平面向量的坐标表示与运算习题集课

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平面向量习题及答案

平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。

平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)

∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,

高中数学第二章平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示练习(含解析)新人教A

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2.3。

2 平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示一、选择题1．已知向量a＝(3，－1）,b＝（－1，2）,则－3a－2b的坐标为( ）．A．（7，1） B．（－7，－1) C．（－7，1） D．（7，－1）【答案】B【解析】－3a－2b＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－3×3－2×(－1),－3×（－1）－2×2）＝(－7,－1)，故选B。

2．已知向量(6,1)AB =，(,)BC x y=,(2,3)CD=--，则DA＝（)．A．(x＋4,2－y) B．(x－4，2－y）C．(x－4,y－2) D．（－4－x，－y＋2)【答案】D【解析】∵(62,13)AD AB BC CD x y=++=+-+-,∴(4,2)DA AD x y=-=---+，故选D.3．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝（x，y），若a－2b＋3c＝0，则c等于（）．A。

8(1,)3B.138(,)33C.134(,)33D。

134(,)33--【答案】D【解析】a－2b＋3c＝(5,－2）－2(－4，－3）＋3(x，y）＝（5－2×（－4)＋3x，－2－2×（－3）＋3y）＝（13＋3x，4＋3y)＝0，∴1330,430,xy+=⎧⎨+=⎩∴13,34.3xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故选D。

2023年高考数学微专题练习专练26平面向量基本定理及坐标表示含解析理

专练26 平面向量基本定理及坐标表示命题范围：平面向量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面向量共线的条件．[基础强化]一、选择题1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．已知平面向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，1)C ．(－1，0)D ．(－1，2)3．已知a ＝(2，1)，b ＝(1，x )，c ＝(－1，1).若(a ＋b )∥(b －c )，且c ＝m a ＋n b ，则m ＋n 等于( )A ．14B ．1 C ．－13D ．－124．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是( )A.2B ．4 C ．6D ．85．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A.(2，0) B ．(－3，6) C ．(6，2) D ．(－2，0)6．已知向量m ＝(sin A ，12)与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )64C ．π3D ．π27．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，3y －5)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( )A ．26B ．2512C ．2524D ．2568．设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( ) A ．(－65，85) B ．(－6，8)C ．(65，－85)D ．(6，－8)9．[2022·安徽省蚌埠市质检]如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB ＝2DC ，点E 为线段BC 靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO →＝xAB →＋yBC →，则x ＋y 的值为( )A ．1B ．57C ．1417D ．56 二、填空题10．[2021·全国甲卷]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________． 11．[2022·安徽省滁州市质检]已知a ＝(1，3)，a ＋b ＝(－1，2)，则|a －b |＋a ·b ＝________．12．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．[能力提升]13．已知在Rt△ABC 中，A ＝π2，AB ＝3，AC ＝4，P 为BC 上任意一点(含B ，C )，以P为圆心，1为半径作圆，Q 为圆上任意一点，设AQ →＝aAB →＋bAC →，则a ＋b 的最大值为( )124C ．1712D ．191214．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A ．65B ．85C ．2D ．8315．[2022·东北三省三校模拟]在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF (含端点)上的动点，若CG →＝λCB →＋μCD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．16．如图，已知平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．专练26 平面向量基本定理及坐标表示1．D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．2．D 12a －32b ＝(12，12)－(32，－32)＝(－1，2).3．C ∵a ＋b ＝(3，1＋x )，b －c ＝(2，x －1)， ∵(a ＋b )∥(b －c )，∴3(x －1)＝2(x ＋1)，得x ＝5，∴b ＝(1，5)，又c ＝m a ＋n b ， ∴(－1，1)＝m (2，1)＋n (1，5)∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，m ＋5n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，n ＝13，∴m ＋n ＝－23＋13＝－13.4．D ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，CB →＝(a ＋b ，－1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴(a －1)×(－1)＝1×(a ＋b )，∴2a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8(当且仅当b a ＝4a b 即a ＝14，b ＝12时等号成立)5．A 设点N 的坐标为(x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6) 又MN →＝－3a ＝(－3，6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.6．C ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3. 可化为1－cos2A ＋3sin2A ＝3， ∴sin (2A －π6)＝1.∵A ∈(0，π)，∴(2A －π6)∈(－π6，11π6).因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.故选C.7．C ∵a ∥b ，∴3y －5＝－2x ，∴2x ＋3y ＝5，又x ，y 均为正数，∴5＝2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，(当且仅当2x ＝3y ，即：x ＝54，y ＝56时等号成立)，∴xy ≤2524，故选C.8．D 由题意不妨设b ＝(－3m ，4m )(m <0)，则|b |＝（－3m ）2＋（4m ）2＝10，解得m ＝－2或m ＝2(舍去)，所以b ＝(6，－8)，故选D.9．C 根据向量的线性运算法则，可得AO →＝xAB →＋yBC →＝xAB →＋y (BA →＋AC →) ＝xAB →－yAB →＋yAC →＝(x －y )AB →＋y ·(AD →＋DC →)＝(x －y )AB →＋y ·(2AF →＋12AB →)＝(x －y )AB →＋2yAF →＋12yAB →＝(x －y 2)AB →＋2yAF →，因为B ，O ，F 三点共线，可得x －y2＋2y ＝1，即2x ＋3y －2＝0；又由BO →＝BA →＋AO →＝BA →＋xAB →＋yBC →＝BA →－xBA →＋y ·43BE →＝(1－x )BA →＋4y 3BE →，因为A ，O ，E 三点共线，可得1－x ＋4y3＝1，即3x －4y ＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －2＝03x －4y ＝0，解得x ＝817，y ＝617，所以x ＋y ＝1417.10．－103解析：c ＝(3，1)＋(k ，0)＝(3＋k ，1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103. 11．0解析：a ＝(1，3)，a ＋b ＝(－1，2)，b ＝(－1，2)－(1，3)＝(－2，－1)，a －b ＝(3，4)，|a －b |＋a ·b ＝9＋16＋(－2－3)＝0. 12．3解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，则AM →＝12(AB →＋AC →)×23＝13(AB →＋AC →)，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 13．C根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，4)，B (3，0)，易知点Q 运动的区域为图中的两条线段DE ，GF 与两个半圆围成的区域(含边界)，由AQ →＝aAB →＋bAC →＝(3a ，4b )，设z ＝a ＋b ，则b ＝z －a ，所以AQ →＝(3a ，4z －4a ).设Q (x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3a ，y ＝4z －4a ，消去a ，得y ＝－43x ＋4z ，则当点P 运动时，直线y ＝－43x ＋4z 与圆相切时，直线的纵截距最大，即z 取得最大值，不妨作AQ ⊥BC 于Q ，并延长交每个圆的公切线于点R ，则|AQ |＝125，|AR |＝175，所以点A 到直线y ＝－43x ＋4z ，即4x ＋3y －12z ＝0的距离为175，所以|－12z |32＋42＝175，解得z ＝1712，即a ＋b 的最大值为1712. 14．B建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.15．[1，4]解析：根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为23，以中心O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则可得F (－23，0)，D (3，3)，C (23，0)，B (3，－3)，设点G 的坐标为(m ，n )，则CG →＝(m －23，n )， CB →＝(－3，－3)，CD →＝(－3，3)，由CG →＝λCB →＋μCD →可得：m －23＝－3λ－3μ，即λ＋μ＝－33m ＋2，数形结合可知：m ∈[－23，3]，则－33m ＋2∈[1，4]，即λ＋μ的取值范围为[1，4].16．6解析：解法一：如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1＋OA 1，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt△OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23，所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，B (－12，32)，C (3，3). 由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.。

