比较实数大小的八种方法 (2)

合集下载

实数大小比较的常用方法

六、作差法
用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：
例6比较与的大小。
析解：设，
则
所以
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：
例7比较与的大小。
析解：设，
，则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
解 ∵1-（-2）
=1-+2
=3-﹥0。（3=，﹥）
∴1﹥-2，
∴﹥。
说明：若a、b为实数， a-b﹥0则a﹥b；a-b=0则a=b； a-b﹤0则a﹤b。以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。
二、求商法
例2 ：有两个数A=、 B=比较A、B的大小。
分析：本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。分子含有公因数：111，分母含有公因数：1111。因此可采用两数相除的方法，问题就迎刃而解了。
十一、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。

实数大小比较有方法(初中数学)

实数大小比较有方法一、法则比较法根据法则“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小”来比较.适用于比较容易看出或估算出两数绝对值大小的两个数.例1 比较下列两个数的大小：（1）73-与2π；（2）5-与-2.解析：（1）因为73-＜0，2π＞0，根据“正数大于一切负数”得2π＞73-.（2）因为5＞4，所以5＞2.根据“两个负数，绝对值大的反而小”得5-＜-2.二、数轴比较法根据实数与数轴上的点一一对应，且在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，数形结合起来进行比较，此方法适用于同时比较多个实数的大小.例2用“＜”连接下列各数：2，π，3，36-，0.解析：将各数用数轴上的点表示如图所示.由数轴可得36-＜0＜3＜2＜π.三、作差比较法根据“若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b；若a-b=0，则a=b”来比较大小.例3 比较1024-和0.25的大小.解析：1024--0.25=1034-.因为10＞9，所以10-3＞0，所以1034-＞0.所以1024--0.25＞0，即1024-＞0.25.四、作商比较法根据“若a÷b>1，则a>b；若a÷b<1，则a<b；若a÷b=1，则a=b”来比较大小.例4 比较54与38的大小.解析：54÷38=54×83=253.因为5>4，所以5>2.所以25>4.所以253>1.所以54÷38>1，即54>38.五、中间值比较法根据“若a＜b，b＜c，则a＜c”来比较两实数的大小，其中b为中间值.例5 比较11与326的大小.解析：可取一个中间值，借助这两个数与中间值的大小关系来比较这两个数的大小.因为11＞9=3，326＜327=3，所以11＞326.。

实数比较大小的具体方法知识点

实数比较大小的具体方法知识点实数比较大小的具体方法知识点集锦任意两个实数之间都存在着大小关系,比较实数大小的方法有很多，本文是店铺整理实数比较大小的具体方法知识点集锦的资料，仅供参考。

实数比较大小的具体方法(1)求差法：设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<0时，a0时，a>b”来比较a与b的大小。

(2)求商法：设a，b(b≠0)为任意两个正实数，先求出a与b的.商，再根据“当<1时，a1时，a>b”来比较a与b的大小;当a，b(b≠0)为任意两个负实数时，再根据“当<1时，a>b;当=1时，a=b;当>1时，a(3)倒数法：设a，b(a≠0，b≠0)为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当<时，a>b;当>时，a<b。

”来比较a与b的大小。

< p=""> </b。

”来比较a与b的大小。

<>(4)平方法：比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a>0，b>0时，可由a2>b2 得到a>b”比较大小。

也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。

还有估算法、近似值法等。

两个实数的大小比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。

(5)数轴比较法：实数与数轴上的点一一对应。

利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。

设数轴的正方向指向右方，则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。

如图，点A表示数a，点B表示数b。

因为点A在点B的右边，所以数a大于数b，即a>b.实数的比较大小法则正实数都大于0，负实数都小于0;正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小;在数轴上，右边的数要比左边的大。

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。

一、法则法比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。

例1 比较与的大小。

析解:由于,且,所以。

说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。

例2 比较与的大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来,容易得到结论:四、估算法用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。

