2020学年苏教版数学八年级数学第6章《一次函数》复习

八年级数学第6章《一次函数》复习【知识梳理】【考点解析】考点1 函数自变量的取值范围【考点解读】求函数自变量的取值范围要视具体情况而定，如果只是单纯的函数表达式，则变量的取值必须保证所给表达式有意义.如果是一个实际问题，除了要考虑自变量的取值要使得表达式有意义之外，还要考虑自变量的取值必须具有实际意义.例1函数y =中，自变量x 的取值范围是( )A. 2x >-B. 2x ≥-C. 2x ≠-D. 2x ≤-分析:要使函数y =有意义，只要20x +≥即可，所以2x ≥-.答案:B【规律·技巧】二次根式中被开方数必须是非负数.【反馈练习】1.函数1y x =-中，自变量x 的取值范围是( )A. 12x ≤且1x ≠ B. 12x ≥且1x ≠ C. 12x >且1x ≠ D. 12x <且1x ≠ 点拔:由210x -≥和10x -≠即可求解.考点2 从函数图像中读取信息【考点解读】函数图像信息题为中考的热点内容，解答函数图像信息题主要运用数形结合思想，将图像信息转化为数学信息，主要步骤如下:(1)了解横轴、纵轴的意义;(2)从图像形状上判定函数类型;(3)抓住特殊点的实际意义;(4)通过方程、不等式、函数等数学模型将实际问题转化为数学问题.例2 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5 km ，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5 km.设小明出发x h 后，到达离甲地y km 的地方，图中的折线OABCDE 表示y 与x 之间的函数关系.(1)小明骑车在平路上的速度为 km/h ，他途中休息了 h;(2)求线段,AB BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式;(3)如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h ，那么该地点离甲地多远?分析:(1)观察图像发现，小明用0.3 h 骑了4.5 km 的平路，由=路程速度时间，得小明骑车在平路上的速度为4.5150.3=(km/h)，上坡用的时间为6.5 4.50.2155-=- (h)，下坡用的时间为6.5 4.50.1155-=+(h)，所以休息的时间为10.40.20.10.1---= (h) ;(2)先由函数图像求出小明在各段路上所用的时间，就可以求出点B 和点C 的坐标，再用待定系数法求出线段,AB BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式;(3)小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h ，由题意可以得出这个地点只能在坡路上.设小明第一次经过该地点的时间为t h ，则第二次经过该地点的时间为(0.15)t +h ，根据“两次离甲地的距离相等”建立方程求出其解即可.解答:(1) 15 0.1(2)因为小明骑车在平路上的速度为15 km/h,所以小明骑车上坡的速度为10 km/h ，下坡的速度为20 km/h.由图像可知，小明骑车上坡所用的时间是6.5 4.50.2155-=-(h)，下坡所用的时间是6.5 4.50.1155-=+(h)，所以,B C 两点的坐标分别是(0.5,6.5)，(0.6,4.5).当0.3x =时， 4.5y =，当0.5x =时， 6.5y =，得线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为10 1.5(0.30.5)y x x =+≤≤.当0.5x =时， 6.5y =，当0.6x =时， 4.5y =，得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为2016.5(0.50.6)y x x =-+≤≤.(3)小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h ，根据题意，得这个地点只能在坡路上.设小明第一次经过该地点的时间为t h ，则第二次经过该地点的时间为(0.15)t +h. 根据题意，得10 1.520(0.15)16.5t t +=-++.解得0.4t =，所以100.4 1.5 5.5y =⨯+=.答:该地点离甲地5.5 km.【规律·技法】在一次函数图像分析过程中，首先抓住各关键点的坐标，联系实际意义逐一击破.直线的陡峭，平缓往往和速度相联系.【反馈练习】2.