轴对称和勾股定理经典总结难
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理解决平面镜像和轴对称问题
勾股定理解决平面镜像和轴对称问题在数学中，勾股定理是一个基本但十分重要的定理。
经常被用于解决平面镜像和轴对称问题。
在本文中，我们将阐述勾股定理是什么，以及如何使用它来解决这些问题。
1. 勾股定理的定义勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于另外两条边的平方之和。
具体地说，如果一个三角形的两条短边长为 a 和 b，斜边长为 c，则有：c² = a² + b²勾股定理不仅适用于直角三角形，对于其他形状，只要它们是由直角三角形组成的，该定理同样适用。
2. 平面镜像问题平面镜像是一个有趣的几何学问题。
当一个物体被放在平面镜面前时，我们看到的是它的镜像。
如何确定物体与其镜像之间的关系，是解决这个问题的关键。
假设一个点 P 在平面镜前，并且它的镜像为 P'。
则点 P、P' 和镜面构成一个直角三角形。
根据勾股定理，有：PP'² = P'Q² + PQ²其中，Q 是点 P 到镜面的垂线所在的交点。
因此，我们可以通过求解方程来确定点 P 和它的镜像之间的关系。
3. 轴对称问题轴对称是指一个图形沿着某个轴向对称。
轴对称问题是另一个有趣的几何学问题。
当我们旋转一个轴对称图形时，我们会发现该图形与它自身重合。
假设一个点 P 在轴对称图形中，并且它在轴上的对称点为 P'。
则点P、P' 和轴构成一个直角三角形。
根据勾股定理，有：PP'² = PT² + P'T²其中，T 是点 P 到轴的垂线所在的交点。
因此，我们可以通过求解方程来确定点 P 和它的对称点之间的关系。
4. 结论勾股定理是解决平面镜像和轴对称问题的关键。
通过应用该定理，我们可以确定镜像和轴对称图形中各个部分之间的关系。
同时，勾股定理也是数学中的许多其他问题的基础，因此，它的重要性不言而喻。
总的来说，勾股定理是数学中的重要工具之一，不仅可以用于解决平面镜像和轴对称问题，而且可以应用于更广泛的领域。
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结(二篇)
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中，轴对称是一个重要的几何概念。
轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称，即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。
轴对称的性质是常用的，它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。
以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结：一、轴对称的定义和性质：1. 轴对称：如果一个图形、物体或者函数，相对于某条轴线可以对称地出现，那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。
2. 轴线：轴线是指对称图形相对出现的那根线。
3. 轴对称的性质：轴对称的图形具有以下性质：- 轴线上的点不动。
- 对称轴的两侧对称，即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点，关于对称轴中点对称。
- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。
二、判断轴对称的方法：1. 观察法：通过观察图形是否关于某条线对称，可以判断图形是否轴对称。
如果图形可以重叠折叠，使得一个部分与另一个部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
2. 对称线法：使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来，如果这条线段与直尺重合，那么这条线段就是图形的对称线。
3. 折叠法：将纸张上的图形剪下来，然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来，如果两个对称的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
三、轴对称的常见图形：1. 一阶图形：一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。
2. 二阶图形：矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。
3. 三阶图形：五角星、六边形等。
四、轴对称和平移、旋转的关系：1. 平移：平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换，平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的轴对称性。
2. 旋转：旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换，旋转不改变图形的形状和大小，但可能改变图形的轴对称性。
有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称，有些则不再保持轴对称。
五、轴对称的应用：1. 填充对称：将一个图形沿着对称轴镜像复制，用来填充平面空间。
初二轴对称图形难题总结word文档良心出品
初二轴对称图形难题总结如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_________．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．2．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_________．（2）实践运用是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+APCD的直径为2B，的度数为60°，点的）如图（3：已知⊙O值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_________．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？上找几个点试一试，能发现什么规律？l你可以在．，问题就转化））聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2 BP的和最小．他的做法是这样的：，使AP与为，要在直线l上找一点P B′．关于直线l的对称点①作点B P为所求．于点P，则点②连接AB′交直线l，4，BC边上的高为分别是AB、AC边的中点，BC=6请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E 得周长最小．，使△PDE请你在BC边上确定一点P ．）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）（1 ．_________）请直接写出△PDE周长的最小值：（2）观察发现：（14．AP+BP的值最小．l上找一点P，使l如（a）图，若点A，B在直线同侧，在直线）图，在等边三角．再如（bl的交点就是所求的点PAB'B关于直线l的对称点B'，连接，与直线做法如下：作点的值最小．P，使BP+PE的中点，是ABAD是高，在AD上找一点形ABC 中，AB=2，点EBP+PE，故于一点，则这点就是所求的点P重合，连接的对称点，恰好与点CCE 交AD做法如下：作点B关于AD ．_________的最小值为）实践运用：（2BP+AP，使CD上找一点PAOD的度数为60°，点B是的中点，在直径为）图，已知⊙如（cO的直径CD4，∠的最小值．的值最小，并求BP+AP ）拓展延伸：（3 ．保留作图痕迹，不必写出作法．APB=∠APD，使∠的对角线如（d）图，在四边形ABCDAC上找一点P5．几何模型：同旁的两个定点．lBA条件：如下图，、是直线的值最小．，使PA+PB问题：在直线l上确定一点P ．PA+PB=A′B的值最小（不必证明）交l 于点P，则方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B 模型应用：与BBD，由正方形对称性可知，P是AC上一动点．连接，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，（1）如图1 ；PB+PE，则的最小值是_________关于直线AC对称．连接ED交AC于PD的最小上一动点，求PA+PC，P是OBO上，OA⊥OB，∠AOC=60°A（2）如图2，⊙O的半径为2，点、B、C在⊙值；PQR周长的最小值．OB上的动点，求△Q、R分别是OA、内一点，（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOBPO=10，．，﹣1）3），B（46．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣的周长最短；△PABp=_________时，轴上的一个动点，则当（1）若P（p，0）是x ABDC的周长最短；时，四边形a=_________，D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当，（2）若C（a0）的，使四边形ABMN，n），0）、N（0（，（3）设MN分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点Mm ；若不存在，请说明理由．_________（不必写解答过程）_________，n=m=周长最短？若存在，请求出两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．，B7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A的夹角与公路MN，已知AB=10千米，直线AB，8．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区AB 千米．BC=3到公路MN的距离∠AON=30°，新开发区B ；_________MN）新开发区A到公路的距离为1（的距离之和最短．此时，BAPB修两条公路PA，，使点P到新开发区BAPMN2（）现要在上某点处向新开发区，（千米）．_________PA+PB=9.如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x 轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．