高中数学大题 每日一题规范练

【题目1】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在①(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ， ②b sin B ＋C

2＝a sin B ，

③cos 2A －3cos(B ＋C )＝1这三个条件中任选一个解答下列问题： (1)求A 的大小；

(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选择①.

(1)由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即a 2－b 2＝c 2－bc .

由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1

2.

∵0

3

.

(2)由S ＝12bc sin A ＝53，b ＝5，A ＝π

3，得c ＝4. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.

由正弦定理，得a

sin A ＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)， ∴(2R )2

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a sin A 2

＝28，

∴sin B sin C ＝bc （2R ）2＝5

7.

选择②.

(1)由正弦定理，得sin B sin

B ＋C

2＝sin A sin B .

∵sin B ≠0，A ＋B ＋C ＝π，

∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2－A 2＝sin A ，即cos A 2＝2sin A 2cos A 2.

又cos A 2≠0，∴sin A 2＝1

2.

∵0

3.

(2)由S ＝12bc sin A ＝53，b ＝5，A ＝π

3，得c ＝4. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.

由正弦定理，得a

sin A ＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)， ∴(2R )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

a sin A 2

＝28，

∴sin B sin C ＝bc （2R ）2＝5

7.

选择③.

(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，A ＋B ＋C ＝π， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0. 解得cos A ＝1

2或cos A ＝－2(舍去). ∵0

3.

(2)由S ＝12bc sin A ＝53，b ＝5，A ＝π

3，得c ＝4. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.

由正弦定理，得a

sin A ＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)， ∴(2R )2

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a sin A 2

＝28，

∴sin B sin C ＝bc （2R ）2＝5

7

.

【题目2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S n ＝2n ＋1－2.

∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ， 又a 1＝2＝21适合上式， 故a n ＝2n (n ∈N *).

(2)由(1)知b n ＝a n S n ＝2n (2n ＋1－2)＝2·4n －2n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n

＝2(4＋42＋…＋4n )－(22＋23＋…＋2n ＋1) ＝2×4（1－4n ）1－4－4（1－2n ）1－2

＝23·4n ＋1－2n ＋2＋43.

【题目3】 第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行.为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)试根据频率分布直方图估计这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)；

(2)若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率.

解 (1)平均成绩x －

＝0.02×45＋0.16×55＋0.22×65＋0.30×75＋0.20×85＋0.10×95＝73.00.

(2)由题意知，从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中分别选取了3人，2人，1人.

6人平均分成3组分配到3个社区，共有C 26C 2

4＝90(种)方法. 成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有A 33A 23＝36(种)，

所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率p ＝3690＝25.

【题目4】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PD ，∠DAB ＝60°.

(1)证明：AD⊥PB；

(2)若PB＝6，AB＝P A＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值.

(1)证明取AD的中点为O，连接PO，BO，BD，如图1，

图1

∵底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BO⊥AD.

又P A＝PD，即△P AD是等腰三角形，∴PO⊥AD.

又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面PBO，∴AD⊥平面PBO，

又PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB.

(2)解∵AB＝P A＝2，

∴由(1)知△P AD，△ABD均是边长为2的正三角形，

则PO＝3，BO＝3，又PB＝6，

∴PO2＋BO2＝PB2，即PO⊥BO，

又由(1)知，BO⊥AD，PO⊥AD，

∴以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系.

图2