平面向量的坐标表示与运算习题集课

第25-26课时

教学题目：平面向量的坐标表示及其运算习题课教学目标：

1、掌握平面向量的坐标表示；

2、会进行向量线性运算的坐标表示；

3、掌握向量共线的充要条件.教学内容：

1、平面向量的坐标表示；

2、向量线性运算的坐标表示；

3、向量共线的充要条件.教学重点：

1、向量线性运算的坐标表示；

2、向量共线的充要条件. 教学难点：

1、向量线性运算的坐标表示；

2、向量共线的充要条件.教学方法：讲授法、练习法.教学过程：

一、知识点梳理：（一）、平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，

i j

对任一向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则

a (),x y a xi y j =+

实数对叫做向量的直角坐标(简称坐标)，记作，其中x 和y 分别称为向

(),x y a (),a x y =

量的x 轴上的坐标与y 轴上的坐标，而称为向量的坐标表示.

a (),a x y =

注：

1、相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.

2、显然：, , .

()1,0i = ()0,1j = ()00,0=

（二）、向量线性运算的坐标表示、共线向量的坐标表示——平面向量的坐标运算：

1、两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

(其中、).

()1212,a b x x y y ±=±± ()11,a x y = ()22,b x y =

2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：

如果、，则.

()11,A x y ()22,B x y ()2121,AB x x y y =--

(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：

若，则.

(),a x y = ()11,a x y λλλ=

3、向量平行（向量共线）的坐标表示：

已知向量、()，则∥的充要条件为存在实数λ，使.a b 0b ≠ a b a b λ=

如果, ()则∥的充要条件为：.

()11,a x y = ()22,b x y =

0b ≠ a b 12210x y x y -=注：

1、平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，引入向量的坐标表示以后，可以使

向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转

化为学生熟悉的数量的运算.

2、两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.

3、向量的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对

a 位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，

那么它们就是相等向量.（两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的）

4、向量的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的

AB 坐标.

5、实数λ与向量的积的运算时，λ应与的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.

a a

设，R λ∈()

,a x y =

或()(),,a x y x y λλλ== ()()

,,a x y x y λλλ==

二、典型例题讲解

例1 、若向量与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则

.

()2

3,34a x x x =+-- AB x =解：∵则有.

()()1,2,3,2A B ()2,0AB =

又∵=，∴它们的坐标一定相同，

a AB =

AB ∴①, ②，由①、②得：.

32x +=2

340x x --=1x =-例2 、已知，，若，

()34,2a x y x y =+-- 16231,339b x y x y ⎛⎫

=-+-++ ⎪⎝⎭ 23a b = 试求与的值.

x y 分析：这里可以根据条件建立关于，的方程组，通过解方程组即可求得

23a b =

x y 与的值.

x y

解：∵，且()34,2a x y x y =+-- 16231,339b x y x y ⎛⎫

=-+-++ ⎪⎝⎭

23a b

= ∴ ()16234,23231,339x y x y x y x y ⎛

⎫+--=-+-+

+ ⎪⎝

⎭

∴ ()1668,42693,993x y x y x y x y ⎛⎫+--=-+-+

+ ⎪⎝

⎭

∴①，②，由①、②得：68693x y x y +=-+16

42993

x y x y --=-+

+，.3517x =

317

y =说明：这里的题设条件，其实它反应了向量，同向，并且，

23a b = a b 23a b =

即｜｜=

｜｜,所以，的坐标应成比例，即的横、纵坐标分别与的横纵坐标a 2

3

b a b a b 之比相等且都等于.

2

3

例3、已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.

解：如图，设， ，，，

()3,2OA =- ()5,2OB = ()1,4OC =- (),OD x y =

依题意，或或.AB DC = AC DB = AB CD =

（1）由，可得：AB DC = OB OA OC OD

-=-

即()()()()5,23,21,4,x y --=--⇔()()

2,41,4x y =---∴，，∴.12x --=44y -=3,0x y =-=∴.

()3,0D -（2）由可得：，

AC DB =

()()()()1,43,24,65,2x y ---=-=--∴，∴，∴.

54x -=-26y -=9,4x y ==-()9,4D -（3）由可得：，

AB CD =

()()()()5,23,22,41,4x y --==+-