的水果、BL旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A11．某大型农场拟在公路的运C、B两地到加工厂集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）输路程之和最短．12．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为_________．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q△13．如图，ABC中AB=AC，BC=6从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；14．（2012?东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N 分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．，的延长线于F，CB的延长线交ADAB．如图，线段CD垂直平分线段，CA的延长线交BD的延长线于E15 DE=DF求证：．M．求证：与DB交于点，△DCB中，AB=DCAC=DB，AC．如图，在16△ABC和；DCB△ABC≌△（1）的垂直平分线上．M在BC（2）点，＞AC于F，且AB为垂足，的外角平分线AD于D，EDF⊥AB△BC．如图，17△ABC的边的垂直平分线DE交BAC BF=AC+AF．求证：，K，垂足分别是、LPLPKPM的垂直平分线相交于点P，作⊥AB，⊥ACBCAPABC．已知18△的角平分线与边．求证：BK=CL、m的距离必须相等，且到两条公路、．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村19ABn的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB 于N，求BM的长．21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM．22．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2013?日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．）实践运用：（1上一动点，CDP为直径，B 为弧AD 的中点，的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°如图（b），已知，⊙O．2则BP+AP的最小值为）知识拓展：（2上的动点，ABAD和E、F分别是线段，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，如图（c），在Rt△ABC中，AB=10 BE+EF的最小值，并写出解答过程．3113559最短路线问题考点轴对就是的交的对称点再连接其中一点的对称点和另一点M找分析或关CPA+P的最小值，再根据勾股定理求A，即可得求作的位置．根据题意先求出C′A，连，ABB′A，垂足A）首先在斜上截AB′=A，连BB，再过的长即为所求B，则线B′解答C于PC的对称，连A解）作关A此PA+P最小，且等C′作直AC，连根据垂径定理得BDD∵ACD=30∴AOD=60，DOE=30∴AOE=90∴C′AE=45AC为圆的直径，∴AEC′=90C′C′AE=45∴∠∴C′E=AE=AC′=2， 2 AP+BP的最小值是即．2；故答案为：BB′．上截取AB′=AB，连结（2）如图，在斜边AC ，AD平分∠BAC∵对称．B′关于直线AD∴点B与点，，连结BEF，交AD于E过点B′作B′F⊥AB，垂足为的长即为所求．则线段B′F（点到直线的距离最短）AB′=AB=10，，AFB′在Rt△中，∵∠BAC=45°，B′F=AB′?sin45°=AB?sin45°=10×∴=5BE+EF∴的最小值为．此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点评位置是解题关键1）观察发现2．（2013?六盘水）（的值最小，做法如下：m上找一点P，使AP+BP、如图（1）：若点AB在直线m同侧，在直线的最小AB′，线段的长度即为AP+BPB′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P作点B关于直线m的对称点值．的值最小，P，使BP+PE是AB的中点，AD是高，在AD上找一点AB=2 如图（2）：在等边三角形ABC中，，点E 做法如下：的最小值为BP+PE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故重合，连接作点B关于AD的对称点，恰好与点CCE．）实践运用（2的，使BP+AP的中点，在直径60°，点B是CD上作出点P2O3 如图（）：已知⊙的直径CD为，的度数为的最小值为．值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP（3）拓展延伸的值最小，保留作图，使PM+PN+MNNMBCABABCDP）如图（4：点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点痕迹，不写作法．3113559 最短路线问题．圆的综合题；轴对称-考点：压轴题．专题：的中点，根据等ABE是BP+PE的最小值；由AB=2，点（1）观察发现：利用作法得到CE分析：的长为度的直角三角形三边的关，再根据含30∠BCA=30°，BE=1边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=系得CE=；，根据垂径、OA、PB交CD于P点，连结OB、OE（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE 的长就是BP+AP的最小值；E，即点与点B关于CD对称，则AE定理得到CD平分BE，=90°BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°是由于的度数为60°，点B的中点得到∠AE=OAE为等腰直角三角形，则于是可判断△OA=；、交AB于M，然后连结AB和BC的对称点E和FEF，EF交关于（3）拓展延伸：分别作出点BC （1解答：）观察发现解：BP+PE的最小值，如图（2），CE的长为的中点，点∵在等边三角形ABC中，AB=2E是AB AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，⊥∴CE；∴CE=BE=故答案为；）实践运用（2 、AE交CD于P点，连结OBOE、OA、PB，，连结点作弦3如图（），过BBE⊥CD ，BE⊥CD∵CD对称，与点BE，即点EB关于平分∴CD的中点，B是60°∵的度数为，点，，∠∴∠BOC=30°AOC=60°∴∠EOC=30°，=90°，∴∠AOE=60°+30°∵OA=OE=1，∴AE=，OA= 的最小值．BP+APAE∵的长就是故答案为；（3）拓展延伸如图（．）4本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常点评：用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．．（2012?3两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气A、B如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？，问题就转化2））聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（BP的和最小．他的做法是这样的：与l上找一点P，使AP为，要在直线B′．作点B关于直线l的对称点①P为所求．l于点P，则点交直线②连接AB′，4BC=6，BC边上的高为AB中，点D、E分别是、AC边的中点，请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 得周长最小．P，使△PDE请你在BC边上确定一点．）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）（1 8．周长的最小值：（2）请直接写出△PDE3113559 轴对称-最短路线问题．考点：压轴题．专题：，D′ED′点关于BC的对称点，连接DE（1）根据提供材料不变，只要求出DP+PE分析：的最小值即可，作D 点即为所求；交于点P，P与BC 的值，即可得出答案．2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E（解答：PBC交于点，D′EBC1解：（）作D点关于的对称点D′，连接，与点即为所求；P分别是AB、边的中点，ACED2（）∵点、△DE∴为ABC中位线，，边上的高为4∵BC=6，BC ，，DD′=4∴DE=3D′E===5，∴PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，∴△故答案为：8．周长的最PD此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要点评的最小值即可是解题关键值，求DP+P1）观察发现：（4．2010?淮安）（AP+BP的值最小．在直线l同侧，在直线l上找一点P，使如（a）图，若点A，B）图，在等边三角bAB'，连接，与直线l的交点就是所求的点P．再如（做法如下：作点B关于直线l的对称点B' 的值最小．AD上找一点P，使BP+PE的中点，形ABC中，AB=2，点E是ABAD是高，在BP+PE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故C做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点重合，连接CE的最小值为．（2）实践运用：BP+AP，使上找一点P是，∠AOD的度数为60°，点B的中点，在直径CD为如（c）图，已知⊙O的直径CD4 的最小值．的值最小，并求BP+AP ）拓展延伸：（3 APD．保留作图痕迹，不必写出作法．的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠d如（）图，在四边形ABCD3113559最短路线问题．考点：轴对称-，由勾股定理可中，∠BEC=90°BC=2，BE=1AB（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥，在直角△BCE分析：求出CE的长度，从而得出结果；的，与CD是的值最小，设A′A关于CD的对称点，连接A′B，使）要在直径（2CD上找一点PPA+PB 是等腰直角三角形，从而得出结果．P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B交点即为点即为所求．．则点交的对称点ACB′，延长DB′AC于点PP关于）画点（3B解答：=BP+PE1解：（）的最小值．