几何的公理化方法- 第十一讲.
中学几何公理体系公理化方法与中学几何
中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。
这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。
一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。
从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。
从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。
几何学公理化
几何学公理化除了极少数的著作之外，没有人知道那些伟大的古希腊先哲们究竟在思考什么。
关于这些先驱的生平，人们只能从《欧德斯摩摘要》一书中了解极为粗略的情况。
然而正是在这些吉光片羽的文字中，保留了古希腊关于数学的最光辉的思想。
从泰勒斯（Thales）到欧几里得的三百多年历史中，数学稳步而又迅速地发展着。
泰勒斯开始了命题的证明，毕达哥拉斯学派进一步将数学从具体中抽象出来，并把算术和几何紧密地联系在一起。
公元前387年左右，柏拉图（Plato，公元前426－347）在雅典创建了哲学学园，主张通过几何学习培养逻辑思维能力。
他的学生亚里士多德（Aristotel，公元前384－322）则是形式逻辑的奠基者。
这个学派的另一个重要人物欧多克索斯（Eudoxus，公元前460－357）创立了比例论。
他用公理化的方法建立理论，使得比例的适用范围从毕达哥拉斯学派的可通约量扩大至不可通约量。
到了公元前4世纪时，古希腊无论是在几何学还是逻辑学上都日臻成熟，公理化思想也是由来已久，一个严密而又完整的几何体系已是呼之欲出。
这个重任就落在了欧几里得的肩上。
1.欧几里得的贡献欧几里得（Euclid，约公元前300年左右），古希腊著名的数学家。
他的《几何原本》直到现在，依然是几何学入门的最佳读本。
两千年来，这部巨著令许多数学家的努力与文字黯然失色。
《原本》一书中的数学思想与方法，深刻地影响了整整两千多年的数学与自然科学的发展历程。
欧几里得的最大贡献并不是发现了多少深奥的定理，而是对过去所有数学知识的总结。
他的《几何原本》不仅奠定了西方几何学的基础，并且提供了一整套的公理化方法的范例。
在他之前，也曾有人设想过如此计划。
但正如《欧德斯摩摘要》一书中所说的，“把几何学原理联系到一起，把欧多克索斯的许多定理有次序地安排起来，把铁塔斯的许多定理加以完善化，并对前任未经严谨证明的许多东西给以无可争辩地阐明”的，乃是欧几里得。
《几何原本》共有十三卷（也有十五卷的版本，最后二卷为后人增补）。
几何学：第五公设——公理化方法
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》， 《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》， 《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如： 《原本》第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他 公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于 ． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)， 且存在一个内角 (1/2)B.
几何公理法简介
第6章几何公理法简介6.6 几何公理体系的三个基本问题任何公理体系中，包括初等几何公理体系，都有三个基本问题：①无矛盾性问题（即和谐问题）；②最少个数问题（即独立性问题）；③完备性问题．第一个问题要求公理体系的各个公理以及经过一串推导得出的命题不能相互矛盾，首先要求公理之间不相矛盾．这显然是必要的条件．证明公理体系的和谐性常用模型法．公理法是抽象的，它所考虑的对象（几何元素点、直线、平面）以及对象之间的关系或运算（几何上讲的接合、顺序、合同），都是不加定义的，但要满足公理的要求．设给定一组公理，在某些对象间建立了确定性质的相互关系．从所采用的公理，可以对这些对象的这些性质作逻辑推理，而完全不必理睬它们其它一切可能的性质，只要公理中没有提到．所以一个已知公理体系的对象可以是任意种类的事物，而且在公理中说到的它们之间的关系，可以有任何具体意义，只要公理的要求得到满足．给定一组公理，具体挑选一组事物使这组公理得到满足，就说给这组公理做了一个实现或解释．实现这些公理的对象的集合，构成这公理体系的一模型．一个公理体系若能以某种方法用模型来实现，那么这公理体系就是和谐的．举一具体的例．我们给第一组公理I1-8造一个模型．取一个四面体，约定将它的顶点叫做“点”，棱叫做“直线”，面叫做“平面”．在这个实现里，构成几何元素的集合是四点、六直线、四平面．正象在任何实现里一样，此刻应将接合性具体叙述出来．我们约定，跟四面体ABCD的顶点例如A所代表的“点”相接合的“直线”就是含顶点A的棱，跟“点”A接合的“平面”就是四面体含顶点A的面；跟“直线”AB接合的“平面”就是四面体含棱AB的面．容易验明，在这个模型里，公理I1-8全部满足．这四面体模型的存在表明八条接合公理是和谐的．这个模型的存在，还给我们带来一个更宝贵的信息，即从第一组接合公理不能推出几何元素的个数是无穷的．因为四面体模型只有4+6+4=14个元素却已实现了它．初等几何公理体系的和谐性证明是相对的，即有条件的。
《数学公理化方法》PPT课件
About Elements
������ The Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time.
