高中数学大题每日一题规范练

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高中数学每日试题及答案

高中数学每日试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列函数中，哪一个不是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = 3x^2 - 1C. y = 4x - 5D. y = -x2. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，根据勾股定理，这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. -4C. 4D. 无法确定5. 若sinθ = 1/√2，且θ在第一象限，那么cosθ的值是：A. 1/√2B. √3/2C. -1/√2D. -√3/2二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值是_________。

7. 函数y = log2(x)的定义域是_________。

8. 已知圆的半径为5，圆心到直线x + y - 7 = 0的距离是4，求圆与直线的位置关系是_________。

9. 已知正方体的棱长为a，求正方体的表面积S的公式是_________。

10. 若cosα = 1/3，且α在第一象限，求sinα的值是_________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

12. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，求直线AB的斜率k。

13. 证明：若a、b、c是正数，且a + b + c = 1，求证：1/a + 1/b + 1/c ≥ 9。

14. 已知函数f(x) = 3x - 2，求f(x)的反函数。

四、综合题（每题10分，共10分）15. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，售价为40元。

高三数学每日一题，每天十分钟，高考好成绩（73题）

高三数学每日一题，每天十分钟，高考好成绩（73题）高三每日一题（73）：利用共圆角互补，求向量数量积高三每日一题（72）：张角公式正弦定理，解边长最值问题高三每日一题（71）：单调零点定理,解零点平移区间最值问题高三每日一题（70）：利用对称,求两函数之间最短距离高三每日一题（69）：利用绝对值不等式，解决向量取值范围高三每日一题（68）：函数思想，解分段数列问题高三每日一题（67）：构造函数换底公式，比较三数大小高三每日一题（66）：换元或平方，求取值范围高三每日一题（65）：先猜后证，恒成立求二元参数值高三每日一题（64）：单调放缩，求数列和上限高三每日一题（63）：变形出目标，恒成立一例高三每日一题（62）：数形结合，解分段嵌套函数零点高三每日一题（61）：巧取点，判断极值正负高三每日一题（60）：形直译数解释，动圆问题高三每日一题（59）：利用数量积，化为实数高三每日一题（58）：齐次化，求三元最值高三每日一题（57）：挖掘内涵，直线与圆高三每日一题（56）：构建几何，二元最值高三每日一题（55）：紧给目标，均值换元导数一题高三每日一题（54）：另解网上热议的一道题恒成立问题高三每日一题（53）：认清凸凹，分离变量高三每日一题（52）：降维构图，空间最值高三每日一题（51）几何思想，向量最值高三每日一题（50）极化恒等,向量最值高三每日一题（49）任意存在,换元分类高三每日一题（48）辅助构图,解决向量高三每日一题（47）动中有静,圆中求角高三每日一题（46）恰当换元,数列通项高三每日一题（45）构建椭圆,三角最值高三每日一题（44）构造函数,拐点偏移高三每日一题（43）理解透彻，巧解导数高三每日一题（42）细致分类，倍值区间高三每日一题（41）小题大做，五法解最值高三每日一题（40）抓住核心，向量最值高三每日一题（39）合理化归，研究数列高三每日一题（38）直线过定点，巧用阿氏圆高三每日一题（37）由定义求离心率高三每日一题（36）换元求导，研究零点高三每日一题（35）合理赋值，抽象求值高三每日一题（34）嵌套函数，零点最值高三每日一题（33）夹逼取等，解三角形高三每日一题（32）步步为营，三角一题高三每日一题（31）：取点放缩，函数零点高三每日一题（30）：数列充要，先猜后证高三每日一题（29）：直角距离，数形解释高三每日一题（28）：幂指变换，赋值解决函数零点问题高三每日一题（27）：保值函数高三每日一题（26）：分离函数，巧解交点问题高三每日一题（25）：抽象函数零点问题高三每日一题（24）：换元巧解V函数一题高三每日一题（23）：换元求导解三角函数最值高三每日一题（22）：一道网上热议的向量题高三每日一题（21）：几何法巧解三角函数最值高三每日一题（20）：引线转换高三每日一题（19）：根式值域，一题三解高三每日一题（18）：嵌套函数高三每日一题（17）：换位思考，巧解距离高三每日一题（16）：均值在圆锥曲线中的应用高三每日一题（15）：关羽开门刀举成功高三每日一题（14）：小刀开门切口启封高三每日一题（13）：极限思想高三每日一题（12）：一道题弄明白极值点偏移高三每日一题（11）：代换简化问题高三每日一题（10）：一题七解高三每日一题（9）：巧设参数高三每日一题（7）：对称换元高三每日一题（6）：几何分析法高三每日一题（5）：降元构造线性规划高三每日一题（4）：双主元法高三每日一题（3）：设三角点解圆锥曲线高三每日一题（2）：乔装圣裹贺岁题高三每日一题（1）：解三角形不等式。

高考数学二轮复习专题练大题每日一题规范练第四周含解析

因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6，从而ω＝π3＋k2π，k2∈Z，
又 0＜ω＜π，所以ω＝π，
2
3
πx－π 所以函数 f(x)＝2sin 3 6 ，
令π＋2kπ≤πx－π≤3π＋2kπ，k∈Z，解得 2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，
2
3 62
因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，
大题每日一题规范练
星期一(三角) 2021 年____月____日
【题目 1】在①函数 f(x)的图象中相邻的最高点与最低点的距离为 5，②函数 f(x)的图象的一
条对称轴方程为 x＝－1，③函数 f(x)的一个对称中心的横坐标为1.这三个条件中任选一个，补 2
充在下面题目的横线处，并解决问题.
0＜ω＜π，|φ|＜π
1－2 ∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
星期三(立体几何) 2021 年____月____日【题目 3】如图，在棱长为 1 的正方体 PB1N1D1－ABND 中，动点 C 在线段 BN 上运动，且有 B→C＝λA→D(0<λ≤1).
(1)若λ＝1，求证：PC⊥BD； (2)若二面角 B－PC－D 的平面角的余弦值为－5 11，求实数λ的值.
则φ＝π＋2（k1＋k2）π，k1，k2∈Z.
2
3
因为|φ|＜π，所以φ＝－π.
2
6
从而ω＝k2π＋π3，k2∈Z，
由 0＜ω＜π，得ω＝π，
2
3
πx－π 所以函数 f(x)＝2sin 3 6 .
令π＋2kπ≤πx－π≤3π＋2kπ，k∈Z，
2
3 62
解得 2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，
因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，

高中数学考前30天客观题每日一练(含答案) (1)

1高中数学考前30天客观题每日一练（14）一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.)1. 复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i2. 若函数2()()f x x bx x R =+∈，则下列结论正确的是A ．b R ∀∈,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．b R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．b R ∃∈，()f x 为奇函数D ．b R ∃∈，()f x 为偶函数3. 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．64.（理科）在二项式(x 2－1x )5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．54.（文科）某连队身高符合建国60周年国庆阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁～19岁的士兵有15人，20岁～22岁的士兵有20人，23岁以上的士兵有10人，若该连队有9个参加阅兵的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 5. 在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ∠ABD 等于（）A.12B.32C.22D.336.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥0x －y ＋4≥0x≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．17.（理科）数列{a n }前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n ，都有·m n m n a a a +=，若S n ＜a 恒成3，则实数a 的最小值为（）2A. 12B. 23C. 32D ．27.（文科）等比数列{a n }的公比q ＜0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 010项和等于A ．2 010B ．－1C ．1D ．08. 已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．99. 已知双曲线)0,0(122>>=-n m ny mx 的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为 ( )A.33B.332 C.36D.3110. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b(a>b)．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nbm ＋n，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n D.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n二、填空题(本大题共有4小题，每题5分，共20分.只要求直接填写结果.)（一）必做题（11—13题）11. 已知c ＞0，且c≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上为减函数；q ：函数f(x)＝x 2－2cx ＋1在1(,)2+∞上为增函数，若“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，则实数c 的取值范围是________． 12. 已知(,)22ππθ∈-，则tan 1θ<的概率是 . 13. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．（二）选做题，从14、15题中选做一题· OB DAC314. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知42AD =O 的半径4r AB ==，则圆心O 到AC 的距离为．15. 过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为．考前30天客观题每日一练（14）参考答案1. B 【解析】∵1i z =-，∴1zz z --=(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i ，故选B.2. D 【解析】易知当0b =时，2()f x x bx =+为偶函数.故选D.3. B 【解析】 i ＝1时，a ＝1×1＋1＝2；i ＝2时，a ＝2×2＋1＝5； i ＝3时，a ＝3×5＋1＝16；i ＝4时，a ＝4×16＋1＝65>50，所以输出i ＝4，故选B.4.（理科）B 【解析】：T r ＋1＝C r 5x 2(5－r)(－x －1)r ＝(－1)r C r 5x 10－3r(r ＝0,1，…，5)，由10－3r ＝4得r ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10.故选B.4.（文科）D 【解析】设该连队年龄在23岁以上的士兵参加阅兵的人数为x ，则945＝x 10，解得x ＝2.故选D .5.A 【解析】由余弦定理，得cos ∠ABC ＝9＋4－72×3×2＝12，则∠ABC ＝60°，从而∠ABD＝30°，sin ∠ABD ＝12. 故选A.6.D 【解析】作出可行域，可得平面区域的面积S ＝12(a ＋2)·2(a ＋2)＝(a ＋2)2＝9，由题意可知a ＞0，∴a ＝1.故选D.7.（理科）A 【解析】由a m ＋n ＝a m ·a n ，知a 2m ＝a 2m ，a 3m ＝a 3m ，…，a n m ＝a n m ，又因为a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，S n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＜12，故a≥12，所以a 的最小值为12，故选A.7.（文科）D 【解析】由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得q n ＋1＝q n ＋2q n －1，即q 2－q －2＝0，又q ＜0，4解得q ＝－1，又a 2＝1，∴a 1＝－1，201020101[1(1)]01(1)S -⨯--==--.故选D.8.B 【解析】因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x ＜2时，f(x)＝x 3－x ＝x(x －1)(x ＋1)，所以当0≤x ＜2时，f(x)＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x ＜4时，f(x)＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ＜6时，f(x)＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6也是f(x)＝0的根．故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7.故选B.9. C 【解析】双曲线的实半轴长为11a m =，半焦距为111c m n=+ 1112c m e a n ==+=，所以3m n =.椭圆的长半轴长为21a n =，半焦距为211c n m=-，所以离心率2216113c n e a m ==-=-=.10. C 【解析】将长度类比为面积，可得S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n，另可根据面积比等于相似比的平方求解．11.1(,1)2【解析】因为“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，所以p 、q 两个命题一真一假．若命题p 为真命题，则0＜c ＜1；若命题q 为真命题，则102c <≤.所以若p 真q 假，则实数c 的取值范围是1{|1}2c c <<，若q 真p 假则无解．故实数c 的取值范围是1(,1)2.12. 34【解析】当(,)24ππθ∈-时，tan 1θ<，所以概率为()3424()22p ππππ--==--.2【解析】由于在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC∩平面AB 1C ＝· OBDACE5AC ，所以EF ∥AC ，所以F 为DC 中点，所以EF ＝12AC ＝ 2.14. 23OE AC ⊥于E ，则OE 为所求. 由切割线定理得 2AD AB AC =⋅，得2(42)4AC =，所以8AC =，所以4BC =，于是2BE =，，由勾股定理可得23OE =.15. sin 3ρθ=【解析】设直线上的动点为(,)P ρθ，如图，则||OP ρ=，||2OA =，3xOA π∠=，xOP θ∠=，过O 作直线AP 的垂线，垂足为B ，则||3OB =，在Rt OBP ∆中，有3sin θ=，所以sin 3ρθ=POx2p θB A。