==．，OBP，连接OA′，AA′A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点（2）作点，的度数为60°关于CD对称，∠AOD∵点A与A′，，PA=PA′∴∠A′OD=∠AOD=60°是的中点，∵点B BOD=30°，∴∠，∠A′OD+∠BOD=90°A′OB=∴∠，的直径CD为4∵⊙O ，∴OA=OA′=2∴A′B=2．PA+PB=PA′+PB=A′B=2∴．OB=OBBBA，：首先过）如B P．连接DB′并延长交AC于）．是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD（由AC此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题点评：转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．（2009?漳州）几何模型：5．是直线l同旁的两个定点．条件：如下图，A、B上确定一点P，使PA+PB的值最小．问题：在直线l ．，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）关于直线Al的对称点A′，连接A′B交l于点P方法：作点模型应用：与，由正方形对称性可知，BACE为AB的中点，P是上一动点．连接BD2（1）如图1，正方形ABCD的边长为，；，则AC于PPB+PE的最小值是关于直线DAC对称．连接ED交的最小P是PA+PCOB上一动点，求OA、B、C在⊙O上，⊥OB，∠AOC=60°，AO2（）如图2，⊙的半径为2，点值；周长的最小值．、R分别是OAOB上的动点，求△PQR、内一点，，）如图（33，∠AOB=45°P是∠AOBPO=10，Q3113559 考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题；动点型．ADE中，根据勾股定理求得即可；，在（分析：1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE△A′CPOBA′CA′OBA2（）作关于的对称点，连接，交于，求的长，即是的最小值；PA+PCOB，，它分别与OAOB的对称点N，连接MN（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线的长就行了．，只要求MNR，这时三角形PEF的周长=MN的交点Q、解答：是正方形，（1）∵四边形ABCD解：，∴AC垂直平分BD ，∴PB=PD ，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DEADE中，根据勾股定理得，；DE=在△，的对称点A′，连接A′C，交OB于P（2）作A关于OB 的长，PA+PC的最小值即为A′C AOC=60°∵∠A′OC=120°∴∠A′C作OD⊥于D，则∠A′OD=60OA′=OA=2∴A′D=∴；，MNON、，MN交OA、OB于点Q、RM3（）分别作点P关于OA、OB的对称点、N，连接OM、连接PR、PQ．PQR周长的最小值等于MN，此时△POBNOB=∠，，∠MOA=∠POA，∠OM=ON=OP=10由轴对称性质可得，AOB=2×45°=90°，∴∠MON=2∠=MN==10．在Rt△MON中，10．即△PQR周长的最小值等于此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三点评：角形的有关知识．1）．）、湖州）如图，已知平面直角坐标系，AB两点的坐标分别为A（2，﹣3，B（4，﹣（6．2006?时，，p0）是x轴上的一个动点，则当p=△PAB的周长最短；）若（1P（时，四边形ABDC的周长最短；）是（0C（2）若（a，），Da+3，0x轴上的两个动点，则当a=的n，），使四边形ABMN0N），（轴上的动点，请问：是否存在这样的点轴和分别为，）设（3MNxyMm0、（m=周长最短？若存在，请求出，（不必写解答过程）﹣n=；若不存在，请说明理由．3113559 最短路线问题；坐标与图形性质．轴对称-考点：压轴题．专题：，进而可得直1）4轴的对称点是B'，其坐标为（，）根据题意，设出并找到B（分析：4，﹣1）关于x（1 AB'的解析式，进而可得答案；线．利用两点间，连接A'F1，﹣1），且延长AE，取A'E=AE．做点F（x（2）过A点作AE⊥轴于点点的坐标值的周长最短等A'F+CD+A，从而确的线段最短，可知四边ABDC；n=﹣，当且仅当m=，3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N（时成立．解答：），轴的对称点是B'，其坐标为（4，1，﹣解：（1）设点B（41）关于x y=kx+b，设直线AB'的解析式为，1）代入得：，），B'（4把A（2，﹣3，解得，∴y=2x﹣7，得x=令y=0．即p=，（2，连接A'F．那么A'A'E=AE．做点F（1，﹣1）x（2）过A点作AE⊥轴于点E，且延长AE，取）．3，y=4x﹣5，即直线A'F的解析式为上，），且在直线A'F，∵C点的坐标为（a0．∴a=，、N3）存在使四边形ABMN周长最短的点M（，M、Ny连接A′B′，与x轴、轴的交点即为点B′B轴的对称点作A关于yA′，作关于x轴的对称点，），（B′4，13A′∴（﹣2，﹣），，y=x﹣A′B′∴直线的解析式为：．）0N），M∴（0，（，﹣．m=，n=﹣考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与点评：坐标轴的交点等知识两个城市的距离之和最小，请作出机场的BA，（7．2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到位置．3113559最短路线问题轴对考点作图题专题的位置A′分析关于公路的对称A，连，与公路的交点就是利用轴对称图形的性质可作点分）解：点P就是飞机场所在的位置．（5 解答：本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离．用到的知识：两点之间线段最短．点评：与公，已知ABAB=10千米，直线?．（2006贵港）如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B8 BC=3千米．，新开发区MN的夹角∠AON=30°B到公路MN的距离路8MN的距离为；到公路（1）新开发区A的距离之和最短．此时到新开发区PB，使点PA，B，修两条公路，处向新开发区上某点）现要在（2MNPABPA ．PA+PB=14（千米）3113559 最短路线问题．轴对称-考点：专题：计算题；压轴题．的长，再根据三角函数求得到公路的距离．的长，从而得出分析：OA（1）先求出OB ，再根据余弦概念求解．，AF=AE+EF=AE+BC=11（2）根据切线的性质得EF=CD=BC=3 ，，∠AOC=30°（1）∵解答：BC=3解：OB=6．∴AO=AB+OB=16，MN于点E，过点A作AE⊥AE=8．∴8千米；即新开发区A 到公路的距离为．的对称点），垂足为F的延长线（点D是点B关于MND（2）过作DF⊥AE ，，AF=AE+EF=AE+BC=11则EF=CD=BC=3 ，于GB作BG⊥AE过BG=DF，∴BG=AB?cos30°=5∴，连接PB=PD，PB，则（千米）．∴PA+PB=PA+PD=AD=14点评：此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力．．9（2006?巴中）如图：，请你在图中画出平移后的小人；A1（）若把图中小人平移，使点平移到点B，但要使游泳的路程最短，试Pl2（）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边上点处喝水后，再游到B 的位置．在图中画出点P3113559 -轴对称变换；作图平移变换．轴对称-最短路线问题；作图-考点：作图题专题的对称点，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到分析根据平移的规律找到，即为所求A1相交于连解答：解：本题考查的是平移变换与最短线路问题．点评：最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有确定图形中的关键点；③离，先确定一组对应点；②按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．关键点的对应点；④轴．ABB1A1的对称轴为y10．（2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形；B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）O的对称点A2、关于原点（1）请画出：点A、B ；A1A2、B1B2轴垂直平分线段、B2为（1）中所画的点），试证明：xA2A1A2（2）连接、B1B2（其中，Cx 轴上是否存在点，试问在，连接（4（﹣，2）1）中A2B2B），（﹣两端点的坐标分别为）设线段（3ABA24、；若不存在，C的周长之和最小？若存在，求出点的坐标（不必说明周长之和最小的理由）A2B2C与△使A1B1C△请说明理由．3113559最短路线问题考点轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对作作图题；证明题；压轴题；探究型专题，连接即可B分析）根据中心对称的方法，找AxA（yA（xyB（xx）yxy）依题意与）可轴垂直平分线A1AB，所A，得AB关轴的对称点yB（x，yB1B为所求的点．根据题，轴BB均关轴对称，连A2BA）根A，AB1的解析式A2B1，所以可求直线的解析式为y=kx+b则利用待定系数法．解得设直线A2B1A2B2C△△A1B1C与，00C，所以的坐标为（，）．即点C（）能使．为y=3x﹣10令y=0，得x= 的周长之和最小．解答：）如图，解：（1A2、B2为所求的点．），y2）、B（x2（2）设A（x1，y1 y2）B2（﹣x2，﹣，A2（﹣x1，﹣y1），（﹣A1依题意与（1）可得（﹣x1，y1），B1x2，y2）B2，轴的对称点是A2、∴A1、B1关于x ．A1A2、B1B2∴x轴垂直平分线段点．3）存在符合题意的C（轴对称，均关于xA2，B1与B22由（）知A1与C为所求的点．x 交轴于C，点∴连接A2B1 ）得：2）依题意及（1（﹣，4），B4，A∵（﹣2 ）．（A22，﹣42B1（4，），则有A2B1设直线的解析式为y=kx+b解得，10A2B1∴直线的解析式为y=3x﹣，x=y=0令，得）的坐标为（，0∴C A2B2C的周长之和最小．A1B1C，0综上所述，点C（）能使△与△点评要知道对称轴垂直平分对应点的连线主要考查了轴对称的作图和性质以及垂直平分线的性质根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地L11．（2001?