一段笔直的公路AC 长20 km ，途中有一处休息点B ，AB 长15 km ，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A 出发，甲以15 km/h 的速度匀速跑至点B ，原地休息半小时后，再以10 km/h 的速度匀速跑至终点C ;乙以12 km/h 的速度匀速跑至终点C ，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2h 内运动路程y (km)与时间x (h)函数关系的图像是()点拨:分别求出甲、乙两人到达C 地的时间，再结合已知条件即可解决问题.3.星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60 min 后回家，图中的折线段OA AB BC --是她出发后所在位置离家的距离s (km)与行走时间t (min)之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路程的是( )点拨:根据给出的s 关于t 的函数图像，分析线段可得出该段时间蕊蕊妈妈绕以家为回心的圆弧运动由此即可得出结论.考点3 求一次函数、正比例函数表达式【考点解读】常用“待定系数法”求一次函数(0)y kx b k =+≠、正比例函数(0)y kx k =≠的表达式.把题中已知点的坐标或是,x y 的值代入，求,k b .例3 已知y 与3x -成正比例，且当4x =时，3y =.(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)当12y =-时，求x 的值.分析:(1)根据题意设出函数表达式，把当4x =时，3y =代入表达式，便可求出未知数的值，从而求出其表达式;(2)把12y =-代入可得出x 的值.解答:(1)因为y 与3x -成正比例，所以可设(3)(0)y k x k =-≠.又因4x =时，3y =，所以3(43)k =-，解得3k =，所以y 与x 之间的函数表达式为39y x =-.(2)把12y =-代入得3912x -=-，解得1x =-.【规律·技法】熟练掌握待定系数法是关健.例4 如图，直线AB 对应的函数表达式是( )A. 33y x =-+B. 33y x =+C. 133y x =-+D. 133y x =+分析:用待定系数法求解.解答:设直线AB 时应的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，根据图像可知点(1,0)和(0,3)在直线y kx b =+上，所以03k b b +=⎧⎨=⎩，解得33k b =-⎧⎨=⎩.所以直线AB 对应的函数表达式是33y x =-+.故选A.【规律·技法】确定一次函数的表达式主要有两种情况:(1)给出两组对应的自变量、函数值;(2)给出直线上两个点的坐标.本题根据函数的图像，可以找出它上面的两个点的坐标(一般找两个特殊的点，比如与x 轴、y 轴的交点)，从而求出,k b 的值.例5 已知一次函数y kx b =+的图像经过点(1,5)--，且与正比例函数12y x =的图像相交于点(2,)a .(1)求a 的值;(2)求一次函数的表达式(3)求函数y kx b =+的图像、函数12y x =的图像和x 轴所围成的三角形的面积.分析:(1)把点(2,)a 的坐标代入函数12y x =的表达式即可求出a 的值;(2)把点(1,5)--，(2,)a 的坐标代入函数y kx b =+的表达式可得到关于,k b 的二元一次方程组，求解即可得到函数表达式;(3)分别求出两个函数的图像与x 轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出图形的面积.解答:(1)把点(2,)a 的坐标代入函数12y x =，得1a =.(2)把点(1,5)--，(2,1)代入y kx b =+得521k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得23k b =⎧⎨=-⎩，所以一次函数的表达式为23y x =-.(3)函数12y x =的图像与x 轴的交点为(0,0)O ，设函数23y x =-的图像与x 轴的交点为3(,0)2A ，所以32OA =.设函数12y x =的图像与函数23y x =-的图像的交点为(2,1)B ，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，则1BC =，所以1324AOB S OA BC ∆==.【规律·技法】与一次函数图像有关的面积计算，画出示意图求出关键点的坐标是关键. 例6 (1)求直线24y x =-向上平移2个单位长度所得的直线的函数表达式;(2)求直线24y x =-向左平移4个单位长度所得的直线的函数表达式;(3)求直线24y x =-关于直线y x =-对称的直线的函数表达式.分析:(1)平移不改变k 的值，向上平移2个单位长度时，将原直线的函数表达式的常数项加2即可;(2)平移不改变k 的值，设出相应的直线的函数表达式，从原直线的函数表达式上找一个点，然后找到向左平移4个单位长度后得到的点，代入设出的直线的函数表达式，即可求得b ，也就求得了所求的直线的函数表达式;(3)从原直线上找两点，进而找到关于直线y x =-对称的点，代入直线的函数表达式即可求解.