高考数学专题《平面向量的基本定理及坐标表示》习题含答案解析

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量()1,2a =- ，()3,1b =- ，(),2c m = ，(2)c a b ⊥- ，则m 的值为（）ABC ．2D ．10【答案】C 【解析】先求出2a b -的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因()1,2a =- ，()3,1b =- ，则()25,5a b -=- ，而(),2c m = ，(2)c a b ⊥-，于是得(2)0c a b ⋅-=，即5520m -+⋅=，解得2m =，所以m 的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知()24,4,3a b a b ==-=- ，，记a 与b 夹角为θ，则cos θ的值为（）A ．1320B ．516-C ．34D ．57-【答案】B 【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为()4,3a b -=- ，所以5a b -=，因为a b -== 所以25416=+-16cos θ，所以5cos 16θ=-．故选:B .练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（）A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅ 取最小值95-.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA = ，b BC = ，则CF =（）A ．2133a b+ B ．2133a b-C ．1348a b-+D ．3548a b-【答案】D 【解析】取a BA = ，b BC = 作为基底，把BE 、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF .【详解】取a BA = ，b BC =作为基底，则12BE a b =+ .因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知A B P ，，三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA y OB →→→=+，则x y += ________.【答案】1【解析】由共线可设AB BP λ→→=，进而得OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-，化简对应的,x y 即可得解.【详解】∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ→→=，∴OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-∴11OP OB OAλλλ→→→+=-∵OP xOA y OB →→→=+，∴111x y λλλ+⎛⎫+=-= ⎪⎭+⎝.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D 点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量()1,1a =，向量()3,2b =- .（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -垂直.【答案】（1）()7,3-；（2）274k =.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)a b -=-；（2）可求出(3,2)ka b k k +=-+ ，然后根据ka b + 与2a b - 垂直即可得出7(3)3(2)0k k --+=，解出k 即可．【详解】（1）∵()1,1a =，()3,2b =- ，∴()27,3a b -=-r r.（2）∵()3,2ka b k k +=-+r r ，且ka b + 与2a b - 垂直，∴()()73320k k --+=，解得274k =.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a =，(b =-xoy ABCD //AB DC //AD BC ()20A -，()68B ，()8,6C ()0,2-ABCD OB OD OA OC +=+()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----=D ()0,2-()0,2-（1）若//a b ，求a的坐标；（2）若a 与b的夹角为120°，求a b -r r .【答案】（1）(2,-或(2,-；（2）.【解析】（1）先求与向量b 共线的单位向量，结合//a b ，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出a b ⋅，根据模的运算律22a a = ，即可得到a b -r r .【详解】解：（1）(b =- Q ，||2b ∴=∴与b共线的单位向量为12b c b ⎛=±=±- ⎝.||4a = Q ，//a b，(||2,a a c ∴==-或(2,-.（2）||4a = Q ，||2b =，,120a b <>=︒ ，||||cos ,4a b a b a b ∴⋅==-，222()228a b a a b b ∴-=-⋅+=，||a b ∴-=9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，12CD AE DA EB ==，记BC a →= ，CA b →= .试用向量a →，b →表示DE .【答案】1()3DE b a →→=- 【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AE AB CB CA a b →→==-=-- ，2233AD AC b →==- ，所以121()()()333DE AE AD a b b b a →→→→→=-=----=- .即1()3DE b a →→=- 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)a b t →→=-=，若(2)a b a →→→+⊥，（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求3a b →→-的值．【答案】（1）34π；（2）．【解析】（1）根据(2)a b a →→→+⊥得到2t =，再求出=5a b →→⋅-，a →=，b →=，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）Q (1,-3),(1,)a b t →→==，()23,32a b t →→∴+=-+，Q (2)a b a →→→+⊥，()(2)=3132-30a b a t →→→+⋅⨯+-+⨯=∴（），解得2t =，11-325a b →→∴⋅=⨯+⨯=-（），a →=，b →=，cos ,a ba b a b→→→→→→⋅∴<>===⋅，所以向量a →与b →的夹角为34π.（2）Q 2223969106-55125a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=⨯-⨯+=（），3a b →→∴-=．练提升1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n m n n n⋅⊗=⋅，若平面向量,a b满足||2||0a b ≥> ，a 与b 的夹角πθ0,3æöç÷Îç÷èø，且a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合4n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗ 的值可能为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】CD 【解析】由已知得集合{|}4nn Z ∈的元素特征，再分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围如下：因为(0,3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b b a b a a a a θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥> ，可得10cos 2b a θ<< ，又∵b a ⊗∈ {|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ= ，从而14cos b a θ= ，∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗ ，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=< ．且a b ⊗ 也在集合{|}4n n Z ∈中，故有2a b ⊗= 或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.【答案】(1,0)-【解析】如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC = ，1t<-，(1)tOC OA OB λλ=+- ，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A Q ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，又OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ∴=+-，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，可得m tλ=，1n tλ-=，则1(1,0)m n t+=∈-．m n ∴+的取值范围是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ= ，若MA BC MB MC ⋅>⋅，则实数λ的取值范围是___________.【答案】1⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据CM CB λ=可得1x y λλ=-⎧⎨=⎩，再表示出MA MB MC BC ，，，坐标，由条件可得2220x y y +-≤，再将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入可得关于λ的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点(),M x y ，由CM CB λ=，得()()1,1,1x y λ-=-，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩.因为MA BC MB MC ⋅>⋅，所以()()()()1,11,1,11,x y x y x y --⋅-≥----，即2211x y x x y y --+≥-+-+，化简得2220x y y +-≤将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入2220x y y +-≤，得()22120λλλ-+-≤，即22410λλ-+≤，解得11λ≤≤+因为M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，所以01λ≤≤.综上，可知11λ≤≤.故实数λ的取值范围是1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为与OC 的夹角为α，且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45∘，若OC =mOA +nOB (m,n ∈R )，则m +n =_________．