宜昌）某大型农场拟在公路两地到加、的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使ABA、B 工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）3113559 考点：轴对称-最短路线问题．作图题．专题：为所求．，则C，连接L的对称点E分析：BE交直线L于C作A关于直线解答：答：如图：．点评：本题主要考查对轴对称﹣最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键，（12．2012?淮安）阅读理解折叠，剪掉B1A1C的平分线A1B2ABC如图1，△中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠重合，无论折叠多少次，只要最后一次C折叠，点重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1Bn与点△恰好重合，∠BAC是ABC的好角．AB1△的平分线顶角∠BACABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC小丽展示了确定∠BAC是的的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1CBACC 折叠，点B与点重合；情形二：如图3，沿∠C重合．折叠，此时点平分线A1B2B1与点探究发现是（填是的好角？△BACCB=2ABC）（1△中，∠∠，经过两次折叠，∠是不是ABC“”）”不是或“．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点翻折变换（折叠问题3113559压轴题；规律型专题）在小丽展示的情形二中，如，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知B=分析）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知A1A2B2CA2B2C=BAC+2C=180°ABBACBC=180°，①可以求得B=利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：B=）利用）的结论知B=，BAAB的好角，C=，ABAB的好角A=，BCAB的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以17161164138888解AB中，B=，经过两次折叠，BAAB的好角解答理由如下：小丽展示的情形二中，如折叠BA的平分AB∵沿BAA1B∴与重合B1A1又∵将余下部分沿的平分A1B折叠，此时B∴A1B1CA1B1（外角定理∵AA1B1CAB的好角，BA∴B=故答案是：是折叠，剪掉重复部分；将余下的平分AB；如图所示，AB中，沿BA）B=A2B折叠剪掉重复部分将余下部分沿B2A2的平分分沿B1A1的平分A1B折叠的好角BAABB与重合，则A1 B1CA1A2BBAA1B，CA2B2，证明如下：∵根据折叠的性质知，A2B2C=∴根据三角形的外角定理知，A1A2B2CC=180BAC+﹣∵根据四边形的外角定理知，BACBAA1BA1 B1CC=180的内角和定理知，BACB根据三角AB∴B=的好角AB时，由小丽展示的情形一知，当BBAAB的好角B=由小丽展示的情形二知，当时，BA 的好角时，BAAB由小丽展示的情形三知，当B=）之间的等量关系（不妨设与＞的好角，则BA 故若经次折叠ABB=∠；C是好角，∴∠B=4n°）由（2）知设∠A=4°，∵∠（34+4n+4mn=180为正整数得、nm是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中∵∠A；13244、；16、160；4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168∴如果一个三角形的最小角是．、88°88°．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理本题考查了翻折变换（折叠问题）点评：以及折叠的性质．难度较大．QBA移动，同时，点AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线13．（2013?青羊区一模）如图，△ABC中．PQP、Q移动的速度相同，与直线BC相交于点D从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点的长；）如图①，当点P为AB的中点时，求CD（1中是否存在长度Q、在移动的过程中，线段BE、DE、CD（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P 保持不变的线段？请。
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理： (3)2.勾股定理的逆定理： (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边3.勾股定理的证明方法一：方法二：4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数：1）a=3，b=4，c=52）a=5，b=12，c=13特殊直角三角形①a=x，c=2x，b=√3x②a=x，b=x，c=√2x③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x④AC=x，AF=2x，DC=√3x，BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。
若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析：应用勾股定理，在直角三角形中，“知二求一”。
勾股定理全章知识点总结大全
勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数cba HG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。
3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。
(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。
二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。
在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。
2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。
可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。
3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。
三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。
(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。
因此B点到直线m的距离为2.5cm。
例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。
求三角形ABC 的面积。
解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。
八年级数学下册《勾股定理》知识点总结
3．S梯形=（a+b）h=Lh（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
四常识：
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆……注意：线段有两条对称轴
∠AB=90°
D⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB D=A B
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，有关系，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明
（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下：B= AB
∠=90°
（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠AB=90°
可表示如下：D= AB=BD=AD
D为AB的中点
、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
八年级数学上册重难点分析
F 八年级上册数学重难点分析第一章 轴对称图形知识点:重难点：轴对称与轴对称图形的概念及识别以及轴对称与轴对称图形的区别和联系;考点：轴对称的性质、轴对称图形的折叠问题;易混点：角平分线、垂直平分线的性质、对称轴是一条直线而非线段经典考题：如图,小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸,已知该纸片宽AB 为8cm,长BC 为10cm;当小红折叠时,顶点D 落在BC 边上的点F 处折痕为AE,想一想,此时EC 有多长 用你学过的方法进行解释. 提示：AF 多长BF 呢FCEF第二章 勾股定理与平方根知识点：勾股定理、实数的概念及分类、平方根、算数平方根和立方根、实数大小的比较、实数的运算重 难点:勾股定理的应用、平方根与立方根的计算学上第一次接触根式难 点:勾股定理的应用易混点：平方根与立方根的区别实数、有理数、无理数概念问题经典考题：一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.1这个梯子的顶端离地面有多高2如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米第三章 中心对称图形一知识点:平移、旋转、四边形的相关概念、平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质、梯形的性质、中心对称图形的概念及性质重难点：中心对称图形的性质、平行四边形的性质及判定平行四边形、矩形、菱形、正方形考点：中心对称图形的性质、平行四边形的性质及判定、图形的旋转易混点：平行四边形的判别；特别平行四边形的判别;经典考题：下列几组几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形,完全正确的一组是．A．正方形、菱形、矩形、平行四边形 B．正三角形、正方形、菱形、矩形C．正方形、矩形、菱形 D．