1、二重积分的概念、几何意义

2、 ∫∫ f ( x, y)dσ 的几何意义是____.
D
3、 若 f(x,y)在有界闭区域 D 上可积,且 D⊃ D1⊃ D2,当
f ( x, y) ≥ 0时, 则∫∫ f ( x, y)dσ ___ ∫∫ f ( x, y)dσ ;
D1
D2
f ( x, y) ≤ 0时, 则∫∫ f ( x, y)dσ ___ ∫∫ f ( x, y)dσ .
( x + y)2 +16 16 4
∫∫ 1σ ≤
dσ
≤ 1σ
5 D x2 + y2 + 2 xy +16 4
σ = 2 ⇒ 故 2 ≤ I ≤ 2 ⇒ 0.4 ≤ I ≤ 0.5
5
4
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例2、 比较积分 ∫∫ ln( x + y)dσ 与 ∫∫[ln( x + y)]2dσ
D1
D2
∫∫ 4、 sin( x 2 + y 2 )dσ ___σ,其中σ是圆域 x 2 + y 2 ≤ 42的
D
面积 , σ=16π.
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二、比较下列积分的大小:
1、∫∫ ( x 2 + y 2 )dσ与∫∫ ( x + y)3 dσ ,其中 D 是由圆
D
D
( x − 2)2 + ( y − 1)2 = 2所围成 .
1．定义：设 f ( x, y)在有界闭区域 D 上的有定义，将 D 任意
分割成小闭区域∆σ 1，∆σ 2 ,
，∆σ
n
，其中
∆σ
i
也表示它的
面积，在每个∆σ i 上任取一点(ξi ,ηi )，
作乘积： f (ξi ,ηi )∆σ i ，
(i = 1,2,, n)，
n
∑ 求和 ： f (ξi ,ηi )∆σ i，
i =1
=λ max{∆σ i直径}
取极限： 令λ →0.若和式的极限存在，则称 f ( x, y)在 D
上可积，并称此极限为 f ( x, y)在 D 上的二重积分，记为
∫∫ f ( x, y)dσ ，
n
D
∫∫ ∑ 即= f ( x, y)dσ
D
lim
λ →0
i =1
f (ξi ,ηi )∆σ i .
D
D
D
I1 < I3 < I2
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五、n重积分
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1. f ( x)在（一维）区间[a, b]上的定积分为
b
∫a f ( x)dx或 ∫ f ( x)dx; [a ,b ]
2. f ( x, y)在（二维）有界闭区域D上的二重积分为
∫∫ f ( x，y)dxdy
D
3. f ( x, y, z)在（三维）空间有界闭区域Ω上的三重积分为
D
D
性质２ ∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ
D
= ∫∫ f ( x, y)dσ ± ∫∫ g( x, y)dσ .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ .
D
D1
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n
∫∫ ∑ D
f ( x, y)dσ
= lim λ →0 i=1
f (ξi ,ηi )∆σ i .
积被
积
分积
分
区函
变
域数
量
被面
积积 积 表元 分 达素 和 式
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2. 注：
(1)在定义中,面积元素dσ 对应∆σ i ,
在直角坐标系中面积元素
dσ = dxdy, 此时二重积分为
( A) I1 < I2 < I3 (C ) I1 < I3 < I2
( B) I3 < I2 < I1 ( D) I3 < I1 < I2
1
1 2
解： 1 ≤ x + y ≤ 1 ⇒ ln3 ( x + y) ≤ sin3 ( x + y) ≤ ( x + y)3
2
⇒ ∫∫ ln3 ( x + y)dσ < ∫∫ sin3 ( x + y)dσ < ∫∫ ( x + y)3 dσ
被积函数半球面为 z = a2 − x2 − y2 ,
由二重积分得几何意义
z
∫∫ a2 − x2 − y2dσ = 1 4πa3
D
23
= 2 πa3 . 3
O x
y
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四、二重积分的性质：
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性质１ 当k为常数时，
∫∫ kf ( x, y)dσ =k ∫∫ f ( x, y)dσ .
∫∫ f ( x, y)dσ = f (ξ ,η) ⋅σ
D
（二重积分中值定理）
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例1、 不计算, 估计I = ∫∫
D
其中D : [0,1]×[0,2].
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x2
+
dσ
y2 + 2 xy
+
的值, 16
解： 1 ≤
1
≤= f ( x, y)
1 = ≤ 1 1 ,
5 (1+ 2)2 +16
D
o
y
x
2.平面薄片的质量
M = ∫∫ ρ(x, y)dxdy
D
y
•
O
ρ(x, y) x
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例 根据二重积分的几何意义判断积分的值.
