有电阻R ．匀强磁场B 垂直导轨平面向里．当AB 杆以初速度v 0向运动时，求： （1）AB 杆能够移动的距离；

（2）在移动过程中电阻R 上放出的焦耳热为多少？

B A

图16.3

图16.2

[分析]当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动．随着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来． 解：（1）方法一：速度法．设杆运动时间t 时的速度为v ，则动生电动势为ε = BLv ，电流为 I = ε/R ，所受的安培力的大小为F = ILB = εLB/R = (BL )2v/R ，方向与速度方向相反．

取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma 得速度的微分方程为

2()d d BL v v m R t -=，即：2d ()d v BL t v mR

=-

积分得方程的通解为2

1()ln BL v t C mR

=-+．

根据初始条件，当t = 0时，v = v 0，可得常量C 1 = ln v 0．方程的特解为2

0()exp[]BL v v t mR

=-．

由于v = d x /d t ，可得位移的微分方程2

0()d exp[]d BL x v t t mR

=-，

方程的通解为20()exp[]d BL x v t t mR =-⎰2

022()exp[]()mRv BL t C BL mR -=-+，

当t = 0时，x = 0，所以常量为022

()

mRv C BL =．方程的特解为2

02(){1exp[]}()mRv BL x t BL mR =--． 当时间t 趋于无穷大时，杆运动的距离为0

2

()mRv x BL =．

方法二：冲量法．由F = -(BL )2

v/R ，得2

()d d BL x F t R

-=，

右边积分得 0d 0t

F t mv =-⎰，

即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量．左边积分后，可得02

()mv R

x BL =． （2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为

222

()d d d d BLv Q I R t t t R R ε===22

0()2()exp[]d BLv BL t t R mR

=-

整个运动过程中产生的焦耳热为

22

00

()2()exp[]d BLv BL Q t t R mR ∞=-⎰2

2

200

2()exp[]22

mv mv BL t mR ∞

-=-=， 即：焦耳热是杆的动能转化而来的．

16.4 如图所示，质量为m 、长度为L 的金属棒AB 从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下．磁感应强度B 的方向竖直向上（忽略棒AB 与框架之间的摩擦），求棒AB 的动生电动势．若棒AB 沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R 为常量，棒AB 的动生电动势又

为多少？

解：（1）棒的加速度为 a = g sin θ，经过时间t ，棒的速度为v = at = (g sin θ)t ，而切割磁力线

的速度为 v ⊥ = v cos θ，所以棒的动生电动势为ε = BLv ⊥ = BLg (sin θcos θ)t = BLg (sin2θ)t /2． （2）设棒运动时间t 时的速度为v ，则动生电动势为ε = BLv cos θ，电流为I = ε/R ，所受的安培力的大小为F = ILB = εLB/R = (BL )2v cos θ/R ，其方向水平向右．安培力沿着斜面向上的

图16.4