平行四边形、正方形、等腰三角形第四章数量、位置变化知识点：平面直角坐标系及有关概念、坐标变化与图形变化的规律重难点：平面直角坐标系的引入及有关概念的认识象限、点的坐标等、坐标变化与图形变化的规律学生第一次接触直角坐标系考点：关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征易混点：平面直角坐标系中坐标的表示；坐标变化的情况;下表为坐标变化与图形变化的规律坐标变化与图形变化的规律坐标 x , y 的变化图形的变化x × a或y × a 被横向或纵向拉长压缩为原来的 a倍x × a, y × a 放大缩小为原来的 a倍x × -1或y × -1 关于 y 轴或 x 轴对称x × -1, y × -1 关于原点成中心对称x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位x +a, y+ a 沿 x 轴平移 a个单位,再沿 y 轴平移 a个单经典考题：点P-5,1沿x轴正方向平移2个单位,再沿y轴负方向平移4个单位,所得到的点的坐标为_______;第五章一次函数知识点：函数的概念、自变量取值范围、函数的三种表示法、由函数关系式画其图像的一般步骤、正比例函数和一次函数概念及性质重难点：函数概念的引入、一次函数与正比例函数的性质及图像、一次函数与一元一次方程的关系考点：一次函数与正比例函数的性质、一次函数图像的应用易混点：一次函数的表达式及用待定系数法确定一次函数的表达式;经典考题：如图,直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6,动点Px,0在OB上运动0<x<3,过点P作直线m与x轴垂直．1求点C的坐标,并回答当x取何值时y1>y22设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s,求出s与x之间函数关系式． 3当x为何值时,直线m平分△COB的面积第六章数据的集中度知识点：平均数、众数、中位数的概念及算法重难点：平均数、中位数与众数概念的理解；计算器求平均数；考点：加权平均数、中位数的理解;易混点：中位数、平均数的计算；用计算器求平均数;经典考题：有10个数据的平均数为6,另有20个数据的平均数为3,那么所有这30个数据的平均数是________;。
勾股定理最新最全面总结(难度略大)
勾股定理最新最经典总结1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB 的中点．其中正确的结论有（）2、（2013达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3C．4 D．53、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）4、（2013•资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）5、（2012•泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）6、（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC 交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．87、（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）．D8、（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B 到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（）9、（2013•绥化）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ））． D 11、（2013安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米12、（2013年佛山市）如图，若∠A=60°，AC=20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( )A ．34.64mB ．34.6mC ．28.3mD ．17.3m13、（2013台湾、14）如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 14、（10-4图形变换综合与创新·2013东营中考）如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）. AC B第7题图15、（2013•滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．16、（2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE 折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.第17题17、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．18、（2013四川宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为．19、（2013•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= ．20、（2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．21、（2013•包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．22、（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．23、（2013•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．24、（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个．25、（2013哈尔滨）在△ABC中，AB=，BC=1，∠ ABC=450，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．26、（2013哈尔滨）如图。
部编数学八年级上册专题03轴对称十大重难题型(期末真题精选)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙---对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）实战训练A．3个B．4个C．5个D．6个试题分析：解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．答案详解：解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，所以选：C．2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个．试题分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．答案详解：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5个．所以答案是：5．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为 n5+36° （用含n的式子表示）．试题分析：由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．答案详解：解：如图，设∠BAD ′＝x ，则∠CAE ＝2x ，由翻折变换的性质可知，∠DAE ＝∠EAD ′＝2x +n ，∵∠DAB ＝90°，∴4x +2n +x ＝90°，∴x =15（90°﹣2n ），∴∠DAE ＝2×15（90°﹣2n ）+n =n 5+36°．所以答案是：n 5+36°．4．如图，点P 为∠AOB 内部任意一点，点P 与点P 1关于OA 对称，点P 与点P 2关于OB 对称，OP ＝8，∠AOB ＝45°，则△OP 1P 2的面积为 32 ．试题分析：根据轴对称的性质，可得OP 1、OP 2的长度等于OP 的长，∠P 1OP 2的度数等于∠AOB 的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．答案详解：解：∵点P 1和点P 关于OA 对称，点P 2和点P 关于OB 对称，∴OP 1＝OP ＝OP 2＝8，且∠P 1OP 2＝2∠AOB ＝90°．∴△P 1OP 2是直角三角形，∴△OP 1P 2的面积为12×8×8＝32，所以答案是：32．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l 及其两侧两点A 、B ，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．答案详解：解：6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．试题分析：点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点．答案详解：解：点P就是所求的点．（2分）如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离 相等 ．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为 26 cm．试题分析：根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案；（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AD＝BD，从而将△BCD的周长转化为：AD+CD+BC，即AC+BC＝16+10＝26cm．答案详解：解：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以答案是：两个端点；相等；（1）如图所示，（2）连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△BCD 的周长＝BD +DC +BC ，∴△BCD 的周长＝AD +DC +BC ，即AC +BC ＝16+10＝26cm ．所以答案是：26．8．如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线l 成轴对称，其中A ′点的对应为A 点．（1）请画出△A ′B ′C ′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A ′B ′C ′的面积．