数学精品 新北师大版必修二 4.2.4积化和差与和差化积公式

【典例】求下列各式的值:
(1)sin ( )+sin ( );
3
3
(2)cos ( ) -cos ( ) ;
4
4
(3)cos273°+cos247°+cos 73°cos 47°;
(4)2cos 9 cos +cos 5 +cos 3 .
13 13
13
13
【思路导引】 (1)利用和差化积公式,进行化简所求表达式. (2)利用和差化积公式,进行化简所求表达式. (3)利用配方法,结合积化和差公式,化简求得表达式的值. (4)利用积化和差公式、诱导公式,化简求得表达式的值.
cos x+cos y=2cos x y cos x y ,
2
2
cos x-cos y=-2sin x y sin x y .
2
2
【思考】
(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?
提示:两角和与差的正弦、余弦公式.
(2)和差化积公式是如何推导出来的?
提示:如果令x=α+β,y=α-β ,则α= x y ,β= x y ,从而可以由积化和差
cos 35 cos 25
【解析】原式=
2sin 35 25 cos 35 25
2
2
2cos 35 25 cos 35 25
tan
30
3. 3
2
2
答案: 3
3
关键能力·合作学习
类型一 利用积化和差、和差化积公式化简、求值、证明(数学运算、逻辑推 理)
角度1 利用积化和差、和差化积公式化简求值
素养. 若把本例(3)改为 1 cos 80，试求其值.
sin 40 sin 80
【解析】
1 cos 80 2cos 40 cos 80 sin 40 sin 80 2sin 40cos 40 sin 80
cos 40 (cos 40 cos 80) cos 40 2cos 60cos 20
2
cos αcos β= 1 [cos(α+β)+cos(α-β)],
2
sin αsin β=- 1 [cos(α+β)-cos(α-β)].
2
(2)和差化积公式
sin x+sin y=2sin x y cos x y ,
2
2
sin x-sin y=2cos x y sin x y ,
2
2
2
3
A. 1
B.1
2
3
C. 3
D. 2
2
3
【解析】选D.因为cos xcos y+sin xsin y=1,
2
所以cos(x-y)=1 ,
2
因为sin 2x+sin 2y=2,
3
所以2sin(x+y)cos(x-y)=2 ,
3
所以2sin(x+y)·1 = 2,
23
所以sin(x+y)=2 .
3
3.(教材二次开发:例题改编) sin 35 sin 25 =________.
13 13
cos 10 cos 8 cos 5 cos 3
13
13 13 13
cos 10 cos 8 cos( 8) cos( 10 )
13
13
13
13
cos 10 cos 8 cos 8 cos10 0.
13
13 13
13
【变式探究】
本题考查三角函数式的化简求值问题,同时考查数学运算与逻辑推理的核心
2 15
提示:(1)√.积化和差公式.
(2)√.和差化积公式.
(3)√.因为α-β= ,co s α+cos β=2cos cos =2cos cos
3
2
2
2
6
=1 ,
5
所以cos = . 3
2 15
2.若cos xcos y+sin xsin y= 1 ,sin 2x+sin 2y= 2 ,则sin(x+y)=( )
=4cos2 60°·cos213°=cos213°+ 1-cos213°+
4
1 (cos 120 cos 26) 2
=1 .3
24
4 2cos 9 cos cos 5 cos 3
13 13 13 13
cos( 9 ) cos( 9 ) cos 5 cos 3
13 13
13 13
【解析】(1)sin ( )+sin ( ) =2sin cos α=
3
3
3
3 cos α.
(2)cos ( ) -cos ( ) =-2sin sin φ=-
4
4
4
2 sin φ.
(3)cos273°+cos247°+cos 73°cos 47°
= (cos 73 cos 47)2 -cos 73°cos 47°
sin 80
sin 80
cos 40 cos 20 2cos 30cos 10 2cos 30 3.
cos 10
cos 10
角度2 利用积化和差、和差化积公式证明恒等式
【典例】证明:(1) sBaidu Nhomakorabean A 2sin 3A sin 5A sin 3A；
sin 3A 2sin 5A sin 7A sin 5A
(2) cos A cos(120 B) cos(120 B) tan A B .
sin B sin(120 A) sin(120 A)
2
【思路导引】(1)利用和差化积公式证明左边式子等于右边式子即可;
(2)利用和差角公式展开,之后再利用和差化积公式化简整理得到结果.
【证明】
(1)
2
2
公式得到和差化积公式.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)sin xsin y= 1 [cos(x-y)-cos(x+y)].( )
2
(2)cos α+cos β=2cos cos .( )
2
2
(3)已知α-β= ,cos α+cos β= 1 ,
3
5
则cos = 3 .( )
2.4 积化和差与和差化积公式
必备知识·自主学习
1.积化和差公式与两角和差公 导 式有怎样的关系? 思 2.和差化积公式与积化和差公
式有怎样的关系?
积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
sin αcos β= 1 [sin(α+β)+sin(α-β)],
2
cos αsin β= 1 [sin(α+β)-sin(α-β)],
左边
sin A sin 5A 2sin 3A sin 3A sin 7A 2sin 5A
2sin 3Acos 2A 2sin 3A 2sin 5Acos 2A 2sin 5A
2sin 3Acos 2A 1 2sin 5Acos 2A 1