【答案】3【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则A (1,0)，由OC 的模为2与OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7知，cos α=210,sinα=210 ，可得B (cos(α+45∘),sin (α+45∘))，∴B ―35,，由OC =mOA +nOB可得=m ―35n,45n=m ―35n75=45nm =54,n =74，∴m +n =3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =，()sin ,cos n x x = ，()0,x π∈．若//m n u r r，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n += 恒成立，则实数t 的取值范围为______．【答案】34π)2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x π=；用坐标表示出n m t n += ，结合三角函数的图象可得实数t 的取值范围.【详解】x x =，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=；计算得sin ,cos m n x x +=+ ，则m n +== ，又存在两个不同的x 值，使得n m t n +=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解，令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，由()0,x π∈，得3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2t <<．故答案为：34π；)2．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形ABCD ，0AB BC ⋅= ，AD BC λ=u u u r u u u r，1AB AD ==，且||||CB CD CB CD ⋅= ，（i ）λ=___________；（ii ）若2DE EC = ，动点F 在线段BE 上，则DF FC ⋅ 的最大值为___________.【答案】12 613 【解析】利用向量的数量积可得4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，进而可得2BC AD =，求出λ；以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点E 坐标，设(),F x y ，利用向量共线求出5x y =，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由||||CB CD CB CD ⋅= 1212cos e e e e BCD ⋅=∠= 因为[]0,BCD π∠∈，所以4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，因为1AB AD ==，所以2BC AD =，由AD BC λ=u u u r u u u r ，所以12λ=.以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，如图：则()1,1D ，()2,0C ，设(),E m n由2DE EC =，即()()1,122,0m n m n --=--，解得51,33m n ==，即51,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),F x y ，503x ≤≤，103y ≤≤，则51,33BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),BF x y = ，因为,,B F E 三点共线，所以5133y x =，即5x y =，()1,1DF x y =-- ，()2,FC x y =-- ，所以()()()()()21215125DF FC x x y y y y y y⋅=--+-=--+- 224626162261313y y y ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当413y =时，DF FC ⋅ 取得最大值为613.故答案为：12；6137．（2021·全国高一专题练习）已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4).设,,AB a BC b CA c === ，且3,2CM c CN b ==- .（1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n ；（3）求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）11m n =-⎧⎨=-⎩；（3）M (0，20)，N (9，2)，(9,18)MN =- .【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得a =(5，-5)，b =(-6，-3)，c=(1，8).（1）33a b c +-=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵mb nc + =(-6m +n ，-3m +8n )，∴65385m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩.（3）设O 为坐标原点，∵3CM OM OC c =-=，∴3OM c OC =+ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M (0，20).又∵2CN ON OC b =-=- ，∴2ON b OC =-+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N (9，2)，∴MN =(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC 的面积为S 23S ≤≤，且AB ·BC ＝3，AB 与BC 的夹角为θ.求AB 与BC 夹角的取值范围．【答案】,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】可设AB 与BC 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且3||||cos AB BC θ= ，从而根据ABC V 的面积32S ∈tan 1θ…，这样根据正切函数在(0,2π的单调性即可求出θ的范围．【详解】解：Q 3AB BC ⋅= ，∴,AB BC 的夹角为锐角，设,AB BC 的夹角为θ，则：||||cos 3AB BC θ= ，∴3||||cos AB BC θ=，又3]2S ∈；∴()13||||sin 22AB BC πθ- …，∴13||||sin 22AB BC θ …，∴33tan 22θ…，∴tan 1θ…，∴64ππθ……，∴AB 与BC 夹角的取值范围为[,]64ππ．9．（2021·全国高一专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线；（2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由1m n +=原式可代换为()1OP mOA m OB =+- ，再由()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，两式联立变形即可求证；（2）由A ，P ，B 三点共线，可得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，整理成OP 关于,OA OB 的表达式，再结合OP mOA nOB =+ ，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+- ，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+- ，即()()()1m OP OA m OB OP -=-- ，()1mAP m PB =- ，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，即()1OP OB OA λλ+=+ ，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++ ，又OP mOA nOB =+ ，1111λλλ+=++，故1m n +=10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC 中.∠BAC =120°，AB =AC =1（1）求AB BC ⋅ 的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A 与原点重合，边AB 在x 轴上，设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动.求⋅ BP CP 的最小值.【答案】（1）32-；（2）12-.【解析】（1）由()10B ,，12C ⎛- ⎝，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，求得⋅ BP CP 1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1）()10B ,，12C ⎛- ⎝，AB BC ⋅ ()331,022⎛=⋅-=- ⎝.（2）点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，又()10B ,，12C ⎛- ⎝，⋅ BP CP ()1cos 1,sin cos ,sin 2θθθθ⎛=-⋅+ ⎝2211cos cos cos sin 22θθθθθ=-+-+1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又203πθ≤≤，则5666πππθ≤+≤1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，⋅ BP CP 有最小值12-.1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=（）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C ．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ Q ,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=Q n ，解得103k =-,故答案为：103-.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=__________．【答案】35AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = (2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r 练真题【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=-- ，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=_________．【答案】85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m ）,若a ⊥(ma ―b )，则m =_________.【答案】-1.【解析】∵a =(1,0),b =(―1,m )，∴ma ―b =(m ,0)―(―1,m )=(m +1,―m )，由a ⊥(ma ―b )得：a ⋅(ma ―b )=0，∴a ⋅(ma ―b )=m +1=0，即m =―1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .1-.。

平面向量的正交分解及坐标表示-高中数学知识点讲解(含答案)

