用数学家的眼光看世界

用数学家的眼光看世界

张景中院士写了一本书,作为献给中学生的礼物,书的名字叫做《数学家的眼光》。当我看到这本书时,首先就被书名"镇"住了!--数学家的眼光,在平白的语言后面蕴藏着多么深邃的哲理!当我看完了这本书以后,我更真切地感受到这不仅是院士送给中学生的礼物,而且是送给中小学数学教育工作者的礼物!感受到它对数学教育所具有的巨大的启迪意义!

数学教育的目的是什么?我们可以说出一大堆!其实这一大堆目的,基本上可以概括成一句话,就是为了让学生学会用数学(家)的眼光看世界!

怎样才能学习好数学?学习的方法也可以说出一大堆,其实这一大堆,从根本上说,也可以概括成一句话,就是要学习并尝试用数学(家)的眼光看世界!

怎样才能教好数学,教学方法也可以说出一大堆,其实这一大堆,也可以概括成一句话,就是教师自身要学会用数学的眼光看世界,更要引导学生用数学的眼光看世界!

数学教育的实质就在于让学生用数学(家)的眼光看世界,这应该是文化数学教育方式的核心观念!

那么,什么是数学家的眼光呢?数学家的眼光有什么样的特点?为什么我们要让学生学着用数学家的眼光看世界?又怎么样才能让学生学会用数学家的眼光看世界呢?这就是我们在这里要讨论的问题。

活生生的数学文化

用数学家的眼光看世界,就是从数学的视角观察,感受,认识,描述,理解以至创造世界!

让我们来看几个例子。

1。陈省身质疑三角形内角和定理。

1980年,陈省身教授在北京大学的一次讲学中对三角形内角和定理作出质疑。他说:"人们常说,三角形内角和等于180°。但是,这是不对的!"

三角形的内角和等于180°这是一个熟知的定理,为什么说它不对呢?

陈教授对大家的疑问作了精辟的解答:

说"三角形内角和为180°"不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对.应当说:"三角形外角和是360°"!

这是为什么呢?因为任意n边形外角和都是360°。把眼光盯住外角,就可以把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了;用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式,找到了-个更一般的规律。当然也是一个更简单的规律!

由此可见,尽管命题"三角的外角和为360°"和命题"三角的内角和为180°"是等价的,但是在数学家看来,这是不同的!因为在形式上,后者更简单,因此就更美,也就更有价值!事实果真如此,正是这与众不同的眼光,使陈教授抓住了更有价值的内角和,并由此出发,进一步把"多边形内角和等于360°"这个规律推广到闭曲线,推广到空间,进而发展为着名的陈氏类理论,做出了划时代的贡献。

这就是数学家的眼光!在这透彻、犀利的目光中,折射出来的是数学家的价值观和审美观,是数学家的穷追不舍,孜孜以求的探索真理的精神。

2。华罗庚的问题。

谁都看见过茶杯,面对着茶杯也有人提出过形形色色的问题,可是你很难想到华罗庚教授提出的问题。华先生在一次对中学生的讲演中,指着讲台上的茶杯问大家:为什么茶杯盖不会掉到茶杯里去呢?

许多入会对这个问题不屑一顾,他们会说:这还要问?盖子比口大嘛!

果真是这个原因吗?华先生说:一种正方形的饼于盒,盖子比口大,可是一不小心还是会掉下去!这是什么原因呢?

有人会说:这是因为正方形的饼干盒口的对角线长度大于盒盖的边长,由此可见,关键是正方形盒盖的宽度不均匀,从某个方向看太窄,正如栅栏不太密时,人可以从侧身钻进去一样。

可是华先生并不满足于这样的答复。他进一步追问:什么是封闭图形的"宽度"?除了圆形,还有什么形状的盒子,它的盖子不会掉进去?

接着华先生给出了一种各方宽度相等的"三角拱形"(类似于裁缝用的划粉的形状)。但是,华先生并没有停止思考,他继续追问:还有其它各个方向"宽度"相同的图形吗?