《几何原本》的问世，在数学的发 展史上树立了一座不朽的丰碑，对 数学乃至科学的发展起了巨大的推 动作用。
它也成为公认的、历史上第一部巨 大的科学典籍。
它奠定了数学这门科学必须依照逻 辑要求论述其规律的基础。
它基本上完善了初等几何的体系， 这正如黑格尔所说：“初等几何 就欧几里得所遗留给我们的内容 而言，已经可以看作相当完备了， 不可能有更多的进展”。
数学上的所谓公理，是数学需要 用作自己出发点的少数思想上的 规定
格斯
——恩
������ 公理化方法能系统地总结数 学知识、清楚地揭示数学的理论 基础，有利于比较各个数学分支 的本质异同，促进新数学理论的 建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就 是科学理论的数学化，而公理化是 科学理论成熟和数学化的ห้องสมุดไป่ตู้个主要 特征。
它所体现的演绎美对数学美学思想 的发展也起到了不可低估的作用， 它让“世界第一次目睹了一个逻辑 体系的奇迹，这个逻辑体系如此精 密地一步一步推进……，推理的这 种可赞叹的胜利，使人类理智获得 了为取得以后的成就所必须的信心。 （爱因斯坦语）。
几何的辉煌之处就在于只用很少的 公理而得到如此之多的结果。
亚里士多德首创造公理化思想，提 出了逻辑学的“三段论公理体系”。
解析几何十一种方法
解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。
以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。
3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。
4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。
通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。
5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。
6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。
7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。
8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。
10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。
11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。
以上就是解析几何的11种方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
欧氏几何公理体系
第一讲欧氏几何公理体系目录一、几何概述P1二、公理化方法的内涵与意义P1三、欧几里得《几何原本》简介P2四、完备化的希尔伯特公理体系P5五、中学几何公理系统P8一、几何概述二、公理化方法的内涵与意义1．什么是公理化方法公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统的方法。
”一般由4部分组成：(1)原始概念的列举(2)定义的叙述(3)公理的列举(4)定理的叙述和证明4个部分不是独立地叙述和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开的。
原始概念和公理决定几何体系的基础，不同的基础决定不同的几何体系。
如欧氏几何、罗氏几何等。
原始概念包含原始元素(图形)和原始关系两类．原始元素如点、直线和平面等，原始关系如结合关系、顺序关系、合同关系等。
原始概念没有定义，但它们的属性隐含在公理中，如平面的属性，中学给出三个公理：◆一直线上的两点在一个平面内，则直线上所有点都在平面内；◆两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过公共点的直线；◆过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。
公理是“在一个系统中已为反复实践所证实而被认为不需要证明的真理，具有自明性.”。
一般来说，公理被人们普遍接受，无须证明，但后来发现，有些公理并非十分显然，如第五公设。
因此，人们选用某些命题作为一种演绎推理的出发点，并非一定要自明，只要大家能接受就行，实质在于符合经验。
2．公理系统的三个基本问题(1) 相容性 (无矛盾性)若由公理系统不能推出两个矛盾的命题，则称该公理系统是相容的。
靠演绎推理的方法证明系统(∑)的无矛盾性是不可能的，因为无论推出多少个命题没有出现矛盾，也不可能保证继续推下去保证永远不会发生矛盾。
要证明无矛盾性，数学上用解释(即作模型)的方法。
先找一个模型M，使M的事物与∑的命题形成一一对应关系，我们先确定M的事物是存在的，或假设它是存在的，后一情况，我们只证明了公理系统在M存在的条件下是无矛盾的，即∑相容是有条件的，如欧氏几何的相容性归结为自然数的皮亚诺公理的相容性，而它又归结为集合的相容性，而集合的无矛盾性至今也没有解决。
数学中的公理化方法课件公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