∫∫ a2 − x2 − y2dσ , D : x2 + y2 ≤ a2 .
D
解： 投影区域为圆域 D : x2 + y2 ≤ a2 .
z
z = f (x, y)
定义 设有一立体，它的底是 o
y
xoy 面上的闭区域 D，它的侧面
x
是以 D 的边界曲线为准线而母线
平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲
面 z f ( x, y) ，这里 f ( x, y) ≥ 0 且
在 D 上连续．这样的立体叫做曲
顶柱体．
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D
D
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性 质 ６ 设 m、M 是函数 f ( x, y) 在D上的最大值和
最小值,σ为D的面积, 则在D上
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ Mσ
D
（二重积分估值不等式）
性 质 ７ 如果函数f ( x, y)在D上连续,σ为D的面积, 则在D上至少存在一点(ξ ,η ),使得
Ω1 +Ω2
Ω1
Ω2
b
6.结论1.∫a 1dx= b − a
结论2.∫∫ 1dxdy = σ {D的面积}
D
结论3：∫∫∫ 1dV= V {Ω的体积} Ω
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一、填空题:
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1、 当 f ( x, y)在闭区域 D 上____时,则其在 D 上的二重
积分必定存在 .
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域 , 三个顶点各为
(1,0), (1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x + y = 2
1
在 D内, 1 ≤ x + y ≤ 2 < e,
D
故 ln( x + y) < 1,
o
12x
于是 ln( x + y) > [ln( x + y)]2,
因此 ∫∫ ln( x + y)dσ > ∫∫[ln( x + y)]2dσ .
D
D
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例 3、设 I1 = ∫∫ ln3 ( x + y) dxdy, I2 = ∫∫ ( x + y)3 dxdy,
D
D
∫∫ I3
sin
(
x
+
y
)
3
dxdy
，其中
D
由
x=
D
0, y=
0, x + y=
1 , x + y= 2
1围成，
则 I1, I2, I3 之间的大小顺序为（ ）
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法．
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重积分的概念及性质
一、背景 二、二重积分的定义 三、二重积分的意义 四、二重积分的性质
五、n重积分的对称性：
六、二重积分的对称性：
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一、背景
1.求平面薄片的质量
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设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在
点 ( x, y) 处的面密度为ρ( x, y).计算该薄片的质量.
∫∫∫ f ( x, y, z)dV Ω
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4. f ( x1 ,, xn )在n维有界闭区域Ω上
的(n重)积分：∫ ∫ f ( x1,, xn ) | dΩ |
Ω
5.性质1：∫∫∫ f ( x, y, z)dV = f (ξ ,η,ζ )V Ω
性质2：∫∫= ∫ ∫∫∫ + ∫∫∫
D2
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性质４ 若 σ 为D的面积，σ = ∫∫1⋅ dσ = ∫∫ dσ .
D
D
性质５ 若在D上 f ( x, y) ≤ g( x, y),
则有 ∫∫ f ( x, y)dσ ≤∫∫ g( x, y)dσ .
D
D
特殊地 ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ .
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y
D
o
x
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy
D
D
(2)如果函数f ( x, y)在闭区域D上连续,那么它在D
上的二重积分必定存在 .
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三、二重积分的意义： 1.曲顶柱体的体积
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z
z = f (x, y)
V = ∫∫ f (x, y)dxdy
柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
z = f (x, y)
D
特点：曲顶. 柱体体积=？
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法．
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步骤如下：
z
先分割曲顶柱体的底，
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z = f (x, y)
用若干个小平
顶柱体体积之 和近似曲顶柱 体的体积，
o
x
D
•
∆σ i
n
∑ 曲顶柱体的体积
V
=
lim
λ →0
i =1
f
(ξi ,ηi )∆σ i .
y
(ξi ,ηi )
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二、二重积分的定义：
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将薄片分割成若干小块， y
(ξi ,ηi )
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
O
•
∆Di x
近似等于薄片总质量
n
n
∑ ∑ f (ξi ,ηi )∆σ i → M .
i =1
即lim λ →0
i =1
f (ξi ,ηi )∆σ i
=M .
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2．曲顶柱体的体积
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2、∫∫ ln( x + y)dσ与∫∫ [ln( x + y)]2 dσ ,其中 D 是矩形
D
闭区域:3 ≤ x ≤ 5,0 ≤ y ≤ 1 .
三、估计积分 I = ∫∫ ( x 2 + 4 y 2 + 9)dσ 的值,其中 D 是
D
圆形区域: x 2 + y 2 ≤ 4 .
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