详细版常见连续时间信号的频谱.ppt
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信号与系统PPT-cp3-连续时间信号的频谱
（ 0, 2 ）内是一个正交函数集
电气工程学院
3.1 用完备正交函数集表示信号
（2）
n 1
n 1
2
0
sin t cos ntdt 0
sin t 在区间（ 0, 2 ）内与{cos nt }正交。故函数集 cosnt 在区间（0, 2 ）内不是完备正交函数集。
即 （3）
2
0
mn
T
2
1
为指数函数的公共周期
当n , e jn1t 为一完备的正交函数集
电气工程学院
3.1 用完备正交函数集表示信号
3)函数集： Sa [ ( t nT )] （其中n 0, 1, 2) T 对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集。
ir
ir
2
0
1 sin(i r )t sin(i r )t 2 cosit cosrtdt 0 2 ir ir 0
2
2
0
cosit cosrtdt
0
1 1 1 2 1 sin 2it dt t sin 2it 2 2 2i 0
m, n 为任意整数
mn
t 1T t 1T t1 cosm1t cosn1tdt t1 sinm1t sinn1tdt 0 t 1T t 1T 2 T 2 cos n tdt sin n tdt 1 1 t1 t1 2 2 T 三角函数的公共周期 1
在 (t1 , t2 ) 内构成归一化正交函数集。
电气工程学院
3.1 用完备正交函数集表示信号
正交复变函数集
设
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
常见连续时间信号的频谱PPT(46张)
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 {u(t) u(-t)} 1 {u(t) - u(-t)} 1 1 sgn(t)
2
2
22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
t 0
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 -π/2
2022/3/22
阶跃信号及其频谱
10
二、常见周期信号的频谱密度
2
]
0
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
2022/3/22
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2022/3/22
傅里叶级数：
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
-
n0
)
2022/3/22
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
常见连续时间信号的频谱资料
F[sgn(t)] lim F[sgn(t)e- t ] 0
2
j
2020/9/14
8
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
1 t 0
F( j)
( )
π/2
0
0
-π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
2020/9/14
9
一、常见非周期信号的频谱
f (t) e -at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)( )ຫໍສະໝຸດ 11/aπ/2
t 0 2020/9/14
0
0
-π/2
3
一、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
F(j) 20 f (t) costdt 20 e-at costdt
2
]
0
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
2020/9/14
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2020/9/14
1. 虚指数信号 e j0t (- t )
F ( j)
(2π)
由-1 e-jt dt 2πd ()
0 0
虚指数信号频谱密度
得F[e j0t ] - e-j(-0 )t dt 2πd ( - 0 )
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换ppt课件
解：其傅里叶级数表达式为：
f( t) 2 E co w 1 t)s 1 3 ( co 3 w 1 ts ) ( 1 5 co 5 w 1 ts ) (
f (t)
E
2
T1
T1
4
4
0
t
E 2
f (t)
2E
cos(w1t)
T1
T1
4
4
0
E 2
只取基 波分量 一项
t
最新课件
24
2E
其 中 基 波 — — 角 频 率 为 1 的 分 量 ; n次 谐 波 — — 角 频 率 为 n 1 的 分 量
最新课件
8
直流分量：a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt 1
t0
T1
T1 f (t)dt
0