高中数学每日一练

——不等式性质应用1.已知0<<b a ,则（） A.a1<b1 B.10<<b a C.ab >2b D.a b >ba 2.已知cb a ,,R ∈，则（）A. b a >⇒2ac >2bcB.b a cb ca>⇒>C.b a ab b a 11033<⇒⎭⎬⎫>>D.b a ab b a 11022<⇒⎭⎬⎫>> 3.若b a >,且0<+b a ，则（）A.b a >B.ba11> C. b a < D.ba11< 4.已知0<c ，则（）A.0c >c )21( B.2c >c )21( C.2c <c )21( D.c )21(>(31)c 5.已知b a ,R ∈,则（）A.“b a >”是“22b a >”的必要条件B.“b a >”是“b a -<-11”的充要条件C.“b a >”是b a >的充分条件D.“b a >”是22b a >的必要条件 6.若0<<y x ，则（）A.02<<xy xB. 22y xy x >>C. 022<<y xD. xy y x >>22 7.已知0=++z y x ，且z y x >>，则（）A.yz xy >B. yz xz >C. xz xy >D. y z y x > 8.已知0,0>>>>d c b a 则（）A.0>-cd abB.0>-ad bcC.0>-ab cdD.0>-bd ac—— 一元二次不等式解法1.不等式222x x +<的解集是（）A.),1(+∞B.)0,(-∞C. ),(+∞-∞D. ),0(+∞ 2.不等式3－5x －2x 2<0的解集为（）A.RB.空集C.}213|{<<-x xD.}213|{>-<x x x 或 3.不等式0412<++bx x 的解集为φ，则（） A.1<b B.11<->b b 或 C.11≤≤-b D.11>-<b b 或4.不等式11622++--x x x x <0的解集为（）A.（+∞-,31）B.（21,∞-）C.（21,31-）D.（31,-∞-） 5.若函数()x f =12++mx mx 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是。

(完整word版)高中数学每日一练2019

数学每日一练8.281. （2017新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点, 则=A. B. C. D. 12．（2015安徽）下列函数中, 既是偶函数又存在零点的是A. B. C. D.3．（2014北京）已知函数, 在下列区间中, 包含零点的区间是A. B. C. D.4. (2013湖南)函数/的图像与函数/的图象的交点个数为A. 3B. 2C. 1D. 05. （2012北京）函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 36. (2011天津)对实数与, 定义新运算“”: 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点, 则实数的取值范围是A. B.C. D.7．（2011福建）若关于的方程有两个不相等的实数根, 则实数的取值范围是A. （1,1）B. （2,2）C．（∞, 2）∪（2, +∞）D．（∞, 1）∪（1, +∞）1. C【解析】令, 则方程有唯一解,设, , 则与有唯一交点,又, 当且仅当时取得最小值2.而, 此时时取得最大值1,有唯一的交点, 则. 选C.2. A【解析】是偶函数且有无数多个零点, 为奇函数, 既不是奇函数又不是偶函数, 是偶函数但没有零点. 故选A.3. C【解析】∵, ,, ∴零点的区间是.4. B【解析】二次函数/的图像开口向上, 在轴上方, 对称轴为, ；. 所以, 从图像上可知交点个数为2.5．B【解析】因为在内单调递增, 又,所以在内存在唯一的零点.6. B【解析】由题意知, 若, 即时, ；当, 即或时, , 要使函数的图像与轴恰有两个公共点, 只须方程有两个不相等的实数根即可, 即函数的图像与直线有两个不同的交点即可, 画出函数的图像与直线, 不难得出答案B.7．C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根, 可得判别式, 即, 解得或, 故选C．。