例4 比较与的大小。

析解:由于,故,所以五、倒数法用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有:例5 比较与的大小析解:因为,又因为,所以所以说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。

六、作差法用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b有:例6 比较与的大小。

析解:设,则所以七、作商法用作商法比较实数的大小的依据就是:对任意正数a、b有:例7 比较与的大小。

析解:设,,则即八、放缩法用放缩法比较实数的大小的基本思想方法就是:把要比较的两个数进行适当的放大或缩小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。

八年级数学上册第2章实数比较大小的方法(北师大版)

实数比较大小的方法一、平方法当a ＞0，b ＞0时，a ＞b ?例1：比较515+与713+的大小.分析：从表面上看，好像无从下手，但仔细观察发现，它们的被开方数之间存在关系15+5=13+7，因此可用“平方法”.解: 220=+220=+<∴515+＜713+说明:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和.二、移动因式法利用）（02≥=a a a ,将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小.例2：比较53-和34-的大小.分析:负无理数之间比较大小,先比较它们绝对值的大小,因此可将根号外的因数移到根号内,也可以用“平方法”.解: |53-|=4553=,|34-|=4834=.<53-＞34-.三、求差法000>⇔>=⇔=<⇔<例3：比较34与63的大小.分析：此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求差法”.∵34-630< ∴34＜63.四、求商法111>⇔>=⇔=<⇔<例4：比较534与11的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求商法”解:∵534÷111=< ∴534＜11. 五、分母有理化法0,0,0)m a b>⇔<⇔>>>> 例5：比较513与210的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”或“求商法”，还可以用分母有理化法. 解:，102601065256555513513===⋅⋅=1025010105210==.∵1010>, ∴513＞210. 六、倒数法例6：比较13+-+=n n a 与n n b -+=2的大小. 分析：观察发现，a,b 都是两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化.2131311+++=+-+=n n n n a ,22211n n n n b ++=-+=.> ∴11a b> ∴a ＜ b. 七、不等式的传递性,m m >>⇔> 例7：比较23和32大小.解：∵4,4=>>= ∴23＞32.八、根指数不同的无理数大小的比较，可先化为同次根式，再比较被开方数的大小例8:比较2的大小.解: ===<，∴2。

实数大小进行比较的常用方法-全.docx

实数大小进行比较的常用方法实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。

“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。

为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。

方法一 .运用方根定义法例1、比较 m 5 和3 4m 的大小解：根据平方根的定义可知：m－ 5≥ 0，即 m≥ 5，则 4-m<0，34 m <0，又因为m 5 ≥0，由此可得：m 5 >34m ．小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较．方法二：差值比较法差值比较法的基本思路是设a，b 为任意两个实数，先求出 a 与 b 的差，再根据当a-b﹥ 0 时，得到 a﹥b。

当 a-b﹤ 0 时，得到 a﹤ b。

当 a-b＝0，得到 a=b。

例 1：（ 1）比较31与1的大小。

（ 2）比较 1- 2与 1- 3 的大小。

55解∵3 1 － 1 ＝3 2＜ 0 ，∴ 3 1 ＜ 1 。

55555解∵（ 1- 2 ）-（1- 3 ）=32 ＞0，∴1- 2 ＞1- 3 。

方法三：商值比较法商值比较法的基本思路是设a，b 为任意两个正实数，先求出 a 与 b 得商。

当a＜ 1 时， a＜ b；当a＞a 1 时， a＞ b；当bb b =1 时， a=b。

来比较 a 与 b 的大小。

例 2：比较31与1的大小。

5531131311解：∵÷ =＜ 1∴＜5555方法四：倒数法倒数法的基本思路是设a，b 为任意两个正实数，先分别求出 a 与 b 的倒数，再根据当1＞1时，a＜ b。

a b来比较 a 与 b 的大小。

例 3：比较2004 - 2003 与 2005 - 2004 的大小。

解∵1= 2004 + 2003，12005 + 20042005=200420032004又∵2004 + 2003 ＜ 2005 + 2004∴2004 - 2003 ＞ 2005 - 2004方法五：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞ 0，b ＞ 0 时，可由 a 2 ＞ b 2 得到 a＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