平面向量的正交分解及坐标表示（北京习题集）（教师版）一．选择题（共10小题）1．（2008秋•海淀区期末）若(2,1)A -，(1,3)B -，则AB 的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1,2)--C ．(3,4)-D ．(3,4)-2．（2017•东城区二模）已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，且a b ⊥，那么x 的值为( )A ．2-B ．4-C ．8-D ．16-3．（2016春•海淀区校级期末）若(1,2)a =，(2,1)b =-，则2(a b -= )A ．(4,1)-B ．(0,1)C ．(4,5)-D ．(0,5)4．（2016春•丰台区校级期末）若(2,4)OA =，(1,3)OB =，则AB 等于( )A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(3,7)D ．(3,7)--5．（2016•北京）如果向量(1,2)a =，(4,3)b =，那么等于2(a b - )A ．(9,8)B ．(7,4)--C ．(7,4)D ．(9,8)--6．（2015秋•西城区期末）已知平面向量(1,2)a =-，(1,0)b =，则向量3a b +等于( )A ．(2,6)-B ．(2,6)--C ．(2,6)D ．(2,6)-7．（2015•北京模拟）平面向量a ，b 满足2b a =如果(1,1)a =，那么b 等于( )A ．(2,2)-B ．(2,2)--C ．(2,2)-D ．(2,2)8．（2014秋•东城区期末）若向量(3,2)a =，(0,1)b =-，则向量2b a -的坐标是( )A ．(3,4)-B ．(3,4)--C ．(3,4)D ．(3,4)-9．（2014秋•石景山区期末）已知向量(2,4)AB =，(0,2)AC =，则1(2BC = ) A ．(2,2)-- B ．(2,2) C ．(1,1) D ．(1,1)--10．（2014秋•延庆县期末）已知向量(1,2)a =-，(1,0)b =，那么向量3b a -的坐标是( )A ．(4,2)-B ．(4,2)--C ．(4,2)D ．(4,2)-二．填空题（共5小题）11．（2008秋•石景山区期末）点(8,10)M -按向量a 平移后的对应点M '的坐标是(7,4)-，则a = ．12．（2008•怀柔区模拟）若A 、B 两点的坐标分别为(1,2)-和(2,5)，则AB = ．13．（2015秋•海淀区期末）若向量(2,1)a =，(1,2)b =-，且(5ma nb +=，5)(m -，)n R ∈，则m n -的值为．14．（2016秋•海淀区校级月考）已知两点(1,1)A -，(3,2)B -，若13BC BA =，则C 点的坐标是．15．（2015秋•海淀区校级月考）向量(1,1)a =，(2,)b t =，若a b ⊥，则实数t 的值为．平面向量的正交分解及坐标表示（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2008秋•海淀区期末）若(2,1)A -，(1,3)B -，则AB 的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1,2)--C ．(3,4)-D ．(3,4)-【分析】根据向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，求得AB 的坐标．【解答】解：AB 的坐标等于B 的坐标减去A 的坐标，∴(1AB =-，3)(2-，1)(3-=-，4)，故选：C ．【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，利用了向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标．2．（2017•东城区二模）已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，且a b ⊥，那么x 的值为( )A ．2-B ．4-C ．8-D ．16-【分析】根据向量的垂直关系求出x 的值即可．【解答】解：(1,2)a =，(,4)b x =，且a b ⊥，80x ∴+=，解得：8x =-，故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直的应用问题，是基础题目．3．（2016春•海淀区校级期末）若(1,2)a =，(2,1)b =-，则2(a b -= )A ．(4,1)-B ．(0,1)C ．(4,5)-D ．(0,5)【分析】根据平面向量的坐标运算，计算即可．【解答】解：(1,2)a =，(2,1)b =-，则2(212a b -=⨯-，221)(0⨯+=，5)．故选：D ．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．（2016春•丰台区校级期末）若(2,4)OA =，(1,3)OB =，则AB 等于( )A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(3,7)D ．(3,7)--【分析】直接利用向量减法的三角形法则代入坐标得答案．【解答】解：(2,4)OA =，(1,3)OB =，∴(1,3)(2,4)(1,1)AB OB OA =-=-=--．故选：B ．【点评】本题考查向量的坐标运算，考查了向量减法的三角形法则，是基础题．5．（2016•北京）如果向量(1,2)a =，(4,3)b =，那么等于2(a b - )A ．(9,8)B ．(7,4)--C ．(7,4)D ．(9,8)--【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．【解答】解：向量(1,2)a =，(4,3)b =，则于2(1a b -=，2)2(4-，3)(1=，2)(8-，6)(18=-，26)(7-=-，4)-，故选：B ．【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．6．（2015秋•西城区期末）已知平面向量(1,2)a =-，(1,0)b =，则向量3a b +等于() A ．(2,6)- B ．(2,6)-- C ．(2,6) D ．(2,6)-【分析】按照向量数乘的坐标运算及和运算，直接计算即可．【解答】解：33(1a b +=-，2)(1+，0)(3(1)1=⨯-+，320)(2⨯+=-，6)故选：A ．【点评】本题考查向量数乘、及和运算的坐标表示，属于基础题．7．（2015•北京模拟）平面向量a ，b 满足2b a =如果(1,1)a =，那么b 等于( )A ．(2,2)-B ．(2,2)--C ．(2,2)-D ．(2,2)【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．【解答】解：平面向量a ，b 满足2b a =如果(1,1)a =，那么2(1b =，1)(2=，2)．故选：D ．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，基本知识的考查．8．（2014秋•东城区期末）若向量(3,2)a =，(0,1)b =-，则向量2b a -的坐标是() A ．(3,4)- B ．(3,4)-- C ．(3,4) D ．(3,4)-【分析】直接利用向量的坐标运算法则化简求解即可．【解答】解：向量(3,2)a =，(0,1)b =-，则向量22(0b a -=，1)(3--，2)(3=-，4)-．故选：B ．【点评】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．9．（2014秋•石景山区期末）已知向量(2,4)AB =，(0,2)AC =，则1(2BC = ) A ．(2,2)-- B ．(2,2) C ．(1,1) D ．(1,1)--【分析】利用向量的线性运算即可得出．【解答】解：向量(2,4)AB =，(0,2)AC =，∴(2,2)BC AC AB =-=--． ∴1(1,1)2BC =--．故选：D ．【点评】本题考查了向量的线性运算，属于基础题．10．（2014秋•延庆县期末）已知向量(1,2)a =-，(1,0)b =，那么向量3b a -的坐标是( )A ．(4,2)-B ．(4,2)--C ．(4,2)D ．(4,2)-【分析】由已知中向量(1,2)a =-，(1,0)b =，根据数乘向量坐标运算公式，及向量减法坐标运算公式，可求出向量3b a -的坐标．【解答】解：(1,2)a =-，(1,0)b =，∴向量33(1b a -=，0)(1--，2)(4=，2)-故选：D ．【点评】本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，熟练掌握数乘向量坐标运算公式，及向量加法坐标运算公式，是解答本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2008秋•石景山区期末）点(8,10)M -按向量a 平移后的对应点M '的坐标是(7,4)-，则a = (15,14)- ．【分析】点(8,10)M -按向量a 平移后的对应点M '的坐标是(7,4)-，a 是一个以M 为起点，M '为终点的向量，根据两个点的坐标，写出要求的向量的坐标．【解答】解：点(8,10)M -按向量a 平移后的对应点M '的坐标是(7,4)-，∴a 是一个以M 为起点，M '为终点的向量，∴(78a =--，410)(15+=-，14)故答案为：(15,14)-【点评】本题考查平面向量的正交分解及坐标表示，考查已知起点和终点写出向量的坐标，是一个基础题，是解决其他向量问题的基础．12．（2008•怀柔区模拟）若A 、B 两点的坐标分别为(1,2)-和(2,5)，则AB = (3,3) ．【分析】根据题意可得两个点的坐标，进而利用终点坐标减去始点坐标即可得到向量的坐标．【解答】解：由题意可得：A 、B 两点的坐标分别为(1,2)-和(2,5)，所以(3,3)AB =．故答案为(3,3)．【点评】此题主要考查向量的坐标表示，即利用终点坐标减去始点坐标即可得到向量的坐标．13．（2015秋•海淀区期末）若向量(2,1)a =，(1,2)b =-，且(5ma nb +=，5)(m -，)n R ∈，则m n -的值为 2- ．【分析】由已知得(2m ，)(m n +，2)(2n m n -=+，2)(5m n -=，5)-，由此能求出m n -的值．【解答】解：向量(2,1)a =，(1,2)b =-，且(5ma nb +=，5)(m -，)n R ∈，(2m ∴，)(m n +，2)(2n m n -=+，2)(5m n -=，5)-，∴2525m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得1m =，3n =， 2m n ∴-=-．故答案为：2-．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则的合理运用．14．（2016秋•海淀区校级月考）已知两点(1,1)A -，(3,2)B -，若13BC BA =，则C 点的坐标是 5(,1)3- ．【分析】可设(,)C x y ，根据A ，B 点的坐标以及13BC BA =，即可得出43321x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩，解出x ，y 即可．【解答】解：设(,)C x y ，则：(3,2),(4,3)BC x y BA =-+=-；13BC BA =； ∴1(3,2)(4,3)3x y -+=-； ∴43321x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩； ∴531x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩； ∴5(,1)3C -．故答案为：5(,1)3-．【点评】考查根据点的坐标求向量坐标的方法，向量坐标的数乘运算，向量相等的概念．15．（2015秋•海淀区校级月考）向量(1,1)a =，(2,)b t =，若a b ⊥，则实数t 的值为 2- ．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得20a b t =+=，由此求得t 的值．【解答】解：向量(1,1)a =，(2,)b t =，若a b ⊥，则20a b t =+=，2t =-，故答案为：2-．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．。