【推荐】新课标高三数学文专题复习检测：一日一题规范练含答案

每日一题规范练第一周规范练[题目1] 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋a ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有实根的和．2016年____月____日(周一)[题目2] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ∈N *，n ≥2)，(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝2log 4(a n ＋1)2，证明：对一切正整数n ，有1b 21－1＋1b 22－1＋…＋1b 2n －1<12. 2016年____月____日(周二)[题目3] (2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．2016年____月____日(周三)[题目4] 如图，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面P AC.2016年____月____日(周四)[题目5]已知抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，M为抛物线C 上一动点，A(a，0)(a≠0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为9 2.(1)求抛物线C的标准方程；(2)记t＝1|AM|＋1|AN|，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．2016年____月____日(周五)[题目6] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0. (1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围．2016年____月____日(周六)第二周规范练[题目7] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2016年____月____日(周一)[题目8] 已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a＝1，b＝2，f(A)＝32，求角C.2016年____月____日(周二)[题目9](2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．2016年____月____日(周三)[题目10](2015·湖南高考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F AEC的体积．2016年____月____日(周四)[题目11]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点(2，2)，且离心率为2 2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过椭圆C 左焦点的直线交椭圆于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，m )，求m 的取值范围．2016年____月____日(周五)[题目12] 设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx . (1)当a ＝b ＝12时，求函数f (x )的单调区间；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2＋bx ＋ax (0<x ≤3)，其图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝0，b ＝－1时，方程f (x )＝mx 在区间[1，e 2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．2016年____月____日(周六)第三周规范练[题目13] 在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ；且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.(1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．2016年____月____日(周一)[题目14] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组 [75，85)[85，95) [95，105) [105，115) [115，125)频数62638228(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？2016年____月____日(周二)[题目15] 已知函数y ＝3x ＋134的图象上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，其中数列{x n }为等差数列，满足x 2＝－72，x 5＝－132.(1)求点P n 的坐标；(2)若抛物线列C 1，C 2，…，C n 分别以点P 1，P 2，…，P n 为顶点，且任意一条的对称轴均平行于y 轴，C n 与y 轴的交点为A n (0，n 2＋1)，记与抛物线C n 相切于点A n 的直线的斜率为k n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1k n ＋1k n 前n 项的和S n .2016年____月____日(周三)[题目16] (2015·天津高考)如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．2016年____月____日(周四)[题目17] 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求l 的方程．2016年____月____日(周五)[题目18] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．2016年____月____日(周六)第四周规范练[题目19] 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ，－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12，记f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＝3，求sin C 的值．2016年____月____日(周一)[题目20] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．2016年____月____日(周二)[题目21] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，非常数等比数列{b n }的公比是q ，且满足：a 1＝2，b 1＝1，S 2＝3b 2，a 2＝b 3. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝2b n －λ·3an2，，若数列{c n }是递减数列，求实数λ的取值范围．2016年____月____日(周三)[题目22]如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高．2016年____月____日(周四)[题目23] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c )的短轴长为2，离心率为22.过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点．2016年____月____日(周五)[题目24] 已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若x ∈(0，1]时，f ′(x )＝0都有解，求k 的取值范围； (3)若f ′(1)＝0，试证明：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立．2016年____月____日(周六)第五周规范练[题目25] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 b cos C ＝(2a －c )cos B . (1)求角B 的大小；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且b ＝3，试求△ABC 的面积．2016年____月____日(周一)[题目26] 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)令c n ＝a n b n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .2016年____月____日(周二)[题目27] 某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．2016年____月____日(周三)[题目28] (2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系．并证明你的结论． (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .2016年____月____日(周四)[题目29] 已知函数f (x )＝x ＋1＋ax －a ln x .(1)若函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线与直线2x ＋y －1＝0平行，求a 的值；(2)在(1)的条件下方程f (x )＝b 在区间[1，e]上有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；(3)若在区间[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．2016年____月____日(周五)[题目30] 已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，其焦点与双曲线C ：x 2－y 22＝1的焦点重合，且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)过双曲线C 的右顶点A 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点P 、Q . ①设M (m ，0)，当MP →·MQ →为定值时，求m 的值；②设点N 是椭圆E 上的一点，满足ON ∥PQ ，记△NAP 的面积为S 1，△OAQ 的面积为S 2，求S 1＋S 2的取值范围．2016年____月____日(周六)第五部分每日一题规范练[题目1] 解 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋1＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，f (x )min ＝－1＋a ＋1＝2，得a ＝2，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，根据图象变换，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋3.又g (x )＝4.得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＝12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤4x －π6≤116π.∴4x －π6＝π6或4x －π6＝5π6. 则x ＝π12或x ＝π4，故方程g (x )＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有实根之和为π12＋π4＝π3.[题目2] 证明 (1)由a n ＋1＝3a n －2a n －1，得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)，n ≥2. 又a 2－a 1＝3－1＝2，则a n －a n －1≠0.∴数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为2的等比数列．因此a n －a n －1＝2·2n －2＝2n －1(n ≥2)，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝1－2n 1－2＝2n－1，又a 1＝1适合上式．所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)，得b n ＝2log 4(a n ＋1)2＝log 2(2n )2＝2n .∵1b 2n －1＝14n 2－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴1b 21－1＋1b 22－1＋…＋1b 2n －1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12. 故对一切n ∈N *，有1b 21－1＋1b 22－1＋…＋1b 2n －1<12.[题目3] 解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P ＝2630＝1315. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78. [题目4] 证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点， AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形，因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面P AC .[题目5] 解 (1)由题意，|OA |＝a ＝p2，|MN |＝22p ·p2＝2p ，S △MON＝12|OA |·|MN |＝12·p 2·2p ＝92. ∴p 2＝9，则p ＝3，则抛物线C 的标准方程为y 2＝6x .(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my ＋a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝6x .得y 2－6my －6a ＝0. 则Δ＝36m 2＋24a >0，y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－6a ，由对称性，不妨设m ＞0，(ⅰ)a <0时，∵y 1y 2＝－6a >0，∴y 1，y 2同号，又t ＝1|AM |＋1|AN |＝11＋m 2|y 1|＋11＋m 2|y 2|∴t 2＝11＋m 2（y 1＋y 2）2（y 1y 2）2＝11＋m 236m 236a 2＝1a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＋m 2 不论a 取何值，t 均与m 有关，即a <0时A 不是“稳定点”； (ⅱ)a >0时，∵y 1y 2＝－6a <0，∴y 1，y 2异号，又t ＝1|AM |＋1|AN |＝11＋m 2|y 1|＋11＋m 2|y 2|∴t 2＝11＋m 2·（y 1－y 2）2（y 1y 2）2＝11＋m 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2（y 1y 2）2＝11＋m 2·36m 2＋24a 36a 2＝1a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23a －11＋m 2，所以，当且仅当23a －1＝0，即a ＝32时，t 与m 无关．此时A 为抛物线C 的焦点，即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”．[题目6] 解 (1)f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －b (x ＞0)．由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a 1－a)(x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜a a －1，解得－2－1＜a ＜2－1. ②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜a a －1.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． ③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜a a －1成立．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．[题目7] 解 (1)由于S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1＋2p －(2n ＋2p )＝2n .又a 1＝S 1＝4＋2p ，由于数列{a n }为等比数列，∴a 22＝a 1a 3，即(4＋2p )·23＝24，解之得p ＝－1，因此a n ＝a 1·q n －1＝2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，又a n ＋12＝(3＋p )a n b n ＝2a n b n ，则2n b n ＝n ，所以b n ＝n 2n .T n ＝12＋222＋…＋n 2n ，12T n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，两式相减，得 12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1，T n ＝2－12n －1－n 2n . [题目8] 解 (1)f (x )＝sin x (1＋cos φ)＋cos x sin φ－sin x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)．因为f (x )在x ＝π处取得最小值．∴sin(π＋φ)＝－1，则sin φ＝1，又0<φ<π，所以φ＝π2.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32，且A ∈(0，π)，所以A ＝π6，又a ＝1，b ＝2，由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝2sin π6＝22，因为b >a ，因此B ＝π4或B ＝3π4，当B ＝π4时，C ＝π－(A ＋B )＝712π.当B ＝34π时，C ＝π－(A ＋B )＝π12.综上可知，C ＝7π12或C ＝π12.[题目9] 解法一 (1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2，从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共9个．所以所求的概率P ＝910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.法二(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．所以所求的概率P＝1－110＝910.(2)同法一．[题目10](1)证明∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解设AB中点为M，连接A1M，CM，则CM⊥AB，由平面A1ABB1⊥平面ABC 且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB 知，CM ⊥面A 1ABB 1， ∴∠CA 1M 即为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．∴∠CA 1M ＝45°，易知CM ＝32×2＝3，在等腰Rt △CMA 1中，A 1M＝CM ＝3，在Rt △A 1AM 中，A 1A ＝A 1M 2－AM 2＝ 2.∴FC ＝12A 1A ＝22，又S △AEC ＝12×34×4＝32，∴V 三棱锥F AEC ＝13×32×22＝612.[题目11] 解 (1)设椭圆的半焦距是c ，由于e ＝22，∴a ＝2c ，则b 2＝a 2－c 2＝c 2.所以椭圆C 的方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.又椭圆C 过点(2，2)．所以42c 2＋2c 2＝1，解得c 2＝4.故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)(ⅰ)当MN ⊥x 轴时，显然m ＝0.(ⅱ)当MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的斜率为k ，显然k ≠0，则直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x 28＋y 24＝1.得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，线段MN 中点Q (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，所以x 0＝－4k 21＋2k 2，y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋2＝2k 1＋2k 2. 线段MN 的垂直平分线方程为y －2k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 21＋2k 2. 在上述方程中令x ＝0，得y ＝－2k 1＋2k 2. 即m ＝－2k 1＋2k 2＝－22k ＋1k. 当k >0时，2k ＋1k ≥22，则0>m ≥－22；当k <0时，2k ＋1k ≤－22，则0<m ≤22. 所以－22≤m <0或0<m ≤22.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. [题目12] 解 (1)依题意，知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝b ＝12时，f (x )＝ln x －14x 2－12x ，f ′(x )＝1x －12x －12＝－（x ＋2）（x －1）2x. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)．当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．(2)F (x )＝ln x ＋a x ，x ∈[0，3]．由k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0，3]上恒成立．知a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取最大值12，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)当a ＝0，b ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ，由f (x )＝mx ，得ln x ＋x ＝mx ，又x >0，所以m ＝1＋ln x x ，要使方程f (x )＝mx 在区间[1，e 2]上有唯一实数解，只需m ＝1＋ln x x 有唯一实数解，令g (x )＝1＋ln x x (x >0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )>0得0<x <e ；g ′(x )<0，得x >e.∴g (x )在[1，e]上是增函数，在区间[e ，e 2]上是减函数，又g (1)＝1，g (e 2)＝1＋2e 2，g (e)＝1＋1e ，故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1＋2e 2∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1e .[题目13] 解 (1)在△ABC 中，b ＝4，A ＝π3，S ＝23，∴S ＝12bc sin A ＝12×4c ×32＝23，则c ＝2，由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝16＋4－2×4×2cos π3＝12，∴a ＝12＝2 3.(2)由正弦定理，得a sin A ＝c sin C .∴sin C ＝c ·sin A a ＝2sin π323＝12. 又由c <a ，得0<C <A ＝π3，∴C ＝π6，则f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin x －cos π3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin x －sin π6cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，将函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． [题目14] 解 (1)(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．[题目15] 解 (1)设数列{x n }的公差为d ，则x 5－x 2＝3d ，∴－132－⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝3d ，则d ＝－1，x 1＝－52. 故x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32，y n ＝3x n ＋134＝－3n －54.因此点P n 的坐标为P n⎝⎛⎭⎪⎫－n －32，－3n －54. (2)由题意，设C n 的方程为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2n ＋322－12n ＋54. 将A n (0，n 2＋1)代入上式，整理得(a －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋3n ＋94＝0， ∴a ＝1.∴C n 的方程为：y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1. 所以y ′＝2x ＋2n ＋3，由导数的几何意义，k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3.因此1k n ＋1k n ＝1（2n ＋5）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5 ∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n k n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋5＝n 10n ＋25. [题目16] (1)证明如图，连接A 1B ，在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，BA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明因为AB ＝AC ，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1，又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)解取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2. 因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB ，又由AB ⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4.在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°.所以，直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°. [题目17] 解 (1)∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，则b 2＝a 2－c 2＝3c 2，则椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 又椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴14c 2＋912c 2＝1，c 2＝1，c ＝1，则a ＝2，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知F 1(－1，0)，①当l 的倾斜角是π2时，l 的方程为x ＝－1，交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，此时S △ABF 2＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227，不合题意．②当l 的倾斜角不是π2时，设l 的斜率为k ，则其直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1），消去y 得：(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴S △F 2AB ＝S △F 1F 2B ＋S △F 1F 2A ＝12|F 1F 1|(|y 1|＋|y 2|) ＝12×2|y 1－y 2|＝|k (x 1＋1)－k (x 2＋1)| ＝|k ||x 1－x 2|2＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 24k 2＋32－4×4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3，又已知S △F 2AB ＝1227，∴12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227⇒17k 4＋k 2－18＝0⇒(k 2－1)(17k 2＋18)＝0⇒k 2－1＝0解得k ＝±1，故直线l 的方程为y ＝±1(x ＋1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. [题目18] 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3， x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．[题目19] 解 (1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ，－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∴f (x )＝m·n ＝2cos 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝1＋cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1＋cos 2x －32sin 2x －12cos 2x＝1＋12cos 2x －32sin 2x ＝1－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.则f (x )的最小正周期T ＝π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0<A <π，故A ＝π6. 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， ∴sin B ＝b sin A a ＝3sin π62＝34. 又a >b ，知B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝134.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3＋138.[题目20] 解 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的频率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．[题目21] 解 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2＋a 2＝3q ，a 2＝q 2，所以q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝1(舍)，从而a 2＝4，所以a n ＝2n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知，c n ＝2b n －λ·3a n2＝2n －3n λ. 由题意，c n ＋1<c n 对任意的n ∈N *恒成立，即2n ＋1－3n ＋1λ<2n －3n λ恒成立，亦即2λ3n >2n 恒成立，即λ>12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n恒成立．由于函数y ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23x在R 上是减函数，所以当n ＝1时，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 有最大值，且最大值为12×23＝13.因此λ>13时，λ>12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n恒成立．所以实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. [题目22] (1)证明连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，又因为BC 1∩AO ＝O ，所以B 1C ⊥平面ABO .由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)解作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，AD ∩BC ＝D ，所以OH ⊥平面ABC . 因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34.由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为217.[题目23] (1)解依题意，得b ＝1，e ＝c a ＝22. ∴a 2＝2c 2＝2(a 2－b 2)，则a 2＝2b 2＝2. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解依题意，过点M (2，0)的直线l 的斜率存在，设为k . 则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝k （x －2）.x 22＋y 2＝1.消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(8k 2－2)(1＋2k 2)>0，得k 2<12，则0≤k 2<12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2. ＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2 ＝10k 2－21＋2k 2＝5－71＋2k 2. 因为0≤k 2<12，所以72<71＋2k 2≤7，故OA →·OB →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32. (3)证明由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上．直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得：x ＝x 1－y 1（x 1－x 2）y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2x 1x 2－2（x 1＋x 2）x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1. 所以直线AN 恒过定点(1，0)．[题目24] (1)解由f (x )＝ln x ＋2e x ，得f ′(x )＝1－2x －x ln xx e x ， ∴f ′(1)＝－1e ，且f (1)＝2e .故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y －2e ＝－1e (x －1)，即x ＋e y －3＝0.(2)解由f ′(x )＝0得k ＝1－x ln x x ，令F (x )＝1－x ln xx ， ∵0<x ≤1，∴F ′(x )＝－x ＋1x 2<0，因此函数F (x )在区间(0，1]上是减函数． ∵F (1)＝1，且x →0时，F (x )→＋∞. 故F (x )≥1，则k 的取值范围是[1，＋∞)． (3)证明 f ′(x )＝1－x ln x －kxx e x.由f ′(1)＝0，得k ＝1.∴f ′(x )＝1－x ln x －xx e x ，x >0. 需证f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立，只需证明1－x ln x －x <e x x ＋1(e －2＋1)．设h (x )＝1－x ln x －x (x >0)，得h ′(x )＝－ln x －2. 当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数．所以h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x ln x －x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，x >0，则φ′(x )＝e x －1.∴当x >0时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，＋∞)上是增函数．因此φ(x )>φ(0)＝0.故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1，所以1－x －x ln x ≤e －2＋1<e x x ＋1(e －2＋1)．因此，对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．[题目25] 解 (1)∵b ·cos C ＝(2a －c )·cos B ，由正弦定理，得sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B . ∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .在△ABC 中，0<A <π，sin(B ＋C )＝sin A ≠0.∴cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3，(2)∵a 、b 、c 成等差数列，且b ＝3，∴a ＋c ＝2b ＝6，又由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴32＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac .因此3ac ＝62－32＝27，则ac ＝9.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×9×32＝934.[题目26] 解 (1)∵S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n 3n ＋1(n ≥1)，① 则a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1② ②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，得b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，又当n ＝1时，b 1＝8，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．(3)由(1)，(2)知c n ＝a n b n 4＝n (3n ＋1)＝n ·3n ＋n .∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n )＋(1＋2＋…＋n )．令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ①则3H n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1②①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3（3n －1）3－1－n ×3n ＋1， ∴H n ＝（2n －1）×3n ＋1＋34，又1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2， ∴数列{c n }的前n 项和T n ＝（2n －1）×3n ＋14＋n （n ＋1）2＋34. [题目27] 解 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)事件M 即“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.[题目28] (1)解点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：因为ABCD-EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明连接FH，与EG交于点O，连接BD. 因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG，又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.[题目29] 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1＋a x 2－a x .由题意f ′(1)＝1－1＋a 12－a 1＝－2，解得a ＝1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，f (x )＝x ＋2x －ln x ，f ′(x )＝1－2x 2－1x ＝（x ＋1）（x －2）x 2. 在(1，2)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在(2，e)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，f (1)＝3，f (e)＝e －1＋2e ，f (1)>f (e)，f (2)＝3－ln 2.由题意f (2)<b ≤f (e)，即3－ln 2<b ≤e －1＋2e .(3)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立等价于f (x )min <0，(x ∈[1，e])，f ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝（x ＋1）[x －（a ＋1）]x 2， ①当a ＋1≤1，即a ≤0时，在区间(1，e)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝2＋a <0，得a <－2.②当1<a ＋1<e 时，即0<a <e －1，在区间(1，1＋a )上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在区间(1＋a ，e)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数．∴f (x )min ＝f (a ＋1)＝2＋a －a ln(a ＋1)，因为0<ln(a ＋1)<1，则0<a ln(a ＋1)<a .因此f (x )min ＝2＋a －a ln(a ＋1)>2，从而f (a ＋1)<0不成立，舍去．③当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1，在(1，e)上，有f ′(x )<0，f (x )是减函数．∴f (x )min ＝f (e)＝e ＋1＋a e －a <0.得a >e 2＋1e －1，又e 2＋1e －1>e 2－2e ＋1e －1＝e －1. 因此a >e 2＋1e －1. 综合①，②，③知实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. [题目30] 解 (1)由题意，椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题设，椭圆E 的左右焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴c ＝ 3.又椭圆E 的短轴两端点与F 2构成正三角形．∴a ＝2b ，①又因a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋3，②联立①，②得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①双曲线C 的右顶点A 为(1，0)．(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.代入x 24＋y 2＝1，解得x ＝1，y ＝±32.不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，由M ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0可得，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32，∴PM →·QM →＝8164－34＝3364.(ⅱ) 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1）得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设直线l 与椭圆E 交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋4k 2.则PM →＝(m －x 1，－y 1)，QM →＝(m －x 2，－y 2)，∴PM →·QM →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2，＝m 2－m 8k 24k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 当2m －174＝0，即m ＝178时PM →·QM →为定值3364.综上所述当m ＝178时，PM →·QM →为定值3364.②∵ON ∥PQ ，∴S △NAP ＝S △OAP ，∴S 1＋S 2＝S △OPQ ， ∵|PQ |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝1＋k 2· ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 24k 2＋12－16k 2－164k 2＋1＝4（1＋k 2）·3k 2＋14k 2＋1，原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|k |1＋k 2(k ≠0)， ∴S △OPQ ＝12|PQ |d ＝2|k |3k 2＋14k 2＋1＝4k 2（3k 2＋1）（4k 2＋1）2. 令4k 2＋1＝t ，则k 2＝t －14(t >1)．∴S △OPQ ＝12·3t 2－2t －1t 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋12＋4， ∵t >1，∴0<1t <1，则0<4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋12<3. ∴0<S △OPQ <32.又当直线l 的斜率不存在时，S △OPQ ＝12×1×3＝32，综上可知，S 1＋S 2的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，32.。