解答:(1)因为向上平移2个单位长度，所以新函数中2k =，422b =-+=-，所以得到的直线所对应的函数表达式是22y x =-.(2)因为是平移得到，所以可设新直线的函数表达式为2y x b =+.因为原直线经过(0,4)-，所以向左平移4个单位长度得到的点为(4,4)--，代入新直线的函数表达式得4b =，所以新直线的函数表达式为24y x =+.(3) (0,4)-，(2,0)为原直线上两点，关于y x =-对称的点为(4,0)，(0,2)-，设新直线表达式为(0)y kx b k =+≠，即402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以新直线的函数表达式为122y x =-.【规律·技法】直线的平移，记住口诀:左加右减，上加下减.【反馈练习】4.若函数21(2)n y m x m n +=-++是正比例函数，则,m n 的取值分别为( ) A. 0,0m n == B. 0,0m n ≠=C. 2,0m n ≠=D.0,0m n =≠5.如图，直线AB 对应的函数表达式是()A. 332y x =-+B. 332y x =+C. 233y x =-+D. 233y x =+6. (2017·盐城)若一次函数y kx b =+的图像与直线24y x =-+平行，且过点(3,1)，则b 的值为 .7.将直线2y kx =-先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，正好经过点(2,4)-，那么k 的值为 .8.已知12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与2x -成正比例，当1x =-时，2y =;当2x =时，5y =.求y 与x 的函数表达式.点拨:根据正比例函数的定义，利用待定系数法即可求解.9.在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函数关系.下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表.(1)根据表中数据确定该一次函数的表达式;(2)如果蟋蟀点拨:根据题意列出函数表达式，代入求解即可.10. 如图，直线l 上有一点1(2,1)P ，将点1P 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点2P ，点2P 恰好在直线l 上. (1)点2P 的坐标为;(2)求直线l 所表示的一次函数的表达式;(3)若将点2P 先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点3P ，请判断点3P 是否在直线l 上，并说明理由.点拨:(1)根据“右加左减，上加下减”的规律来求点2P 的坐标;(2)代入即可求解;(3)将3P 代入(2)中的函数表达式进行验证即可.考点4 一次函数图像和性质的综合应用【考点解读】一次函数的图像和性质是函数的重要内容，是中考的重点，既考查了对一次函数图像与性质的掌握，又考查了对数形结合的理解.与函数图像经过的象限和函数的增减性有关的问题更是历年中考的热点.解题的关键是明确一次函数(0)y kx b k =+≠中,k b 的符号与图像的位置及增减性的关系.一次函数(0)y kx b k =+≠具有以下性质:(1)当0k >时，y 随x 的增大而增大;当0k <时，y 随x 的增大而减小.这实际上就是一次函数的增减性，利用该性质，我们可以解决实际问题中的最值问题.(2)由,k b 的符号可确定图像的位置，反之，也可根据图像的位置确定,k b 的符号.例7 如图，直线y ax b =+过点(0,2)A 和点(3,0)B -，则关于x 的方程0ax b +=的解是( )A. 2x =B. 0x =C. 1x =-D. 3x =-分析:由图像可知关于x 的方程0ax b +=的解是3x =-.答案:D【规律·技法】由一次函数图像与方程的联系可得0ax b +=即求直线与x 轴交点的横坐标. 例8 已知一次函数y kx b =+，函数值y 随自变量x 的增大而减小，且0kb <，则函数y kx b =+的图像大致是( )分析:先由函数值y 随自变量x 的增大而减小得到0k <，再结合0kb <得到0b >，从而得到答案应为A.答案:A【规律·技法】由k 的正负控制直线从左往右是上升还是下降，由b 的正负控制直线与y 轴的交点是在正半轴还是负半轴上.【反馈练习】11.已知一次函数(1)1y m x =-+的图像上两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当12x x >时，有12y y <，那么m 的取值范围是( )A. 0m >B. 0m <C. 1m >D. 1m <12.