湖南省娄底市双峰一中2020-2021学年高二上学期9月入学考试数学试题

湖南省娄底市双峰一中2020-2021学年高二上学期9月入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各角中，与角330°的终边相同的是( ) A ．150°B ．－390°C ．510°D ．－150°2．已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D 3．10cos3π=（ ）A ．12B ．12-C D ． 4．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+,那么它的通项公式n a = ( ) A ．nB ．2nC ．21nD ．1n +5．数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =（ ） A ．123n +-B ．23n -C ．23n +D ．123n --6．已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2B ．0C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 等于（ ） A ．15B ．30C ．31D ．648．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形9．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图像如图所示，则使()()0f x m f m x +--=成立的m 的最小正值为（ ）A ．512π B ．3π C ．6π D ．12π10．已知函数()()sin 11x x f x x x -+=∈+R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．2 B ．0C ．1D ．-211．定义运算a bad bc c d =-，若sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<，则β等于（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π12．已知正三角形ABC 的边长为ABC 内的动点,P M 满足1AP =，PM MC =，则2BM 的最大值是( )A ．434B ．494C ．374+ D ．372334+二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则b =__________． 14．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=__________；15．购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率0.8%，按复利计算，那么每期应付款为__________元.（121.008 1.1≈）16．在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB ∆'，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE =__________．三、解答题 17．化简求值：（1）55tantan 41251tan 12πππ+-；（2）1sin10︒18．已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m . 19．已知函数()21sin2cos 22f x x x =--. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a b 、 的值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .21．设{}n a 是正项数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的*n N ∈，都有()282n n S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14n n n b a a +=⋅，n T 是{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m 的值.22．设()πcos 213f x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()0m ≠. （1）若2m =，求函数()f x 的零点；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()34f x -≤≤恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】分析：由终边相同的角的公式，表示出与角330的终边相同的角，再进行验证即可. 详解：与角330的终边相同的角为()360330k k Z α=⋅+∈， 令2k =-，可得390α=-，故选B.点睛：本题主要考查终边相同的角，考查了终边相同的角的表示方法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 2．A 【解析】 试题分析：由题设可得,经检验成立,应选A.考点：三角函数的定义. 3．B 【分析】利用诱导公式化大角为小角，即可求解. 【详解】101coscos 3cos 3332ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数诱导公式，奇变偶不变，符号看象限，属于基础题. 4．B 【分析】利用关系式1(2)n n n a S S n -=-≥代入公式得到通项公式，再验证1n =时的情况得到答案. 【详解】当2n ≥时, ()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦,当1n =时, 112a S ==,也满足上式,故数列{}n a 的通项公式为2n a n =，故选B.【点睛】本题考查了通项公式里的关系式，忘记验证1n =时的情况是学生容易犯的错误. 5．A 【分析】据递推关系式可得132(3)n n a a ++=+， 利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()1231n n a a n +=+≥， 所以132(3)n n a a ++=+，即数列{3}n a +是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以1342n n a -+=⋅，故1142323n n n a -+=⋅-=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，数列的递推关系，属于中档题. 6．D 【详解】因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =. 7．