计算方法--矩阵特征值的数值计算方法(2011).
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（其中）
( A) a0 a1 A a2 A2 am Am , ( ) a0 a1 am m
如果x1 , x2 是属于 0的两个特征向量，
那么 k1 x1 k 2 x2 也是属于 0 的特征向量。
设3阶方阵 A 的特征值为1，2，3，求
i 1
n
其中 aii 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵
i 1
的迹，记作tr ( A) 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。
特征值与特征向量的性质
设n阶方阵A的n个特征值为 1 , 2 ,, n 则必有
（1） 12 n A
n
（2）1 2 n aii
矩阵
A的特征多项式为
1 0 5 4
0 2 (3 )(1 ) 2 1
A E 2 2
令 A E 0 当
特征值为
1 3, 2 3 1.
1 3
时，求解齐次线性方程组
( A 3E ) x 0
1 2 0 0 A 3E 2 2 2 ~ 0 2 4 4 0
设与为相似矩阵（即存 在非奇异矩阵 P使 B P 1 AP），则 (1) A与B有相同的特征值； ( 2)如果y是B的特征向量，则 Py是A的特征向量.
定理6说明，一个矩阵 A经过相似变换 (A B P 1 AP )，则A的特征值不变 .
（ 1 ） A R nn可对角化，即存在非奇 异 矩阵P使 1 2 1 P AP ... n
河北联合大学
heut-yjs@163.com heuuyjs@163.com
1 2 3 4 5 4 6
• 理论基础 • 幂 法
• 规范幂法 • 反幂法 • QR分解法 • 参考文献
概念回顾 特性回顾
方阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质
矩阵的特征值与特征向量 A ： n 阶方阵， 数 零列向量 X 使关系式 若 和 n 维非
则特征向量 2 是特征值,
1 是特征向量. X 1
矩阵的特征值与特征向量
特征方程、特征根
A E 称为方阵A的特征多项式 记作f ( )
显然，A的特征值就是特征方程的根, 也称特征根。
注意
n阶方阵A有n个特征值。 （重根按重数计算），
1 0 0 求矩阵 A 2 5 2 的特征值和特征向量。 2 4 1
（3）对任意正整数 m ，m 是矩阵 A m 的特征值；
1 A （4）当矩阵 可逆时， 是矩阵 A 1 的特征值；
并且
x 仍然是矩阵 kA, kE A, A m 的分别对应于特征值
k , k , m , 1 的特征向量。
类似：若
是A的特征值，
( )是 ( A) 的特征值；
0 0 0 1 2 1 A E 2 4 2 ~ 0 0 0 2 4 2 0 0 0
得对应的方程组为 x1 2 x2 x3 0 从而解得基础解系
2 1 p 2 1 , p3 0 0 1
的充要条件是 A具有n个线性无关的特征向量 . ( 2) 如果A R nn 有m 个( m n)不同的特征值 1 , 2 ,... m , 则对应的特征向量 x1 , x 2 ,... x m 线性无关
det(A3 2 A 4E)
设 f ( x) x 3 2x 4 ，则 f ( A) A3 2 A 4E 因为 A 的特征值为 1，2，3，所以
f ( A) A3 2 A 3E 的特征值为
f (1) ， 1
f (2) ， 4 f (3) 21
于是 det(A3 2 A 4E) (1) 4 21 84
全部特征向量为 kp2 lp3
其中数 k , l 是不同时为零的任意常数。
如果矩阵
A 满足 A2 A,
则称 A
是幂等矩阵。
（幂等矩阵的特征值只能是0或1）
特征值与特征向量的性质
设n阶方阵A的n个特征值为 1 , 2 ,, n 则必有
（1） 12 n A
n
（2）1 2 n aii
i 1
n
其中 aii 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵
i 1
的迹，记作tr ( A) 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。
特征向量间的Baidu Nhomakorabea性相关性
设 p1 , p2 ,, pm 分别为方阵 A 的属于特征值
1，2， ，m 的特征向量，如果 1，2， ，m
0 1 1 0 0 0
0 从而解得基础解系 p1 1 1
x 2 x3 0 方程组 x1 0
的全部特征向量为 kp1 其中k为任意非零常数。
当 2 3 1 时，求解齐次线性方程组 ( A E ) x 0
各不相同， 那么向量组 p1 , p2 ,, pm 线性无关。
设 A 为n阶矩阵，则矩阵A 和 A 的特征值相同。
T
设 是n 阶矩阵A 的特征值， x 是A的属于 特征值 的特征向量，则
（1）对任意常数 k ，数 k 是矩阵 kA 的特征值；
（2）对任意常数 k ，数 k 是矩阵 kE A 的特征值；
AX X
成立，则 称为方阵A的特征值， X 称为A的对应于特征值 的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量 如
1 A 2
1 4
取 2
1 X 1
1 AX 2
1 1 2 X 4 1 2
( A) a0 a1 A a2 A2 am Am , ( ) a0 a1 am m
如果x1 , x2 是属于 0的两个特征向量，
那么 k1 x1 k 2 x2 也是属于 0 的特征向量。
设3阶方阵 A 的特征值为1，2，3，求
i 1
n
其中 aii 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵
i 1
的迹，记作tr ( A) 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。
特征值与特征向量的性质
设n阶方阵A的n个特征值为 1 , 2 ,, n 则必有
（1） 12 n A
n
（2）1 2 n aii
矩阵
A的特征多项式为
1 0 5 4
0 2 (3 )(1 ) 2 1
A E 2 2
令 A E 0 当
特征值为
1 3, 2 3 1.