两条直线y ax b =+与y bx a =+在同一直角坐标系中的图像可能是( )13.已知一次函数y ax b =+的图像经过第一、二、四象限，且与x 轴交于点(2,0)，则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为 .14.已知一次函数(1)y m x n =--的图像不经过第二象限，则,m n 的取值范围为 . 考点5 一次函数与方程、不等式【考点解读】一次函数(0)y kx b k =+≠换一个角度可以看成是一个二元一次方程.因此两个一次函数图像若有交点，则交点的横、纵坐标为相应的二元一次方程组的解;对于(0)y kx b k =+≠，当两个变量中一个变量确定，则函数转化为一元一次方程;当一个变量的范围确定，则函数转化为一元一次不等式.例9 如图，经过点(1,0)B 的直线y kx b =+与直线44y x =+相交于点8(,)3A m ，则044kx b x <+<+的解集为()A. 13x <-B. 113x -<<C. 1x <D. 11x -<<分析:由图像可知不等式0kx b +>的解集为1x <.将点8(,)3A m 代入44y x =+，得13m =-，所以不等式44kx b x +<+的解集为13x >-，所以044kx b x <+<+的解集为113x -<<，故选B答案:B【规律·技法】综合图像中，线与线的交点坐标，线与x 轴，y 轴的交点坐标，由大小关系分析出解集.【反馈练习】15.已知方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩，那么一次函数y = 与一次函数y = 的交点为(2,4).16.如图，函数3y x =-和y kx b =+的图像相交于点(,6)A m ，则关于x 的不等式(3)0k x b ++>的解集为.点拨:首先利用函数图像上点的坐标特征求出m 的值，利用函数图像得出答案.考点6 一次函数与决策问题【考点解读】近几年中考试题中越来越多地出现了开放性应用题，需要利用数学知识选方案，对于这类问题，首先要建立两个变量间的函数关系，然后利用函数性质分类讨论.用一次函数作决策时，关键是用待定系数法求出一次函数表达式.例10某食品加工厂需要一批食品包装盒，这种包装盒有两种方案可供选择:方案1:从包装盒加工厂直接购买，所需的费用1y (元)与包装盒数x (个)满足如图①所示的函数关系.方案2:租赁机器自己加工，所需费用2y (元)(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数x (个)满足如图②所示的函数关系.根据图像回答下列问题:(1)方案1中每个包装盒的价格是多少元?(2)方案2中租赁机器的费用是多少元?生产一个包装盒的费用是多少元?(3)请分别求出12,y y 与x 的函数表达式.(4)如果你是决策者，你认为选择哪种方案更省钱?并说明理由.分析(1)根据图可知，100个盒子共花费500元，据此可以求出盒子的单价;(2)根据图可知，租赁机器花费20 000元，根据图像所经过的点的坐标可求出生产一个包装盒的费用;(3)根据图像经过的点的坐标，用待定系数法可求得12,y y 与x 的函数表达式;(4)求出当x 的值为多少时，两种方案费用相同，并据此分类讨论最省钱的方案即可. 解答:(1)因为5001005÷=(元)，所以方案1中每个包装盒的价格为5元.(2)根据图可知，租货机器的费用为20 000元.因为(3000020000)4000 2.5-÷=(元)，所以生产一个包装盒的费用为2.5元.(3) 15y x =，2 2.520000y x =+.(4)当12y y =时，5 2.520000x x =+，解得8000x =.故当8000x >时，选方案2;当8000x =时，选方案1与方案2费用一样;当08000x <<时，选方案1.【规律·技法】方案设计问题中最佳方案的选择问题涉及求函数的最值，这就要对函数的性质非常熟悉，同时再根据自变量的取值范围求出问题的答案.【反馈练习】17.某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配(2)x x ≥个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近,A B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元.目前两家超市同时在进行促销活动，A 超市:所有商品均打九折(按标价的90%)销售;B 超市:买一副羽毛球拍送2个羽毛球.设在A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为A y (元)，在B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为B y (元).