苏教版必修四第二章平面向量第三讲向量的坐标表示2平面向量的坐标运算(习题+解析)

高中平面向量的坐标运算数学（答题时间： 40 分钟）1.以下说法中正确的有 ________。

（1）向量的坐标即此向量终点的坐标；（2）地点不一样的向量其坐标可能同样；（3）一个向量的坐标等于它的起点坐标减去它的终点坐标；（4）相等的向量坐标必定同样。

2.已知 a＝（－ 1， x）与 b＝（－ x，2）共线，且方向同样，则实数x＝ ________。

*3.（连云港高一检测）已知点M（ 3，－ 2）， N（－ 6， 1），且MP＝ 2 PN，则点 P 的坐标为 ________。

*4.设 m＝（ a， b），n ＝（ c， d），规定两向量之间的一个运算为m? n ＝（ ac－ bd，ad＋bc），若已知 p＝（ 1， 2）， p? q＝（－ 4，－ 3），则 q＝ ________。

5.以下说法正确的有 ______________。

（1）存在向量 a 与任何向量都是平行向量；（ 2）假如向量 a＝（ x1 122x1x2；， y ）， b＝（ x， y），且 a∥ b，则y2y1（ 3）假如向量a＝（ x1， y1）， b＝（ x2， y2），且 a∥ b，则 x1y2－ x2y1＝ 0；（ 4）假如向量 a＝（ x1 122x1x2， y）， b＝（ x， y），且，则 a∥ b。

y1y2a6.已知向量 m＝（2，3），n＝（－ 1，2），若 am＋ bn 与 m－ 2n 共线，则等于 ________。

b **7.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设 AB ＝a， BC ＝b， CA ＝c，且 CM ＝3c， CN ＝－2b，（ 1）求 3a＋ b－ 3c；（ 2）求知足 a＝ mb＋ nc 的实数 m，n；（ 3）求 M， N 的坐标及向量MN 的坐标。

**8.已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP＝OA＋t AB，求：（ 1）t 为什么值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？（ 2）四边形 OABP 可否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不可以，请说明原因。

高中数学第二章.4.2平面向量线性运算的坐标表示优化训练北师大版必修64

的坐标 . 解： ∵ A（ -2，4），B（ 3， -1）， C（ -3， -4），
∴ CA =（ -2+3 ， 4+4 ） = （ 1，8），
CB = （3+3 ，-1+4 ）= （ 6， 3） .
于是 CM =3 CA =3 （ 1， 8） = （ 3，24），
CN =2 CB =2 （ 6，3）= （ 12， 6） .
1
A.2
B.
C.-3
2
解析： ∵ AE 为∠ BAC 的平分线，
| BE | | AB | 2
∴
2.
ห้องสมุดไป่ตู้
| CE | | AC | 1
∴ BE =-2 CE .
1
D.
3
∴ BC = BE - CE =-2 CE - CE =-3 CE .
答案： C
2.平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1),B(-1,3)，若点 C 满足 OC = αOA + βOB ，
3 3t 2
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中 )
1.已知点 A（ 3 ，1）， B（ 0，0）， C（ 3 ，0）.设∠ BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那
么有 BC = λCE ,其中λ等于( )
3.已知点 O（ 0， 0）， A （1，2）， B（ 4， 5）及 OP = OA +t AB .求：
（1）t 为何值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限 ?
（2）四边形 OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的

平面向量习题课(2)