高考数学大题每日一题规范练(第四周)

高考数学大题每日一题规范练【题目1】 (本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，m cos x )，b ＝(3，－1). (1)若a ∥b ，且m ＝1，求2sin 2x －3cos 2x 的值；(2)若函数f (x )＝a ·b 的图象关于直线x ＝2π3对称，求函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域.解 (1)当m ＝1时，a ＝(sin x ，cos x )，又b ＝(3，－1)，且a ∥b .∴－sin x －3cos x ＝0，即tan x ＝－3，∵2sin 2x －3cos 2x ＝2sin 2x －3cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x －3tan 2x ＋1＝2×（－3）2－3（－3）2＋1＝32，∴2sin 2x －3cos 2x ＝32.(2)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x －m cos x 的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，即3＝32＋32m ，得m ＝3，则f (x )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (2x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π6，∴当x ＝π3时，f (2x )取最大值为23；当x ＝2π3时，f (2x )取最小值为－ 3. 即函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域为[－3，23].星期二 (概率统计) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：(1)从5600的概率；(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^：并预测当特征量x 为570时特征量y 的值.(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为解 (1)从5次特征量y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有C 25＝10种方法，都小于600，有C 23＝3种方法，∴至少有一个大于600的概率P ＝1－C 23C 25＝1－310＝710.－1×1＋3×5＋（－5）×（－3）＋7×（－1）＋（－4）×（－2）（－1）2＋32＋（－5）2＋72＋（－4）2＝0.3，a ^＝y－b ^x ＝600－0.3×556＝433.2，线性回归方程为y ^＝0.3x ＋433.2，当x ＝570时，y ^＝0.3×570＋433.2＝604.2. 即当特征量x 为570时特征量y 的估计值为604.2.星期三 (数列) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋a 2n (n ∈N *)，求数列{2nb n }的前n 项和S n .解 (1)∵2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32，∴11＋a n ＋1＝11＋a n＋12，即11＋a n ＋1－11＋a n ＝12，设c n ＝1a n ＋1，由a 1＝1得c 1＝12，则数列{c n }是一个首项和公差均为12的等差数列， ∴c n ＝12＋12(n －1)＝n 2，则a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝1＋a 2n ＝22n ＝12n －1，所以2nb n ＝2n2n －1，则S n ＝2×1＋4×12＋6×122＋…＋2n ×12n －1①，∴12S n ＝2×12＋4×122＋6×123＋…＋2n ×12n ②， ①－②得12S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2n ×12n ，即12S n ＝4－2n ＋42n .得S n ＝8－n ＋22n －2⎝⎛⎭⎪⎫或8－4n ＋82n .星期四 (立体几何) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值. (1)证明连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ，故MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解由A 1A ⊥平面ABC 且CC 1∥A 1A ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1.又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ，以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC 1＝2λ(λ>0).则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，∴CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1). 取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由CM→·m ＝0，MN →·m ＝0. 得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ).同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ)， ∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0，解得λ＝22，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，322，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66.所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66.星期五 (解析几何) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0<r <b )，若圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点.(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； (2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足1a 2＋1b 2＝1r 2，并说明理由.解 (1)依题意原点O 到切线l ：y ＝－12x ＋m 的距离为半径1，∴|m |1＋14＝1，解之得m ＝±52，又点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，则m >0， ∴切线l ：y ＝－12x ＋52，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，52，B (5，0)，∴B 为椭圆的右顶点，A 为椭圆的上顶点，则a ＝5，b ＝52， ∴椭圆E 的方程为：x 25＋y 254＝1.(2)a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1r 2成立，理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，则|m |1＋k 2＝r ，即m 2＝r 2(1＋k 2)，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2，AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则∠AOB ＝90°，则OA→·OB →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2＋b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＝（a 2＋b 2）m 2－a 2b 2（1＋k 2）b 2＋a 2k 2＝0.则(a 2＋b 2)m 2＝a 2b 2(1＋k 2)，②将①代入②，得a 2＋b 2a 2b 2＝1r 2， ∴1a 2＋1b 2＝1r 2.星期六 (函数与导数) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a >0)的最小值是1. (1)求a ；(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x ＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝2x －ax ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2x(x >0).所以，当0<x <a2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >a2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增. 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2，由题意可得：a 2－a 2ln a 2＝1，即a 2－a 2ln a2－1＝0，记g (a )＝a 2－a 2ln a2－1(a >0)，则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a2＝1的根；由于g ′(a )＝－12ln a2，故a ＝2时，g ′(2)＝0，且0<a <2时，g ′(a )>0；a >2时，g ′(a )<0，所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点，所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0，所以a ＝2.(2)由条件可得f 2(x )e 2x －6mf (x )e x ＋9m ＝0，令g (x )＝f (x )e x ＝(x 2－2ln x )e x ，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x －2x －2ln x e x ，令r (x )＝x 2＋2x －2x －2ln x (x ≥1)，则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x >2x －2x ＝2（x 2－1）x≥0，r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e ；所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解，当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件. 当Δ>0时可得m <0或m >1，所以e 2－6m e ＋9m ≤0，解之得m ≥e 26e －9，综上，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9.星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m 为常数).(1)若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； (2)若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程：4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ，由⎩⎨⎧4x ＋3y －m ＝0，y 2＝4x可得y 2＋3y －m ＝0， ∵直线l 和曲线C 恰好有一个公共点， ∴Δ＝9＋4m ＝0，∴m ＝－94.(2)当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1，0)，由⎩⎨⎧4x ＋3y －4＝0，y 2＝4x可得4x 2－17x ＋4＝0，设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝174，故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝254. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增； ∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2，由于m >0，n >0，则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号.∴1m ＋1n 的最小值为2 2.。

高中数学每日一题(6月12日-6月18日)新人教A版必修4(2021年整理)

