第二讲 练习与例题2

第二讲：习题练习1 如图A 、B 物体，A 与台面摩擦系数u 。

求物体加速度 分析受力，列方程，解方程，讨论结果 A A A A a m T g m =- ⎩⎨⎧=-=-0g m N a m f T B B B B ⎪⎩⎪⎨⎧===N f a a T T B A B A μ g m m m m a a BA B A B A +-==)(μ；讨论：B A m m μ>；B A m m μ<2 如何测量静摩擦系数以及滑动摩擦系数3 雨滴下落受到空气粘滞阻力 f=kv 。

分析雨滴运动规律 分析受力，列出运动方程，解方程，分析 初始条件以及坐标选取t=0,v0=0,y=0 牛顿力学方程：a m f g m=+dtdv m kv mg =- )1(tmk ekmg v --=dt ekmg dy tmk )1(--=))1((tmk ekm t kmg y ---=讨论：终极速度：kmg v T =如f=k ‘v2， 'kmg v T =4 小球m 自光滑圆柱体顶端从静止开始沿着柱面下滑， 求，小球滑到与铅直方向为θ时，对圆柱体的压力。

研究对象：小球，柱面体分析小球受力：a m g m N=+坐标选择与运动分解： 自然坐标系 n a a a+=τ切向：dtdv mmg =θsin ；法向：RvmN mg 2cos =-θ变换：θRd dv v dsdv v dtds ds dv dtdv === 代入方程θθd gR vdv sin = 积分得到：)cos 1(22θ-=gR v小球对柱面压力：)2cos 3(cos 2-=-=='θθmg Rvmmg N N讨论随着θ增大，小球对柱面压力的变化。

5 一条均匀质量分布的绳子，质量M ，长度L ，一段固定在竖直转动轴上，以角速度ω在水平面上转动。

假设转动过程中绳子不打弯，或略重力，求，距离绳子r 处绳子张力T(r)。

)()(222r L M r T -=ω6 质量m=10kg 的木箱在水平拉力作用下，由静止开始运动， 拉力随时间变化如图，木箱与地面摩擦系数u=02. 求：t=4s 和 7s 时木箱速度分析受力：合力∑-=mg F Fiμ 方向水平 与F 同向动量定理：040)(mv mv dt F ti -=⎰∑，t=0，v0=0V4=4m/s 4s —7s ，)74(,1070s t s t F ≤≤-=， 同理，积分求解，v7=2.5m/s8 质量为m 的行李，垂直轻放到传送带上，传送带速率v 与行李摩擦系数u ，计算：1）行李在传送带上滑动多长时间 2）行李在这段时间运动多远 3）有多少能量被摩擦消耗掉 选择参照系，分析受力 运用动能定理：⎰-=0mv mv Fdt；mv umgt =gvt μ=动能定理：A=k E ∆ 221mv mgx =μ摩擦力耗损功：行李相对传送带位移：gvgvvgvvt x s μμμ2222-=-=-=2221)2(mv gvmg A f -=-=μμ9 两儿童质量分别m1、m2.在光滑冰面上互拉对方。

开始两人静止并相距l ，求他们何处相遇。

选择坐标系，并设定t=0，小孩位置x10、x20，速度v10=0、v20=0 则x20-x10=l动量守恒：02211=+v m v m ；1212v m m v -=，两小孩任意时刻位置：⎰+=tdt v x x 01101；⎰+=tdt vx x2202，相遇（撞）x1=x2=x整理：⎰+==-tdt v m m l x x 01211020)1(相遇位置坐标：21210011021m m l m x dt v x x x x t++=+===⎰相遇到m1小孩距离：2121011m m l m x x x +=-=∆10 作用于质点的力为j y x i xy F)(++=，如图，分别 求出质点和OAB 和ODB 路径到达B 力F 做的功。

求解：⎰⎰⎰⎰++=⋅=dz Fdy Fdx Fr d F A zyx质点沿着OAB 路径： 1101||==⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅+⋅=⋅=y x x BA yAOBO OABdx F dy Fr d F r d F r d F A=J xdxydy 111=+⎰⎰同理：J A ODB 5.1=11 铁锤打钉子，加入钉子进入木板的阻力与深度成正比，第一次敲打，钉子进入1.0cm ，如果第二次敲打的力度和第一次完全一样，求第二次敲打，钉子进入的深度分析受力，以及锤子与钉子的碰撞每敲打一次，钉子都会和锤子碰撞一次，如题意，每次敲打，钉子获得的动能应该都一样。