其中余弦分量幅度：an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos(n1t)dt
正弦分量幅奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于 该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
f (t)f (t T1) 2
a0 0
n为偶，an bn 0
c0 a0 0, cn
n
arctg
bn an
an2＋bn2,
1 Fn 2cn
n为奇，an
4 T1
0 w1 3w1
nw 1
w ? 包络线”。
n
周期信号的主要特点：
具 有 离 散 性 、 谐 波 性 、 收 敛 性
0
w1 3w1
nw 1
w
最新课件
13
二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式 设f(为 t) 任意周期信 T1,角 号频 （ 1率 周 2T1期 ）
f( t) 2 E co w 1 t)s 1 3 ( co 3 w 1 ts ) ( 1 5 co 5 w 1 ts ) (
f (t)
E
2
T1
T1
4
4
0
t
E 2
f (t)
2E
cos(w1t)
T1
T1
4
4
0
E 2
只取基 波分量 一项
t
最新课件
24
2E
其 中 基 波 — — 角 频 率 为 1 的 分 量 ; n次 谐 波 — — 角 频 率 为 n 1 的 分 量
最新课件
8
直流分量：a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt 1
t0
T1
T1 f (t)dt
0
其中余弦分量幅度：an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos(n1t)dt
正弦分量幅奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于 该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
f (t)f (t T1) 2
a0 0
n为偶，an bn 0
c0 a0 0, cn
n
arctg
bn an
an2＋bn2,
1 Fn 2cn
n为奇，an
4 T1
0 w1 3w1
nw 1
w ? 包络线”。
n
周期信号的主要特点：
具 有 离 散 性 、 谐 波 性 、 收 敛 性
0
w1 3w1
nw 1
w
最新课件
13
二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式 设f(为 t) 任意周期信 T1,角 号频 （ 1率 周 2T1期 ）
常见连续时间信号的频谱
2020/5/31
金品质•高追求
我们让你更放心！
18返回
2
◆语文•选修\中国小说欣赏•(配人教版)◆
傅立叶变换的基本性质
● 线性性质 F [a f1(t) f2 (t)] aF [ f1(t)] F [ f2(t)] ● 位移性质 F [ f (t t0 )] e jt0 F [ f (t)] ● 微分性质 F [ f (n) (t)] ( j)n F [ f (t)]
10返回
◆语文•选修二\中、国小常说见欣赏周•(期配人信教号版)的◆ 频谱密度
1. 虚指数信号 e j0t (- t )
F ( j)
(2π)
由-1 e-jt dt 2πd ()
0 0
虚指数信号频谱密度
得F[e j0t ] - e-j(-0 )t dt 2πd ( - 0 )
同理:
F[e-j0t ] - e-j(0 )t dt 2πd ( 0 )
金品质•高追求
F ( j) 1 a2 2
() - arctan( ) a
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◆语文•选修\一中国、小常说欣见赏非•(配周人期教版信)◆号的频谱
1. 单边指数信号
F ( j) 1 a2 2
f (t) e -at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
1 a
-
-j x
f (x)e a dx
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
2020/5/31
金品质•高追求
我们让你更放心！
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8
◆语文•选修\中国小说欣4赏.•(展配人缩教特版)性◆
常见连续时间信号的频谱
19
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2020/2/29
20
3
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0
余弦信号及其频谱函数
2020/2/29
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e-j0t ) F - jπ[d (
- 0 ) - d (
0 )]
sin 0t 1
2020/2/29
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
n-
-
n0 )
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