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6月12日三角函数（1）高考频度:★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆1．若()1πsin ππ32αα-=≤≤,且，则cos α的值为A ．22 B ．22- C ．42 D ．42- 2．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=A ．12B ．12- C ．3- D ．33．若角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()()πsin cos πtan 2π2θθθ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭A ．43B ．43-C ．34D ．34-4．已知角α的终边上一点()(),30P m m -≠，且2cos mα=. （1）求m 的值； (2）求sin α和tan α的值.1．B 【解析】由题意知()1πsin π,π32αα-=≤≤，则222cos 1sin αα=-=,故选B 。

2．C 【解析】由于sin15cos75=，所以()()3sin15cos75cos1502f f ===-，故选C. 3． A 【解析】由题意知4tan 3θ=-．根据诱导公式得()()πsin cos πtan 2π2θθθ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭44cos cos tan tan 33θθθθ⎛⎫--=-=--= ⎪⎝⎭．故选A ． 4．【解析】（1）由题设知,3x m y ==则(2222||3r OP m ==+（O 为原点），23r m =+所以2cos 22m m r α===，2322r m =+=238m +=，解得5m =(2）当5m =时，10cos 4α=，6sin 4α=-，sin 15tan cos 5ααα==-；当5m =-时,10cos α=-，6sin 4α=-，sin 15tan cos ααα==。

高中数学每日一题(含答案)

2
答案：B
10.若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.
解析：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）= 3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知 a4=10, （1） a2+3a=3k+1 或（2） a2+3a=10,
解析：设平面被n条直线分成Sn部分，
则当n＝1时，S1 ＝1＋1＝2；
当n＝2时，S2 ＝1＋1＋2＝4；
当n＝3时，S3 ＝1＋1＋2＋3＝7；
当n＝4时，S4 ＝1＋1＋2＋3＋4＝11. 据此猜想，得．
nn＋1 n2＋n＋2 Sn＝1＋ . 2 ＝ 2 点评：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写
又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC，
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC.
又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.
3.(2010年锦州模拟)在数列{an}中，a1＝tan x，
)
C．2
D．3
解析：由 a＋2i ＝b＋i得a＋2i＝bi－1，所以由复数相等
i 的意义知a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1，故选B.
答案：B
6. (2011年厦门高三综合测试)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： (1)若ab>0，bc－ad>0，则 (2)若ab>0， (3)若bc－ad>0，的个数是( ) A．0 B．1 则bc－ad>0；则ab>0，其中正确命题 C．2 D．3

新高中数学二轮专项大每日一规范练第一周

星期一数列2021年____月____日【题目1】在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的存在，求的值；假设不存在，说明理由设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在正整数，使得S＞S＋1且S＋1＜S＋2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解选条件①设{b n}的公比为q，那么q3＝错误!＝－27，即q＝－3，所以b n＝－－3n－1从而a5＝b1＝－1，a2＝b1＋b3＝－10，由于{a n}是等差数列，所以a n＝3n－16因为S＞S＋1且S＋1＜S＋2等价于a＋1＜0且a＋2＞0，所以满足题意的存在当且仅当错误!即＝4选条件②设{b n}的公比为q，那么q3＝错误!＝－27，即q＝－3，所以b n＝－－3n－1从而a5＝b1＝－1，a4＝b4＝27，所以{a n}的公差d＝－28因为S＞S＋1且S＋1＜S＋2等价于a＋1＜0且a＋2＞0，此时d＝a＋2－a＋1＞0，与d ＝－28矛盾，所以满足题意的不存在选条件③设{b n}的公比为q，那么q3＝错误!＝－27，即q＝－3，所以b n＝－－3n－1从而a5＝b1＝－1，由{a n}是等差数列得S5＝错误!，由S5＝－25得a1＝－9所以a n＝2n－11因为S＞S＋1且S＋1＜S＋2等价于a＋1＜0且a＋2＞0，所以满足题意的存在当且仅当错误!即＝4星期二三角2021年____月____日【题目2】函数f＝in2－co2＋2错误!in co ，∈R1求f的单调递增区间；2假设关于的方程f＝a在错误!上有解，求实数a的取值范围解1f＝in2－co2＋2错误!in co＝错误!in 2－co 2＝2in错误!，令2π－错误!≤2－错误!≤2π＋错误!∈Z，得π－错误!≤≤π＋错误!，∈Z所以f的单调递增区间为错误!，∈Z2由∈错误!，得－错误!≤2－错误!≤错误!∴－1≤2in错误!≤2因为方程f＝a在错误!上有解，所以实数a的取值范围是[－1，2]星期三概率与统计2021年____月____日【题目3】微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动〞是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号用户可以通过关注“微信运动〞公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，假设OM·ON＝错误!，求证：点m，在定圆上1解由得e＝错误!＝错误!，2b＝2，又a2－b2＝c2，∴b＝1，a＝2∴椭圆C的标准方程为错误!＋2＝12证明设M1，1，N2，2，联立直线与椭圆方程错误!消去，得42＋12＋8m＋4m2－4＝0，依题意，Δ＝8m2－442＋14m2－4＞0，化简得m2＜42＋1，①1＋2＝－错误!，12＝错误!，12＝1＋m2＋m＝212＋m1＋2＋m2，假设OM·ON＝错误!，那么错误!＝错误!，即412＝512，∴4212＋4m1＋2＋4m2＝512，∴42－5·错误!＋4m·错误!＋4m2＝0，那么42－5m2－1－82m2＋m242＋1＝0化简得m2＋2＝错误!，②由①②联立，得0≤m2＜错误!，错误!≤错误!故点m，在定圆2＋2＝错误!上星期六函数与导数2021年____月____日【题目6】设函数f＝2n －m2＋11讨论函数f的单调性；2当f有极值时，假设存在0，使得f0＞m－1成立，求实数m的取值范围解1函数f的定义域为0，＋∞，f′＝错误!－2m＝错误!当m≤0时，f′＞0，所以f在0，＋∞上单调递增当m＞0时，由f′＞0，得0＜＜错误!令f′＜0，得＞错误!所以f在错误!上单调递增，在错误!上单调递减综上，当m≤0时，f在0，＋∞上单调递增；当m＞0时，f在错误!上单调递增，在错误!上单调递减2由1知，当f有极值时，应有m＞0，且f在错误!上单调递增，在错误!上单调递减所以f ma＝f极大值＝f错误!＝2n错误!－m·错误!＋1＝－n m假设存在0，使得f0＞m－1成立，那么f ma＞m－1成立，所以－n m＞m－1，即m＋n m－1＜0，令gm＝m＋n m－1，那么g′m＝1＋错误!＞0在0，＋∞上恒成立，所以gm在0，＋∞上单调递增，且g1＝0假设使gm＜0，那么0＜m＜1所以实数m的取值范围是0，1。

2024年高中数学每日一题系列2024.10.18docx

2024年高中数学每日一题系列供题人：Oliver Zhan 一份耕耘一分收获2024.10.1824y =B ．||PB +352=D ．若P 在【答案】ACD解：1:4C y =可变形为22(2)(4)4(4)x y y -+-=≥，表示以1(2,4)C 为圆心，2为半径的圆的上半部分；22:44C y x x =+--可变形为22(2)(4)4(4)x y y ++-=≥，表示以()22,4C -为圆心，2为半径的圆的上半部分．对于A ：抛物线23:2C x py =过点()4,4，解得2p =，23:4C x y =，故A 选项正确；对于B ：抛物线23:4C x y =的准线为:1l y '=-，过点B 作1BB l '⊥，垂足为1B ，则1BF BB =，则1415P l PB FB PB BB d -'+=+≥≥+=，故B 选项不正确；对于C ：不妨设:1(0)l y kx k =+≥，显然离l 最远的点在2C 上，且222321P l C l k d d r k ----≤+=+，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得2440x kx --=，341413440404k ---=≤≤=---，则4A B x x k +=，4A B x x ⋅=-，则()()2221441A B A B AB k x x x x k =++-=+，由对称性只考虑0k ≥情况，B 在E 点时，max 34k =，所以30,4k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()222311412221PAB P l k S AB d k k -⎫--=⨯≤⨯++⎪+⎭ ()2221(23)41k k k =++++，设()22()1(23)41h k k k k =++++，易得()h k 在30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以PAB S 的最大值为33542h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项正确；对于D ：设AB 的中点为M ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 整理得2440x kx --=，则4A B x x k +=，4A B x x ⋅=-，22A B M x x x k +==，221M y k =+，341413440404k ---=≤≤=---，所以32M x ≤，()()2214PA PB PM MA PM MB PM AB ⋅=++=- ，22111112cos PM PC MC PC MC PC M +-⨯⨯∠PM 最小，即1cos PC M ∠最大，也即1PC M ∠最小，又AB 的中点M 位于圆心1C 的左侧，故当P 在位置时，1PC M ∠最小，PM 最小，所以()()222222211(20)2144444PM AB k k k -≥-++--+ ()22422294412941165165416k k k k k =+-+-+=-+≥-⨯+=-，故D 对故选：ACD ．)4,0(。

高考数学每天练习题

高考数学每天练习题
1. 函数与方程
- 求函数y=x^2-4x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值。

- 判断方程x^3-3x+2=0在区间(1,2)内是否有实根，并说明理由。

2. 导数与微分
- 求函数y=ln(x)的导数，并计算在x=e时的导数值。

- 利用导数求函数y=x^3-6x^2+9x+1的单调区间和极值点。

3. 不等式
- 解不等式x^2-4x+3<0，并用区间表示解集。

- 利用基本不等式求函数y=x+1/x在区间[1,2]上的最小值。

4. 三角函数
- 求函数y=sin(x)+cos(x)的周期，并判断其奇偶性。

- 利用三角恒等变换化简表达式sin^2(x)+cos^2(x)-sin(x)cos(x)。

5. 空间几何
- 已知正方体的棱长为a，求其体积和表面积。

- 判断空间四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。

6. 解析几何
- 求直线y=2x+1与圆x^2+y^2=4的交点坐标。

- 利用点到直线的距离公式求点(1,2)到直线3x-4y+5=0的距离。

7. 概率与统计
- 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求抽到2个红球和1
个蓝球的概率。

