第04章 市场风险：风险价值VaR

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4.4 VaR和资本金

Artzner等（1999）认为，一个好的风险测度应该满足： （1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件下，A组 合的收益均低于B组合，那么A组合的风险测度值一定要 大于B组合的风险测度值； 含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差，那么第 一个组合的风险一定要高，其所需要的资本金数量更大。
第04章 市场风险：风险价值VaR
王 鹏 博士 西南财经大学中国金融研究中心 wangpengcd@
引言
金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千个市场变量。 某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合价值影响的 度量指标，如Delta、Gamma、Vega等，尽管这些风险度 量很重要，但并不能为金融机构高管和监管人员提供一个 关于整体风险的完整图像。

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4.4 VaR和资本金

（2）转换不变性（Translation invariance）：如果在交易 组合中加入K 数量的现金，则风险测度值必须减少K； 含义：如果在组合中加入K 数量的现金，则该现金可以为 损失提供对冲，相应的准备金要求也应该可以减少K。
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4.4 VaR和资本金

EStq = − Et −1 rt rt < −VaRtq
(
)
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4.3 VaR与预期损失

ES也是两个变量的函数：持有期T 和置信度X。 例如，当X ＝99，T ＝10天时，VaR＝6400万美元的ES是 指在10天后损失超过6400万美元时的期望值。 ES比VaR更符合风险分散原理。

（3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产组合所包含 的资产品种和相对比例不变，但资产数量增至原来数量的 n （n > 0）倍，则新组合的风险测度值应该原组合风险测 度值的n倍； 含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的资本金要求也 应该放大两倍。

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4.4 VaR和资本金

（4）次可加性（Sub-additivity）：由两种资产构成的投资 组合的风险测度值应小于等于两种资产各自风险测度值之 和。 含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”的经典 风险管理思想一致，即分散化投资的风险一定要小于等于 集中化投资的风险。 VaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远满足条 件（4）。
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4.5 满足一致性条件的风险度量

在2.5％的尾部概率中，有2％的概率损失1000万美元，有 0.5％的概率损失100万美元。 因此，在2.5％的尾部分布范围内，有2％（占2.5％的80％） 的可能损失1000万美元，有0.5％（占2.5％的20％）的可 能损失100万美元。 预期损失ES为0.8×10＋0.2×1＝8.2（百万美元）


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4.2 VaR的计算例子


Example 4
续上例，试求99.5％置信度下的VaR 上图显示，介于400万美元和1000万美元中的任何损失值 出现的可能性都不超过99.5％。 VaR在这一情形下不具备唯一性 一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值，即 99.5%置信度下的VaR为700万美元。
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4.4 VaR和资本金

在时间期限为1年，97.5％的置信度下，贷款组合的VaR为 1100万美元，单笔贷款对应的VaR之和为200万美元。 贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元 违反次可加性


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4.4 VaR和资本金


Example 6
考虑两笔期限均一年，面值均为1000万美元的贷款，每笔 贷款的违约率均为1.25％。 当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但回 收率介于0～100％的可能性均等。 当贷款没有违约时，每笔贷款盈利均为20万美元。

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4.2 VaR的计算例子


Example 1
假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布 的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。 由正态分布的性质可知，收益分布的1％分位数为 2-2.33×10，即-21.3。 因此，对于6个月的时间期限，在99％置信度下的VaR为 21.3（百万美元）。


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4.5 满足一致性条件的风险度量

满足单调性、转换不变性、同质性、次可加性等四个条件 的风险测度被称为“一致性风险测度” VaR不是一致性风险测度，而ES是一致性风险测度



Example 7
继续考虑例5。每笔贷款的VaR均为100万美元，现在要计 算置信度为97.5％的尾部期望损失。

－ VaR的概念 － VaR的计算例子 － VaR与ES － VaR与资本金 － VaR中的参数选择 － 后验分析（Backtesting analysis）
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4.1 VaR的定义

VaR：我们有X％的把握，在未来T 时期内，资产组合价值 的损失不会大于V。 V ：资产组合的VaR VaR是两个变量的函数：持有期T 和置信度X% VaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得出，也可 以由投资组合损失（Loss）的概率分布得出。


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4.4 VaR和资本金

贷款组合99％的VaR是多少？ 要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。 设该损失值为X，有：


1000 − X × 2.5% = 1% 1000

解得：X＝600（万美元）
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4.4 VaR和资本金

由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20万美元，因 此将这一盈利考虑在内，可得贷款组合1年期99％的VaR ＝580万美元。 单笔贷款的VaR之和＝200＋200＝400（万美元） 这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效应”的论断 相悖。


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4.3 VaR与ES

然而，VaR却有会使交易员有冒更大风险的缺陷。 例如，一家银行限定某个交易员的投资组合在未来一天内 99％的VaR额度为1000万美元，该交易员可以构造某一资 产组合，该组合有99.1％的可能每天的损失小于1000万美 元，但有0.9％的可能损失5000万美元。 这一组合满足了银行的监管规定，但很明显，交易员使银 行承担了不可接受的风险。