请解答下列问题: (1) ,A B y y 与x 之间的函数表达式分别为A y = ，B y = .(2)若该活动中心只在一家超市购买，则在哪家超市购买更合算?(3)若每副羽毛球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.点拨:(1)根据购买费用一单价x 数童建立关系就可以表示出,A B y y 的表达式;(2)分三种情况讨论:(3)分两种情况进行讨论计算出需要的费用再进行比较就可以求出结论.18.某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有汽车和火车两种运输方式可供选择，其中汽车运输的主要参考数据如下表:火车运输总费用2y (元)与运输路程x (km)之间的函数图像如图所示:(1)请分别写出汽车、火车运输的总费用1y (元)，2y(元)与运输路程x (km)之间的函数关系; (2)若蔬菜基地先由汽车把蔬菜运往60 km 外的中转站再用火车运送(中转时间忽略不计)，写出运输总费用y (元)与运输总路程x (km)之间的函数关系，并求出当运输总路程为200 km 时的总费用;(3)若只选择一种运输方式，你认为哪种运输方式运输的总费用较少?并说明理由.点拨:(1)根据汽车运输总费用=每千米路段所需费用⨯路程+装卸费用即可求出1y 与x 之间的函数表达式.设2(0)y kx b k =+≠，根据图像找出点的坐标，利用待定系数法即可求出2y 与x 之间的函数表达式.(2)代入求值即可.(3)分别12y y <，12y y =，12y y >，求出x 的取值范围，由此即可得出结论.【易错题辨析】易错点1 对函数的定义理解不透而出错 例1 下列选项中，不能表示y 是x 的函数的是( )错误解答:A 或B 或C正确解答:D易错辨析:在某一个变化过程中的两个变量,x y ，对于给定的每一个x 的值，y 都有唯一确定的值和它对应，这种对应关系才是函数关系.而D 中对于某些给定的x 的值，y 可能有两个值和它对应，故y 不是x 的函数.易错点2 忽略一次函数(0)y kx b k =+≠中的隐含条件而出错例2 已知函数2(1)k y k x k =-+，当k 为何值时，它是一次函数? 错误解答:要使2(1)k y k x k =-+是一次函数，则必须满足21k =，故1k =±，即当21k =时，函数2(1)k y k x k =-+是一次函数.正确解答:要使2(1)k y k x k =-+是一次函数，则必须满足21k =且10k -≠，所以1k =-，即当1k =-时，函数2(1)k y k x k =-+是一次函数. 易错辨析: y kx b =+是一次函数时，,k b 为常数，且0k ≠，不要忽略了“0k ≠”这个隐含条件.易错点3 对于两个不同的函数，求表达式时所设的比例系数不能相同例3 已知12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y与1x -成正比例，且当1x =-时，2y =;当2x =时，5y =.求y 关于x 的表达式.错误解答:因为1y 与x 成正比例，所以设1y kx =.又因为2y 与1x -成正比例，所以设2(1)y k x =-，所以12(1)2y y y kx k x kx k =+=+-=-.又因为当1x =-时，2y =;当2x =时，5y =时，所以2245k k k k --=⎧⎨-=⎩方程组无解，所以求不出y 关于x 的函数表达式. 正确解答:设11y k x =，22(1)y k x =- (10k ≠，20k ≠) 则1212(1)y y y k x k x =+=+-. 把1x =-，2y =及2x =，5y =分别代入，得12122252k k k k =--⎧⎨=+⎩，解得1243k k =⎧⎨=-⎩，所以43(1)3y x x x =--=+.易错辨析:同一个问题中的两个不同函数，其比例系数不一定相同，因此要设两个不同的比例系数.易错点4 画一次函数的图像时易忽略自变t 的取值范围例4 拖拉机未开始工作时，油箱中有24 L 油，开始工作后，如果每小时耗油4L ，那么油箱中的剩余油量y (L)与工作时间x (h)之间的函数关系的图像是下列选项中的()错误解答:B正确解答:D易错辨析:在画实际问题中的一次函数的图像时，容易忽略自变量的取值范围受实际问题的限制，将函数的图像画成一条直线，从而导致错误.易错点5 不能正确理解一次函数图像的增减性而致错例5 已知直线y kx b =+中，自变量x 的取值范围是17x -≤≤，相应函数值y 的取值范围是128y -≤≤，求该函数的表达式.错误解答:由17x -≤≤，得7k b kx b k b -+≤+≤+,即7k b y k b -+≤≤+.而128y -≤≤，所以1278k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得 2.59.5k b =⎧⎨=-⎩. 所以该函数的表达式为 2.59.5y x =-.