- 已知一组数据的平均数为5，中位数为4，众数为3，求这组数据的方差。

8. 数列
- 求等差数列3, 7, 11, ...的通项公式和前n项和公式。

- 判断数列1/2, 1/3, 1/4, ...是否为等比数列，并求其前n项和。

请同学们认真完成以上练习题，通过每日的练习，逐步提高数学解题
能力，为高考做好充分准备。

高考数学二轮复习每日一题规范练(第四周)文

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题每日一题规范练(第四周)[题目1] (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，b 2，S 5＋2，b 4成等比数列．(1)求{b n }的通项公式；(2)设a n ＝b n2(e)b n ，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{b n }的公差为d ，因为b 2, S 5＋2，b 4成等比数列，b 3＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝6，5b 1＋5×42d ＋2＝（b 1＋d ）（b 1＋3d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝10，d ＝－2.因为数列{b n }单调递增，所以d ＞0，所以b 1＝2，d ＝2，所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝b n2(e)b n ，所以a n ＝n e n.所以S n ＝1·e 1＋2e 2＋3e 3＋…＋n e n，所以e S n ＝1·e 2＋2e 3＋3e 4＋…＋n e n ＋1，以上两个式子相减得，(1－e)S n ＝e ＋e 2＋e 3＋…＋e n －n e n ＋1，所以(1－e)S n ＝e －e n ＋11－e －n e n ＋1，所以S n ＝n e n ＋2－（n ＋1）e n ＋1＋e（1－e ）2.[题目2] (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)因为23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，所以cos 2A ＝125，又A 为锐角，所以cos A ＝15，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5(负值舍去)，所以b ＝5. (2)法一在△ABC 中，由正弦定理得 b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝3sinπ3＝2，所以b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2[sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ]＝2[sinB ＋(32cos B ＋12sin B )]＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，则b ＋c ∈(3，23]．法二由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－3＝bc ⇒(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，所以(b ＋c )2≤12，则b ＋c ≤2 3. 又三角形的两边之和大于第三边，所以b ＋c ＞a ＝ 3.故b ＋c 的取值范围是(3，23]．[题目3] (本小题满分12分)已知四棱锥S ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2BC ＝2CD ＝2，△SAD 为正三角形．(1)点M 为线段AB 上一点，若BC ∥平面SDM ，AM →＝λAB →，求实数λ的值； (2)若BC ⊥SD ，求点B 到平面SAD 的距离．解：(1)因为BC ∥平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM ∩平面ABCD ＝DM ，所以BC ∥DM .又AB ∥DC ，所以四边形BCDM 为平行四边形，所以CD ＝MB ，又AB ＝2CD ，所以M 为AB 的中点．因为AM →＝λAB →，所以λ＝12.(2)因为BC ⊥SD ，BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面SCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面SCD ⊥平面ABCD .如图，在平面SCD 内过点S 作SE 垂直于CD 交CD 的延长线于点E ，连接AE ，又平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ，所以SE ⊥平面ABCD ，所以SE ⊥CE ，SE ⊥AE ，在Rt △SEA 和Rt △SED 中，AE ＝ SA 2－SE 2，DE ＝ SD 2－SE 2，因为SA ＝SD ，所以AE ＝DE ，又易知∠EDA ＝45°，所以AE ⊥ED ，由已知求得SA ＝AD ＝2，所以AE ＝ED ＝SE ＝1. 连接BD ，则V 三棱锥S ABD ＝13×12×2×1×1＝13，又V 三棱锥B SAD ＝V 三棱锥S ABD ，S △SAD ＝12×2×2×32＝32，所以点B 到平面SAD 的距离为V 三棱锥B SAD 13S △SAD ＝233.[题目4] (本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)30”的概率；(2)已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3个．故所求事件的概率为P (A )＝310. (2)由前4个月的数据可得，x －＝5，y －＝30，x i y i ＝652，x 2i ＝110.所以b ^＝＝652－4×5×30110－4×52＝5.2. 则a ^＝30－5.2×5＝4，所以线性回归方程为y ^＝5.2x ＋4.(3)由题意得，当x ＝8时，y ^＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2，所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．[题目5] (本小题满分12分)已知动圆C 与圆E ：x 2＋(y －1)2＝14外切，并与直线y ＝12相切．(1)求动圆圆心C 的轨迹F ；(2)若从点P (m ，－4)作曲线F 的两条切线，切点分别为A 、B ，求证：直线AB 恒过定点．(1)解：由题意知，圆E 的圆心E (0，1)，半径为12，设动圆圆心C (x ，y )，半径r .因为圆C 与直线y ＝－12相切，所以d ＝r ，即y ＋12＝r .①因为圆C 与圆E 外切，所以|CE |＝12＋r ，即x 2＋（y －1）2＝12＋r .②联立①②，消去r ，得x 2＝4y .所以圆心C 的轨迹F 是以E (0，1)为焦点，y ＝－1为准线的抛物线． (2)证明：已知直线AB 的斜率一定存在．不妨设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋b ，整理得x 2－4kx －4b ＝0，其中Δ＝16(k 2＋b )＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③ 由抛物线的方程可得y ＝14x 2，所以y ′＝12x .所以过A (x 1，y 1)的抛物线的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，又y 1＝14x 21，代入整理得y ＝12x 1x －14x 21.切线过P (m ，－4)，代入整理得x 21－2mx 1－16＝0，同理可得x 22－2mx 2－16＝0，所以x 1，x 2为方程x 2－2mx －16＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－16.④ 联立③④，得b ＝4，k ＝m2.则直线AB 的方程为y ＝m2x ＋4，所以直线AB 恒过定点(0，4)．[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －a )e x－12ax 2＋a (a －1)x (x ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切处为l ，l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，求a 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x－ax ＋a (a －1)，所以f ′(0)＝(a －1)2，又f (0)＝－a ，所以切线方程为y ＋a ＝(a －1)2(x －0)，令y ＝0得x ＝a（a －1）2＝2，所以2a 2－5a ＋2＝0，所以a ＝2或a ＝12.(2)f ′(x )＝(x －a )e x＋e x－ax ＋a (a －1) ＝[x －(a －1)](e x－a )，当a ≤0时，e x－a ≥0，x ∈(－∞，a －1)，f ′(0)＜0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －1，x 2＝ln a ，令g (a )＝a －1－ln a ，则g ′(a )＝1－1a ＝a －1a，当a ∈(0，1)时，g ′(a )＜0，g (a )为减函数，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＞0，g (a )为增函数，所以g (a )min ＝g (1)＝0，所以a －1≥ln a (当且仅当a ＝1时取“＝”)，所以当0＜a ＜1或a ＞1时，x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， x ∈(ln a ，a －1)，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当a ＝1时，f ′(x )＝x (e x－1)≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜1或a ＞1时，f (x )在(ln a ，a －1)上为减函数，在(－∞，ln a )和(a －1，＋∞)上为增函数；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：极坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t(t为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标；(2)直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α化为直角坐标方程得x 24＋y 2＝1.因为A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，所以x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝ 3.故点A 在直角坐标系下的坐标为(1，3)． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－22t代入x 24＋y 2＝1，化简得10t 2－62t －11＝0.设此方程两根分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝325，t 1t 2＝－1110，所以|PQ |＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝825.因为直线l 的一般方程为x ＋y －1＝0，所以点A 到直线l 的距离为d ＝32＝62. 所以△APQ 的面积为12×825×62＝435.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，其中a ∈R. (1)若a ＝4，求不等式f (x )≥5的解集；(2)若f (x )≥4对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)因为a ＝4，所以f (x )＝|x －1|＋|x －4|. 当x ≤1时，|x －1|＋|x －4|＝－2x ＋5，解不等式－2x ＋5≥5，得x ≤0；当1＜x ＜4时，|x －1|＋|x －4|＝3，显然f (x )≥5不成立；当x ≥4时，|x －1|＋|x －4|＝2x －5，解不等式2x －5≥5，得x ≥5.故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|(x －1)＋(a －x )|＝|a －1|，所以f (x )min ＝|a －1|.由题意得|a －1|≥4，解得a ≤－3或a ≥5.所以实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．。

高考数学大题每日一题规范练(第六周)