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4.4 VaR和资本金

假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款一定不会违 约。 首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25％。如果发生违约， 损失均匀地介于0～1000万美元，这意味着损失大于零的 概率为1.25％；损失大于500万的概率为0.625％；损失大 于1000万的概率为零。
0 概率：1.25％ 29/64 1000

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4.3 VaR与预期损失

ES的缺陷：形式较为复杂且不如VaR更为直观；较难进行 后验分析。

ES也已在监管机构和风险管理人员中得到了广泛应用。
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4.4 VaR和资本金

VaR被监管机构用来确定资本金的持有量。 对于市场风险，监管机构往往要求资本金等于在未来10天 99％VaR的若干倍数。 对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求在资本金计 算中，要采用1年的持有期和99.9％的置信度。


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4.5 满足一致性条件的风险度量

将两个贷款项目结合到一起时，在2.5％的尾部概率中，有 0.04％的概率损失2000万美元，有2.46％的概率损失1100 万美元。 因此，在2.5％的尾部分布内，预期损失ES为(0.04/2.5)× 20＋(2.46/2.5)×11=11.144（百万美元） 2×8.2 > 11.144，故该例中，ES满足次可加性。


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引言

风险价值VaR （Value at Risk）是试图对金融机构的资产 组合提供一个单一风险度量，这一度量能够体现金融机构 所面临的整体风险。 VaR最早由J. P. Morgan投资银行提出，随即被各大银行、 基金等金融机构采用。

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引言

目前，VaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上 不同地区银行的风险资本金，包括针对市场风险、 信用风险和操作风险的资本金。 本章内容：


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4.2 VaR的计算例子


Example 3
一个1年期项目，有98％的概率收益200万美元，1.5％的概 率损失400万美元，0.5％的概率损失1000万美元。
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4.2 VaR的计算例子

在这样的累积分布下，对应于99％累积概率的损失为400 万美元。 VaR＝400万美元 可以这样描述：我们有99％的把握认为在未来1年后该项 目损失不会超过400万美元。
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4.3 VaR与ES

在应用VaR时，实际上是在问“最坏的情况将会是怎样”， 这一问题是所有金融机构高级管理人员都应关心的问题。 VaR将资产组合价值对各种不同类型市场变量的敏感度压 缩成一个数字，这使管理人员的工作大为简化。 另外，VaR也比较容易进行后验分析（Backtesting analysis）。


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4.4 VaR和资本金

对于99.9％的置信度和1年时间，某个组合的VaR为5000万 美元，这意味着在极端条件下（理论上，每1000年出现一 次），该组合在1年时间内的损失会超过5000万美元。 也就是说，我们有99.9％的把握认为，持有该组合的金融 机构不会在1年内完全损失所持有的资本金。 如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度选择吗？
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4.2 VaR的计算例子


Example 2
假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元损失和 5000万美元收益之间，中间的任意结果具有均等的可能性。 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀 分布，损失大于4900万美元的可能性为1％。 因此，在1年后，基于99％置信度的VaR为4900万美元。

4.4 VaR和资本金

1年期99％的VaR是多少？ 要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。 设该损失值为X，有：


1000 − X × 1.25% = 1% 1000

解得：X＝200。 对单笔贷款， VaR＝200 （万美元）
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4.4 VaR和资本金

综合考虑两笔贷款。 由于每笔贷款的违约概率均为1.25％，且两笔贷款不可能 同时违约，所以两笔贷款中有一笔贷款违约出现的概率为 2.5%。 违约触发的损失介于0～1000万美元的概率为均等。


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4.3 VaR与ES

交易员所追求的概率分布：
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4.3 VaR与ES

许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更大的收益。

某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控制系统会使 我的交易无法进行”。
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4.3 VaR与预期损失


预期损失ES
一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的风险测度为 预期损失－ES（Excepted shortfall），有时又被称为“条 件VaR”（conditional VaR）、“条件尾部期望 （conditional tail expectation）”、“尾部损失”（tail loss）。 ES：超过VaR的损失期望值
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4.1 VaR的定义

当采用收益分布时，VaR等于收益分布第(100-X) %分位数 的负值
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4.1 VaR的定义

当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X% 分位数。 例：当T =5，X =97%时，VaR对应于投资组合在5天后收 益分布的3％分位数的负值，也对应于投资组合在5天后损 失分布的97％分位数。
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4.4 VaR和资本金


Example 5
假定两个独立的贷款项目在1年内均有2％的概率损失1000 万美元，同时均有98％的概率损失100万美元，因此，任 意一个单笔贷款在期限为1年、置信度为97.5％下的VaR均 为100万美元。 将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有0.02×0.02＝ 0.0004的概率损失2000万美元，有2×0.02×0.98＝0.0392 的概率损失1100万美元，有0.98×0.98＝0.9604的概率损失64
4.5 满足一致性条件的风险度量

一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均 就损失分布而言，VaR对第X 个分位数设定了100％的权重， 而对其它分位数设定了0权重； ES对高于X ％分位数的所有分位数设定了相同的权重，但 对低于X ％分位数的所有分位数设定了0权重。 基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所有分 位数赋予不同权重，并由此定义“光谱型风险测度” （Spectral risk measure）。