1 3
时，求解齐次线性方程组
( A 3E ) x 0
1 2 0 0 A 3E 2 2 2 ~ 0 2 4 4 0
设与为相似矩阵（即存 在非奇异矩阵 P使 B P 1 AP），则 (1) A与B有相同的特征值； ( 2)如果y是B的特征向量，则 Py是A的特征向量.
定理6说明，一个矩阵 A经过相似变换 (A B P 1 AP )，则A的特征值不变 .
（ 1 ） A R nn可对角化，即存在非奇 异 矩阵P使 1 2 1 P AP ... n
河北联合大学
heut-yjs@163.com heuuyjs@163.com
1 2 3 4 5 4 6
• 理论基础 • 幂 法
• 规范幂法 • 反幂法 • QR分解法 • 参考文献
概念回顾 特性回顾
方阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质
矩阵的特征值与特征向量 A ： n 阶方阵， 数 零列向量 X 使关系式 若 和 n 维非
则特征向量 2 是特征值,
1 是特征向量. X 1
矩阵的特征值与特征向量
特征方程、特征根
A E 称为方阵A的特征多项式 记作f ( )
显然，A的特征值就是特征方程的根, 也称特征根。
注意
n阶方阵A有n个特征值。 （重根按重数计算），
1 0 0 求矩阵 A 2 5 2 的特征值和特征向量。 2 4 1
（3）对任意正整数 m ，m 是矩阵 A m 的特征值；
1 A （4）当矩阵 可逆时， 是矩阵 A 1 的特征值；
并且
x 仍然是矩阵 kA, kE A, A m 的分别对应于特征值
k , k , m , 1 的特征向量。
类似：若
是A的特征值，
( )是 ( A) 的特征值；
0 0 0 1 2 1 A E 2 4 2 ~ 0 0 0 2 4 2 0 0 0
得对应的方程组为 x1 2 x2 x3 0 从而解得基础解系
2 1 p 2 1 , p3 0 0 1
的充要条件是 A具有n个线性无关的特征向量 . ( 2) 如果A R nn 有m 个( m n)不同的特征值 1 , 2 ,... m , 则对应的特征向量 x1 , x 2 ,... x m 线性无关
det(A3 2 A 4E)
设 f ( x) x 3 2x 4 ，则 f ( A) A3 2 A 4E 因为 A 的特征值为 1，2，3，所以
f ( A) A3 2 A 3E 的特征值为
f (1) ， 1
f (2) ， 4 f (3) 21
于是 det(A3 2 A 4E) (1) 4 21 84
全部特征向量为 kp2 lp3
其中数 k , l 是不同时为零的任意常数。
如果矩阵
A 满足 A2 A,
则称 A
是幂等矩阵。
（幂等矩阵的特征值只能是0或1）
特征值与特征向量的性质
设n阶方阵A的n个特征值为 1 , 2 ,, n 则必有
（1） 12 n A
n
（2）1 2 n aii
i 1
n
其中 aii 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵
i 1
的迹，记作tr ( A) 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。
特征向量间的Baidu Nhomakorabea性相关性
设 p1 , p2 ,, pm 分别为方阵 A 的属于特征值
1，2， ，m 的特征向量，如果 1，2， ，m
0 1 1 0 0 0
0 从而解得基础解系 p1 1 1
x 2 x3 0 方程组 x1 0
的全部特征向量为 kp1 其中k为任意非零常数。
当 2 3 1 时，求解齐次线性方程组 ( A E ) x 0
各不相同， 那么向量组 p1 , p2 ,, pm 线性无关。
设 A 为n阶矩阵，则矩阵A 和 A 的特征值相同。
T
设 是n 阶矩阵A 的特征值， x 是A的属于 特征值 的特征向量，则
（1）对任意常数 k ，数 k 是矩阵 kA 的特征值；
（2）对任意常数 k ，数 k 是矩阵 kE A 的特征值；
AX X
成立，则 称为方阵A的特征值， X 称为A的对应于特征值 的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量 如
1 A 2
1 4
取 2
1 X 1
1 AX 2
1 1 2 X 4 1 2