实数的大小比较方法

实数的大小比较方法
对于两个实数a和b的大小比较，可以使用以下方法：
1. 直接比较：比较a和b的大小，如果a大于b，则a大于b；如果a小于b，则a小于b；如果a等于b，则a等于b。

2. 绝对值比较：比较a和b的绝对值的大小，即比较a 和b 的大小。

如果a 大于b ，则a大于b；如果a 小于b ，则a小于b；如果a 等于b ，则a 等于b。

这种比较方法常用于忽略正负号的情况下。

3. 差值比较：比较a和b的差值的大小，即比较a-b的大小。

如果a-b大于0，则a大于b；如果a-b小于0，则a小于b；如果a-b等于0，则a等于b。

这种比较方法常用于计算差值的情况下。

需要注意的是，进行实数的大小比较时，应该考虑精度问题。

由于计算机表示的浮点数存在舍入误差，可能导致比较结果不准确。

在编程中，常常使用误差范围来判断两个实数是否相等，或者使用特定的数值比较函数来进行比较。

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法在数学中，比较实数的大小是常见的一种操作。

实数是包括有理数和无理数的数集，比较实数大小的方法也因此有很多种。

下面将介绍八种常见的比较实数大小的方法。

1.图像法图像法是一种直观比较实数大小的方法。

在数轴上，将要比较的实数表示出来，然后观察它们在数轴上的位置，靠近原点的实数较小，远离原点的实数较大。

通过观察数轴上的相对位置，可以快速比较实数的大小。

2.对比法对比法是将两个实数进行比较，通过计算它们的差值，判断差值的正负来确定实数的大小。

例如，如果两个实数相减的结果为正数，则被减数较大，反之则较小。

3.分数比较法对于有理数，可以将其表示为分数的形式，比较实数的大小可以通过比较其分数形式的大小。

将两个实数的分数形式进行通分后，比较它们的分子的大小，分母相同的情况下，分子较大的实数较大。

4.无理数逼近法无理数是不能表示为有理数的分数形式的数，对于无理数的比较可以利用它们的逼近性质。

即找到两个有理数序列，一个逼近于要比较的无理数的上界，一个逼近于下界，然后通过比较这两个有理数序列的最后一项和无理数的大小来判断实数的大小。

5.指数法当实数以指数形式表示时，比较实数的大小可以通过比较其底数和指数的大小来判断。

如果底数相同，指数较大的实数较大；如果指数相同，底数较大的实数较大。

6.对数法当实数以对数形式表示时，比较实数的大小可以通过比较其底数和对数的大小来判断。

如果底数相同，对数较大的实数较大；如果对数相同，底数较大的实数较大。

7.泰勒展开法泰勒展开是一种将一个函数在一些点附近进行多项式逼近的方法。

通过将实数表示为泰勒展开的形式，可以比较实数的大小。

较高次项系数较大的实数较大。

8.近似值法对于无法进行精确比较的实数，可以通过近似值进行比较。

比较实数的近似值，较接近给定值的实数较大。

这八种方法是比较实数大小常用的方法，每种方法都有其适用的场景。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较，以得到准确的比较结果。

初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析

实数比较大小常见10中方法大全讲解实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。

“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。

为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。

模块一：比较大小会用到的一些基本事实和方法：模块二：方法讲解与举例方法一.运用方根定义法例1、比较5-m 和34m -的大小解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0，由此可得：5-m >34m -．（注：实质上此题是运用了一个基本事实，即正数>负数）小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较，解答时要注意二次根式中的隐含条件．方法二：差值比较法差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。

当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。

当a-b ＝0，得到a=b 。

例2：（1）比较513-与51的大小。

（2）比较1-2与1-3的大小。

解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜51。

解 ∵（1-2）-（1-3）=23-＞0 ， ∴1-2＞1-3。

方法三：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。

当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当ba =1时，a=b 。

来比较a 与b 的大小。

例3：比较513-与51的大小。

解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51 方法四：倒数法倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b1时，a ＜b 。