高考数学大题每日一题规范练【题目1】 (本小题满分12分)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝sin (A ＋C )，cos(A －C )＋cos B ＝3c . (1)求角A 的大小； (2)求b ＋c 的取值范围.解 (1)∵b ＝sin(A ＋C )，可得b ＝sin B .∴由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得a ＝sin A ，c ＝sin C . 由cos(A －C )＋cos B ＝3c ，可得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝3c ，则cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝3c ， ∴2sin A sin C ＝3c ，∴2ac ＝3c ，可得a ＝32＝sin A ，又A 为锐角， ∴A ＝π3.(2)由(1)及余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即34＝b 2＋c 2－bc ，整理得(b ＋c )2＝34＋3bc ，又∵34＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，∴(b ＋c )2＝34＋3bc ≤34＋94＝3，解得b ＋c ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立，又b ＋c >a ＝32，∴b ＋c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3，故b ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3.星期二 (数列) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *).(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)，∴a 1＝S 1＝4＋2p ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .由于{a n }是等比数列，∴a 1＝4＋2p ＝2，则p ＝－1，因此a n ＝2n (n ∈N *).(2)由a n ＋12＝(3＋p )a n b n ＝2a n b n ，得2n ＝22n b n ，∴b n ＝n 2n . T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，① 12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，∴T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －n 2n ，因此T n ＝2－12n －1－n2n .星期三 (立体几何) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，P A ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值. (1)证明设AC ∩BD ＝O ，连接OM .∵PD ∥平面MAC 且平面PBD ∩平面MAC ＝MO ， ∴PD ∥MO .∵O 为BD 中点，∴M 为PB 中点. (2)解取AD 中点E ，连接PE . ∵P A ＝PD ，∴PE ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD 且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面P AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，建立如图所示空间直角坐标系，则B (－2，4，0)，P (0，0，2)，D (2，0，0)，A (－2，0，0)，则DP→＝(－2，0，2)，DB →＝(－4，4，0).易知平面PDA 的一个法向量m ＝(0，1，0). 设平面BPD 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则 n ·DP →＝(x 0，y 0，z 0)·(－2，0，2)＝－2x 0＋2z 0＝0， n ·DB →＝(x 0，y 0，z 0)·(－4，4，0)＝－4x 0＋4y 0＝0， ∴可取n ＝(1，1，2).设二面角B －PD －A 的平面角为θ(易知为锐角)，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m ||n |＝11·12＋12＋（2）2＝12， ∴θ＝π3，即二面角B －PD －A 的大小为π3. (3)解由(2)可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，22，C (2，4，0)，MC→＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则有sin α＝|cos 〈MC →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪MC →·n |MC →|·|n | ＝|3＋2－1|1＋1＋（2）2·32＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝269. ∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.星期四 (概率统计) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”.(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X ).解 (1)若十位数字是4，有145，245，345；若十位数字是3，有135，235；若十位数字是2，有125.所以个位数字是5的“三位递增数”有145，245，345，135，235，125共6个.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为－1，0，1，因此P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142. 所以X 的分布列为则E (X )＝－1×114＋0×23＋1×1142＝421.星期五 (函数与导数) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调递增区间.(2)当0<－1a <e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－3，求a 的值. (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数根. 解 (1)由已知可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝1－xx (x >0)；当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(0，1).(2)因为f ′(x )＝a ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ；由f ′(x )>0，解得0<x <－1a ；由f ′(x )<0，解得－1a <x <e. 从而f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e ，所以，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3.解得a ＝－e 2.(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1，所以|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2.当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0.从而g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减. 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1，所以，|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12，所以，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数根.星期六 (解析几何) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，经过点F 的直线l 0与椭圆交于A ，B 两点.当直线l 0⊥x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)作直线l ⊥x 轴，分别过A ，B 作AA 1⊥l ，垂足为A 1，BB 1⊥l ，垂足为B 1，且△A 1FB 1是直角三角形.问：是否存在直线l 使得∠A 1FO ＝2∠B 1FO ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)由题意可知c ＝1，b 2a ＝22. 又因为a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不妨设点A 在x 轴上方，由题意可知∠A 1FB 1＝90°，要使∠A 1FO ＝2∠B 1FO ，则当且仅当∠A 1FO ＝2∠B 1FO ＝60°. 即tan ∠A 1FO ＝3，tan ∠B 1FO ＝33. 设直线l 与x 轴交于点H ，则|A 1H |＝3|B 1H |. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝m ，则A 1(m ，y 1)，B 1(m ，y 2). 所以y 1＝－3y 2，①又F A →1＝(m ＋1，y 1)，FB 1→＝(m ＋1，y 2)，由A 1F ⊥B 1F ，得F A 1→·FB 1→＝0，即(m ＋1)2＋y 1y 2＝0. 由题意可知，AB 不与y 轴垂直，所以可设l 0的方程为：x ＝ty －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1得(t 2＋2)y 2－2ty －1＝0. 易知Δ＝4t 2＋4(t 2＋2)>0恒成立. 则y 1y 2＝－1t 2＋2，②y 1＋y 2＝2tt 2＋2.③由①③可得y 1＝3tt 2＋2，y 2＝－t t 2＋2，④将④代入②中可得－3t 2（t 2＋2）2＝－1t 2＋2，解得t 2＝1. 因此y 1y 2＝－13，从而m ＝－1±33，由题意可知直线l 在焦点F 的右侧，所以存在符合题意的直线l ：x ＝－1＋33.星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32m ，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ.(1)当m ＝3时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)若曲线C 上存在到直线l 的距离等于32的点，求实数m 的范围. 解 (1)直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32m ，展开得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝32m ，化为直角坐标方程为y ＋3x ＝3m ，当m ＝3时，化为y ＋3x －33＝0.曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ，化为(x －1)2＋y 2＝3.圆心C (1，0)到直线l 的距离d ＝|3－33|2＝3＝r ，因此直线l 与曲线C 相切.(2)若曲线C 上存在到直线l 的距离等于32的点，则圆心C (1，0)到直线l 的距离d ＝|3－3m |2≤3＋32，解得－2≤m ≤4.故实数m 的范围是[－2，4].2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 已知函数f (x )＝|ax －2|.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )>x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，求m 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|>x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2>x ＋1，解得x >3.当x <1时，不等式化为2－2x >x ＋1，解得x <13.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3或x <13. (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2|≥|ax －2－ax －2|＝4，所以f (x )＋f (－x )的最小值为4，因为f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，所以4<1m ，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。

大题每日一题规范练（第五周）

星期一 (数列) 2019年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，且b 2，S 5＋2，b 4成等比数列.(1)求{b n }的通项公式； (2)设a n ＝b n2(e)b n ，求数列{a n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{b n }的公差为d ，因为b 3＝6，且b 2，S 5＋2，b 4成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝6，（b 1＋d ）（b 1＋3d ）＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫5b 1＋5×42d ＋22，解得，b 1＝2，d ＝2或b 1＝10，d ＝－2. 因为{b n }单调递增，所以d >0，所以b 1＝2，d ＝2，所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝b n2(e)b n ，所以a n ＝n e n .所以T n ＝1·e 1＋2e 2＋3e 3＋…＋n e n ，① 所以e T n ＝1·e 2＋2e 3＋3e 4＋…＋n e n ＋1.② 以上两个式子相减得，(1－e)T n＝e＋e2＋e3＋…＋e n－n e n＋1，所以(1－e)T n＝e－e n＋11－e－n e n＋1，所以T n＝n e n＋2－（n＋1）e n＋1＋e（1－e）2.星期二(三角) 2019年____月____日【题目2】(本小题满分12分)如图，△ABC为正三角形，AC∥DB，AC＝2，cos∠ACD＝63.(1)求CD的长；(2)求△ABD的面积.解(1)因为△ABC为正三角形，AC∥DB，所以∠ACD＝∠BDC，∠BAC＝∠ABD＝π3，所以cos∠ACD＝cos∠BDC＝63，所以sin∠BDC＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫632＝33.在△BCD中，BC＝2，∠CBD＝2π3，sin∠BDC＝33，由正弦定理得233＝CDsin2π3，所以CD＝3.(2)由(1)知CD＝3.在△BCD中，BC＝2，CD＝3，∠CBD＝2π3，由余弦定理得：CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠CBD ，即32＝22＋BD 2－2×2BD ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 则BD ＝6－1.所以△ABD 的面积为S ＝12BD ·AB sin π3＝12×(6－1)×2×32＝32－32.星期三 (概率统计) 2019年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)为了迎接“十九大”的胜利召开，某市中小学校准备举行一场《喜迎十九大，共筑中国梦》的歌唱比赛，某班为了选出一人参加比赛，挑选班上甲、乙两位同学进行了8次预赛，且每次预赛之间是相互独立的.他们成绩的茎叶图如下：(单位：分，满分100分)(1)设甲、乙两位同学成绩的方差分别为s 2甲，s 2乙，求s 2甲，s 2乙的值，并从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加比赛更合适，请说明理由？(2)从甲乙两位同学预赛成绩大于等于85分的成绩中，随机抽取2个，求这2个预赛成绩分别来自不同同学的概率. 解 (1)x －甲＝80＋81＋93＋72＋88＋75＋83＋848＝82，x －乙＝82＋93＋70＋84＋77＋87＋78＋858＝82，s 2甲＝22＋12＋112＋102＋62＋72＋12＋228＝39.5，s 2乙＝02＋112＋122＋22＋52＋52＋42＋328＝43，由于甲、乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适. (2)由茎叶图知甲同学有2次预赛成绩大于或等于85，分别记为a ，b ，乙同学有3次预赛成绩大于或等于85，分别记为c ，d ，e .则从这5个成绩中抽取2个，所有可能的情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种情况，其中来自不同同学的情况为(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，共6种情况.所以抽取的2个预赛成绩分别来自不同同学的概率p ＝610＝35.星期四 (立体几何) 2019年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，几何体中的四边形ABCD 为长方形，BB 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥平面ABCD ，且BB 1＝13AA 1.E 为CD 上一点，且CE ＝13CD .(1)求证：CB 1∥平面A 1BE ； (2)若BB 1＝1，CB ＝3，AB ＝6，求此多面体的表面积.(1)证明在AA 1上取一个点P ，满足：PA ＝13AA 1，连接PB 1交直线A 1B 于Q ，连接PD ，EQ .因为BB 1＝13AA 1，所以BB 1＝PA ，因为BB 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥平面ABCD ，所以BB 1∥PA ，所以四边形PABB 1为平行四边形. 由ABCD 为矩形进一步得，PB 1＝CD ，PB 1∥CD ， B 1Q ＝13PB 1＝13CD ，因为CE ＝13CD ，所以CE ＝QB 1，CE ∥QB 1，所以四边形CEQB 1为平行四边形，所以CB 1∥QE ，又因为CB 1⊄平面A 1BE ，QE ⊂平面A 1BE ，所以CB 1∥平面A 1BE .(2)解由已知可以证明：CD ⊥A 1D . 因为BB 1＝1，CB ＝3，AB ＝6，BB 1＝13AA 1，所以B 1C ＝BC 2＋BB 21＝12＋32＝10， A 1B 1＝B 1P 2＋A 1P 2＝22＋（6）2＝10，A 1C ＝A 1D 2＋CD 2＝AA 21＋AD 2＋CD 2＝32＋（6）2＋32＝2 6.所以A 1B 1＝B 1C ，所以S △A 1B 1C ＝12(26)·2＝26，所以此多面体的表面积为 26＋12×1×3＋12×6×32＋1＋32×6＋12×3×3＋3×6＝33＋76＋6.星期五 (解析几何) 2019年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)已知动圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2过点F (1，0)且与直线l ：x ＝－1相切，记圆心C (a ，b )的轨迹为G .(1)求轨迹G 的方程；(2)已知M 是轨迹G 上的动点，过M 作垂直于x 轴的直线m ，与直线n ：y ＝x 交于点A ，点B 满足MB →＝2MA →，连接OB (其中O 为原点)交轨迹G 于点N ，求证：直线MN 恒过定点. 解 (1)设圆心C (a ，b )到直线l ：x ＝－1的距离为d ，则由已知可得|CF |＝d ，所以C (a ，b )的轨迹G 是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以轨迹G 的方程为y 2＝4x .(2)设M (x 1，y 1)，则直线m ：x ＝x 1，y 21＝4x 1，所以A (x 1，x 1)，因为MB →＝2MA →，所以B (x 1，2x 1－y 1)，所以OB ：y ＝2x 1－y 1x 1x ，即OB ：y ＝2y 1－4y 1x ，设N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1－4y 1x ，y 2＝4x可得y 2＝2y1y 1－2，所以k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 2＋y 1＝42y 1y 1－2＋y 1＝4（y 1－2）y 21，所以直线MN ：y ＝4（y 1－2）y 21(x －x 1)＋y 1，即y ＝4（y 1－2）y 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214＋y 1，所以直线MN ：y ＝4（y 1－2）y 21x ＋2，所以直线MN 恒过点(0，2).星期六 (函数与导数) 2019年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －a )e x －12ax 2＋a (a －1)x (x ∈R ).(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线为l ，l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，求a 的值； (2)讨论f (x )的单调性.解 (1)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1)， ∴f ′(0)＝(a －1)2，又f (0)＝－a ， ∴切线方程为：y ＋a ＝(a －1)2(x －0)，令y ＝0得x ＝a（a －1）2＝2，即2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝2或a ＝12.(2)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1) ＝[x －(a －1)](e x －a )， ①当a ≤0时，e x －a ≥0，x ∈(－∞，a －1)，f ′(x )<0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )为增函数.②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －1，x 2＝ln a ，令g (a )＝a －1－ln a ，则g ′(a )＝1－1a ＝a －1a，当a ∈(0，1)时，g ′(a )<0，g (a )为减函数，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )>0，g (a )为增函数， ∴g (a )min ＝g (1)＝0，∴a －1≥ln a (当且仅当a ＝1时取“＝”)， ∴当0<a <1或a >1时，有a －1>ln a ，x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )>0，f (x )为增函数， x ∈(ln a ，a －1)，f ′(x )<0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )为增函数，a ＝1时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数.综上所述：a ≤0时，f (x )在(－∞，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数，0<a <1或a >1时，f (x )在(ln a ，a －1)上为减函数，在(－∞，ln a )和(a －1，＋∞)上为增函数；a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数.星期天 (选考内容) 2019年____月____日【题目7】 (在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.)1.(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρcos θ－ρsin θ－4＝0.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并分别指出是何种曲线；(2)曲线C 1，C 2是否有两个不同的公共点？若有，求出两公共点间的距离；若没有，请说明理由.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝2sin t ，消去t 得，(x －1)2＋y 2＝2.所以曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝2，曲线C 1是一个以(1，0)为圆心，2为半径的圆. ∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以2ρcos θ－ρsin θ－4＝0化为直角坐标方程为2x －y －4＝0，曲线C 2是一条直线. (2)设圆心(1，0)到直线2x －y －4＝0的距离是d ，则d ＝|2－4|5＝255<r ＝2.所以曲线C 1与曲线C 2相交于两个不同的点A ，B ， |AB |＝2r 2－d 2＝2305，所以两公共点间的距离为2305. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|a －4x |＋|2a ＋x |. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≥3；(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥10.(1)解若a ＝1，则f (x )＝|a －4x |＋|2a ＋x |＝|1－4x |＋|2＋x |，所以不等式f (x )≥3可化为|1－4x |＋|2＋x |≥3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，1－4x －2－x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x ≤14，1－4x ＋2＋x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >14，4x －1＋2＋x ≥3.解得x ≤0或x ≥25，所以不等式f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥25.(2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|a －4x |＋|2a ＋x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋4x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －4x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1x≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＋x －2a ＋1x＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |≥10(当且仅当x ＝±1时取等号).故f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥10.。

