中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案

中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案

一、锐角三角函数

1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数

值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【答案】6.4米 【解析】

解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=3

6392

=⨯=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米

首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高

2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.

【答案】（1）120米；（2）23

5

. 【解析】 【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==，

'30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC=

3

3

AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ，

∴AB=sin 30AC

︒

=6012

=120（m ）

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3，

在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°，

∴DC=33AC=203

∴DE=503

∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC=

'A E DE =60503=

2

35

答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是

2

35

．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC =

81

4

．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM

（P 、Q 、M 按逆时针排序），以QC 为边在AC 上方作正△QCN ，设点P 运动时间为t 秒． （1）求cosA 的值；

（2）当△PQM 与△QCN 的面积满足S △PQM =

9

5

S △QCN 时，求t 的值； （3）当t 为何值时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．

【答案】（1）coaA=

45；（2）当t=35时，满足S △PQM =9

5

S △QCN ；（3）当t=273326-s 或

273326

+s 时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．

【解析】

分析：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即可解决问题；

（2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．利用S △PQM =

9

5

S △QCN 构建方程即可解决问题； （3）分两种情形①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．②如图4中，当点M 在CQ 上时，作PH ⊥AC 于H ．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．

∵S △ABC =12

•AC•BE=814，

∴BE=

9

2

， 在Rt △ABE 中，22=6AB BE -，

∴coaA=

64

7.55

AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，

∵S△PQM=9

5

S△QCN，

∴3

4•PQ2=

93

54

⨯•CQ2，

∴9t2+（9-9t）2=9

5

×（5t）2，整理得：5t2-18t+9=0，

解得t=3（舍弃）或3

5

．

∴当t=3

5时，满足S△PQM=

9

5

S△QCN．

（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．

易知：PM∥AC，

∴∠MPQ=∠PQH=60°，

∴3，

∴39-9t），

∴2733

-．

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．