2．公理化办法有助于比较数学各个分支实质 性异同，增进数学摸索与基础研究，推动数
学新理论产生。 • 从前面所述，能够看出，非欧几何就是在
研究和使用公理化办法过程中产生。
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3．数学公理化办法在科学办法论上， 对各门自然科学起着示范作用。
• 由于数学公理化办法表述数学理论简练性、 条理性和结构友好性，为其它科学理论表 述起到了示范作用。于是其它科学纷纷效 仿数学公理化模式，出现了各种理论公理 化系统，如理论力学公理化、相对论公理 化及伦理学公理化等等。
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• 非欧几何创建，大大提升了公理化办法信 誉，接着便有许多数学家致力于公理化办 法研究。如德国数学家康托尔与戴德金不 约而同地拟成了连续性公理、德国数学家 巴许拟成了顺序公理。在这个基础上，希 尔伯特于1899年发表了《几何学基础》一 书，改造了欧氏几何系统，完善了几何学 公理化办法。
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• 以后希尔伯特将将某种数学理论（如自然 数理论、几何理论等）作为一个整体加以 研究，提出了希尔伯特规则，即：证实古 典数学每个分支都能够公理化；证实每个 这样系统都是完备； 证实每个这样系统都 是相容；证实每个这样系统所相应模型都 是同构；寻找一个能够在有限环节内鉴定 任一命题可证实性办法。希尔伯特为详细 实行这个规划而创建了证实论即元数学理 论。
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希尔伯特对元数学研究，使公理化 办法进一步准确化：
• 把数学理论中定理及数学中使用逻辑规则 排成演绎体系，并使用数学符号和逻辑符 号把数学命题变成公式，这样，所有数学 命题便变成了公式集合，公理化数学理论 便变成了演绎形式系统。元数学思想提出， 标志着数学研究达到了新、更高水平，数 学研究对象已不是详细、特殊对象，而是 抽象数学结构。从而，公理化被推向一个 新阶段即纯形式化阶段。
公理化方法和中学几何公理体系
公理化方法和中学几何公理体系12数学陈婷12220620摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，它对于近代数学和其他自然科学的发展有过巨大作用和深远影响，它很大程度上推动了数学的发展。
而数学的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教学教育上有着举足轻重的地位。
本文将从几何发展简史、公理化方法的意义与作用等方面探究公理化方法对中学几何公理体系的影响。
关键词：公理化方法；几何学；发展史；中学几何；教学启示正文：一、几何学发展简史几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』, 包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一）欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。
但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点：1、在欧式几何中用了重合法来证明全等：在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。
公理化方法
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
2
公理化方法举例
数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮 亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理 数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之 上，复数集建立在实数集之上。
自然数
皮亚诺公理：集合N如果满足下列一组公理，那么N叫做 自然数集，N的元素叫做自然数。 （1）1∈N； （2）对N中每一个元素n，在N中有且仅有一个确定的后 继元； （3）对N中任意元素n， n ≠1； n m （4）对N中任意两个元素n，m，如果 ， 那么n=m； （5）归纳公理：如果N的子集M满足①1∈M，②当n∈M 时， n ∈M，那么M=N。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n m = (n m ) （2）n+ 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
整数
设D={（m，n）∣m，n∈N}， 在该集合上定义关系：（m，n）∽（p，q）当且仅当 m+q=n+p 上述关系是等价关系,它将集合D划分成若干等价类，把 每一等价类叫做一个整数,一切整数所组成的集合叫做 整数集，记为Z。 在集合Z上定义加法：（m，n）+（p，q）=（m+p，n+q） 在集合Z上定义乘法：（m，n）（p，q）=（mp+nq， mq+np）
几何原本公理化方法
几何原本公理化方法
几何是数学的一个重要分支，其由于其特殊的抽象性，最初大部分是以图形记叙的。