2020/2/29 - T 0 T
t
-0 0 0
16
4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
时间管理-连续时间系统的频域分析教材(PPT55页)
本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可 分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
欧拉公式：
sint
1
(e jt e jt )
2j
cost 1 (e jt e jt )
2
所以，在分析周期和非周期信号时，通常把 ejwt 作为基本信号将任意周期和 非周期信号分解为一系列虚指数函数的离散和或连续和。
例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组 合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz
矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，
在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信
号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线
2、信号正交与正交函数集
• 1807年发表了《热的传播 》，傅立叶级数（即三角级数）、 傅立叶分析等理论均由此创始. 1814年拿破仑战败，被流 放。1815年拿破仑偷渡回国，受到全国热烈的欢迎。傅立 叶却公开反对拿破仑，后被捕，拿破仑亲自审问。
• 1815年拿破仑兵败滑铁卢，傅立叶从监狱中放出。傅立叶
继续研究热的理论数学，并发表以边界条件解微分方程式 的方法。
为区间[t0, t0+T] T=2π/ω上的正交函数集。
3. 完备正交函数集：
如果在正交函数集{ 1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外， 不存在函数φ(t)(≠0）满足
则称此t1t函2 数(t集)为i完(t备) d正t 交函0数(集i 。=1，2，…，n)
例如，函数集合的标准正交集是：sin(NX),cos(NX),N取 整数。这样就可以说这组函数是完备正交的。
连续时间系统的频谱分析教材(PPT47张)
( f t F j ) m m
抽样脉冲
p t P j
n
p ( t ) ( t ) ( t nT ) ( n ) ) T s s s s ( S
( t ) f ( t ) ( t ) f ( nT ) ( t nT ) 还保留原信 时域抽样过程: f s T s s
c
c
O
1 e H j 0
j t 0
1 c j H c 0 c 即 c t 0
● c 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简 称 频带 在 0 ~ ● 的低频段内，传输信号无失真 ( 只有时移t0) 。 c
1 1 1 j c j ( t t ) t t 0 0 c 1 e d e c c 2 π 2 π j t t 0
1 1 1j t t j t t c 0 c 0 e e 2 π t t j 0
X
第
一.引言
( t ) y ( t ) y ( t ) 连续系统的时域分析法: y zi zs
线性叠加求 h ( t ) y ( t )f( t ) h ( t ) zs
3 页
ˆ yzs (t)的求解 : 信号的分解 ( t ) 的线性组合 求 h ( t )
理论基础:线性和时不变性 信号的频域分析法:(与时域分析区别?)
●线性系统的失真——幅度，相位变化，不产生新的频
率成分； ●非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求： ●无失真传输；●利用失真波形变换。
第3章连续的频谱分析210精品PPT课件
定义： X(j) x(t)ejtdt
ak
1 T
X
jk0
ak
1 T
X
jk0
x(t) 1 X T k
jk0 e jk0t
1
[X
2 k
jk0 e jk0t ] 0
X(j)ejt
0
X(jk0)ejk0t
面 积 X(jk0)ejk0t 0
k 0 （k 1）0
ak
1 T
X
jk0
X (jω ) 1 ,
2 2
(jω )ta 1(n )
X ( jω)
幅频特性
( jω)
相频特性
例（2） 设x(t)为 x(t)eat , a0
该信号的傅立叶变换是：
X(j ) eatejtdt0eatejtdteatejtdt
0
a1ja1ja22a2
这时，X(jω)是实数。 （原信号为实偶对称）
宽度为2T1的单脉冲频谱。
lim
T1
1
sinT1 T1
T1
T1 /
当T1无穷大时，幅度无 穷大，宽度无限窄。
1 /T
1sT i 1 T 1 n T 1 d 1sT i 1 T 1 n d (T 1 ) 1sid n 1
x(t) ea|t|
X(j)a22a2
例（3） 求单位冲激函数的傅立叶变换
x(t) (t)
X(j)(t)ejtdt1
这就是说，单位冲激函数得频谱在所有频率上都是相同的
X( j)
(t)
1
0
t
0
例（4） 求单位冲激偶函数的傅立叶变换
F
(t) 1
(t) 1 ejtd
2
连续时间系统频域分析教材(PPT 30页)
第三章 连续时间信号与系统的频域