正确解答:当0k >时，y 随x 的增大而增大，所以1x =-时，12y =-；7x =时，8y =，即1278k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得 2.59.5k b =⎧⎨=-⎩. 所以该函数的表达式为 2.59.5y x =-.当0k <时，y 随x 的增大而减小，所以1x =-时，8y =；7x =时，12y =-，即8712k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得 2.55.5k b =-⎧⎨=⎩. 所以该函数的表达式为 2.5 5.5y x =-+.综上所述，该函数的表达式为 2.59.5y x =-或 2.5 5.5y x =-+.易错辨析:一次函数y kx b =+在0k >时，y 随x 的增大而增大;在0k <时，y 随x 的增大而减小.题目中没有指明k 的正、负，因而应分两种情况讨论.本题错解的原因是只考虑了0k >的情况，而忽略了0k <这一情况，考虑问题不全面.易错点6 不会利用图像进行分析例6 如图，已知函数24y x =-+，观察图像并回答问题:(1)当x 时，0y =;(2)当x 时，0y >;(3)当x 时，0y <;(4)当x 时，4y >.错误解答:(1) =4 (2) >2 (3) <2 (4) >0正确解答:(1) =2 <2) <2 (3) >2 (4) <0易错辨析:没有将“数”和“形”有机地结合起来，不会利用图像分析问题和解决问题.0y =是图像与x 轴的交点纵坐标;0y >，图像位于x 轴上方;0y <，图像位于x 轴下方;4y >，图像位于直线4x =的上方.例7 用画函数图像的方法解不等式:423x x ->-+.错误解答:在同一平面直角坐标系中分别画出直线42y x =-与直线3y x =-+(如图所示)，两直线的交点为(1,2).当2x >时，对于同一个x ，直线42y x =-上的点都在直线3y x =-+上相应点的上方.这时，423x x ->-+，所以不等式的解集为2x >.正确解答:在同一平面直角坐标系中分别画出直线42y x =-与直线3y x =-+(如图所示)，得两直线的交点为(1,2).当1x >时，对于同一个x ，直线42y x =-上的点都在直线3y x =-+上相应点的上方.这时，423x x ->-+，所以不等式的解集为1x >.易错辨析:对于直线(0)y kx b k =+≠，当0y =时，直线与x 轴相交，而不是与y 轴相交;当0x =时，直线与y 轴相交，而不是与x 轴相交;当0y >时，图像为x 轴上方的部分，不是y 轴右边的部分;当0y <时，图像为x 轴下方的部分，而不是y 轴左边的部分.【反馈练习】1.等腰三角形的周长是40 cm ，腰长y (cm)是底边长x (cm)的函数，此函数表达式和自变量取值范围正确的是( )A. 240(020)y x x =-+<<B. 0.540(1020)y x x =-+<<C. 240(1020)y x x =-+<<D. 0.540(020)y x x =-+<<2.直线1y x =-与两坐标轴分别交于,A B 两点，点C 在坐标轴上，若ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个3.甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y (km)与甲车行驶的时间t (h)之间的函数关系如图所示.有下列结论:①,A B 两城相距300 km;②乙车比甲车晚出发1h ，却早到1 h;③乙车出发后2.5h 追上甲车;④当甲、乙两车相距50 km 时，54t =或154.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，过点(1,2)A 的直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交于点B ，且4AOB S ∆=，则k 的值是 .5. 一次函数(0)y kx b k =+≠，当14x ≤≤时，36y ≤≤，则bk 的值是 .6.某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y (cm)与观察时间x (天)的关系，并画出如图所示的图像 (AC 是线段，直线CD 平行于x 轴).(1)该植物从观察时起，多少天以后停止长高?(2)求直线AC 的表达式，并求该植物最高长到多少厘米.点拨:(1)由图像可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高.(2)设直线AC 的表达式为(0)y kx b k =+≠，然后利用待定系数法求出直线AC 线段的表达式，再把50x =代入即可得解.7.