平面向量习题课（向量的数量积、平面向量基本定理及坐标表示）[基础达标]1．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B. 2π3 C. π3 D.5π62．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为( ) A ．13 B ．135 C ．655D ．653．已知{e 1，e 2}为基底，向量AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是( )A ．2B ．－3C ．－2D ．34．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C. 45 D. 855．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.236．已知G 是△ABC 的重心，若GC →＝xAB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．13D ．－137．已知向量e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋λe 2，b ＝3e 1－(2－λ)e 2，若a ∥b ，则λ＝________.8．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为_______9．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．10．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)， PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．11．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.12．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.[能力提升]13．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m =________．14.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为______． 15．如图所示，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14AB.(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．16．已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值． .。

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标例题与探究含解析北师大版必修420171020233

2.4 平面向量的坐标典题精讲例 1(全国高考卷Ⅲ，理 14)已知向量OA =（k,12),OB =(4,5),OC =(-k,10)，且 A 、B 、C 三点共线，则 k=______________.思路解析：由于 A 、B 、C 三点共线，则 AB ∥CB ,又 AB =(4,5)-(k,12)=(4-k,-7)， CB =(4,5)-(-k,10)=(4+k,-5),所以有(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0，解得 k=- 2 3.答案：-2 3绿色通道：向量共线的几何表示与坐标表示形式不同但实质一样，在解决具体问题时要注意选择使用；三点共线问题通常化归为向量共线问题来解决. 变式训练 1(浙江高考卷，文 4)已知向量 a =（3，4），b =(sinα,cosα)，且 a ∥b ，则 tanα 的值为（） A.3 4B.-3 4C.4 3D.-4 3思路解析：根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为 a ∥b ，且 a = （3，4），b =（sinα,cosα)，所以 3cosα-4s inα=0，则有 3cosα=4sinα，显然 cosα≠0.sin3于是 tanα== .cos4 答案：A变式训练 2(全国高考卷Ⅱ，文 1)已知向量 a =（4，2），向量 b =(x,3)，且 a ∥b ，则 x 的值为（） A.9 B.6 C.5 D.3 思路解析：由题意，得 12－2x=0，解得 x=6. 答案：B例 2（经典回放）若向量 a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，2），则 c 等于（）A.- 1 2a + 3 2bB. 1 2a - 3 23 1 3 1 bC.- a - bD.- a + b2222思路解析：由于条件中只给出 a 、b 、c 的坐标，故可考虑从“数”的角度出发用 a 、b 表示 c . 又 a 、b 不共线，则一定存在实数 x 、y ，使 c =x a +y b ，然后用向量坐标建立 x 、y 的方程组. 设 c =x a +y b ，即（-1，2）=（x ，x ）+（y ，-y ）=（x+y ，x-y ）.x ∴ xy yx y 1, 解得2,1 2, 3 2 . 答案：B绿色通道：向量通过坐标形式可转化为数的范围内的运算，故可与代数中的方程、不等式、函数等知识产生联系.本题的解答中运用了待定系数法，渗透了方程思想.之所以能用待定系数法是因为有平面向量基本定理作保障.变式训练1已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p=（2k－1，7），且p∥AB，1则k的值是（）919A.B.10101910C.-9D.10思路解析：∵A（2，－2），B（4，3），∴AB=（2，5）.又p∥AB，∴14-5（2k-1）=0，即1910k=.答案：B变式训练2已知四边形ABCD是平行四边形，其顶点A、B、C的坐标分别是A（-2，1）、B （-1，3）、C（3，4），求D点的坐标.思路分析：欲求D点坐标可设出D点坐标，然后建立关于坐标的方程组.解：设D点坐标为（x，y），由题意，可知AB=（1，2），DC=（3-x，4-y）.∵四边形为平行四边形，3∴AB=DC，即4x 1,xy 2.y2,2,即D点坐标为（2，2）.问题探究问题已知平面直角坐标系内两定点A、B，点P是线段AB所在直线上某一点，试用向量法探索点P的坐标.导思：线段的两个端点和其上的一个点共线，由此转化为向量共线的问题.探究：在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，当AP=λPB时，称点P分有向线段AB的比为λ.∴PA+λPB=0，∴(OA-OP)+λ(OB-OP)=0，∴OP=O A1OB.如图2-4-1所示，如果在直角坐标系中，设O为坐标原点，P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)图2-4-1因为AP=λPB，所以PA+λPB=0.于是有(OA-OP)+λ(OB-OP)=0,2即(1+λ) OP =OA +λOB . 所以OP =O A1 OB.(x , y ) (x y )x x yy则有(x,y)=)1112122 2(,111,x即 yx x 1 21yy 1 2 1 , . 所以 P 点的坐标为(x 1x21 ,y 1y21)，此公式就叫做线段的定比分点的坐标公式.特别是当 λ=1 即点 P 是线段 AB 的中点时，点 P 的坐标为(x1x 22,y 1 y 22)，此坐标又称为线段的中点坐标公式.下面探讨其应用.例 1：设△ABC 的重心（三条中线的交点）为 G ，并且 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),求 G 的坐标. 思路分析：求出 BC 中点坐标，再用定比分点的坐标公式得 G 的坐标. 解：设点 G(x,y)，BC 的中点为 D ，由题意得 AG 2GD ,则xyx x x 2 2 3 1 2 , 1 2 y y y2 2 312 , 1 2x即yx x x 1,2 33 y y y1 23.3 ∴G 的坐标是(x 1x x yy y23123, 33).上面的结论称为三角形重心坐标公式.可以作为结论直接应用.例2：已知M（2，7）和A（6，3），若点P在直线MA上，且MP= 13PA，求点P的坐标.思路分析：有三种思路：利用定比分点的坐标公式，利用线段的长度关系，待定系数法.解法一（利用定比分点的坐标公式）：设P（x,y)，由定比分点坐标公式得31263x= 3,1131733y= 6.113即P(3,6).解法二（利用两点间的距离公式）：设P(x,y)，由题意，得|MA|=4|MP|,|MA|=43|PA|.44则有3(2(6x)2x)2y)2y)2(2(26)26)2(7(73)23)2,,x解方程组得y3,6,即P(3,6).解法三：设P(x,y)，则MP=(2-x,7-y),1∵MP= PA，31∴(2-x,7-y)=(x-6,y-3).313PA=13(x-6,y-3).2∴7xy1313(x(y6),3).解方程组，得x=3,y=6，即P(3,6).通过上面三种解法可见，利用定比分点的坐标公式解决有关的线段问题，非常方便、快捷，应引起我们重视.4。

【新教材精创】6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示练习(1)(解析版)

