数值分析第一章1.1误差

I19 , I18 , I1 , I 0

1
0
xn dx，由第二积分中值定理: x5
, b] 若函数 ( x) 在区间 [ a上不变号且可积，
f ( x )连续，则存在 a, b 使

b
a
f ( x) ( x)dx f ( ) ( x)dx 。
a
b
有
所以 于是 若取
模型 误差
观测 误差
截断 误差
舍入 误差
（1）模型误差：由实际问题转化为数学问题，在
建立数学模型时，数学模型与实际问题之间出现的
误差称为模型误差。 （2）观测误差：数学模型中一些物理量的观测值，
如：电压、温度、长度等，不可避免会带来误差，
称为观测误差。
（3）截断误差：计算机在求解数学模型时选用数
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
r
§2 数值计算中应该遵循的原则
一、选择计算复杂性较好的算法
时间复杂性：乘除法计算量多少。 空间复杂性：算法所占计算机内存多少。
2 n 例1、计算 P x0 a0 a1x0 a1x0 an x0 n
k sk ak x0 , k 0,1,, n 解、算法一： n P k 0 sk
(准确值为0.000000033921915„) 解、 y 1.5706122 1.5706121 0.0000001 可见，计算结果不可靠。若用
y arctan 5430 arctan 5429 1 arctan 1 5429 5430 1 arctan 29479471 0.33921911 10 7
1 3 1 5 1 7 1 9 sin x x x x x x 3! 5! 7! 9!
取前四项计算 sin x 的近似值
sin x x 1 3 1 5 1 7 x x x S 4 ( x) 3! 5! 7!
产生的误差即截断误差为：
1 9 R( x) sin x S 4 ( x) x 9!
如果
1 e ( x) 10m n 2
*
则称近似值 x* 有
n 位有效数字。
准确数有无限位有效数字。
三、 函数的误差估计
数值运算中，由于所给数据的误差，必然
影响到计算结果的准确性，这种影响较复杂，一 般采用泰勒级数展开的方法来估计。
设 x , y 分别是 x, y 的近似值，
在计算
e* ( x) e* ( x) x x* e ( x) * * 作为近似 因此将 r x x x
数的相对误差。如果 存在 r* 0 , 使
er ( x)

* r
* 成立，则称正数 r 为近似数 x* 的相对误
差限，常用百分数表示。
例如
x1 100 2
x2 10 1
* *
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z

当
e* ( x ) x*
较小时，由于
e* ( x) 2 [ * ] * * e* ( x) x* x [e* ( x)]2 e ( x) e ( x) x * * * e* ( x) x e* ( x) x* x x xx 1 * x
在实际计算中，由于 x 往往不知道，
和
x5 1 1 I0 dx ln 6 ln 5 0 x5
n
可建立递推公式
1 I n 5I n 1 n n 1, 2, , 20
I 0 ln 6 ln 5
（1）
设计算 I 0 时的舍入误差为 e0
* I 0 的近似值为 I0 ,即
* e0 I0 I0
能出现大数“吃掉”小数的现象。 例4 、求一元二次方程实根
x2 ( ) x 109 0
( 109 , 1)
有两个互异实根
x1 109 , x2 1
b b 2 4ac 2a
*
n 位有效数字。
x 3.14159 若
*
x* 3.14
则绝对误差限
1 e ( x) 0.00159 102 2
近似值
x* 3.14
具有三位有效数字。
x* 有如下规格化形式 一般地，对于非零近似数
x* 10m 0.x1x2 xn , x1 0,

x y y x
, x, y同号；
e xy x y max e x , e y ,

e xy e x e y ;
r r r
y e x x e y x e , 2 y y x e er x er y 。 y
* 0
所以
1 20 e0 ( ) e20 5
* I0 0.18232156
误差传递逐步缩小，实际计算求得
它是 ln 6 ln 5 的具有8位有效数字的近似值。 如果第 n 1 步的误差 满足
en 1 1 en
en 1与第
n 步的误差
en
则称计算公式是绝对稳定的。
三、避免两接近的近似数相减 由两近似值差 z* x y 的相对误差关系 式
x * y * * er ( z ) * er ( x) * er ( y) z z
可以看出:
* er ( z )
可能比
* * er ( x ) er ( y )
大得多。
x 与 y 相近，er* ( z ) 就可能很大，从而导 当