高考数学二轮复习每日一题规范练(第一周)文

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题每日一题规范练(第一周)[题目1] (本小题满分12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，满足a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 24＝a 2a 9，a 3＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧（7＋d ）2＝（7－d ）（7＋6d ），a 1＋2d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)由(1)得b n ＝a n ·a n ＋1＝(3n －2)(3n ＋1)，所以1b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，S n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1. [题目2] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，又T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得函数f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，其单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤3π8，π2.[题目3] (本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：(1)别抽取的挑战者的人数；(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．解：(1)因为样本容量与总体个数的比是6108＝118，所以从年龄在[7，20)抽取的人数为118×18＝1，从年龄在[20，40)抽取的人数为118×54＝3，从年龄在[40，80]抽取的人数为118×36＝2，所以从年龄在[7，20)，[20，40)，[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2.(2)设从[7，20)中抽取的1人为a ，从[20，40)中抽取的3人分别为b ，c ，d ，从[40，80]中抽取的2人为e ，f .从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个，每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件A 为“2人来自同一年龄组”，包含(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，(e ，f )，共4个基本事件，则P (A )＝415，故2人来自同一年龄组的概率为415.[题目4] (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形，因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC .[题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由． (1)证明：因为k 1，k 2存在，所以x 1x 2≠0，因为m ·n ＝0，所以x 1x 24＋y 1y 2＝0，所以k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)解：①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0，(*) 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1，(**)由(*)、(**)联立，得|x 1|＝2，|y 1|＝22. 所以S △POQ ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)＞0， x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.因为x 1x 24＋y 1y 2＝0，所以x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1，满足Δ＞0.所以S △POQ ＝12·|b |1＋k 2·|PQ | ＝12|b |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2|b |·4k 2＋1－b24k 2＋1＝2|b |·b 22b2＝1.综上可知，△POQ 的面积S 为定值．[题目6] (本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax －a －ln x ，f (x )＝xg (x )，且g (x )≥0.(1)求实数a 的值；(2)证明：存在x 0，f ′(x 0)＝0且0＜x 0＜1时，f (x )≤f (x 0)． (1)解：g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝a －1x，x ＞0.因为g (x )≥0，且g (1)＝0，故只需g ′(1)＝0. 又g ′(1)＝a －1，则a －1＝0，所以a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x，显然当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，此时g (x )在(0，1)上单调递减；当x ＞1，g ′(x )＞0，此时g (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以x ＝1是g (x )的唯一的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0. 综上，所求a 的值为1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x .设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＞0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．又h (e －2)＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞有唯一零点1. 当x ∈(0，x 0)时，h (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )＜0. 因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．则x ＝x 0是f (x )在(1，1)的最大值点，所以f (x )≤f (x 0)成立．[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修44：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a )＞0，即a ＞0，t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8－8（1－4a ）＝32a ＝8，所以a ＝2.2．(本小题满分10分)[选修45：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R. (1)解不等式f (x )＜|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )＜1.(1)解：因为f (x )＜|x |＋1，所以|2x －1|＜|x |＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＜－x ＋1，得12≤x ＜2或0＜x ＜12或无解．故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1| ＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1| ≤2×13＋16＝56＜1.所以，对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，f (x )＜1成立．。

高中数学大题每日一题规范练 (2)

【题目1】现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C .从中选出一个条件补充在下面的横线处，并以此为依据解答问题. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， __________. (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 面积的最大值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解选择条件①：2c －3b ＝2a cos B .(1)由余弦定理，得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac . 整理可得c 2＋b 2－a 2＝3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.(2)∵a ＝3－1，A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 (3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，∴4－23＝b 2＋c 2－3bc ≥2bc －3bc (当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立)，∴bc ≤2.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×2×12＝12，即△ABC 面积的最大值为12.选择条件②：(2b －3c )cos A ＝3a cos C . (1)由题意可得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A .由正弦定理，得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.(2)∵a＝3－1，A＝π6，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得(3－1)2＝b2＋c2－2bc·32，∴4－23＝b2＋c2－3bc≥2bc－3bc(当且仅当b＝c＝2时，等号成立)，∴bc≤2.∴S△ABC ＝12bc sin A≤12×2×12＝12，即△ABC面积的最大值为1 2.【题目2】已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b n＝log216S n＋1，求b1＋b2＋…＋b n的最大值.解(1)设数列{a n}的公比为q，由题设条件得a4＝S4－S3＝2a4－2a3，则a4＝2a3，∴q＝2.又S3＝2a3－1，所以a1＋2a1＋4a1＝8a1－1，所以a1＝1. 所以a n＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知，S n＝1－2n1－2＝2n－1，所以b n＝log216S n＋1＝log2162n＝8－2n.从而b n－b n－1＝－2(n≥2)，且b1＝6.所以数列{b n}是首项为6，公差为－2的等差数列.所以b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0.当n≥5时，b n＜0，所以当n＝3或n＝4时，b1＋b2＋…＋b n最大，且最大值为12.【题目3】某市在2020年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120，25).现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和数学期望.附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4.解(1)由频率分布直方图可知成绩在[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112.(2)根据正态分布得P(120－3×5<X<120＋3×5)＝0.997 4.故P(X≥135)＝1－0.997 42＝0.001 3，又0.001 3×10 000＝13.所以前13名的成绩全部在135分以上.根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人.所以X的取值为0，1，2，3.所以P(X＝0)＝C36C310＝16，P(X＝1)＝C26C14C310＝12，P(X＝2)＝C16C24C310＝310，P(X＝3)＝C34C310＝130.所以X的分布列为X 012 3P 1612310130∴数学期望值E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.【题目4】如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝12CD ＝2，PD ＝PB ＝6，PD ⊥BC .(1)求证：平面PBC ⊥平面PBD .(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成的锐二面角为π3？若存在，求出CMCP 的值；若不存在，说明理由. (1)证明因为AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，∠ADC ＝π2，所以BD ＝22，∠BDC ＝π4，又CD ＝4，所以根据余弦定理得BC ＝22，所以CD 2＝BD 2＋BC 2，故BC ⊥BD .又BC ⊥PD ，PD ∩BD ＝D ，且BD ，PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD . (2)解由(1)得平面ABCD ⊥平面PBD ，设E 为BD 的中点，连接PE ，因为PB ＝PD ＝6，所以PE ⊥BD ，PE ＝2，又平面ABCD ⊥平面PBD ，且平面ABCD ∩平面PBD ＝BD ，所以PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点，以AD→，AB →的方向和垂直平面ABCD 的向量EP →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (2，4，0)，P (1，1，2). 假设存在M (a ，b ，c )满足要求，设CMCP ＝λ(0≤λ≤1)，即CM→＝λCP →，所以M (2－λ，4－3λ，2λ)，易得平面PBD 的一个法向量为BC→＝(2，2，0).AB→＝(0，2，0)，AM →＝(2－λ，4－3λ，2λ)，设n ＝(x ，y ，z )为平面ABM 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AM →＝0，得⎩⎨⎧2y ＝0，（2－λ）x ＋（4－3λ）y ＋2λz ＝0，不妨取n ＝(2λ，0，λ－2).因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为π3，所以|4λ|224λ2＋（λ－2）2＝12，解得λ＝23或λ＝－2(不合题意舍去). 故存在点M 满足条件，且CM CP ＝23.【题目5】设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率为32，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF . (1)求椭圆E 和⊙F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k ＞0)与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)设E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题设知1a 2＋34b 2＝1，a 2－b 2a ＝32.解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.因此F (3，0)，|PF |＝12，即⊙F 的半径为12.所以⊙F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14.(2)由题设可知，A 在E 外，B 在E 内，C 在⊙F 内，D 在⊙F 外. 在l 上的四点A ，B ，C ，D 满足|AC |＝|AB |－|BC |，|BD |＝|CD |－|BC |. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). 将l 的方程代入E 的方程得 (1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1，|CD |＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋44k 2＋1＞1，又⊙F 的直径|AB |＝1，所以|BD |－|AC |＝|CD |－|AB |＝|CD |－1＞0，故不存在正数k 使|AC |＝|BD |.【题目6】已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1).(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g′(x)＝1x－2a（x＋1）2＝x2＋2（1－a）x＋1x（x＋1）2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)>g(1)＝0.②当a>2时，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－（a－1）2－1，x2＝a－1＋（a－1）2－1.由x2>1和x1x2＝1得x1<1.故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)<g(1)＝0，综上可知，实数a的取值范围是(－∞，2].。