然而，20世纪早期，几何被开发出了一套证明性论证方法——公理化几何。
公理化几何指的是采用一组特定的、完全一致的公理以及定义从而陈述几何命题。
这套公
理通常被认为的坚实的，无需证明的事实，它们定义了空间的基本属性及欧几里得几何的
基本概念，如点，线段等。
它们有助于建立对几何形状的概念，把一组基本概念扩展成一
组相关的复杂定理，从而建立几何的结构。
一个完全公理化的几何系统具有许多特点。
首先，基于这些公理，一组相关的定理可以完
全从演绎，这将确保每个定理都是正确的。
其次，这些公理可以帮助我们正确地理解几何
形状，而不用猜想和图形实践。
最后，公理化几何系统也有一个良好的结构，即它可以被
逐级推导出定理，这有助于更好地理解和记忆定理。
此外，公理化几何对数学的发展也有很大的影响，例如建立了欧几里得几何的基础，并激
发了泛几何的发展；其原理也给出一种新的逻辑论证方法，从而推动了数学方法的重大发展。
总而言之，公理化几何是一门独特而有益的数学课程，它提供了一种更为精确、坚实的几
何描述，对数学教育有着重要的指导意义。
欧氏几何的公理化方法A
欧几里得证明方法思路清晰，整个证明 建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为 了真正的科学 《几何原本》中的命题有两种类型 一种是根据假设、公设、公理和定义利 用逻辑推理得出结论
另一类是作图题，由已知的对象找出或 作出所求对象。
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
异同。
(3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。
(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
xn + yn = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
xn + yn = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
公设
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn 一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实 践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。 什么是“公理化方法”？
公理化方法
公理化方法的特征及功能数学家欧几里得以亚里士多德的演绎逻辑为工具总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》，它是演绎逻辑与几何相结合的产物。
因此它的出现使演绎逻辑第一次成功的应用于数学。
欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理思想建立起来的第一门演绎数学，后来成为公理化方法的初级阶段，既然是初级阶段，就少不了后来人的应用和发展。
它不仅作为基础为后来人的研究打下基础，也激发了许多杰出数学家的研究几何演绎与公理化的热情。
希尔伯特在1899年出版的名著《几何基础》就是在之后的研究热潮中的重要成果的突出代表。
他在《几何基础》中放弃了欧几里得《几何原本》中公理的直观显然性把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摒弃，着眼于对象间的联系，强调了逻辑推理，首次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式公理系统。
从此，公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已经被其他学科领域所采用。
以下介绍希尔伯特在《几何基础》中对于几何的应用提出的公理化方法，以及上面所提到在其他领域中应用的几个例子，总结公理化方法在教学中的启示。
几何学公理化方法结合公理：Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、B．Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B．Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C．Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上，那么直线a上的每个点都在平面α上．Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A，那么至少还有另一公共点B．Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．顺序公理：Ⅱ1如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间．Ⅱ2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间．Ⅱ3在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间．Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点．）