试题分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用三角形面积求法得出答案．答案详解：解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′，即为所求；（2）△A ′B ′C ′的面积为：12×2×4＝4．9．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （﹣1，﹣1），B （4，﹣1），C （3，1）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）请直接写出以AB 为边且与△ABC 全等的三角形的第三个顶点（不与C 重合）的坐标．试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用轴对称性确定出另一个点，然后根据平面直角坐标系写出坐标即可．答案详解：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图，第三个点的坐标为（0，1）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．1B．−1C．5D．﹣5试题分析：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出a，b的值，进而得出a+b的值．答案详解：解：∵点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．所以选：D．11．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）2021试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入计算即可得解．答案详解：解：∵P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，∴a＝1，b﹣1＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣1，∴a+b＝0，∴（a+b）2021＝02021＝0．所以选：A．12．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（ ）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）试题分析：作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（2，﹣3），可得点N的坐标．答案详解：解：∵点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（2，﹣3），∴点N的坐标为（﹣2，3），所以选：D．13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．试题分析：（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．答案详解：解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，﹣3），若点A 在第二象限或第四象限，则a ﹣5+1﹣2a ＝0，解得a ＝﹣4，则a ﹣5＝﹣9，1﹣2a ＝9，∴点A 的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A 向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a ），又∵点A 向右平移若干个单位后与点B （﹣2，﹣3）关于x 轴对称，∴1﹣2a +（﹣3）＝0，a ＝﹣1，a ﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a ＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A 的坐标为（﹣6，3）．14．已知有序数对（a ，b ）及常数k ，我们称有序数对（ka +b ，a ﹣b ）为有序数对（a ，b ）的“k 阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a ，b ）（b ≠0）与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为（ ）A ．﹣2B ．−32C ．0D ．−12试题分析：根据新定义可得：有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），并根据y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．答案详解：解：∵有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），∴a −b =b a +ka +b =0，解得：k =−32．所以选：B ．五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A 、B 分别在格点上，在图中确定格点C ，则以A 、B 、C 为顶点的等腰三角形有 3 个．试题分析：首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．答案详解：解：如图，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；所以答案是：3．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4试题分析：根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，答案详解：解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．所以选：D．17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 （﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2）， ；满足条件的点C一共有 8 个．试题分析：根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，选择正确答案．答案详解：解：满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个，所以答案是：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），8．六．规律类--坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（ ）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．答案详解：解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．所以选：A．19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（ ）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）试题分析：探究规律，利用规律即可解决问题．答案详解：解：由题意A1（0，1），A2（2，1），A3（3，0），A4（3，0），A5（4，1），A6（5，1），A7（6，0），A8（7，0），A9（8，1），…每4个一循环，∵2020÷4＝505则2020个应该在x轴，坐标应该是（2019，0），所以选：A．20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）试题分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．答案详解：解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．所以选：C．七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为 8 ．试题分析：根据角平分线+平行可以证明等腰三角形，所以可得EB＝ED，GC＝GD，从而求出DE的长，最后求出BE的长．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ，∵CD 平分∠ACF ，∴∠ACD ＝∠DCF ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠DCF ，∴∠EDC ＝∠ACD ，∴GC ＝GD ＝6，∵EG ＝2，∴ED ＝EG +GD ＝2+6＝8，∴BE ＝ED ＝8，所以答案是：8．22．如图，△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，CP 平分∠ACB ，BD ，CD 分别是△ABC 的两外角的平分线，下列结论中：①CP ⊥CD ；②∠P =12∠A ；③BC ＝CD ；④∠D ＝90°−12∠A ；⑤PD ∥AC ．其中正确的结论是 ①②④⑤ （直接填写序号）．试题分析：根据角平分线的定义得到∠PCB =12∠ACB ，∠BCD =12∠BCF ，根据垂直的定义得到CP ⊥CD ；故①正确；延长CB ，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P =12∠A ，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB ∥CD ，推出△ABC 是等边三角形，而△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，推出∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，求得∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，求得∠EBD ＝∠A ，于是得到PD∥AC．故⑤正确．