第16讲 静态场及其边值问题的解(6)
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电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
静态场及其边值问题的解PPT教案
并 选 择 有 限 远处为 电位参 考点。 例如， 选择ρ= a 的 点 为电位 参 考点，则有
(r ) l0 ln 2L C 20
C l0 ln 2L 20 a
(r ) l0 ln a 20
第13页/共152页
14
5. 电 位 的 微 分 方程
在 均 匀 介 质 中，有
D
E
grr
(o) 0
x
P
r
o
z E0
在 球 坐 标 系 中， 取极轴 与 的方 向一致 ，即 ， 则 有
E0
E0
ez E0
(P)
r E0
grr
r ez
grr
E0
E0r
cos
在 圆 柱 面 坐标 系中， 取 与 x轴方向 一致， 即 ，故
，而
r e ez z
(P)
ErE0 g0rr
r ex
z
(,, z)
L
R
z ' dl dz
y
x
-L
13
在 上 式 中 若令
， 则可 得到无 限长直 线电荷 的电位 。当
时 ， 上 式 可 写为
L R
L
(r ) l0 ln
2 L2 L
l 0
ln
2 L2 L
l 0
ln 2L
40 2 L2 L 20
20
L
当
时 ， 上 式 变 为无 穷大， 这是因 为电荷 不是分 布在有 限区域 内，而 将电位 参考点 选在无 穷远点 之故。 这时可 在上式 中加上 一个任 意常数 ，则有
2 (x) C2 x D2
第16页/共152页
17
3 电磁场与电磁波--静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
静态场边值问题的解法.ppt
R
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
静态电磁场边值问题精品PPT课件
φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
静态电磁场及其边值问题的解
E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )
C
C
p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er
rd
E
r sind
E
dr
2 cos
rd sin
dr r
2d (sin sin
)
r
C2 sin2
第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1
设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )
p cos 4 0r 2
p er
4 0r 2
p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
静态场的边值问题
a
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0
n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a
0
(
n
a
)
2
(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)
n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)
(x, y)
n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0
n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a
0
(
n
a
)
2
(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)
n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)
(x, y)
n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)
静态场及其边值问题的解课件
6.3.2 接地导体平面的镜像 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
h
h
14
q
R
R
镜像电荷 电位函数
q q, h h
q ( 1 1 ) （z 0） 4π R R
h
q
因 z = 0 时，R R z0 0
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
第6章 静态场的边值问题
例：
y
b 0 x
O
U0 0 x
ax
2
x2
2
y2
0
x
x0 0,
x
xa 0
(x, 0) 0,(x,b) U0
（第三类边值问题）
第6章 静态场的边值问题
6.2 唯一性定理 唯一性定理的表述
在场域V 的边界面S上给定 或 的
n 值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具 有唯一值。
5
V S
21
例6.3.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移
至无穷远处，需要做多少功？
x
解：移动电荷q时，外力需要克服电
q
场力做功，而电荷q受的电场力来源于导 0
d
体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至 无穷远时电场力所做的功。
=∞
-d q'
由镜像法，感应电荷可以用像电荷 q q替代。当电荷q 移 至x时，像电荷 q应位于－x，则像电荷产生的电场强度
E ( x)
ex
q
4π0 (2x)2
q2
Wo We 16π0d
We
qE(x) dx
d
q2
4π 0
d
1 (2x)2
dx
《静态场的边值问题》PPT课件
nπ a
b
a nπ
sin
0
a
x sin mπ a
xdx
（x,
y)
n1
4U 0 nsh n
b
sin
nπ a
x sh nπ y a
a
(n 1,3,5，)
（2）U
(
x)
U
0
s
in
π a
x
π
U0 sin a
x
n1
Dn
sin
nπ a
x sh nπ b a
D1＝U 0
sh b
a
Dn＝0 (n 0)
双曲函数
例5-1
一长直金属槽的长度方向上平行于Z轴，其横截面如图5-1所示。其侧壁与
底面电位均为0，而顶盖电位 x, b U x。
分别以（1）U
（2）U x U0
sixnxU，求0，槽内电位
a
的解。