A 【分析】根据条件求出等差数列的首项和公差，即可得答案； 【详解】79416,1a a a +==，∴11117,78,431,7,4a a d a d d ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩∴12177111544a =-+⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，属于基础题. 8．D 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D. 【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．9．D 【分析】由图象求()f x 解析式()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用x m =是()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称轴即可求解. 【详解】由图知min ()1f x A =-=-，所以1A =， 因为74123T ππ=-，所以T π=，可得222T ππωπ===， 712x π=是()f x 的对称轴，所以72122k ππϕπ⨯+=+，()k Z ∈， 所以23k πϕπ=-+，令1k =，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由()()0f x m f m x +--=得：x m =是()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴. 令232x k πππ+=+()k Z ∈，得122kx ππ=+，()k Z ∈ 当0k =时，m 的最小正值为12π，故选：D 【点睛】本题主要考查了由部分图象求三角函数的解析式，以及求()()sin f x A x =+ωϕ得对称轴，属于中档题. 10．A 【分析】 设()sin 1xg x x =-+,则()g x 为奇函数，则()()1f x g x =+，根据奇函数的对称性可得答案. 【详解】()sin 1sin 111x x xf x x x -+==-++设()sin 1x g x x =-+，则()()sin 1xg x g x x -==-+，则()g x 为奇函数. ()()1f x g x =+,显然当()g x 取得最大值时，()f x 取得最大值.当()g x 取得最小值时，()f x 取得最小值. 又()g x 为奇函数，则()()max min 0g x g x += 所以()()max min 2f x f x M m +=+= 故选：A 【点睛】本题考查奇函数的对称性的应用，属于基础题. 11．D试题分析：由定义运算知，即，又2πβα<<<，又1cos ,072παα=<<，，．考点：同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用12．B 【解析】试题分析：甴已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B ． 考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题. 13．试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 14．10 【分析】由题意及等比数列的性质可得56479a a a a ==，由对数的运算可得313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5356log ()a a =，代入计算可得结果．【详解】由等比数列的性质可知，5647a a a a =， 又564718a a a a +=569a a ∴= 313231031210log log log log ()a a a a a a ∴+++=5356log ()a a =53log 9=10=.故答案为：10. 【点睛】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题． 15．880【分析】这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和 【详解】设每期应还款x 元，则第1期还款后，还欠款()100010.8%x +-第2期还款后，还欠款()21000 1.008 1.00810000 1.008 1.008x x x x ⨯-⨯-=⨯--……………第12期还款后，还欠款12111010000 1.008 1.008 1.008 1.008x x x x ⨯-----第12期还款后，还欠款应为0所以12111010000 1.008 1.008 1.008 1.0080x x x x ⨯-----=即()()1212111011 1.0081 1.110000 1.008 1.008 1.008 1.00811 1.0081 1.008x x x⨯--⨯=++++=⋅=⋅-- 所以10000 1.10.00810000 1.18800.10.10.008x ⨯==⨯⨯= 故答案为：880 【点睛】本题考查数列的实际问题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 16．278【解析】分析：首先设出BE m =，根据题中的条件1sin 3EPB ∠=，得到3PE m =，结合诱导公式得到1cos 3PEB ∠=，根据翻折的时候三角形全等以及诱导公式及倍角公式，可得2cos 'cos 212cos B EA PEB PEB ∠=-∠=-∠，从而求得其值，最后在'Rt AB E ∆中，利用相关量找到等量关系式，求得结果.详解：根据题意，设BE m =，根据1sin 3EPB ∠=，得到3PE m =，同时可得1cos 3PEB ∠=，从而得到2cos 'cos 212cos B EA PEB PEB ∠=-∠=-∠79=，根据翻折的问题，可得',2B E BE m AE m ===-在直角三角形中，有279m m -=，解得98m =，所以折痕2738PE m ==. 点睛：该题考查的是有关三角形翻折所对应的结果，在解题的过程中，注意对图像特征的挖掘，注意找寻相等的量，结合诱导公式、倍角公式以及直角三角形中锐角三角函数值的表示，得到边之间的等量关系式，最后求得结果. 17．（1）1-；（2）4. 【分析】（1）由和的正切公式可计算；（2）通分并结合和的余弦公式，二倍角公式求解. 【详解】（1）原式5tantan53412tan tan 1541241tan tan 412πππππππ+⎛⎫==+==- ⎪⎝⎭-; （2）原式()2cos 1060cos102cos 70411sin10cos10sin 20sin 2022︒+︒︒︒︒====︒︒︒︒. 【点睛】本题考查和的余弦、正切公式，考查二倍角公式，属于基础题. 18．（1）45t =；（2）35.【分析】(1)利用向量的模长公式计算出||a tb +的表达式然后求最值.(2)先求出a mb -的坐标，利用向量平行的公式得到关于m 的方程，可解得答案. 