答案详解：解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∠ACB+∠BCF）＝90°，∴CP⊥CD；故①正确；延长CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故②正确；假设BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假设不成立，故③错误；∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，∴∠DBC +∠DCB +∠D ＝180°，∴∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，而∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，∴∠A +180°﹣2∠DBC +180°﹣2∠DCB ＝180°，∴∠A ﹣2（∠DBC +∠DCB ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2（180°﹣∠D ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2∠D ＝180°，∴∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；∵∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，∴∠A =12∠EBC ，∵∠EBD =12∠EBC ，∴∠EBD ＝∠A ，∴PD ∥AC ．故⑤正确；所以答案是：①②④⑤．23．Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，EO ∥AB ，FO ∥AC ，若S △ABC ＝32，则△OEF 的周长为 8 ．试题分析：根据已知条件得到BC＝8，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠BOE由角平分线的定义得到∠ABO＝∠OBE，等量代换得到∠ABO＝∠BOE于是得到BE＝OE，则同理可得CE＝OE即可得到结论．答案详解：解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝32，∴12BC2＝32，∴BC＝8，∵OE∥AB∴∠ABO＝∠BOE∵OB平分∠ABC∴∠ABO＝∠OBE∴∠ABO＝∠BOE∴BE＝OE，则同理可得OF＝CF，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝BE+EF+FC＝BC＝8．所以答案是：8．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有 ②④ ．（只填序号）试题分析：利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，然后根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠DBC≠∠DCB，进而可得DB≠DC，即可判断①；利用平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，从而可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，进而利用等角对等边可得ED＝EB，FD＝FC，即可判断②；根据EB≠FC，可得ED≠FD，即可判断③；利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可判断④．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，∵∠ABC≠∠ACB，∴∠DBC≠∠DCB，∴DB≠DC，故①不正确；∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴ED＝EB，FD＝FC，∴△BED和△CFD都是等腰三角形，故②正确；∵EB≠FC，∴ED≠FD，故③不正确；∵EB＝ED，FD＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC，故④正确；综上所述：上列结论其中正确的有②④，所以答案是：②④．八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝ 7 ．试题分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM 为等边三角形，得出BM ＝EM ＝BE ＝5，从而得出BN 的长，进而求出答案．答案详解：解：延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，如图，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝CN ，∵∠EBC ＝∠DEB ＝60°，∴△BEM 为等边三角形，∴BM ＝EM ＝BE ＝5，∠EMB ＝60°，∵DE ＝2，∴DM ＝3，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM ＝90°，∴∠NDM ＝30°，∴NM =12DM =32，∴BN ＝BM ﹣MN ＝5−32=72，∴BC ＝2BN ＝7．所以答案是：7．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．试题分析：（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．答案详解：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，＝∠ADC+60°+∠BED，＝∠CED+60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．试题分析：（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE 中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．答案详解：（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．九．直角三角形斜中线的灵活运用。
初中数学 华东师大版八年级上册 第14章 勾股定理知识点总结及常见题型
勾股定理知识点总结及常见题型勾股定理是解直角三角形的一个有力且重要的工具,新课程标准对勾股定理及其逆定理的要求是“掌握”和“应用”,并使用定理解决一些简单的实际问题.勾股定理是每年河南中考必考内容,不单独命题考查,常以综合题的形式展开考查. 在不同版本的初中数学教材中,勾股定理及其逆定理的内容单独成章,全章共分为3节:勾股定理的探索及内容、勾股定理的逆定理和勾股定理的应用.熟练掌握掌握本章内容是每一个学生必须完成的任务. 下面就本章的内容进行知识点梳理和常见题型总结.知识点一 勾股定理的内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为b a ,,斜边为c ,那么有:222c b a =+.注意:1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.2. 勾股定理仅用于直角三角形的求解,不能直接用于其它非直角三角形的求解.3. 根据勾股定理,已知直角三角形的两边长,可以求出第三条边的长度.4. 注意上面的公式中“c ”不一定是斜边,所以在用勾股定理解直角三角形时,要注意分类讨论.5. 公式的变形:222222,,a c b b c a b a c -=-=+=.6. 勾股定理的使用对象是直角三角形,所以在应用勾股定理时要先在过程里面说明三角形是直角三角形,还要弄清楚直角边和斜边.若不确定斜边,则要展开分类讨论.例1. 在△ABC 中,已知︒=∠90C ,10,6==c a ,求b . 解:在△ABC 中,∵︒=∠90C ∴△ABC 是直角三角形 ∵10,6==c a∴由勾股定理得:86102222=-=-=a c b .注意: ∵︒=∠90C ,所以C ∠的对边c 就是斜边.习题1. 求下列直角三角形中未知边的长度.图（1）x86图（2）y135习题2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4,求第三条边的长度.（提醒:长度为4的边,可能是直角三角形的直角边长,也可能是直角三角形的斜边长,所以本题要分两种情况进行讨论）习题3. 如图（3）所示,求等腰三角形ABC 的面积.图（3）655BA知识点二 勾股定理的证明勾股定理是一个非常重要的定理,它的证明方法很多,但初中阶段最常见的证明方法是拼图法:用几个相同的直角三角板拼成一个几何图形,根据图形之间的面积关系列出等式,从而证明勾股定理.证明一: 如图（4）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为c 的大正方形和一个边长为()a b -的小正方形,则有:图（4）abc()22214c a b ab =-+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.证明二: 如图（5）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为()b a +的大正方形和一个边长为c 的小正方形,则有:图（5）bc ba()22214b a c ab +=+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.证明三: 如图（6）,用两个相同的直角三角板可以拼成一个上底为a ,下底为b ,高为()b a +的直角梯形,则有:图（6）bc ba()222121212b a c ab +=+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.重要结论 与勾股定理有关的面积结论（1）如图（7）所示,以直角三角形的三边为边长,向外作三个正方形,则三个正方形的面积关系为:213S S S +=.图（7）图（8）图（9）（2）如图（8）所示,以直角三角形的三条边为直径向外作三个半圆,则三个半圆的面积关系为:213S S S +=.（3）如图（9）所示,以直角三角形的三条边为斜边长（或直角边长）,向外作三个等腰直角三角形,则这三个等腰直角三角形的面积关系为:213S S S +=. （4）如图下页（10）所示,以直角三角形的三条边为边长向外作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积关系为:213S S S +=.图（10）重要结论 在长方体中,能放进木棒的最大长度如图（11）所示,已知长方体的长、宽、高分别为c b a ,,,则长方体中能放进木棒的最大长度为222c b a ++.图（11）c ba D C BA事实上,在Rt △ABC 中,由勾股定理得:2222b a BC AB AC +=+=在Rt △ACD 中,由勾股定理得:22222c b a CD AC AD ++=+=.显然,AD 的长度即为长方体中能放进木棒的最大长度.知识点三 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长c b a ,,满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.