2013届高三数学暑假作业 空间向量与立体几何

2013届高三数学暑假作业

一 基础再现

考点79空间向量的有关概念

考点80空间向量共线、共面的充分必要条件 考点81空间向量的线性运算

1．已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O

===,,，

用a ，b ，c

表示N M ，则N M =_______________

考点82空间向量的坐标表示 考点83空间向量的数量积

2．空间四边形OABC 中，OB OC =，3

AOB AOC π

∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是

考点84空间向量的共线与垂直

3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=

，若a ⊥b ，则=x ______；若//a b 则=x ______

考点85直线的方向向量与平面的法向量 4．若19(0,2,

)8A ，5(1,1,)8B -，5

(2,1,)8

C -是平面α内的三点，设平面α的法向量

),,(z y x a =

，则=z y x ::________________

考点86空间向量的应用

5．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为

3

，M N ，分别是AC BC ，的中点，求EM AN ，所成角的余弦值

二 感悟解答 1．答案：

1()2b c a +- 11()22

MN ON OM b c a =-=+-

2．答案：()cos ,OA BC OA OC OB OA BC OA BC

OA BC

-<>=

=

=

cos

cos

3

30OA OC OA OB OA BC

π

π

-=

3．答案：

10

,63

- 4．答案：2:3:(4)- 77(1,3,),(2,1,),0,0,4

4

AB AC AB AC αα=--=---==

2243,::::()2:3:(4)4333x y x y z y y y z y

⎧=⎪⎪=-=-⎨⎪=-⎪⎩

5．答案：

1

6

.设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --的平面角 3,cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC

与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则3AN EM CH ===

11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22

AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12

故EM AN ，所成角的余弦值

1

6

AN EM AN EM ⋅= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)A B E C ----,

112112(,,),(,,)222222

M N ---,

则3121321(,,

),(,,),,32222222

AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, 故EM AN ，所成角的余弦值

1

6

AN EM AN EM

⋅=

.

三 范例剖析

例1 已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，

AB∥DC，∠DAB=900。

，PA⊥底面ABCD 且PA=AD=DC=1，

z y

H o

M

B D

E

C N

A x 16题图（2）

AB=2，

M 是PB 的中点

（1）证明：面PAD⊥面PCD ；

（2）求AC 与PB 所成的角的余弦值；

（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值的大小

例2 如图6，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC kPA ==，点O D ，分别是AC PC ，的中点，OP ⊥底面ABC ．

（1）求证：OD ∥平面PAB ；

（2）当1

2

k =

时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小； （3）当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC △的重心？

例3 如图，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD. (1)求二面角A-PB-D 的大小；

(2)在线段PB 上是否存在一点E,使PC ⊥平面ADE?若存在,确定E 点的

位置,若不存在,说明理由.

四 巩固训练

1．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所 截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ==== （Ⅰ）求BF 的长； （Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离

2．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A B V 、、分别在

x 、y 、z 轴上， D 是AB 的中点，且AC BC =，∠VDC θ=.

（Ⅰ）当3

πθ=

时，求向量AC 与VD 夹角α的余弦

值的大小； （Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围.