测试技术课后题答案信号描述
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习题
1
1.1 求题图1-2
其数学表达式为
题图1-2 双边指数函数
解：
x t ()是一个非周期信号，它的傅里叶变换即为其频谱密度函数，按定义式求解：
2
2
)π2j (0
)π2j (0
π2j 0π2j π2j )π2(2π2j 1π2j 1d d d d d )()(f a a
f a f a t
e t e t
e e t e e t e t x
f X t f a t f a t f t a t f t a t f +=++-=
+=+==⎰⎰⎰⎰⎰∞
++-∞
--+∞
--∞
--+∞∞--
1.2 求题图1-1周期三角波的傅里叶级数 (三角函数形式和复指数形式),并画出频谱图。周期三角波的数学表达式为
⎪⎪⎨
⎧<
≤-<≤-
+=0202
2)(T t t
A A t T
t T A A t x
题图1.2 周期性三角波
解：将)(t x 展开成三角函数形式的傅里叶级数，求其频谱。 计算傅里叶系数：
∵ )(t x 是偶函数
⎩⎨⎧>≥=-)
0(00)(a t t e e t x at at <
∴ 0=n b
2
21d )(12/2/0A
TA T t t x T a T T =⋅==
⎰- ⎰⎰⎰⎰-=-=-==-2
/0022/002/002/2/0d cos 8d cos )2(4d cos )2(4d cos )(2T T T T T n t
t n t T A t
t n t T A T t t n t T A A T t t n t x T a ωωωωt
n n t n n t
n t 020
2
000cos 1
sin 11cos ωω
ωωω-
于是，有 2
/0020
2002)cos 1sin (8T n t n n t n n t T A a ωωωω+-
= ⎪⎩⎪⎨⎧===...6,4,2...5,3,10
π422n n n A
由此得)(t x 的三角函数形式傅里叶级数展开上展开式为
t n n
A A t x n 0,3,122cos 1
π42)(ω∑∞=+=Λ
若取 )sin()(01
0n n n
t n A
a t x ϕω++
=∑∞
=
n 次谐波分量的幅值 2
222π4n A
b a A n n n =
+=
n 次谐波分量的相位 2
π
arctan ==n n n b a ϕ
画出)(t x 的频谱如题图1.2(b)所示。
将)(t x 展开成复数形式的傅里叶级数，求其频谱。 计算傅里叶系数
2
d )(1220A t t x T c T T ==⎰-
⎰⎰⎰----=-==22
022
0022j d cos )(1
d )sin )(cos (1d )(10T T T T T T t
n n t t n t x T t
t n j t n t x T t e t x T c ωωωω
⎪⎩⎪⎨⎧±±±=±±±==...6,4,2...5,3,10
π222n n n A
0 0 0 0 0 0
ϕ
题图1.2(b)
由此得)(t x 的复指数形式傅里叶级数展开上展开式为
t
n n e n
A A t x 0j ,...5,3,12
21π22)(ω∑±±±=+=
n 次谐波分量的幅值
2
2π
2n A
c c n n =
-= n 次谐波分量的相位
00πarctan πarctan <>n n a b a b n n n n n ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=-=ϕ
画出x t ()的频谱如题图1.2(c)所示。
1-3 求正弦信号)sin()(ϕ+=t a A t x 的绝对均值x μ，均方根值)(rms t x 及概率密度函数p (x )。
解
π2cos πd sin 2d )sin(1d )(12/0
2/02/2/2/2/A at A t at T A t at A T t t x T T T T T T T x
=-==+==⎰⎰⎰--ϕμ
2d 22cos 1d sin 12
202
22A t at T
A t at A T T
T x
=-=
=⎰⎰ψ A t x x
2
2)(2
rms ===ψ
-90-70-50-30-0 0 30 50 70 90
题图1.2(c)
取 t a A t x sin )(= 有 t at Aa x d cos d =
at
A at Aa T x T t x p 2sin 1π1
cos 12d d 2)(-===
2
2
π1x
A -=
1.4 求被矩形窗函数截断的余弦函数t 0cos ω(题图1.4)的频谱，并作频谱图。
⎪⎩⎪⎨
⎧≥<=T
t T t t t x 0
cos )(0ω
解
⎰⎰=⋅=--T
T
T
t
t t t t e
t X 0
0j 0d cos cos 2d cos )(ωωωωω