钉子在木板力受力为：F=-kx阻力功：)2121(201211kx kxkxdx r d F A x x x x F --=-=⋅=⎰⎰根据动能定理：k E A ∆=，则k E kx kx ∆=-20212121此式表示每次敲打，钉子动能与入木深度关系， 第二次敲打：同理得到，k E kx kx ∆=-21222121，考虑开始时，x 0=0，第一次打人深度：x 1=1.0cm得到：21222x x =，则第二次打人深度 cm x x x 41.0122=-=∆12 如图，三个斜坡面，具有相同高度，水平长度，物块 从顶端开始下滑，坡面与物块摩擦系数u 相同，判断物块 沿着那个坡面下滑，到达地面的速度最大。

按照动能定理：物块从顶端滑到底端，⎰-=∆=⋅=0212mvE r dF A kds F ds F r d F dA τθ==⋅=cos分析物块受力：重力G ，斜坡面摩擦力 f=uN ，坡面支持力N 坐标轴：水平x ，竖直向下 y A ：平坡斜面，坡角θ合力功：mgdx mgdy ds mg ds mg fds ds G dA dA dA f G μθμθτ-=-=-=+=cos sin则 合力功：221平mv mgl mgh mgdx mgdy A lh=-=-=⎰⎰μμB ：凸坡斜面：物块在坡面某位置，与竖直方向夹角 α 受力：G ，f ，N其中： ρα2cos vmN mg =-，合力功：dsvmmgdx mgdy dsvmmg ds mg fds ds G dAdA dA fG ρμμραματ22)cos (sin +-=--=-=+=22221凸mv ds vm mgl mgh ds vm mgdx mgdy A sslh=+-=+-=⎰⎰⎰⎰ρμμρμμC ：凹坡斜面：同理，但ρβ2cos vmmg N =-得到：2221凹mv ds vm mgl mgh A s=--=⎰ρμμ比较得到：物块滑过凸斜坡面，速度最大。

13 右图为摩擦离合器，飞轮A 的转动惯量为J1， 角速度ω1，摩擦轮B 的转动惯量为J2，原来静止， 若两轮沿着轴向啮合，求啮合后轮子的转动角速度 解析：两飞轮啮合过程中，无外力矩作用 角动量守恒ωω)(2111J J J +=211J J J +=ωω14 如图两个圆盘齿轮半径分别为r1r2,各自对自身 转轴的转动惯量分别为J1J2,开始齿轮A 转动角速度为 Ω0，求两轮正交啮合后各自的转动角速度。

解析：（1）角动量守恒？（2）角动量定理适合？ 轮子A ：⎰-=-01111ωωJ J dtFr轮子B ：⎰=222ωJ dt Fr 啮合位置：2211ωωr r =结果：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2212122101222121222011r J r J r r J r J r J r J ωωωω15 有一大型水坝高110 m 、长1 000 m ,水深100m ， 水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上 的力，以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平 行的力矩解 设水深h ，坝长L ，在坝面上取面积元 ，Ldy dA = 作用在此面积元上的力： pLdy pdA dF == 假定大气压为po ，则)(y h g p p o -+=ρ代入上式积分：221))((gLh Lh p Ldy y h g p F o ho ρρ+=-+=⎰对去Q 点力矩：ydF dM =326121))((gLh Lhp Ldy y h g p y M o ho ρρ+=-+=⎰16 例3 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度．解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 F N 作由转动定律得 231,sin 21ml J J mgl ==βθ得到：θβsin 23l g =由此得到：θωωsin 23l g d =积分得到：)cos 1(3θω-=lg17 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内. 一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度．解析：小球在B 点受力G ，FN ，重力矩：θcos mgR M = 小球绕O 点 角动量定理：dtdL mgR =θcos考虑： dtd mR L θωω==,2得到：θθd gR m LdL cos 32=积分：⎰⎰=Ld gR m LdL 032cos θθθ，θωsin 2Rg =18一杂技演员M 由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A ，并把跷板另一端的演员N 弹了起来．问演员N 可弹起多高?解析：设跷板是匀质的，长度为l ，质量为 m '， 跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m ．假定演员M 落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．碰撞前M 落在A 点速度：gh v M 2=碰撞后瞬间，跷跷板旋转，M ，N 具有相同速度：ω2l u =跷跷板，人，系统角动量守恒：ωωω2221121222ml l m l muJ l mv M+'=+=求解：l m m ghm )6(26+'=ω，N 弹跳高度：h m m m g uh 22632⎪⎭⎫⎝⎛+'=='。