解 本例是一个矩形域的二维场问题。在直角坐标系下，位函数
x,
y
的边值问题为
y
2
x
2
2
y 2
（1） （2） （3） （4）
(5）
2) 分离变量 (x, y) 1 (x)2 ( y)
代入式（1）有
1
1
d 21
dx2
1
2
d 22
dy2
设
1
1
d 21
dx2
，
1
2
d 22
dy2
称为分离常数,可以取值 0, 0和 0
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
第三章 静态场及其边值问题的解PPT课件
0
en (E1 E2) 0
S
或
，0则
D1n E1t
D2 E 2t
n
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
6
场矢量的折射关系
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体表面的边界条件
介质1
线电荷的电位： (r)4π 1ClR (r)dlC
点电荷的电位： (r) q C 4πR
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
3. 电位差
将 E 两端点乘 dl，则有
E d l d l (d x d y d z ) d
x y y
(r ) q 4 π c d 0 r2 o s 4 π p e 0 r r2 4 π p 0 r r3
p qd表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
5. 电位的微分方程
在均匀介质 n(D 1D 和2 1)S 2
D
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
Δl
2n21n1 S
en 1
E1
1
介质2
E2
2
2
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边
界条件为
en
D
S
en E 0
或
D E
n t
0
S
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
静态场及其边值问题的解
R r r
3. 电位差 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl ( dx dy dy) d x y y 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
P
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。
电位差也称为电压，可用U 表示。
电位差有确定值，只与首尾两点位臵有关，与积分路径无关。
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
C ( C )
•
• •
静态电磁场：场量不随时间变化，包括：
静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 l 1 ln ，显然这种形式最简单。 如果选择rQ=1，得 P 2 0 rP l 1 由此得到线电荷电位的一般表达式 ln 2 0 r l l 1 1 对于位于r 的线电荷，电位表达式为 ln ln 2 0 r r 2 0 R
线电荷：设线电荷 l 在原点，参考点 Q ，场点 ( 电位考察 点)P，沿如前路径进行积分，有 M Q l Q r P E d l E d l d r 2 P M M 2 0 r
my第三章静态场及其边值问题的解讲解
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
微分形式：
D
E 0
本构关系： D E
积分形式：SD
dS
q
CE dl 0
D和2 ) S
D
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
l
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件： 常数，
n
S
例 3.1.1 求电偶极子的电位.
解 在球坐标系中
(r )
q
(1 1)
q
r2 r1
40 r1 r2 40 r1r2
1
dz
40 L 2 (z z)2
z ' dl dz
y
l0 ln[z z
L
2 (z z)2 ]
4 0
L
x
l0 ln 2 (z L)2 (z L)
2. 边界条件
en
(D1
D2
)
S
en (E1 E2 ) 0
或
ED11tn
D2 E2t
n
0
S
若分界面上eenn不 (存(DE1在1面DE电22))荷0，0 即ρ或S＝0，则ED11tn
D2 E2t
n
场矢量的折射关系
tan 1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / D2n 2
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一个任意常数，则有
l 0 2L (r ) ln C 2 0
(r )
l0
并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ= a 的点为电位参 考点，则有 a
l 0 2L C ln 2 0 a
2 0
ln
例4
两块无限大接地导体平板分别置于x = 0和 x = a 处，
2
(0 x b) (b x a)
o
y
S 0
1 ( x) 2 ( x)
b
a
x
方程的解为
1 ( x) C1 x D1 2 ( x) C2 x D2
两块无限大平行板
利用边界条件，有
由此解得
x 0 处， 1 (0) 0 x a 处， 2 (a) 0
( , , z)
R
z ' dl dz
l 0 ln[ z z 2 ( z z )2 ] 4 0
L L
y
x
-L
2 ( z L) 2 ( z L) l 0 ln 4 0 2 ( z L) 2 ( z L)
在上式中若令 L ，则可得到无限长直线电荷的电位。当
在两板之间的 x = b 处有一面密度为 S 0的均匀电荷分布，如图所
示。求两导体平板之间的电位和电场。 解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电
荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉
斯方程
d 21 ( x) 0, 2 dx d 2 ( x) 0, 2 dx
P o
x
若选择点o为电位参考点，即 (o) 0，则
P r
o
r r ( P) E0 gr
z E0
致，即 E0 ez E0 ，则有
在球坐标系中，取极轴与E0的方向一