以上便是勾股定理的逆定理,可以用来判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形.在应用勾股定理的逆定理时,同学们要注意: （1）已知的条件:某三角形三条边的长度.（2）满足的条件:最长边的平方=最小边的平方+中间边的平方. （3）得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最长边的对角是直角. （4）如果不满足（2）,则这个三角形不是直角三角形.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的一种重要的方法,因此也叫作直角三角形的判定定理,使用方法是: （1）首先确定最长边,不妨设最长边为c ; （2）分别计算处2c 和22b a +:①若222c b a =+,则三角形是直角三角形; ②若222c b a ≠+,则三角形不是直角三角形.勾股数 满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数.常见的勾股数如3 , 4 , 5 ; 6 , 8 ,10 ; 5 , 12 , 13 ; 8 , 15 , 17 ; 7 , 24 , 25. 例2. 如图（12）所示,在四边形ABCD 中,3,2,2,1,====⊥AD CD BC AB BC AB ,求四边形ABCD 的面积.图（12）DCBA分析:勾股定理用于求直角三角形的边长,勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是否为直角三角形,题目经常对两个定理同时考查.图形当中如果没有直角三角形,则需要添加辅助线构造直角三角形. 解:连结AC ,∵BC AB ⊥ ∴△ABC 是直角三角形 由勾股定理得:5212222=+=+=BC AB AC∵()93,94525222222===+=+=+AD CD AC∴222AD CD AC =+ ∴△ACD 为直角三角形 ∴5125212121+=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ACD ABC ABCD S S S 四边形.例3. 若三角形三边长分别为c b a ,,,且满足()44222b a c b a -=-,试判断这个三角形的形状.解:()44222b a c b a -=-()()()()()()()()0222222=---+-++=-+b a c b a b a b a b a b a c b a b a ∵c b a ,,为三角形的三边长 ∴0=-b a 或0222=--b a c ∴b a =或222b a c +=∴这个三角形为等腰三角形或直角三角形.习题4. 如图（13）所示,在△ABC 中,若17,8,6,10====AC AD BC AB ,求△ABC 的面积.图（13）D CBA习题5. 如图（14）所示,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,9,15,20===DB BC AC . （1）求CD 的长;（2）△ABC 是直角三角形吗?为什么?图（14）DCBA知识点四 勾股定理的应用主要有两方面的应用:（1）已知直角三角形的两边长,求第三条边的长;（2）已知一边长,另两条边的长度之间存在着一定的数量关系,通过设未知数利用勾股定理列方程来求解直角三角形. 本章主要问题有:1. 折叠问题习题6. 如图（15）所示,长方形纸片ABCD ,沿折痕AE 折叠边AD ,使点D 落在BC 边上的点F 处,已知24,8==∆ABF S AB ,求EC 的长.图（15）F EDCBA2. 网格问题习题7. 如图（16）所示,设正方形网格的每个小正方形的边长为1,格点△ABC 中,AB 、BC 、AC 三边的长分别为31015、、. （1）请在正方形网格中画出格点△ABC ; （2）格点△ABC 的面积为_________.图（16）3. 判断三角形形状问题习题8. 已知△ABC 的三边c b a ,,满足c b a c b a 262410338222++=+++,求 △ABC 的面积.4. 梯子问题习题9. 一架云梯长25 m,如图（17）那样斜靠在一面墙上,云梯底端离墙7 m. （1）这架云梯的顶端距地面有多高?（2）如果云梯的顶端下滑了4 m,那么它的底部在水平方向也滑动了4 m 吗?图（17）5. 航海问题习题10. 如图（18）所示,甲船以16海里/时的速度离开港口,向东南航行,乙船在同时同地向西南航行,已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点,且知AB =30海里,问乙船每小时航行多少海里?图（18）6. 最值问题习题11. 如图（19）所示,正方形ABCD 的边长为2,点E 为边BC 的中点,点P 在对角线BD 上移动,则PC PE 的最小值是_________.图（19）PE DCBA。
勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)
AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
2023年勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方；表达措施：假如直角三角形旳两直角边分别为，，斜边为，那么a b c 222a b c +=２.勾股定理旳证明，常见旳是拼图旳措施 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化②根据同一种图形旳面积不一样旳表达措施，列出等式，推导出勾股定理常见措施如下：措施一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形A B C D 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．措施二：四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积．四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为 221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为因此222()2S a b a ab b =+=++222a b c +=措施三：，，化简得证1()()2S a b a b =+⋅+梯形2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形３.勾股定理旳合用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在旳数量关系，它只合用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察旳对象是直角三角形４.勾股定理旳应用：勾股定理可以协助我们处理直角三角形中旳边长旳计算或直角三角形中线段之间旳关系旳证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形旳前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对旳使用勾股定理进行求解．①已知直角三角形旳任意两边长，求第三边。
在中，，则，ABC ∆90C ∠=︒c =b =，a =②懂得直角三角形一边，可得此外两边之间旳数量关系cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bccb aE D CBA③可运用勾股定理处理某些实际问题５.勾股定理旳逆定理 假如三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
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求证：∠FDA=∠FCB
A
D
DF
C
F
O
B
C EA G E B
6、如图所示； 过矩形 ABCD 的 顶 点 A 作一直 线，交 BC 的 延长线于点 E，F 是 AE 的中点，连接 FC、FD。
变式 2 已知，如图所示，AD 是△ABC，DE、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。求证：AD 垂直平分 EF。
A
EN D
B
M
C
3、已知梯形 ABCD 中，∠B+∠C＝90o，EF 是两底中点的连线，试说明 AB－AD＝2EF
AE
D
B
F
C
4、如图，四边形 ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o，点 M、N 分别是 BD、AC 的中点。MN、AC 的位置关系如何？ 证明你的猜想。
C
DN
M
A
B
5、过矩形 ABCD 对对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC 分别交 AB、DC 于 E、F，点 G 为 AE 的中点，若∠AOG＝30o 求证：3OG=DC
2 ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号
．(把你认为确结论的序号都填上)
9、已知：如图 2，△ABC 中，AB=AC，CE⊥AE 于 E， CE 1 BC ，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B。 2
E A
D
4、如图，已知在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。 (1)求 DC 的长。 (2)求 AB 的长。
A
C DB
25、如图 9，在海上观察所 A,我边防海警发现正北 6km 的 B 处有一可疑船只正在向东方向 8km 的 C 处行驶.我边 防海警即刻派船前往 C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为 40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰
好在 C 处将可疑船只截住？
B
8km
C
6km A
A
E D
B
C
B
图2 例五. 已知：如图 3，等边三角形 ABC 中，D 为 AC 边的中点，E 为 BC 延长线一点，CE=CD，DM⊥BC 于 M，求证：M 是 BE 的中点。
图3
7、如图，在等腰△ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4， FC=3，则△ABC 的面积为 8、、如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 E 点，若 AC 平分∠DAB，且 AB=AE，AC=AD，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC= 1 ∠DAB；