几何的公理化方法- 第十一讲.

改进之一：增加或改换公理
阿基米德提出：两条不等的线、两个 不等的面，或两个不等的体，只要把 可比较的量中的小的扩大到适当的倍 数，便会比大的那一个更大。对任意 两条线段a,b,a<b,则存在正整数n，使 na>b. 这是度量几何不可缺少的几何 根据。
发展
1794年，法国数学家勒让德在《几何原本》的基础 上，从知识的科学性和教学的可行性出发，编写了 《几何学原理》一书。他去掉了原来第七、八、九卷 数论的内容，把第五公设换成了与之等价的普雷菲尔 （1749－1819年，苏格兰人）命题： “在同一平面上，经过直线外一点，有一条而且只有 一条直线和这条直线平行。”（称之为平行公理V。） 这本书很快成为世界上许多国家的中学几何教材或是 作为编写教材的重要参考。
亚里士多德与欧几里德
亚里士多德认为，任何一种严密的科学体系都应该建立 在一些不加证明的事实基础之上，这些基础包括一切科 学的公共基础（公理，如演绎推理的三段论）和各学科 独特的基础（公设），除此之外，还需要有一些不加定 义的对象。
欧几里得（公元前300年左右）吸收了亚里士多德的关 于建立科学体系的思想，对当时已经取得的推理几何的 研究成果进行了系统的整理，写成了第一部用公理化手 段处理几何的著作《几何原本》，它也是历史上第一部 系统的数学理论著作。
欧氏《几何原本》
全书共十三卷，提出了465个命题，内容相当丰 富。
– 第一卷中给出了“点”、“线”、“直线”、“平 面”、“圆”、“平行直线”等23个定义，5条公 设和5条公理，还给出了49个命题和证明
– 第二卷编写的是用几何方法研究代数恒等式，如找 出一已知线段的黄金分割点
– 以后各卷分别是关于圆、比例、相似形、数论、整 数开平方、立体几何中的点、直线、平面相互之间 的位置关系和表面积体积的计算、正多边形和正多 面体的性质和作图等内容
– 数学抽象概念的来源是感觉 – 数学是实验、观察、抽象和理想化之后形成的知
识
逻辑思想被引入几何
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始 的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严 密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几 何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些 命题作了论证。他的学生亚里士多德被公认是逻 辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推 理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。
与第五公设等价的命题
普雷菲尔命题（平行公理V）：在同一平面上，经过 直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平 行。 一条直线的垂线与斜线必相交 任意三角形内角之和等于二直角（存在一个三角形其 内角和等于二直角） 共面且不相交的两条直线被第三条直线所截，构成的 同位角总相等 平面上存在不全等的相似形 任意三角形存在外接圆 三角形三条高线交于一点 勾股定理
线相交，某一侧的两个内角之和小于二直角， 则把两条直线向该侧充分延长后一定相交
研究发现《几何原本》。。。
虽然欧几里得试图定义包括点、线面、直线、平面等等的 每一个概念，但这是办不到的，所以，在他的叙述中有时 不得不借助实体和人们的直观感觉，如“部分”、“长 度”。 给出的5条公设并不充分，需要补充，有些命题的证明依 据不足，或是借助了人对图形的直观感觉，或是使用了未 加证明的一些事实，如两圆相交的理由与圆的连续性有关 有的命题的证明方法过于繁琐，也有的证明中有逻辑错误 第五公设显得比较复杂，而且它在书中应用得也较晚，因 此，许多人认为它可能是一个可以由前几个公设推导出来 的定理，只是欧氏没有能够证明它才将其列为一个公设。
证明第五公设是不可能的
罗巴切夫斯基将已有的全部命题分为两部分，称独 立于第五公设的那部分命题为“绝对几何”命题。 他计划从第五公设反面出发，即假定“在平面上， 过直线外一点至少有两条直线与该直线平行”，设 法推出与绝对几何定理矛盾的命题，从而证明第五 公设。但令他感到意外的是他非但没有发现任何矛 盾，反而得到一套与绝对几何命题相容但与欧氏几 何不同的几何系统，因为这一系统与人们的直观经 验不协调，不加定义的原始概念和不加证明的 公理的基础上，遵循逻辑的推理原则、方法，一个接 一个地定义出概念、推导出定理，从而得到的一个有 序的几何学体系。
现在来看，公理并非一定要自明，如欧氏几何中的平 行公理，只是大家都承认的逻辑推理出发点。
考虑到学生的认知水平以及教学效率，学校数学会故 意多加一些公理，便于推理论证，这就不符合公理系 统独立性的要求了，是扩大了的公理化系统。所选取 的公理既不足又过剩。
23个定义
定义（1）：点没有大小 定义（2）：线有长度但没有宽度 定义（3）：线的界是点 定义（4）：直线是与其上的点看齐的线 定义（23）：平行直线是这样的一些直线，它 们在同一平面内，而且往两个方向无限延长时， 在两个方向上都不会相交
5条公设
1. 从每个点到另一点可引直线 2. 每一直线都可无限延长 3. 以任意点为中心可用任意半径作圆 4. 所有直角彼此相等 5. （在同一平面内）如果两条直线与第三条直
第六章 几何 第一讲 几何的公理化方法
历史上两种不同的数学观
Plato的观点（外部观点，理性论）
– 数学是思维中的观念，与感觉感受到的世界无关 – 哲学家的数学与商人的数学无关 – 对技术人员用物质的论据来证明有应用背景的结
果表示愤慨
Aristotle（Plato的学生）的观点（内部观点， 实验论）
解析几何
笛卡尔发明了坐标系，把欧氏空间的点变 成有序的三元数组，曲线、曲面用方程 （包括参数方程）表示，用代数方法解决 几何问题，数形结合起来诞生了解析几何 学。解析几何研究的是坐标变换下的不变 量。
改进之二：试证第五公设
反复地企图通过不同方式证明第五公设是 定理，即设法用其他简单的公理予以证明。 他们多半使用反证法，但是费尽心机，终 无结果。 19世纪中叶，高斯发现第五公设的否定命 题和其他公理是协调无矛盾的。 1829年，罗巴切夫斯基发表自己的创见， 出现最早的非欧几何文献