平面曲线的弧长与曲率

§ 3 平面曲线的弧长与曲率

一、平面曲线的弧长 1、平面曲线的弧长的概念

一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来

求. 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用内接折线总长的极限定义弧长 .

定义1 可求长曲线

设平面曲线C 由参数方程()

()

x x t y y t =⎧⎨

=⎩ （t αβ≤≤）给出，设01{,,

,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分

[0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<=，它们在曲线C 上所对应的点为000((),())M x t y t =，

111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。从端点0M 开始用线段一次连接这些分点0M ，1M ，…，n M 得到曲线的一条内接折线，用1i i M M -来表示1i i M M -的长度，则内接折线总长度为

11

1

n n

n i i i i S M M -====∑

曲线C 的弧长S 定义为内接折线的总长在max 0i p t =→时的极限：

10

1

1

lim lim n n

i i p p i i S M M -→→====∑

如果S 存在且为有限，则称C 为可求长曲线。

定义2 设曲线C ：()

()

x x t y y t =⎧⎨

=⎩ （t αβ≤≤），且()x t ，()y t 在[,αβ]上连续可微，且导数()x t '，()y t '在[,αβ]上不同时为0（曲线C 在[,αβ]无自交点），则曲线C 称为光滑曲线.

2、弧长公式

定理10.1设曲线C 为如上的光滑曲线，则曲线C 是可求长的，且弧长S 为：

S β

β

α

α

==⎰

⎰

注：利用微元法推导公式

注：其它形式的弧长公式

（1）设()y y x =在[a,b]上可微且导数()y x '可积，则曲线()y y x =（a ≤x ≤b ）的弧长S 为：

a

S =⎰

（2）若曲线极坐标方程()r r θ=，αθβ≤≤，则当()r θ在[,αβ]上可微，且()r θ'可积时，

S β

α

θ=⎰

（3）空间曲线()()()x x t y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

（t αβ≤≤），弧长S 为

S βα

=⎰

其中x(t)，y(t)，z(t)在[,αβ]上可微，导数()x t '，()y t '，()z t '在[,αβ]上可积且曲线C 在 [,αβ]上无自交点。

补例1 求圆周cos x R t =，sin y R t =，02t π≤≤的弧长S 。

补例2 求抛物线2

12

y x =，01x ≤≤的弧长S 。例3、求椭圆22221x y a b +=（b>a>0）的弧长S 。

3、弧长的微分

设C ：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩

（t αβ≤≤）是光滑曲线（()x t '，()y t '在[,αβ]连续且2()x t '＋2

()0y t '≠）；

且无自交点。若把公式中的积分上限β改为t ，就得到曲线C ，由端点0M 到动点((),())M x t y t 的一段弧长。

t

S α

=⎰

由上限函数的可微性知()S t '

存在，()dS t dS dt ==二、平面曲线的曲率 1、曲率的概念

曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度ϕ∆的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长S ∆有关，并且曲率与

ϕ成正比，与S 成反比。即一般曲线的弯曲程度可用k S

ϕ

∆=

∆，其中k ：曲线段AB 的平均变化率；ϕ∆：曲线段AB 上切线方向的角度；S ∆：曲线段AB 的弧长。

例1、半径为R 的圆：1

k S S R R

ϕααα∆∆∆=

===∆∆∆⋅。 对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？

0lim

s k S ϕ

→∆=∆，称为曲线在A 点的曲率，即0lim s d k dS S

ϕϕ→∆==∆

2、曲率的计算

记()y y x =二阶可微，则在点x 处的曲率为： 因为tg y ϕ'=，arctgy ϕ'=，所以

2211d y y d dx dx y y ϕϕ''''

=⇒=''++

，又因为dS =所以 ()

3/221d y k dS y ϕ''

=

='+ 例1、求2

12

y x =

在任一点的曲率。 3、曲率圆和曲率半径

过点（x ，y(x)）且与y ＝y （x ）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆2

2

2

()()x a y b R -+-=称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。

如何求曲线上一点（x ，y(x)）处的曲率圆呢？

因为1R k =

，()

3/221y k y ''

='+，则（a,b ）在过（x ，y(x)）的法线上：1()()()Y y x X x y x -=--'。 例1、 求2

12

y x =

在点（0,0）的曲率圆方程？ 作业 P252：1（1）、（3）、（5）

§ 4 旋转曲面的面积

一、微元法

提前在§ 1讲授

二 、旋转曲面的面积

用微元法推出旋转曲面的面积公式：

设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：

2b

a

S π=⎰

曲线方程为 ],[ , )(b a x x f y ∈=时，⎰

'+=⇒b

a

dx x f x f )(1)(2S 2π

；

曲线方程为 ],[ , )( , )(βαχ∈==t t y y t x 时，⎰

'+'=⇒β

α

χπdt t y t x y )()()

(2S 22 .

例1 求半径为r 的球带的面积S.