(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律. (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差 异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律. ab 运算结果不仅与a , b 的长度有关而 且与a 与b 的夹角有关，即 a b = a i|b |cos 〈a , b 〉.
两非零向量平行、垂直的充要条件
若 a = (x i , y i ), b = (x 2,疝， 则 a // b ? a = ?b? x i y 2— x 2y i = 0. a 丄 b ? a b = 0? x i x 2+ y i y 2= 0. 可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆.
二、课前预习 1.在四边形ABCD 中，AC = (1,2), BD = (— 4,2)，则该四边形的面积为( ) A.d 5 B . 2^/5 C. 5 2 . 已知点 A( — 1,1)、B(1,2)、C(— 2, D. 10 —1)、D(3,4)，则向量A
B 在CD 方向上的投影为 C.
3.向量a, b,c 在正方形网格中的位置如图所示, 则一 __________ . □
若 c = ?a + pb(入卩€ R ), 4.在平行四边形 AC BE = 1, ABCD 中，AD = 1, / BAD = 60 ° E 为 CD 的中点.若 则AB 的长为
___________ . ABCD 中，AB = ^2, BC = 2，点E 为BC 的中点，点 5.如图，在矩形
边CD 上，若AB AF =迈，则AE BF 的值是 I Al £
OC = y OA + x OB ，贝y x+ y 的取值范围是 题型二 平面向量的数量积 【例2 (1)已知向量a 和b 的夹角为120° a 1= 1, |b |= 3，则|5a — b | =
⑵在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,
—> —>
且满足回¥= 号，则AM AN 的取值范围是
|BC| |CD|
⑶如图，在圆O 中，若弦AB=3 , AC=5，则AO •BC 的值是
练习 2 (1)在^ ABC 中，/ A= 90° AB= 1, AC = 2.设点 P, Q 满足 AP = ?AB,
AQ = (1— ?)AC,入€ R .若 BQ C P = — 2,贝U X= ____________ .
(2)已知向量AB 与A C 的夹角为120°且|AB|= 3, |A C|= 2.若A
B =瓜B+AC,且AP 丄B C,
则实数入的值为 _________ . 三、例题分析
题型一向量的概念及线性运算 【例 1】(1)已知向量 a = (cos a — 2), b = (sin a, 1),且 a II b ,贝U tan (a — £等于 ( ) 1 1
巧 C.— 3 D . — 3
(2)已知 |O A|= 1 , |O B | = 73, OA O B = 0,点 C 在/ AOB 内，且/ AOC= 30°,设OC= mOA
+ nOB (m, n€ R ),则罗= ____________ . C.— 3 ⑶设P 为仙C 内一点，且AP =严+1AC ，则KABP 面积与MBC 的 面积比为 练习1如图所示，在△ ABC 线AB, AC 于不同的两点 中，点O 是BC 的中点，过点 O 的直线分别交直 M , N ，若 A B = mAM, A C = nAN (m, n>0),则三
+n 的最小值为 9
C.9
2.如图所示, 圆外的点D, A B, C 是圆O 上的三点， 若 OC = mOA + nOB ，则 CO 的延长线与线段 m + n 的取值范围是 BA 的延长线交于 A. (-1, 0) B. d)
c.(1,畑) D. (0,1) 3•如图，在扇形 OAB 中，/ AOB = 60° C 为弧AB 上的一个动点.若
,x + 2y 的最大值
题型三 平面向量几何意义应用
例3 (1) 已知OB= (2,0), OC = (2,2), CA = ({2cos a 仲n a,则OA 与OB 夹角的取值范围 是 ( )
A.应-1,^2 +1]
B. [72- 1, V 2+ 2]
c. [1, V 2+ 1]
D . [1 , V 2+ 2] ⑶ 如图，在四边形 ABCD 中，A B 丄B C AD D (若
-- ■・ ---- ■,■■■ ------- _ ■
I A B 卜 a, I A D I ，则 AC BD = 1
练习3设向量a , b , c 满足|a |= |b |= 1, a b =- ；〈 a - c , b -c 〉= 60°则|c 的最大值等于
B.V 3
题型四 平面向量与三角函数的综合
【例 4 已知向量 a = (cos a sin a), b = (cos x, sin x), c = (sin x+ 2sin
a, cos x+ 2cos a)，其
中 0< a(1)若a= n 求函数f(X)= bC 的最小值及相应x 的值;
⑵若a 与b 的夹角为n 且a 丄C ,求tan2a 的值. n n 12，3
"5 n n D. 12, 2 "n 5 n 52， 12J A. (2) (2013湖南)已知a , b 是单位向量，a b = 0,若向量c 满足|c -a -
b |= 1,则|
c 的取值范 围是
C. .(用实数a,b 表示)