r r r r ( P) E0 gr ez gr E0 E0r cos 在圆柱面坐标系中，取 E0与x轴方向一致，即 E0 ex E0 ，而 r r r r r e ez z ，故 ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
外导体
解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，
所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度 b c 确 J 的表达式，然后求出 E1 和 E2 ，再由 U 0 a E1 d b E2 d 定出电流 I。
磁标位与静电位的比较
静电位 E 0, D E 磁标位 H 0, B 0 H m
2 0
2m 0
1 2 1 2 , 1 2 n n
静电位
m1 m 2 m1 m 2 , 1 2 n n
由此可得 由于
We Fx x
d ( 0 )q 2 q不变 2b[ 0 (l x) x]2
bU 0 q CU 0 [ 0 (l x) x] d
同样得到
b( 0 )U 02 Fx 2d
例2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半
x b处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x x x b 0
所以 D1 0 最后得
S 0 (b a) C1 , D1 0 0a S 0b S 0b C2 , D2 0a 0
静电场力
We Fi gi 不变
We Fi gi
q不变
1.2 恒定电场分析（导电媒质中）
场方程
积分形式
J dS 0 S E d l 0 C
微分形式 J E 0
本构关系
部 分 电
电位系数 电容系数 部分电容
i i j q j
j 1 N
N
qi i j j
j 1
容
qi Ci j (i j ) Ci ii
j i
N
静电场的能量 电场能量密度 电 场 能 量
1 we D E 2 1 We D EdV 2 V
磁标位
E H
D B
m
电感
自感 互感
L
I
纽曼公式
21
I1
M 21
0 dl1 dl2 M 21 M 12 M 4 C1 C2 R
1 wm B H 2 1 Wm B HdV 2 V
Wm Fi gi i 不变
径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2 、 电导率为 1和2 。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（1） 两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自 由电荷面密度。
1 2
2 1
2、 2 1、1
c
b
介质2 介质1
U0
a
J I
内导体
L R 时，上式可写为
2 L2 L l 0 2 L2 L l 0 l 0 2L (r ) ln ln ln 2 2 4 0 2 0 L L 2 0
当 L 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区 域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上
对应物理量
E
恒定电场
E
D
J
q I
C
G
2.恒定磁场分析
场方程
积分形式 H dl J dS S C SB dS 0
边 界 条 件
H J B 0
微分形式
本构关系
例 有一平行金属板电容器，极板
面积为l×b，板间距离为d，用一块介质 片（宽度为b、厚度为d，介电常数为ε） 部分填充在两极板之间，如图所示。设 极板间外加电压为U0，忽略边缘效应， 求介质片所受的静电力。
解 平行板电容器的电容为 C 0
l
U0
d x
部分填充介质的平行板电容器
b
(l x)b bx d d bU 02 1 所以电容器内的电场能量为 We CU 02 [ 0 (l x) x] 2 2d We Fi 由 可求得介质片受到的静电力为
第16讲
第三章小结
静态场分析和解
静电场分析 静态电 场分析 恒电场分析
场方程与边界条件 电位函数 导体系统的电容 能量 静电力 场方程与边界条件
恒电场与静电场比拟
恒定磁 场分析 边值问题 的解法
场方程与边界条件 磁位函数 电感 能量 磁场力 镜像法 分离变量法 有限差分法
1.静态电场分析
1.1 静电场分析
条 件 D1n D2 n S
E1t E2t 0
tan 1 1 tan 2 2
电位函数
E
电位差 电 位 微 分 方 程
S (r ) S R dS 1 l (r ) (r ) dl C C 4 R q R
基本方程 本构关系 位函数 边界条件
E ,
0
2
E ,
2 0
D1n D2 n 1 2 1 2 , 1 2
n n
静电场
E1t E2t
E1t E2t
1 2 , 1
J1n J 2 n
1 2 2 n n
gi 不变
We Fx x
b( 0 )U U 0不变 2d
2 0
由于ε>ε0，所以介质片所 受到的力有将其拉 进电容器的趋势
此题也可用式 Fi
We 来计算 gi q不变
设极板上保持总电荷q不变，则
q2 dq 2 We 2C 2b[ 0 (l x) x]
J E
折 射 tan 1 关 tan 2 系
en ( J1 J 2 ) 0 边 en (E1 E2 ) 0 2 1 界 2 1 n n 条 1 2 件 J1n J 2 n 0 E1t E2t 0
例3
求长度为2L、电荷线密度为 l 0的均匀带电线的电位。
解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于 坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。 在带电线上位于 z 处的线元 dl dz，它 到点 P( , , z)的距离 R 2 ( z z) 2 ， 则 l 0 L 1 (r ) L 2 ( z z)2 dz 4 0 L z
边界 条件
2 A J
2 A0
1 1 en ( A1 A2 ) J S 1 2 A A 1 2
标量磁位
H m
标量拉普拉斯方程
m 0
2
边 界 条 件
m 2 m1 2 1 n n m1 m 2
Q P
E dl ( P) (Q)
标量泊 松方程 拉普拉 斯方程
2
2 0
电 位 边 界 条 件
1 2 1 S 2 n n 1 2
导体系统的电容 电 容 孤立导体 两带电导体
C q
q q C U 1 2
1 2
恒定电场与静电场的比拟
静电场（ 0 区域） S D dS 0, C E dl 0 D 0, E 0 D E 恒定电场（电源外） SJ dS 0, CE dl 0 J 0, E 0 J E