第二讲 练习与例题2

第二讲：习题练习

1 如图A 、B 物体，A 与台面摩擦系数u 。求物体加速度 分析受力，列方程，解方程，讨论结果 A A A A a m T g m =- ⎩⎨

⎧=-=-0

g m N a m f T B B B B ⎪⎩

⎪

⎨⎧===N f a a T T B A B A μ g m m m m a a B

A B A B A +-=

=)(μ；讨论：B A m m μ>；B A m m μ<

2 如何测量静摩擦系数以及滑动摩擦系数

3 雨滴下落受到空气粘滞阻力 f=kv 。分析雨滴运动规律 分析受力，列出运动方程，解方程，分析 初始条件以及坐标选取t=0,v0=0,y=0 牛顿力学方程：a m f g m

=+

dt

dv m kv mg =- )1(t

m

k e

k

mg v -

-=

dt e

k

mg dy t

m

k )1(-

-=

))1((t

m

k e

k

m t k

mg y -

--

=

讨论：终极速度：k

mg v T =

如f=k ‘v2， '

k

mg v T =

4 小球m 自光滑圆柱体顶端从静止开始沿着柱面下滑， 求，小球滑到与铅直方向为θ时，对圆柱体的压力。 研究对象：小球，柱面体

分析小球受力：a m g m N

=+

坐标选择与运动分解： 自然坐标系 n a a a

+=τ

切向：dt

dv m

mg =θsin ；法向：R

v

m

N mg 2

cos =-θ

变换：θ

Rd dv v ds

dv v dt

ds ds dv dt

dv === 代入方程

θθd gR vdv sin = 积分得到：)cos 1(22

θ-=gR v

小球对柱面压力：)2cos 3(cos 2

-=-=='θθmg R

v

m

mg N N

讨论随着θ增大，小球对柱面压力的变化。

5 一条均匀质量分布的绳子，质量M ，长度L ，一段固定在竖直转动轴上，以角速度ω在水平面上转动。假设转动过程中绳子不打弯，或略重力，求，距离绳子r 处绳子张力T(r)。

)()(2

2

2

r L M r T -=ω

6 质量m=10kg 的木箱在水平拉力作用下，由静止开始运动， 拉力随时间变化如图，木箱与地面摩擦系数u=02. 求：t=4s 和 7s 时木箱速度

分析受力：合力

∑-=mg F F

i

μ 方向水平 与F 同向

动量定理：040

)(mv mv dt F t

i -=⎰∑，t=0，v0=0

V4=4m/s 4s —7s ，

)

74(,1070s t s t F ≤≤-=， 同理，积分求解，v7=2.5m/s

8 质量为m 的行李，垂直轻放到传送带上，传送带速率v 与行李摩擦系数u ，计算：

1）行李在传送带上滑动多长时间 2）行李在这段时间运动多远 3）有多少能量被摩擦消耗掉 选择参照系，分析受力 运用动能定理：

⎰-=0mv mv Fdt

；mv umgt =

g

v

t μ=

动能定理：A=k E ∆ 2

2

1mv mgx =

μ

摩擦力耗损功：行李相对传送带位移：g

v

g

v

v

g

v

vt x s μμμ222

2

-

=-=

-=

2

2

2

1)2(mv g

v

mg A f -

=-

=μμ

9 两儿童质量分别m1、m2.在光滑冰面上互拉对方。开始两人静止并相距l ，求他们何处相遇。

选择坐标系，并设定t=0，小孩位置x10、x20，速度v10=0、v20=0 则x20-x10=l

动量守恒：02211=+v m v m ；12

12v m m v -

=，两小孩任意时刻位置：

⎰+

=t

dt v x x 0

1

101；⎰+

=t

dt v

x x

2

202

，相遇（撞）

x1=x2=x

整理：⎰+

==-t

dt v m m l x x 0

12

11020)1(

相遇位置坐标：2

12100

11021m m l m x dt v x x x x t

++

=+===⎰

相遇到m1小孩距离：2

121011m m l m x x x +=

-=∆

10 作用于质点的力为j y x i xy F

)(++=，如图，分别 求出质点和OAB 和ODB 路径到达B 力F 做的功。

求解：⎰⎰⎰⎰+

+

=

⋅=dz F

dy F

dx F

r d F A z

y

x

质点沿着OAB 路径： 11

01

||==⎰⎰

⎰⎰

⎰+=⋅+⋅=

⋅=y x x B

A y

A

O

B

O OAB

dx F dy F

r d F r d F r d F A

=J xdx

ydy 11

1

=+

⎰⎰

同理：J A ODB 5.1=

11 铁锤打钉子，加入钉子进入木板的阻力与深度成正比，第一次敲打，钉子进入1.0cm ，

如果第二次敲打的力度和第一次完全一样，求第二次敲打，钉子进入的深度

分析受力，以及锤子与钉子的碰撞

每敲打一次，钉子都会和锤子碰撞一次，如题意，每次敲打，钉子获得的动能应该都一样。 钉子在木板力受力为：F=-kx

阻力功：)2

12

1(

2

01

2

1

1

kx kx

kxdx r d F A x x x x F -

-=-=

⋅=

⎰⎰

根据动能定理：k E A ∆=，则

k E kx kx ∆=-

2

02

12

121

此式表示每次敲打，钉子动能与入木深度关系， 第二次敲打：同理得到，k E kx kx ∆=-

2

12

22

12

1

，考虑开始时，x 0=0，第一次打人深度：x 1=1.0cm

得到：2

12

22x x =，则第二次打人深度 cm x x x 41.0122=-=∆

12 如图，三个斜坡面，具有相同高度，水平长度，物块 从顶端开始下滑，坡面与物块摩擦系数u 相同，判断物块 沿着那个坡面下滑，到达地面的速度最大。