来比较a 与b 的大小。

例4：比较2004-2003与2005-2004的大小。

解∵200320041-=2004+2003 ， 200420051-=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004方法五：中间值法：基本思路是：要比较的两个数都接近于一个中间数，其中一个数大于中间数，另一个数小于中间数，就可以比较出两个数的大小例5：比较456998和7481084的大小解：456998＜12 ， 7481084＞12 所以：456998＜7481084方法六：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

实数大小比较

实数大小比较，教你你几招实数的大小比较法则与有理数的大小比较法则类似，在具体解决题时，应根据实数的特征，选用恰当的方法来比较大小，下面介绍几种常用的方法。

一、法则比较法。

可根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

这是比较实数大小最常用最基本的方法。

例1 比较下列各组中两个数的大小（1） -32 —— 25 （2）-3 —— -3 二、被开方数比较法。

一般的，若实数a>b ≥0,则a >b 例2比较6与35的大小我们可以把6写成36的形式，从而将问题转化为比较36与35的大小，只要比较36与35的大小即可。

三、平方比较法。

比较两个负数的大小，可先比较他们的绝对值的大小，为此可将他们的绝对值分别平方，从而转化为比较两个有理数的大小。

例3 比较 -7与-2.6的大小因为()72=7 6.22=6.76，且7>6.76 所以()72>6.22 所以7>2.6 所以 -7<-2.6四、取近似值比较法。

利用计算器求出实数的近似值后，在比较实数的大小，这是比较简便易行的方法例4比较3+2与3.1的大小因为3≈1.732，2≈ 1.414 所以3+2≈ 1.732+1.414=3.146因为3.146 > 3.1 所以3+2>3.1五、中间值比较法。

可取一个中间值，借助这两个数与中间值的大小关系来比较这两个数的大小。

例5比较5与37的大小因为5>2 ，2=38>37所以5>37总之，比较实数大小的方法比较多，要再具体操作中应根据题目特点灵活选用简单易行的方法。

八年级数学实数大小比较的八种方法

八年级数学实数大小比较的八种方法一、实数的大小比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然适用：法则1：在数轴上表示的两个数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；法则2：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

二、比较两个实数的大小的常用方法：（1）定义比较法；例题1、比较解：∵ 10 - a ≥ 0 , ∴ a ≤ 10 , a - 11 <>（2）作商比较法；例题、比较解：（3）取近似值比较法；常用三个无理数的估算（精确到千分位）√2 ≈ 1.414 ，√3 ≈ 1.732 ，√5 ≈ 2.236 。

例题、比较√5 + 2 与 4.2 的大小。

解：∵ √5 ≈ 2.236 ，∴ √5 + 2 ≈ 4.236又∵4.236 > 4.2∴ √5 + 2 > 4.2（4）平方比较法；例题、比较√6 + √10 与√14 + √2 的大小。

解：∵ （√6 + √10）^2 = 16 + 4√15 , （√14 + √2）^2 = 16 + 4√7 ;又∵ √15 > √7∴ （√6 + √10）^2 > （√14 + √2）^2∴ √6 + √10 > √14 + √2（5）放缩比较法；例题、比较√6 + 2 与√53 - 2 的大小。

解：∵ 2 < √6="">< 3="" ,="" 7="">< √53="">< 8="">∴ √6 + 2 < 3="" +="" 2="5">< √53="" -="">∴ √6 + 2 < √53="" -="">（6）倒数比较法；例题、已知a = √2019 - √2017 , b = √2018 - √2016 , 试比较a , b 之间的大小。

初中阶段实数大小比较的常用方法，赶紧收藏起来

初中阶段实数⼤⼩⽐较的常⽤⽅法，赶紧收藏起来
初中阶段实数⼤⼩⽐较的主要⽅法
两个实数⼤⼩的⽐较，⽅法多种多样，在实际操作时，根据要⽐较的数的特点来选择适当的⽅
法进⾏⽐较，才能⽅便快捷地取得准确的结果。