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．合同公理：Ⅲ1如果A、B是直线a上两点，A′是直线a或另一条直线a′上的一点，那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同．Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段，也无公共的内点．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那么AC≡A′C′．Ⅲ4设平面α上给定∠(h，k)，在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧，如果h′是α′上以点O′为端点的射线，那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．平行公理：过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行连续公理：Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点A1，A2，…，An，使得线段AA1，A1A2，…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的条件下，不可能再行扩充．注1．有些《几何基础》书中，常以康托(Cantor，1845—1918)公理代替上述的Ⅴ2：“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段PQ总有一个n存在，使得AnBn<PQ，那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1，A2B2，A3B3，…的内部．”注2．也有的书中，用与V1，V2等价的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作为连续公理：“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：(1)每点恰属一类；A属于第一类，B属于第二类；(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．那么，必有一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类．”各个领域的应用应用公理化设计，进行可用于在轨组装飞行器总体设计的步骤为：1) 了解组装服务的需求：根据任务的实施环境、任务类型及任务特点，获取“5WlH”（why、what、where、when、who、how）等需求信息；2) 定义满足这些需求所需解决的问题：将任务需求转化；3) 通过综合分析产生或选择解决方案，将由组装服务需求转化而成的功能需求和设计参数进行“之”字型展开，根据独立公理调整FR 或DP，使得二者层级上各层次的射矩阵为对角阵或三角阵。
欧氏几何的公理化方法 PPT
一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实
践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”？
公理化方法：从某些基本概念和基 本命题出发，依据特定的演绎规则，推 导是系列定理，从而构成一个演绎系统 的方法。
《几何原本》的主要内容
共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接 着用 48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安 静
1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样
线段内部有点，共线三点是必存在 一点在其余两点之间的都要途径到巴士 公理Ⅱ4 。
顺序公理及重要结论
定理1 对于任意两点A、C ，直线AC 上至少有一点F在 A、C之间。
定理2 在一直线上的三点中，必有且只有 一点在其余两点之间。
定理3 直线a与△ABC共面而不过其顶点， 若a交其一边，则必交其另一边，但不得再交第 三边。
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
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改进之一：增加或改换公理
阿基米德提出：两条不等的线、两个 不等的面，或两个不等的体，只要把 可比较的量中的小的扩大到适当的倍 数，便会比大的那一个更大。对任意 两条线段a,b,a<b,则存在正整数n，使 na>b. 这是度量几何不可缺少的几何 根据。
发展
1794年，法国数学家勒让德在《几何原本》的基础 上，从知识的科学性和教学的可行性出发，编写了 《几何学原理》一书。他去掉了原来第七、八、九卷 数论的内容，把第五公设换成了与之等价的普雷菲尔 （1749－1819年，苏格兰人）命题： “在同一平面上，经过直线外一点，有一条而且只有 一条直线和这条直线平行。”（称之为平行公理V。） 这本书很快成为世界上许多国家的中学几何教材或是 作为编写教材的重要参考。
亚里士多德与欧几里德