分析
1
主要内容
• 周期信号的频谱分析——傅里叶级数，建立信 号频谱的概念。（傅里叶级数相当于傅里叶变换 的一种特殊表达形式）。 • 非周期信号的频谱分析——傅里叶变换以及性 质，掌握傅里叶分析方法的应用。 • 抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理,。为将 连续信号离散化做理论准备。
线性性质 对称性质 尺度变换性质 时移特性 微分性质 卷积定理
频移特性 时域积分性质
17
总结3-3
主要内容:1) 傅立叶变换性质 2)利用性质求信号频谱
难 点: 1)利用性质求频谱(熟能生巧)
18
第3-4讲 1)周期信号的傅立叶变换 2)信号的功率谱与能量谱 3)调制和解调
19
第四节 周期信号的傅立叶变换
22
总结3-4
主要内容:1) 周期信号的傅立叶变换(物理概念) 2)信号功率谱与能量谱（能量守衡原理） 3)调制与解调(频谱搬移原理)
难 点: 1)周期信号的傅立叶变换(原理与计算) 2)调制与解调(原理与计算)
23
已 例 f知 tFESa，f求 2t5的频谱密
难 点: 2)信号对称性域傅立叶级数的特点 3)两种傅立叶级数的关系
7
周期方波
T1
f (t) E
O
22
E Fn T1
脉宽为
脉冲高度为 E
周期为 T1
T1
t
FnE T1San12
2π
O 1 21
8
幅度频谱
相位频谱
T1 4
1
Fn
4
Sa(n
相同
2
对 所 压 2 ： 有 缩 f2 t 5 E S a e j5 2
分析
1
主要内容
• 周期信号的频谱分析——傅里叶级数，建立信 号频谱的概念。（傅里叶级数相当于傅里叶变换 的一种特殊表达形式）。 • 非周期信号的频谱分析——傅里叶变换以及性 质，掌握傅里叶分析方法的应用。 • 抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理,。为将 连续信号离散化做理论准备。
线性性质 对称性质 尺度变换性质 时移特性 微分性质 卷积定理
频移特性 时域积分性质
17
总结3-3
主要内容:1) 傅立叶变换性质 2)利用性质求信号频谱
难 点: 1)利用性质求频谱(熟能生巧)
18
第3-4讲 1)周期信号的傅立叶变换 2)信号的功率谱与能量谱 3)调制和解调
19
第四节 周期信号的傅立叶变换
22
总结3-4
主要内容:1) 周期信号的傅立叶变换(物理概念) 2)信号功率谱与能量谱（能量守衡原理） 3)调制与解调(频谱搬移原理)
难 点: 1)周期信号的傅立叶变换(原理与计算) 2)调制与解调(原理与计算)
23
已 例 f知 tFESa，f求 2t5的频谱密
难 点: 2)信号对称性域傅立叶级数的特点 3)两种傅立叶级数的关系
7
周期方波
T1
f (t) E
O
22
E Fn T1
脉宽为
脉冲高度为 E
周期为 T1
T1
t
FnE T1San12
2π
O 1 21
8
幅度频谱
相位频谱
T1 4
1
Fn
4
Sa(n
相同
2
对 所 压 2 ： 有 缩 f2 t 5 E S a e j5 2
连续信号的频谱(课堂PPT)
f (t) 1 F ()e jt d 2π
变换对简记：
傅氏反变换
f( t ) F( )
16
二、常用信号的频谱函数
信号与系统 3.2-17
门函数：
1 t
G (t) 0
2
t
2
F()
2 - 2
ejt dt
sin( 2
( )
)
Sa ( 2
)
2
图1
17
冲激函数( t )：
即：
F() (t)ejtdt 1 - (t) 1
即T( t )是无穷多个复指数的累加和。
end
13
3.3 周期信号的频谱
一、频谱图
如图1方波：有图2频谱图
f
(t)
4A π
(sin
1t
1 sin 3
31t
1 5
sin
51t
)
4A π
cos(1t
π) 2
1 3
cos(31t
π) 2
信号与系统 3.2-14
图1
图2
14
3.4 非周期信号的频谱
信号与系统 3.2-15
所以f( t )的傅里叶级数为
f
(t)
4A π
(sin
1t
1 sin 3
31t
1 sin 5
51t
)
5
周期方波的分解与合成 ：
信号与系统 3.2-6
图3
6
周期三角波的分解与合成 ：
信号与系统 3.2-7
图4
动画5：谐波分解
7
信号与系统 3.2-8
周期矩形脉冲和锯齿波的傅氏级数表示
f (t) 1
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t 0
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 -π/2
2020/9/30
阶跃信号...及.....其.. 频谱
10
二、常见周期信号的频谱密度
1. 虚指数信号 e j0t (- t )
F ( j)
(2π)
由-1 e- jt dt 2πd ()
0 0
虚指数信号频谱密度
得F[e j0t ] - e - j(-0 )t dt 2πd ( - 0 )
常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度)
单边指数信号
双边指数信号e-a|t|
单位冲激信号d(t)
直流信号
符号函数信号
单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱密度
这些都应当是 已知的基本公式
虚指数信号
正弦型信号
单位冲激串
..........
