高一数学必修一函数知识点

高一数学必修一函数知识点

1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，写作y=fx，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={fx∣x∈A }叫做函数的值域。

★2、函数定义域的解题思路：

⑴ 若x处于分母位置，则分母x不能为0。

⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。

⑶ 对数式的真数必须大于0。

⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

⑸ 指数为0时，底数不得为0。

⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数

⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵ 定义域一致，对应法则一致。

4、函数值域的求法

⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=x-a2+b 的形式。

⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换

⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵ 伸缩变换：在x前加上系数。

⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。

6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的

任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从

集合A到集合B的映射。

⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

7、分段函数

⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。

⑵ 各部分自变量和函数值的取值范围不同。

⑶ 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。

8、复合函数：如果u∈M，u=gx x∈A,则，y=f[gx]=Fx x∈A，称为f、g的复合函数。

★五、函数的性质

1、函数的局部性质——单调性

设函数y=fx的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1< x2时，都有fx1fx2，那么那么y=fx在区间D上是减函数，D是函数y=fx的

单调递减区间。

⑴函数区间单调性的判断思路

ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。

ⅱ 做差值fx1-fx2，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。

ⅲ判断变形后的表达式fx1-fx2的符号，指出单调性。

⑵复合函数的单调性

复合函数y=f[gx]的单调性与构成它的函数u=gx，y=fu的单调性密切相关，其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。

⑶注意事项

函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间A和B上都递增，则表示为fx的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。

2、函数的整体性质——奇偶性

对于函数fx定义域内的任意一个x，都有fx =f-x，则fx就为偶函数;

对于函数fx定义域内的任意一个x，都有fx =-fx，则fx就为奇函数。

⑴奇函数和偶函数的性质

ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。

ⅱ奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

⑵函数奇偶性判断思路

ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。

ⅱ确定fx 和f-x的关系：

若fx -f-x=0，或fx /f-x=1，则函数为偶函数;

若fx+f-x=0，或fx/ f-x=-1，则函数为奇函数。

3、函数的最值问题

⑴对于二次函数，利用配方法，将函数化为y=x-a2+b的形式，得出函数的最大值或最小值。

⑵对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值。

⑶关于二次函数在闭区间的最值问题

ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接ⅱ，若不在区间内，则接ⅲ。

ⅱ 若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c中，a>0时，顶点为最小值，a<0时顶点为最大值;后判断区间的两端点距离顶点的远近，离顶点远的端点的函数值，即为a>0时的最大值或a<0时的最小值。

ⅲ 若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性

若函数在[a，b]上递增，则最小值为fa，最大值为fb;

若函数在[a，b]上递减，则最小值为fb，最大值为fa。

六、基本初等函数

1、指数函数：函数y=ax a>0且a≠1叫做指数函数

注意：⑴由函数的单调性可以看出，在闭区间[a,b]上，指数函数的最值为：

a>1时，最小值fa，最大值fb;0

⑵ 对于任意指数函数y=ax a>0且a≠1，都有f1=a。

2、对数函数：函数y=logaxa>0且a≠1，叫做对数函数

3、幂函数：函数y=xaa∈R，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。

⑴所有幂函数都在0，+∞区间内有定义，而且过定点1,1。

⑵a>0时，幂函数图像过原点，且在0，+∞区间为增函数，a越大，图像坡度越大。

⑶a<0时，幂函数在0，+∞区间为减函数。

当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴;

当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。

幂函数总图见下页。

4、反函数：将原函数y=fx的x和y互换即得其反函数x=f-1y。

反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。

幂函数总图

感谢您的阅读，祝您生活愉快。