⼀、法则⽐较法
⽐较实数⼤⼩的法则是：正数都⼤于零，零⼤于⼀切负数，两个负数相⽐较，绝对值⼤的反⽽
⼩。

⼆、平⽅⽐较法
⽤平⽅法⽐较实数⼤⼩的依据是：对任意正实数a、b有a²＞b²，则a＞b。

三、数形结合⽅法
⽤数形结合法⽐较实数⼤⼩的理论依据是：在同⼀数轴上，右边的点表⽰的数总⽐左边的点表
⽰的数⼤。

四、倒数⽐较法
两个正数⽐较，倒数⼤的反⽽⼩，倒数⼩的反⽽⼤。

五、中间值⽐较法
找⼀个中间值，利⽤这两个数与中间值的⼤⼩关系来⽐较这两个数的⼤⼩。

六、作差⽐较法：
设两个实数分别为a和b，
若a-b＜0，则a＜b,
若a-b＞0，则a＞b，
若a-b=0，则a=b。

七、作商⽐较法：
设两个实数分别为a和b，a>0,b>0,
若a/b>1，则a>b,若a/b<1，则a<b。

其他⽅法还有特殊值⽐较法、近似值⽐较法、估算⽐较法、放缩⽐较法、移动因式法、被开⽅
数⽐较法、分母有理化⽐较法等等，具体要灵活根据数的不同特点来选择。

实数比较大小的方法

∴0.20.3＜0.30.2（本题主要是找到一个中间数 0.20.2）【另解】∵(0.20.3)10＝0.23＝0.008，(0.30.2)10＝0.32＝0.09 ∵0.008＜0.09，即(0.20.3)10＜(0.30.2)10 ∴0.20.3＜0.30.2 【例17】（2006 天津文 4）设 P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则 · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A. R＜Q＜P B. P＜R＜Q C. Q＜P＜R D. R＜P＜Q ）
3
a a
【例15】比较 sin 4 与 cos 4 的大小 5 【解】∵cos 4＝sin( －4)＝sin(2＋－4)＝sin( －4)， 2 2 2 5 3 5 ∵ －4≈3.85，且＜－4＜4＜， 2 2 2 2 3 而函数 y＝sin x 在[ ， ]上是减函数 2 2 5 ∴sin( －4)＞sin 4，即 sin 4＜cos 4 2
五、利用函数的单调性：
【例13】比较 0.75
－0.33
与 0.750.32 的大小.
【解】∵0＜0.75＜1，所以函数 y＝0.75x 在 R 上为减函数 ∴由－0.33＜0.32 得，0.75
－0.33
＞0.750.32
a
【例14】已知 0＜a＜1，试比较 a，aa 与 aa 的大小. 【解】∵0＜a＜1，所以函数 y＝ax 在 R 上为减函数 ∵0＜a＜1， ∴a0＞aa＞a1，即 1＞aa＞a 由此得 a1＜aa ＜aa，即 a＜aa ＜aa
5π 4
y
8
π 4
8
O
x
由单位圆及三角函数线知 tan 4＞1，又 cos 4＜0， ∴sin 4＜cos 4 【例9】若 a、b∈(0，＋∞)，试比较 aabb 和 abba 的大小；

实数的大小比较

实数的大小比较
1、法则法，比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

2、平方法，用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有a²＞b²，则a＞b。

3、数形结合方法，用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

1
实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。

实数集通常用黑正体字母R表示。

R表示n维实数空间。

实数是不可数的。

实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。

任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。

在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。

由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数大小比较的常用方法

实数得大小比较得常用方法一、法则法比较实数大小得法则就就是:正数都大于零,零大于一切负数，两个负数相比较,绝对值大得反而小。

例1 比较与得大小。

析解:由于,且,所以。

说明：利用法则比较实数得大小就就是最基本得方法,对于两个负数得大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法用平方法比较实数大小得依据就就是:对任意正实数a、ｂ有：。