从上面的例子中,我们可以看到,华罗庚先生作为数学家所特有的眼光,他们对数量和形状的敏锐,对问题精确表述的苛求,对问题的穷追不舍探究精神,这都是数学家所共同具有而为一般人所或缺的,而这一切也正是造就数学家眼光的重要因素。

3。数学家波拉克的问题

你一定逛过大型超市,琳琅满目的商品,熙熙攘攘的人群,你会关心什么呢?应用数学家波拉克,谈到了他关心的东西,他说:

如果你走进一家超市,通常会看到在几个付款柜台中,有一个标有"快速付款通道"的柜台,上面写着:您购买的商品在X件以下,请在此付款。如果你观察一下"这个数,会发现每家超市的X值各不相同。在我的家乡,A&P超市规定为6件;ShoP-Rjte超市规定为8件;而Kings 超市则规定为10件。我还发现全国各地的超市对值X的规定从5到15件都有。X值变化如此之不同,让我们无法判断哪个数值更正确。我们不禁要问,允许在快速付款通道付款的商品件数到底应该是几件呢?

波拉克把超市看成一个数学背景,这是一般人几乎不会具有的观点。对大多数人来说,允许从快速付款通道通过几件商品只不过是该超市的具体规定而已,作为顾客只要按规定执行就是了!但在波拉克看来,这个数是个变量,如何确定这个变量的"正确"数值是一个最优化问题!这种以数学方式来观察各种现象的习惯已经成为他的行为准则,成为数学家个性的一部分!

波拉克还讲到他在亚那桑那州的经历,他说:

亚里桑那州有多少树形仙人掌的高度超过6英尺?我从书上看到树形仙人掌是一种危险植物。开发商建造新公寓时,要把这些仙人掌都砍光。二三年前,我去亚里桑那州时,便想估算一下还剩多少仙人掌没被砍掉。我算出的答案是108。我来给你们说说,我是怎样算出这个答案的。这些仙人掌的生长布局似乎很有规则,株距差不多都是50英尺左右,那么每一英里长就有102棵仙人掌,也就是说每平方英里有104棵。而生长有仙人掌的地区至少有50×200平方英里的面积。于是,我便得出104×104这个答案。我请亚里桑那州的一些教师也来估算一下,结果他们却茫然不知所措,不知如何入手。

波拉克为什么要估算仙人掌的颗数呢?他有什么目的吗?

没有!

波拉克估算仙人掌的颗数,只是一个数学家近乎本能的反应!这是数学家的习惯!

因为出于职业的本能,作为数学家波拉克对事物的数量、对于关系、结构特别的敏感,有一种特别的兴趣,对量化和模型化的偏好,于是他自然而然地提出了问题,然后又根据可以获得的数据大概作了估计。所有这些已经是数学家个性的一部分,是数学家特有的观念。非数学家阶层的人员(如和波拉克讨论这一问题的教师)是不具备这种典型的观念,因而也不可能本能地做出这样的反应的。

从上面的例子可以看到,数学家的眼光,具有丰富的内涵,它不仅包括数学家的思维方式,数学家的价值观,审美意识,数学家看问题的角度和行为规范。我们已经看到,作为一个社会群体的数学家,虽然有个体上的差异,但是却重现出了很多共同的联系。数学家们有着共同关心的问题,共同的价值标准、共同的语言、共同的行为方式和审美标准。因此,广义地说,数学家的眼光就是作为一个社会群体的数学家共同的生活方式。它是活的"数学文化"!和数学知识、技能相比,数学家的眼光也是数学文化中更为宝贵的财富,是最有价值的东西。因此,也是学生最应该学习的东西。

社会化的学习途径

要学好数学就首先就要尝试着就用数学家的眼光看世界。

这是一个具有一般性的命题。人们不是常说,要学好学问,首先就要学做人嘛?在数学学习中,怎样学习做人?学做什么样的人?这当然就是要学做数学家!要学习数学家的"人品"。而要学做数学家,当然首先就要学习数学家的眼光!

其实这样的论断,不仅对数学来说是对的,对各行各业也差不多都是正确的。

你要学好物理,就要学会用物理学家的眼光看世界。

你要学做律师,就要学会用律师的眼光看世界。

甚至学做裁缝,也要学会用裁缝的眼光看世界。

数学教育家莱夫具体考察了"学做裁缝"的过程,对此,数学教育家舍恩菲尔德将莱夫的