如图，直线1l :12(0)y kx k =+≠与直线2l :244y x =-交于点(,4)P m ，直线1l 分别交x 轴、y 轴于点,A B ，直线2l 交x 轴于点C .(1)求,k m 的值;(2)写出使得不等式244kx x +<-成立的x 的取值范围;(3)在直线2l 上找点Q ，使得QAC BPC S S ∆∆=，求点Q 的坐标.点拨:(1)先把(,4)P m 代入244y x =-可求出2m =，则点P 的坐标为(2,4)，然后把点P 坐标代入2y kx =+可求出k 的值.(2)由函数图像即可求解.(3)利用BPC PAC BAC S S S ∆∆∆=-.探究与应用探究1 待定系数的求解 例1 在平面直角坐标系xOy 中，直线4(0)y kx k =+≠与y 轴交于点A .(1)如图，直线21y x =-+与直线4(0)y kx k =+≠交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为1-.①求点B 的坐标及k 的值;②直线21y x =-+、直线4y kx =+与y 轴所围成的ABC ∆的面积为 .(2)直线4(0)y kx k =+≠与x 轴交于点0(,0)E x ，若021x -<<-，求k 的取值范围.分析:(1)①将1x =-代入21y x =-+，得出点B 的坐标，进而求出k 的值;②求出点,A C 的坐标进而得出AC 的长，即可得出ABC ∆的面积.(2)分别得出02x =-及01x =-时k 的值，进而得出k 的取值范围.解答:(1)①∵直线21y x =-+过点B ，点B 的横坐标为1-，∴213y =+=.∴(1,3)B -.∵直线4y kx =+过点B ，∴34k =-+，∴1k =.②∵1k =，∴4y kx =+为4y x =+.∴(0,4)A .令21y x =-+中0x =，则1y =.∴(0,1)C .∴413AC =-=.∴131322ABC S ∆=⨯⨯=.(2)∴直线4(0)y kx k =+≠与x 轴交于点0(,0)E x ，021x -<<-，∴当02x =-时，024k =-+，2k =;当01x =-时，04k =-+，4k =.∴k 的取值范围是24k <<.【规律·提示】寻找关健点的坐标，是解决问题的突破口.【举一反三】1.如图是直线(0)y ax b a =-≠的图像，则关于x 的方程1ax b -=的解是x = .点拔:先根据函数图像求出直线y kx b =+的表达式，然后求解1ax b -=探究2 一次函数与一元一次不等式例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点(6,0)A -的直线1l 与直线2l:2y x =相交于点(,4)B m .(1)求直线1l 的表达式;(2)过动点(,0)P n 且垂于x 轴的直线与1l ，2l 的交点分别为,C D ，当点C 位于点D 上方时，写出n 的取值范围.分析:(1) 先求出点B 的坐标，再利用待定系数法即可解决问题;(2)由图像，可知当直线1l在直线2l上方时，即当点C 的纵坐标大于点D 的纵坐标时，点C 位于点D 上方，由此即可求出n 的取值范围.解答:(1)∵点B 在直线2l 上，∴42m =.∴2m =.∴(2,4)B .设直线1l的表达式为(0)y kx b k =+≠，且1l 过点(6,0)A -，(2,4)B .∴2460k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线1l 的表达式为132y x =+.(2)∵过动点(,0)P n 垂直于x 轴的直线为x n =，∴(,3)2nC n +，(,2)D n n . ∵点C 位于点D 上方，∴322nn+>.∴2n <.【规律·提示】比较两个函数值的大小关系时，反应在图像上时是交点左侧或右侧谁在上，谁在下的问题. 【举一反三】2.如图，直线1112y x =-+与x 轴交于点A ，与直线232y x=-交于点B .求: (1) AOB ∆的面积; (2)当12y y >时，x 的取值范围.点拨:(1)由函数的表达式可求出点A 和点B 的坐标，进而可求出AOB ∆的面积.(2)结合函数图像即可求出12y y >时x 的取值范围.探究3 一次函数与二元一次方程的关系 例 3 函数(0)y ax a =≠与函数23y x b =+的图像如图所示，则关于,x y 的方程组323ax y y x b -=⎧⎨-=⎩的解是.分析:两个函数图像的交点坐标为相应的两个函数表达式组成的方程组的解，因此求方程组的解，即为求两个函数图像的交点坐标.解答:∵y ax =与23y x b =+的图像经过点(1,2)，∴12x y =⎧⎨=⎩是23y ax y x b =⎧⎪⎨=+⎪⎩即方程组323ax y y x b -=⎧⎨-=⎩的解.【规律·提示】求出交点即为方程组的解. 【举一反三】3.已知直线1l :3y x b =-+与直线2l:1y kx =-+在同一平面直角坐标系中交于点(1,2)-，那。