例2 比较与得大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面得因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数得大小,目得就就是把含有根号得无理数得大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小得理论依据就就是:在同一数轴上,右边得点表示得数总比左边得点表示得数大。

例3 若有理数a、b、ｃ对应得点在数轴上得位置如图1所示,试比较ａ、-a、b、－b、c、－ｃ得大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－ａ、b、－b、c、－c表示得点画出来,容易得到结论:四、作差法:差值比较法得基本思路就就是设a,ｂ为任意两个实数,先求出a与b得差,再根据当a－b﹥0时,得到a﹥b。

当ａ－b﹤0时，得到ａ﹤b。

当ａ-b=0,得到a=ｂ。

例1:(１）比较与得大小。

（2)比较1－与1－得大小。

解 ∵－＝＜0 , ∴<。

解 ∵(1－）-(１-)=＞0 , ∴1－>1-。

例2、比较得大小。

解析:因为,所以。

五、作商法比较实数得大小得依据就就是:对任意正数a 、b 有:来比较ａ与b 得大小。

例1：比较与得大小。

解:∵÷=<1 ∴<例2 比较与得大小。

析解:设,,则即例3：比较与得大小解:÷＝×=﹤1所以﹤六、倒数法倒数法得基本思路就就是设a,ｂ为任意两个正实数,先分别求出ａ与b 得倒数，再根据当>时,a ＜ｂ。

来比较a 与b 得大小。

例１：比较-与－得大小。

解∵=+ , =+又∵+<+∴-＞－,n m ,11a 2a 1a a a n m ,1a 2a 1a a a ,a 2a a ,0)1a (a a 2a a ,1a 2a 1a a a 1a 1a 1a 1a n m ,1a 1a n ,1a 1a m 2434434232232434232322>∴>+++++=∴++>+++∴>+∴>-=-++++++=++⋅++=∴++=++=∴2例2、已知a﹥1，b﹥２，试比较与得大小解：=＋=2＋因为a﹥1,所以２+﹤3=+=3＋因为b﹥２,所以3+﹥3因为﹤所以﹥例3、设，则ａ、b、ｃ得大小关系就就是( )。

比较实数大小的常用方法

比较实数大小的常用方法方法一、利用数轴比较对于给定的任意两个有理数，在数轴上总可找到对应的点，然后依据“右边的数总比左边的数大”的法则，就能确定它们的大小。

这种“数形结合”的思想方法，在今后的学习中应用十分广泛，请同学们扎实掌握。

例1. 比较与的大小。

解：在数轴上表示的点在表示的点的右边，如图所示，所以。

方法二、利用已知结论比较这里的“已知结论”指诸如正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小，等等。

利用上面结论比较有理数的大小是最常用的基本方法。

例2. 用“＜”联结下列各数：解：先将各数与0比较，得因为，而，所以。

又因为，而，故。

综上得。

方法三、化成同分子比较例3. 比较的大小。

解：因为，而，知即方法四求差法求差法的基本思路是设a,b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b.当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。

.当a-b ＝0,得到a=b 。

例4：（1）比较513-与51的大小。

（2）比较1-2与1-3的大小。

解 ∵513-－51＝523-＜0 ∴513-＜51。

解 ∵（1-2）-（1-3）=23-＞0 ∴1-2＞1-3。

方法五求商法求商法的基本思路是设a 。

b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。

b a＜1时，a ＜b ，当b a＞1时，a ＞b.当b a =1时，a=b 来比较a 与b 的大小。

例5：比较513-与51的大小解∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51方法六倒数法倒数法的基本思路是设a ,b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 得到书，再根据当a 1＞b 1时a ＜b ，来比较a 与b 的大小例6; 比较2004-2003与2005-2004的大小解 ∵200320041-=2004+2003 200420051-=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004方法七估算法估算法的基本是思路是设a.b 为任意两个正实数，先估算出a,b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。