人教版高中数学圆锥曲线与方程精品课件

课前自主预习
1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为 __连__结__这_两__点__的__线__段__的__垂__直__平__分__线____．也曾讨论过到两定点距 离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点距 离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？
2．平面内与两个定点 F1，F2 的距离的__和____等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 __焦__点____，__两__焦__点___间的距离叫做椭圆的焦距．
由已知，得 2a＝8，得 a＝4. 又因为 c＝3，所以 b2＝a2－c2＝42－32＝7. 因此，所求椭圆的标准方程为1x62 ＋y72＝1.
(2) 椭 圆 的 焦 点 在
y
轴
上
，
设
它
的
标
准
方
程
为
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)．
由已知，得 c＝4.
因为 c2＝a2－b2，所以 a2＝b2＋16.①
3．焦点在 x 轴上的椭圆标准方程为__ax_22＋__by_22_＝__1__ (a>b>0)； 焦点在 y 轴上的椭圆标准方程为___ay_22_＋__bx_22＝__1___ (a>b>0)； 其中 a，b，c 的关系为__a_2＝__b_2_＋__c_2__.
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点 P 与 两焦点的距离的和等于 8； (2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆经过 点( 3，－ 5)．
二是为何设椭圆的焦距为 2c. 在求方程时，设椭圆的焦距为 2c(c>0)，椭圆上任意一点到 两个焦点的距离的和为 2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个 端点的坐标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式 简单．令 a2－c2＝b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆． 三是在方程的推导过程中无理方程的化简，这类方程的化 简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一 侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们 放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．
A．椭圆 B．圆 C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
(2)(2012～2013 学年度辽宁大连 24 中高二期末测试)椭圆 2x52 ＋1y62 ＝1 上一点 M 到一个焦点的距离为 4，则 M 到另一个点 的距离为( )
A．4 B．6 C．8 D．2 [分析] (1)中，根据 2a 与两定点 F1、F2 距离的大小关系 进行分类讨论． (2)中，根据椭圆方程求出 a，利用椭圆定义求点 M 到另一 个焦点的距离．
第二章
2．1 椭圆
第二章
第 1 课时 椭圆及其标准方程
学习要点点拨 课前自主预习 课堂典例讲练
课堂巩固练习 课后强化作业
课程目标解读
1．掌握椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程． 2．会用待定系数法求椭圆的标准方程．
重点难点展示
本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式． 本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．
[解析] (1)当 2a>|F1F2|时，点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦 点的椭圆；
当 2a＝|F1F2|时，点 M 的轨迹是线段 F1F2； 当 2a<|F1F2|时，点 M 的轨迹不存在，故选 D.
(2)设椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，不妨令 |MF1|＝4，
(4)了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择坐 标系，建立及推导双曲线的标准方程．
(5)会用待定系数法求双曲线标准方程中的 a、b、c，能根 据条件确定双曲线的标准方程．
(6)使学生了解双曲线的几何性质，能够运用双曲线的标准 方程讨论它的几何性质，能够确定双曲线的形状特征．
(7)了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程， 能根据条件确定抛物线的标准方程．
●学法探究 1．解析几何是数形结合的典范，通过学习本章要在必修 2 的基础上进一步体会坐标法在解决几何问题和实际问题中的 作用，体会“数形结合”思想，养成自觉运用数形结合方法解 决问题的习惯． 2．圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的出发点，要明 确基本量 a、b、c、e 的相互关系、几何意义及一些概念的联系．
2．推导椭圆的标准方程是本节学习的一个关键环节．应 重点理解下述方面：
一是如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单． 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一 个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了 使方程简单，必须注意坐标系的选择．怎样选择坐标系，要根 据具体情况来确定．在一般情况下，应注意要使已知点的坐标 和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时， 选择 x 轴经过两个定点 F1、F2，并且使坐标原点为线段 F1F2 的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程．
学习要点点拨