1
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
f (t) e-at u(t)，a 0，
同理:
F[e - j0t ] - e - j(0 )t dt 2πd ( 0 )
2020/9/30
..........
11
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
cos 0 t
1 (e j0t 2
e- j0t ) F π[d (
- 0 )
d (
0 )]
cos 0t
1
F( j)
(π)
(π)
t -0 0
0
余弦信号及其频谱函数
2020/9/30
..........
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e- j0t ) F - jπ[d (
- 0 )
- d (
0 )]
sin 0t 1
2020/9/30
F ( j )
(π)
t
-0 0
t ..........
-0 0 0
16
4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
RX ( )
GX ()
2020/9/30
..........
17
傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
n-
2020/9/30
..........
14
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
因为dT (t)为周期信号，先将其展开为指数形式
傅里叶级数：
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT )
1 T
e
n-
jn0t
F [d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
(π)
0
正弦信号及其频谱函数 ..........
( ) π/2
0
-π/2
13
二、常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
fT (t)
C
n
e
jn0t
n-
(0
2π ) T
两边同取傅里叶变换
F[ fT
(t)]
F ( j)
F[
C
n
e
jn0t
]
Cn
F[e jn0t
]
n-
n-
F[ fT (t)] 2π Cnd ( - n0 )
0
lim[ 2 ] 0 2 2
2πd ()
2
0
lim[
0
2
2
]
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
2020/9/30
..........
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
e ( - j )t 0 -
e -( j )t -
-1
1
- j
j - j j
t -
t 0
F[sgn(t)] lim F[sgn(t)e- t ] 0
2
j
2020/9/30
..........
8
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
F ( j) 20 f (t) costdt 20 e-at costdt
2e-at ( sin t - a cost) 2a
a2 2
0 a2 2
➢ 幅度频谱为 ➢ 相位频谱为
F ( j) 2a a2 2
() 0
2020/9/30
..........
4
一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
-
n0
)
2020/9/30
..........
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F [d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0 )
0
d (
n-
-
n0
)
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
2020/9/30 - T 0 T
F ( j) - f (t)e - jt dt 0 e -at e - jt dt
e -(a j)t
1
- (a j) 0 a j
➢ 幅度频谱为
F ( j) 1 a2 2
➢ 相位频谱为
() - arctan( ) a
2020/9/30
..........
2
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2020/9/30
..........
7
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
1 t 0
F[sgn(t)e - t ] -0
(-1)et
e - jt
dt
0
e -t e - jt dt
F
[d
(t
)]
-
f (t)e - jt dt
-
d
(t
)e
-
jt
dt
1
d (t)
F ( j)
(1)
1
t 0
0
单位冲激信号及其频谱
2020/9/30
..........
5
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
方法求出其傅里叶变换。
F[1] lim F[1 e- | t| ]
F ( j) 1 a2 2
f (t) e-at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)
( )
1
1/a
π/2
t 0 2020/9/30
0..........
0
-π/2
3
一、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
1 t 0
F( j)
( )
π/2
0
0
-π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
2020/9/30
..........