亚里士多德认为，任何一种严密的科学体系都应该建立 在一些不加证明的事实基础之上，这些基础包括一切科 学的公共基础（公理，如演绎推理的三段论）和各学科 独特的基础（公设），除此之外，还需要有一些不加定 义的对象。
欧几里得（公元前300年左右）吸收了亚里士多德的关 于建立科学体系的思想，对当时已经取得的推理几何的 研究成果进行了系统的整理，写成了第一部用公理化手 段处理几何的著作《几何原本》，它也是历史上第一部 系统的数学理论著作。
欧氏《几何原本》
全书共十三卷，提出了465个命题，内容相当丰 富。
– 第一卷中给出了“点”、“线”、“直线”、“平 面”、“圆”、“平行直线”等23个定义，5条公 设和5条公理，还给出了49个命题和证明
– 第二卷编写的是用几何方法研究代数恒等式，如找 出一已知线段的黄金分割点
– 以后各卷分别是关于圆、比例、相似形、数论、整 数开平方、立体几何中的点、直线、平面相互之间 的位置关系和表面积体积的计算、正多边形和正多 面体的性质和作图等内容
– 数学抽象概念的来源是感觉 – 数学是实验、观察、抽象和理想化之后形成的知
识
逻辑思想被引入几何
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始 的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严 密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几 何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些 命题作了论证。他的学生亚里士多德被公认是逻 辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推 理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。
与第五公设等价的命题
普雷菲尔命题（平行公理V）：在同一平面上，经过 直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平 行。 一条直线的垂线与斜线必相交 任意三角形内角之和等于二直角（存在一个三角形其 内角和等于二直角） 共面且不相交的两条直线被第三条直线所截，构成的 同位角总相等 平面上存在不全等的相似形 任意三角形存在外接圆 三角形三条高线交于一点 勾股定理
线相交，某一侧的两个内角之和小于二直角， 则把两条直线向该侧充分延长后一定相交
研究发现《几何原本》。。。
虽然欧几里得试图定义包括点、线面、直线、平面等等的 每一个概念，但这是办不到的，所以，在他的叙述中有时 不得不借助实体和人们的直观感觉，如“部分”、“长 度”。 给出的5条公设并不充分，需要补充，有些命题的证明依 据不足，或是借助了人对图形的直观感觉，或是使用了未 加证明的一些事实，如两圆相交的理由与圆的连续性有关 有的命题的证明方法过于繁琐，也有的证明中有逻辑错误 第五公设显得比较复杂，而且它在书中应用得也较晚，因 此，许多人认为它可能是一个可以由前几个公设推导出来 的定理，只是欧氏没有能够证明它才将其列为一个公设。
证明第五公设是不可能的
罗巴切夫斯基将已有的全部命题分为两部分，称独 立于第五公设的那部分命题为“绝对几何”命题。 他计划从第五公设反面出发，即假定“在平面上， 过直线外一点至少有两条直线与该直线平行”，设 法推出与绝对几何定理矛盾的命题，从而证明第五 公设。但令他感到意外的是他非但没有发现任何矛 盾，反而得到一套与绝对几何命题相容但与欧氏几 何不同的几何系统，因为这一系统与人们的直观经 验不协调，不加定义的原始概念和不加证明的 公理的基础上，遵循逻辑的推理原则、方法，一个接 一个地定义出概念、推导出定理，从而得到的一个有 序的几何学体系。
现在来看，公理并非一定要自明，如欧氏几何中的平 行公理，只是大家都承认的逻辑推理出发点。
考虑到学生的认知水平以及教学效率，学校数学会故 意多加一些公理，便于推理论证，这就不符合公理系 统独立性的要求了，是扩大了的公理化系统。所选取 的公理既不足又过剩。
23个定义
定义（1）：点没有大小 定义（2）：线有长度但没有宽度 定义（3）：线的界是点 定义（4）：直线是与其上的点看齐的线 定义（23）：平行直线是这样的一些直线，它 们在同一平面内，而且往两个方向无限延长时， 在两个方向上都不会相交
5条公设
1. 从每个点到另一点可引直线 2. 每一直线都可无限延长 3. 以任意点为中心可用任意半径作圆 4. 所有直角彼此相等 5. （在同一平面内）如果两条直线与第三条直
第六章 几何 第一讲 几何的公理化方法
历史上两种不同的数学观
Plato的观点（外部观点，理性论）
– 数学是思维中的观念，与感觉感受到的世界无关 – 哲学家的数学与商人的数学无关 – 对技术人员用物质的论据来证明有应用背景的结
果表示愤慨
Aristotle（Plato的学生）的观点（内部观点， 实验论）
解析几何
笛卡尔发明了坐标系，把欧氏空间的点变 成有序的三元数组，曲线、曲面用方程 （包括参数方程）表示，用代数方法解决 几何问题，数形结合起来诞生了解析几何 学。解析几何研究的是坐标变换下的不变 量。
改进之二：试证第五公设
反复地企图通过不同方式证明第五公设是 定理，即设法用其他简单的公理予以证明。 他们多半使用反证法，但是费尽心机，终 无结果。 19世纪中叶，高斯发现第五公设的否定命 题和其他公理是协调无矛盾的。 1829年，罗巴切夫斯基发表自己的创见， 出现最早的非欧几何文献