6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示一、选择题1.已知向量()()2,1,3,4a b ==-,则a b +=（） A ．()6,3- B ．()8,3- C ．()5,1- D ．()1,5-【答案】D【解析】因为向量()()2,1,3,4==-a b ,所以()()()2,13,41,5+=+-=-a b . 本题选择D 选项.2.（2019·全国高一课时练习）如果用,i j r r分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，那么AB u u u r可以表示为（）A ．23i j +r rB ．42i j +v vC ．2i j -v vD ．2i j -+v v【答案】C【解析】记O 为坐标原点，则23,42OA i j OB i j =+=+u u u r r r u u u r r r ，所以2AB OB OA i j =-=-u u u r u u u r u u u r r r，故选C.3.在平行四边形中，为一条对角线．若，，则等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ∵，∴，∴，故选B.4.（2019·全国高一课时练习）已知四边形ABCD 为平行四边形，其中()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为（） A ．()7,6- B ．()7,6C ．()6,7D ．()7,6-【答案】D【解析】设D 的坐标为(),x y ，∵()()()5,1,1,7,1,2A B C --，∴()5,1AD x y =-+u u u r ，()2,5BC =-u u u r ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =u u u r u u u r ，,∴5215x y -=⎧⎨+=-⎩，解得7x =，6y =-，即D 的坐标为()7,6-，故选D.5.（多选题）若向量)33.12(2-+-=x x a 与向量AB 相等，且)4,2(),3,1(B A ，则x a ,的值为（）A.1,1==x aB.1,1=-=x aC.4,1-==x aD.4,1-=-=x a 【答案】AC【解析】由)4,2(),3,1(B A 得），11(=，则⎩⎨⎧=-+=-1331122x x a ，解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==4111x a x a 或，故选AC 。

人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)

解：设c→=x→a+→yb，即（4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标。（2）位置不同的向量其坐标可能相同。（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。（4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出：向已量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2，吗？y2)，你能
r rrr rr 解： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已知 R ，向量 a (x ， y )，那么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j

高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习（含解析）新人教A版必修4A级基础巩固一、选择题1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a －c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为( )A．(2，6) B．(－2，6) C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a －4b＋4c＝(－2，－6)．答案：D3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎪⎫－45，35解析：AB→＝(3，－4)，则与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解析：因为4a ，3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．答案：D5．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q ＝( )A ．(－3，2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)解析：设向量q ＝(x ，y )，根据题意可得x ＝－3，2y ＝－4，解得x ＝－3，y ＝－2，即向量q ＝(－3，－2)．答案：D二、填空题6．设向量a ，b 满足a ＝(1，－1)，|b |＝|a |，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为________．解析：因为向量a 与b 的方向相反，且|b |＝|a |，所以b ＝－a ＝－(1，－1)＝(－1，1)．答案：(－1，1)7．作用于原点的两个力F 1＝(1，1)，F 2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F 3＝________．解析：因为F 1＋F 2＋F 3＝0，所以F 3＝－F 1－F 2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)8．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝ 2. a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 所以a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)． 10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R)，求λ与y 的值．解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1.所以B (3，1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB →＝λBD →(λ∈R)，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.B 级能力提升1．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m ⊗n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a ⊗b ，那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a ⊗b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y .解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45. 答案：A2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ ＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)3．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)，所以MN →＝(9，－18)．。