9
一、常见非周期信号的频谱
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t
)
1 2
{u(t)
u(-t
)}
1 2
{u(t)
-
u(-t)}
1 2
1 2
sgn(t)
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 -π/2
2020/9/30
阶跃信号...及.....其.. 频谱
10
二、常见周期信号的频谱密度
1. 虚指数信号 e j0t (- t )
F ( j)
(2π)
由-1 e- jt dt 2πd ()
0 0
虚指数信号频谱密度
得F[e j0t ] - e - j(-0 )t dt 2πd ( - 0 )
常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度)
单边指数信号
双边指数信号e-a|t|
单位冲激信号d(t)
直流信号
符号函数信号
单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱密度
这些都应当是 已知的基本公式
虚指数信号
正弦型信号
单位冲激串
..........
1
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
f (t) e-at u(t)，a 0，
同理:
F[e - j0t ] - e - j(0 )t dt 2πd ( 0 )
2020/9/30
..........
11
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
cos 0 t
1 (e j0t 2
e- j0t ) F π[d (
- 0 )
d (
0 )]
cos 0t
1
F( j)
(π)
(π)
t -0 0
0
余弦信号及其频谱函数
2020/9/30
..........
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e- j0t ) F - jπ[d (
- 0 )
- d (
0 )]
sin 0t 1
2020/9/30
F ( j )
(π)
t
-0 0
t ..........
-0 0 0
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4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
RX ( )
GX ()
2020/9/30
..........
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傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
n-
2020/9/30
..........
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二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
因为dT (t)为周期信号，先将其展开为指数形式
傅里叶级数：
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT )
1 T
e
n-
jn0t
F [d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
(π)
0
正弦信号及其频谱函数 ..........
( ) π/2
0
-π/2
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二、常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
fT (t)
C
n
e
jn0t
n-
(0
2π ) T
两边同取傅里叶变换
F[ fT
(t)]
F ( j)
F[
C
n
e
jn0t
]
Cn
F[e jn0t
]
n-
n-
F[ fT (t)] 2π Cnd ( - n0 )
0
lim[ 2 ] 0 2 2
2πd ()
2
0
lim[
0
2
2
]
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
2020/9/30
..........
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
e ( - j )t 0 -
e -( j )t -
-1
1
- j
j - j j
t -
t 0
F[sgn(t)] lim F[sgn(t)e- t ] 0
2
j
2020/9/30
..........
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一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
F ( j) 20 f (t) costdt 20 e-at costdt
2e-at ( sin t - a cost) 2a
a2 2
0 a2 2
➢ 幅度频谱为 ➢ 相位频谱为
F ( j) 2a a2 2
() 0
2020/9/30
..........
4
一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
-
n0
)
2020/9/30
..........
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F [d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0 )
0
d (
n-
-
n0
)
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
2020/9/30 - T 0 T
F ( j) - f (t)e - jt dt 0 e -at e - jt dt
e -(a j)t
1
- (a j) 0 a j
➢ 幅度频谱为
F ( j) 1 a2 2
➢ 相位频谱为
() - arctan( ) a
2020/9/30
..........
2
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2020/9/30
..........
7
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
1 t 0
F[sgn(t)e - t ] -0
(-1)et
e - jt
dt
0
e -t e - jt dt
F
[d
(t
)]
-
f (t)e - jt dt
-
d
(t
)e
-
jt
dt
1
d (t)
F ( j)
(1)
1
t 0
0
单位冲激信号及其频谱
2020/9/30
..........
5
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
方法求出其傅里叶变换。
F[1] lim F[1 e- | t| ]
F ( j) 1 a2 2
f (t) e-at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)
( )
1
1/a
π/2
t 0 2020/9/30
0..........
0
-π/2
3
一、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
1 t 0
F( j)
( )
π/2
0
0
-π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
2020/9/30
..........
9
一、常见非周期信号的频谱
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t
)
1 2
{u(t)
u(-t
)}
1 2
{u(t)
-
u(-t)}
1 2
1 2
sgn(t)
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1