致计算结果的有效数字位数的减少。
例3 、试计算
y arctan 5430 arctan 5429
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为
e* ( x)
e* ( x) 则称比值 x 为近似值 x* 的相对误差
用 er ( x) 表示, 即

e* ( x ) x x* er ( x) x x
* n n
n 1, 2,, 20
可以看出误差 e0 对第
n
步的影响扩大了
5n 倍。当 n 较大时，误差将淹没真值。用
I
* n
近似 I n
e0 的 (5) n 倍。 绝对误差是
若由 解出
I n 5 I n 1
I n 1
1 n
1 1 In 5 5n
先求出 I 20 ，然后依次算出 由 In
二、绝对误差、相对误差与有效数字
x 是物理量
*
x的一个近似值。
1、绝对误差与绝对误差限 称 x x* 为近似数 x* 的误差， x * 为绝 x
对误差，用 e
*
e* ( x ) x x * 。 ( x) 表示，即
实际问题中，由于物理量未知，因而无 法计算绝对误差的大小，只能根据具体情况 估计绝对误差的上限，即求 * 0 使
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
1 1 1 1 n In 0 0 x dx 5 n 1 ， 1， 5
1 1 In 6( n 1) 5( n 1)
1 1 I 20 6 21 5 21
I 20 1 1 126 105 0.0087301587 2
由此得到
* I n 1
1 * 1 In 5 5n
n 20,19,,1,0
* I 20 0.00Hale Waihona Puke Baidu731587
该方法对 I 20 的舍入误差 e20 传递情况是
1 * * I n 1 I n 1 ( I n I n ) 5 n 20,19, ,1
1 1 n * * I 0 I ( I1 I1 ) ( ) ( I n I n ) 递推可得 5 5
算法二：
Tn an , Tk x0Tk 1 ak , k n 1, n 2,,2,1,0 P T0
二、选择算法数值稳定性较好的算法
从误差传播规律和计算机字长的特点，在运
算过程中舍入误差对结果影响不大的算法称为稳
定的算法。
研究算法的稳定，一种简便的方法是：假定
的相对误差和相对误差限分别是
e* ( x1 ) 2 * er ( x1 ) 2% * x1 100
和
e* ( x2 ) 1 e ( x2 ) 10% * x2 10
* r
* * x1 比 x2 的准确度好得多。 近似值
3、有效数字 如果近似数 x 的绝对误差限是其准确数某位 数的半个单位，且该位数字直到 x* 左边第一位非 零数字共有 n 位，则称近似值 x* 有 例如
e ( x) x x
* *
*
称 * 为 x* 的绝对误差限。
在工程技术中，将准确值 x , 近似值 绝对误差限
*
x*
* ,
*
的关系表示成
* *
x x x 。
例如
V 100 2(v)
表示近似值
V * 100(v)
* 绝对误差限 2(v) 和绝对误差 e* (v) 有关系
值计算方法，由此方法产生的误差称为截断误差。
（4）舍入误差：由于计算机字长有限，只能对有 限位进行运算，因而往往进行四舍五入，这样产生
的误差称为舍入误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对 准确是办不到的。因此，我们主要研究怎样尽量设 法减少截断误差和舍入误差，提高计算精度。
例如 在计算机上计算级数
初始值有误差 0 ,中间不产生新误差，考察由 0
引起的误差积累是否增长，如不增长就认为是稳 定的，如严重增长就认为不稳定。
例2、建立积分
In
1
0
xn dx x5
n 0,1,, 20
的递推关系式，研究它的误差传递。
解：由 I 5I 1 x n 5 x n1 dx 1 x n1dx 1 n n 1 0 0
数值分析
第一章 误差
数值分析是计算数学核心课程，它研究高
等数学和线性代数中基本数学问题的数值解法，
以及在求解过程中出现的收敛性、数值稳定性
和误差估计等问题。
§1 误差
数值解：满足一定精度的近似解。
精度：我们用误差或近似数的有效数字刻划。
一、 误差的产生和分类 实际 问题 建立 模型 收集 数据 选择 算法 编程 求解 验证 结果
* r
（2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数和、
差、积、商的绝对误差与相对误差传播的估计式
e x y e x e y , er x y max er x , er y , x, y同号；






er x , er x y e r y ,