平面向量的坐标表示及其运算习题课

第25-26课时教学题目：平面向量的坐标表示及其运算习题课教学目标：1、掌握平面向量的坐标表示；2、会进行向量线性运算的坐标表示；3、掌握向量共线的充要条件.教学内容：1、平面向量的坐标表示；2、向量线性运算的坐标表示；3、向量共线的充要条件.教学重点：1、向量线性运算的坐标表示；2、向量共线的充要条件.教学难点：1、向量线性运算的坐标表示；2、向量共线的充要条件.教学方法：讲授法、练习法. 教学过程：一、知识点梳理：（一）、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对任一向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(),x y ，使得a xi y j =+，则实数对(),x y 叫做向量a 的直角坐标(简称坐标)，记作(),a x y =，其中x 和y 分别称为向量a 的x 轴上的坐标与y 轴上的坐标，而(),a x y =称为向量的坐标表示. 注：1、相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.2、显然：()1,0i =, ()0,1j =, ()00,0=.（二）、向量线性运算的坐标表示、共线向量的坐标表示——平面向量的坐标运算：1、两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：()1212,a b x x y y ±=±± (其中()11,a x y =、()22,b x y =).2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：如果()11,A x y 、()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =--.(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：若(),a x y =，则()11,a x y λλλ=.3、向量平行（向量共线）的坐标表示：已知向量a 、b (0b ≠)，则a ∥b 的充要条件为存在实数λ，使a b λ=.如果()11,a x y =,()22,b x y = (0b ≠)则a ∥b 的充要条件为：12210x y x y -=. 注：1、平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，引入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.2、两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.3、向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.（两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的）4、向量AB 的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.5、实数λ与向量a 的积的运算时，λ应与a 的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的. 设R λ∈，(),a x y =()(),,a x y x y λλλ==或()(),,a x y x y λλλ== 二、典型例题讲解例1 、若向量()23,34a x x x =+--与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x = . 解：∵()()1,2,3,2A B 则有()2,0AB =.又∵a AB ==AB ，∴它们的坐标一定相同，∴32x +=①, 2340x x --=②，由①、②得：1x =-. 例2 、已知()34,2a x y x y =+--，16231,339b x y x y ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，若23a b =，试求x 与y 的值.分析：这里可以根据条件23a b =建立关于x ，y 的方程组，通过解方程组即可求得x 与y 的值.解：∵()34,2a x y x y =+--，16231,339b x y x y ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭且23a b = ∴ ()16234,23231,339x y x y x y x y ⎛⎫+--=-+-++ ⎪⎝⎭∴ ()1668,42693,993x y x y x y x y ⎛⎫+--=-+-++ ⎪⎝⎭∴68693x y x y +=-+①，1642993x y x y --=-++②，由①、②得： 3517x =，317y =. 说明：这里的题设条件23a b =，其实它反应了向量a ，b 同向，并且23a b =，即｜a ｜=23｜b ｜,所以a ，b 的坐标应成比例，即a 的横、纵坐标分别与b 的横纵坐标之比相等且都等于23. 例3、已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.解：如图，设()3,2OA =-， ()5,2OB =，()1,4OC =-，(),OD x y =，依题意，AB DC =或AC DB =或AB CD =.（1）由AB DC =，可得：OB OA OC OD -=-即()()()()5,23,21,4,x y --=--⇔()()2,41,4x y =---∴12x --=，44y -=，∴3,0x y =-=.∴()3,0D -.（2）由AC DB =可得：()()()()1,43,24,65,2x y ---=-=--，∴54x -=-，26y -=∴9,4x y ==-，∴()9,4D -.（3）由AB CD =可得：()()()()5,23,22,41,4x y --==+-，∴12x +=，44y -=，∴1,8x y ==，∴()1,8D .∴点D 的坐标为()3,0-或()9,4-或()1,8.例4、已知10a =，()3,4b =-，且a ∥b ，求a .解：设(),a x y =，则根据题意有：22210100x y +==①，430x y --=②由①、②得：6,8x y ==-或6,8x y =-=∴()6,8a =-或()6,8a =-.例5、已知()3,2a =-，()2,1b =-， ()7,4c =-，用a ，b 表示c .解：设c ma nb =+，即()()()7,43,22,1m n -=-+-∴ 32724m n m n -=⎧⎨-+=-⎩ 解得：⎩⎨⎧-==21n m∴2c a b =-.例6、如果()()()1,2,4,,2,1A B m C m ---在一直线上，试求m 的值（规范指导）. 师生分析：三点共线与两向量平行间的关系是解决本题的关键.解：由已知可知()()3,2,3,1AB m AC m =+=-+三点共线 ∴AB AC λ=即：()()()3,23,13,(1)m m m λλλ+=-+=-+于是有：332(1)m m λλ=-⎧⎨+=+⎩解得：1λ=-，32m =-，所以有：32m =-. 三、学生练习（一）、选择题1、已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么（）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向2、已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．23、若向量a =（1，1），b =（-1,1），c =（4，2），则c = ( )A.3a +bB. 3a -bC.-a +3bD. a +3b4、已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（） A.14 B.－14C.－31D.31 5、已知向量a =(1sin ,1)θ-，b =1(,1sin )2θ+，若a //b ，则锐角θ等于（） A ．30︒ B ． 45︒ C ．60︒ D ．75︒ （二）、填空题：1、设向量(2,3)AB =，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为．2、若(2,1)a =，(3,4)b =-则34a b +的坐标为_________．3、设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=_________．4、已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．5、若平面向量a ,b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，()21b =-，，则a = ．6、已知向量(1sin )a θ=，，(13cos )b θ=，，则a b -的最大值为．（三）、解答题1、已知(10)(21)a b ==，，，， ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？2、已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标．3、已知点(1,1)A --，(1,3)B ，(1,5)C ，(2,7)D ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 平行与直线CD 吗？解：∵(1(1),3(1))(2,4)AB =----=，(21,75)CD =--=(1,2)，又22140⨯-⨯=， ∴//AB CD ；又(1(1),5(1))(2,6)AC =----=，(2,4)AB =，24260⨯-⨯≠，∴AC 与AB 不平行，∴A 、B 、C 不共线，AB 与CD 不重合，所以，直线AB 与CD 平行．四、课堂小结1、平面向量的坐标表示；2、向量线性运算的坐标表示；3、向量共线的充要条件.五、作业布置（一）、填空题1、已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ．2、若A (0, 1), B (1, 2), C(3, 4) 则-2= ．3、已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x = ． 4、在平面直角坐标系xoy 中，四边形AB CD 的边AB ∥DC,A D∥B C,已知点A (－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________．（二）、解答题 1、若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标． 2、若向量()1a x =-，与()2b x =-，共线且方向相同，求x ．3、已知(1,2),(3,2)a b ==-,当实数k 取何值时,k a ＋2b 与2a —4b 平行？。

平面向量的坐标运算基础+复习+习题+练习

课题：平面向量的坐标运算考纲要求：①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘、数量积运算. ③理解用坐标表示的平面向量共线的条件.教材复习1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，,i j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a xi y j =+成立，即向量a 的坐标是2. 平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±＝，3. 平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的坐标减去坐标.4.实数与向量积的坐标表示：若(,)a x y =，则a λ＝5. 设11(,)a x y =，22(,)b x y =，由a b ⇔∥ ，a b ⇔⊥6. 若()11,a x y =，()22,b x y =，则a b ⋅= ；7. 若(),a x y =，则22a a a a ⋅=== ，a = ； 8. 若()11,A x y ,()22,B x y ,则AB = ； 9.重要不等式：()11,a x y =，()22,b x y =，则a b -⋅≤a b ⋅≤a b ⋅⇔≤1212x x y y +典例分析：考点一坐标的基本运算问题1．()1（01新课程）若向量()1,1a =，()1,1b =-，()1,2c =-，则c =.A 1322a b -+ .B 1322a b - .C 3122a b - .D 3122a b -+()2 （2013辽宁）已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为.A 3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- .B 4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- .C 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， .D 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3（08广东文）已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =-, 且//a b , 则23a b +=.A ()2,4-- .B ()3,6-- .C ()4,8-- .D ()5,10--()4（2013湖北）已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB在CD 方向上的投影为 .A.B .C .D考点二有关垂直、平行与夹角的计算问题2．()1已知(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x()2已知向量(,1)a m =,(2,)b m =的夹角为钝角,求m 的取值范围.()3（2013江苏）已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，παβ<<<0。

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课

设点 P x, y ，利用平面向量的坐标运算列方程组求出 x ､ y 的值.
【详解】
解：设点 P x, y ，由点 M 3, 2 ， N 5, 5 ，
所以 MP x 3, y 2 ，
MN 8, 7 ，
又
MP
1
MN
，
2
x 3 4
所以
y
2
7 2
，
x 1
解得
y
3 2
，
则
P
点坐标是
【分析】利用向量加法的三角形法则以及向量加法的坐标运算即可求解. 【详解】
AC AB BC 1, 2 3, 4 2, 6 .
故答案为： 2, 6
【点睛】
本题考查了向量加法的坐标运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
3
16．
5
【分析】
先求出
a
tb
的坐标，再利用
a
tb
与
a
2，3
，
b
1，2
，若
ma
nb
与
r a
r 2b
共线，则
m n
等于（
）
A． 1 2
B． 1 2
C． 2
D． 2
9．已知向量 a x, y ,b 1, 2 ，且 a b 1,3 ，则 a 2b 等于（）
A．1
B． 3
C．4
D．5
10．若 OA (7, 4) ， OB (4, 0) ，则与向量 BA 同向的单位向量是（）
18．已知 a
(1,
2)
，
a
b
(0, 2) ，则
b
__________．
参考答案
1．B