1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点应满足的条 件，即椭圆上的点满足|PF1|＋|PF2|＝2a，可以对比圆的定义来 理解，还要抓住常数 2a>|F1F2|，这样规定是为了避免出现两种 特殊情况，即：“当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数 小于|F1F2|时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的 标准方程和几何性质．但学习椭圆的定义时注意不要忽略这两 种特殊情况，以保证对椭圆定义理解的准确性．
(8)了解抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推导 出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法．
(9)通过抛物线四种不同形式标准方程的对比，培养学生分 析归纳能力．
(10)通过根据圆锥曲线的标准方程研究其几何性质的讨 论，加深曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和解决问 题的能力，培养学生的数形结合、方程思想及等价转化思想．
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过 程．因此，解题过程中遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题 时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
(2012～2013
学年度海南澄迈中学高二期中测试)椭圆
x2 25
＋y92＝1 的两点为 F1、F2，一直线过 F2 交椭圆于 P、Q 两点，
则△PQF1 的周长为________．
5．直线与圆锥曲线的位置关系：①有关直线与圆锥曲线 的公共点的个数问题，应注意数形结合；②有关弦长问题，应 注意运用弦长公式及韦达定理；③有关垂直问题，要注意运用 斜率关系及韦达定理，简化运算．直线和圆锥曲线的位置关系， 可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现了方程的 思想．
6．定点与定值问题的处理方法：(1)从特殊入手，求出定 点或定值，再证明这个点(值)与变量无关．(2)直接推理、计算， 并在计算过程消去变量，从而得到定点(定值)．
由|MF1|＋|MF2|＝2a＝10， 得|MF2|＝10－|MF1|＝10－4＝6， 故选 B.
[答案] (1)D (2)B
[点评] (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2| ＝2a(2a>|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一 点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.
3．椭圆的两种标准方程中，总是 a>b>0，即椭圆的标准方 程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反过来，焦 点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．
a、b、c 始终满足 c2＝a2－b2，焦点总是在长轴上．如果焦 点在 x 轴上，焦点坐标是(－c,0)，(c,0)；如果焦点在 y 轴上， 焦点坐标是(0，－c)，(0，c)．
4．用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定 位”，即确定焦点的位置；其次是进行定“量”，即求 a、b 的大小，a、b、c 满足的关系有：①a2＝b2＋c2；②a>b>0；③ a>c>0.
若不能确定焦点的位置，可进行分类式．
5．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点的 问题时，要结合图形看能否运用定义．
[分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上，且可知 c 的值，由 P 到两焦点距离和可求出 a，进而可求出 b2.
(2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上，结合 a2＝b2＋ c2 可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点( 3，－ 5)，可 确定 a、b 的值．
[解析] (1)椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a>b>0)．
[答案] 20
[解析] 如图，
由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a＝10， ∴△PQF1 的周长等于|PF1|＋|PQ|＋|QF1| ＝|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2| ＝4a＝20.
3．求轨迹方程是解析几何的基本题型，通过学习要加深 对“直译法”、“坐标代入法”、“定义法”、“交轨法”、 “参数法”、“点差法”等基本方法的理解和运用．有些轨迹 问题中，含有隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围， 要认真审题，充分挖掘隐含条件，找出动点所满足的几何关系．
4．圆锥曲线中最值求法有两种：(1)几何法：若题目中条 件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现明确的函数关系， 则可建立目标函数，再求这个函数的最值．
(11)能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的 简单实际应用问题．
2．情感、态度、价值观目标 通过对椭圆、双曲线、抛物线概念的引入教学，培养学生 的观察能力和探索能力，通过画圆锥曲线的几何图形，让学生 感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的 兴趣，通过圆锥曲线的统一性的研究，对学生进行运动、变化、 对立、统一的辩证唯物主义思想教育．
(2)解题(2)时，也可以根据椭圆的定义，由点( 3，－ 5) 与焦点 F1，F2 的距离的和等于 2a，求出 a 的值；然后由 b2＝ a2－c2，确定 b2 的值．