【详解】（1）∵(23,2)a tb t t +=-+，∴||(2a tb t +=-==当45t =时，||a tb + （2）(32,2)a mb m m -=---.∵a mb -与c 共线，∴32630m m +-+=，则35m =. 【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题. 19．（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b == 【分析】(1)通过降幂公式，结合辅助角公式化简三角函数式，即可求得函数的单调递增区间． (2)根据化简的三角函数式和三角函数值，求得特殊角C 的度数，集合正余弦定理即可求得a 、b 的值． 【详解】(1) ()211212*********cos x f x sin x cos x sin x sin x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭. 由222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得(),63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)由()0f C =，得216sin C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 110,2666C C ππππ<<∴-<-<， 2,623C C πππ-==.又2sinB sinA =,由正弦定理得2ba=①; 由余弦定理得22223c a b abcos π=+-，即223a b ab +-=，② 由①②解得1,2a b ==. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简及单调区间的求法，正弦定理与余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题．20．（1）*41,n a n n N =-∈；12n nb -=；（2）(45)25nn T n =-+【解析】试题分析：（1）求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；（2）整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈.又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=. 故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈. （2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯①12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯②由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯12(12)34(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--∴(45)25nn T n =-⨯+，*n N ∈.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和21．（1）42n a n =-（2）10. 【分析】（1）先求出1a ，当2n ≥时，由28(2)n n S a =+，得2118(2)n n S a --=+，两式相减化简得14(2)n n a a n --=≥，从而可得数列{}n a 是以2为首项，公差为4的等差数列，进而可得到数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）得411(42)(42)4242n b n n n n ==--+-+，利用裂项相消法求出n T ，再解不等式可得答案 【详解】28(2)n n S a =+，当1n =，12a =；当2n ≥，28(2)n n S a =+①，2118(2)n n S a --=+②，①-②可得，2211844n n n n n a a a a a --=+--，2211440n n n n a a a a -----=，2211440(0)n n n n n a a a a a -----=>，∴14(2)nn a a n --=≥， ∴{}n a 是以2为首项，公差为4的等差数列， ∴2(1)442n a n n =+-⨯=-. （2）411(42)(42)4242n b n n n n ==--+-+，111111266104242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭，11242n T n =-+， 20n m T <，1120201024242m n n ⎛⎫>⨯-=- ⎪++⎝⎭，∵10101021n -<+， ∴10m ≥.∴m 的最小最整数为10. 【点睛】此题考查利用数列的递推式求通项公式，考查裂项相消法，考查计算能力，属于基础题 22．（1）()f x 的零点是ππ2x k =+或5ππ6x k =+()k Z ∈；（2）[)51,00,2⎛⎤- ⎥⎝⎦． 【分析】(1)求出()f x 的具体表达式，令()0f x =即可求出函数的零点.(2)分0m >，0m <两种情况进行讨论，分别求出函数的取值范围，结合()34f x -≤≤恒成立可得关于实数m 的不等式，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由2m =⇒()π2cos 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =， 则π1cos 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π2π22π33x k -=+或π4π22π33x k -=+，()k Z ∈， 解得ππ2x k =+或⇒5ππ6x k =+()k Z ∈， ∴()f x 的零点是ππ2x k =+或5ππ6x k =+()k Z ∈. （2）由π02x ≤≤可得ππ2π2333x -≤-≤，所以1πcos 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，（1）当0m >时，易得()1212mf x m -≤≤-，由()34f x -≤≤恒成立可得， ()()min max 34f x fx ⎧≥-⎪⎨≤⎪⎩，即1322140mm m ⎧-≥-⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎩，解得502<≤m ，（2）当0m <时，可得()2112mm f x -≤≤-，由()34f x -≤≤恒成立可得 ()()min max 34f x fx ⎧≥-⎪⎨≤⎪⎩，即213142m m m -≥-⎧⎪⎪-≤⎨⎪<⎪⎩，解得10m -≤<，综上可得，m 的取值范围是[)51,00,2⎛⎤- ⎥⎝⎦． 【点睛】本题考查了函数零点的求解，考查了三角函数最值的求解.本题的易错点是第二问中没对m 进行讨论.。