求多元函数极限的方法

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多元函数的泰勒公式与极限

多元函数的泰勒公式与极限多元函数的泰勒公式是数学中重要的概念，它与极限有密切关系。

在本文中，我们将介绍多元函数的泰勒公式以及其与极限的关联。

首先，让我们回顾一元函数的泰勒公式。

对于一元函数$f(x)$，其在$x=a$处的泰勒展开式可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，以此类推。

泰勒公式可以将函数在$x=a$附近的值用无穷项级数展开，使我们能够近似计算函数在该点的值。

现在我们将泰勒公式推广到多元函数。

考虑一个二元函数$f(x,y)$，我们希望在点$(x=a,y=b)$处进行泰勒展开。

多元函数的泰勒公式可以表示为：$$f(x,y) = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b) + \frac{1}{2!} \left( \frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(a,b)(x-a)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 \right) + \cdots$$其中$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$表示函数$f(x,y)$在点$(x=a,y=b)$处对$x$的偏导数，$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$表示对$y$的偏导数，类似地，$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)$表示二阶偏导数，以此类推。

多元函数求极值

多元函数求极值摘要：本文总结了多元函数求极限的各类方法，以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。

一、多元函数极限的定义存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同例1.1：求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解：法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2：用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解：因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right，=，y，\cdot\frac{，xy，}{x^2+y^2}\leqslant，y，\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而，对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right，<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3：求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明： \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant\varepsilon\\即 \left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right， =\biggl，x^2+y^2\biggl，\cdot\biggl，\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立．二、多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。

多元函数求极限

多元函数求极限多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。

有界函数放缩为固定值/常用不等式？去分母？例2.1：求极限: limx→0y→0sin⁡(x2y+y4)x2+y2 .解：因为|sin⁡x|⩽|x| ,因而有0≤|sin⁡(x2y+y4)x2+y2|≤|x2y+y4x2+y2|≤x2x2+y2×|y|+y2x2+y2×y2≤|y|+y2→0例2.2：求极限limx→+∞y→+∞(xyx2+y2)x2解：注意到：0≤xyx2+y2≤12(x2+y2)x2+y2=12所以：0≤(xyx2+y2)x2≤(12)x2→0由夹逼准则知极限为0例2.3：（中科院，2016）求极限limx→∞y→∞x+yx2−xy+y2解：法I. 由于|x+yx2−xy+y2|≤|1y+1x||xy−1+yx|≤|1y+1x||xy+yx|−1≤|1y+1x|→0故由夹逼准则知极限为0法II. 由于|x+yx2−xy+y2|≤2|x+y|x2+y2≤2|x|+|y|x2+y2≤2(1|x|+1|y|)→0故由夹逼准则知极限为0法III. 注意到x2+y2−xy≥2xy−xy=xy由于|x+yx2−xy+y2|≤|x+yxy|≤(1|y|+1|x|)→0极坐标：，，x2+y2，x3+y3，x4+y4...都可以考虑极坐标例2.4：求极限lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2解：令x=ρcos⁡θ , y=ρsin⁡θ , 则极坐标有界无穷小量lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2=极坐标limρ→0ρ3(cos3⁡θ+sin3⁡θ)ρ2=limρ→0ρ(cos3⁡θ+sin3⁡θ)⏟有界×无穷小量=0=0整体替换化为一元函数：可以分拆，可以整体代换的重极限可以尝试。

当变成一元函数那方法就多了，如：等价，洛必达，泰勒...... 例2.5：求极限: limx→+∞y→+∞(x2+y2)e−(x+y) .解：由于0<(x2+y2)ex+y=x2ex+y+y2ex+y≤x2ex+y2ey而洛必达洛必达limx→+∞x2ex=洛必达limx→+∞2xex=洛必达limx→+∞2ex=0洛必达洛必达limy→+∞y2ey=洛必达limy→+∞2yey=洛必达limy→+∞2ey=0故由夹逼准则知limx→+∞y→+∞(x2+y2)e−(x+y)=0注意：多元函数洛必达教材没有，不可用！例2.6：求极限lim(x,y)→(0,0)x2ln⁡(x2+y2)=0解：因为lim(x,y)→(0,0)x2ln⁡(x2+y2)=lim(x,y)→(0,0)x2x2+y2(x2+y2)ln⁡(x2+y2)令x2+y2=t则t→0+那么lim(x,y)→(0,0)(x2+y2)ln⁡(x2+y2)=limt→0+tln⁡t=limt→0+ln⁡t1/t=limt →0+1/t−1/t2=0所以lim(x,y)→(0,0)x2ln⁡(x2+y2)=0例2.7：求极限lim(x,y)→(0,0)xln⁡(x2+y2)解：因为limx→0y→0xln⁡(x2+y2)=2limx→0y→0xx2+y2x2+y2ln⁡x2+y2令x2+y2=t则t→0+那么lim(x,y)→(0,0)x2+y2ln⁡x2+y2=limt→0+tln⁡t=limt→0+ln⁡t1/t=limt→0+1/t−1/t2=0所以lim(x,y)→(0,0)xln⁡(x2+y2)=0例2.8：求极限lim(x,y)→(0,0)x2+y2−sin⁡x2+y2(x2+y2)3/2解：lim(x,y)→(0,0)x2+y2−sin⁡x2+y2(x2+y2)3/2=x2+y2=ρlimρ→0ρ−sin⁡ρρ3=limρ→0ρ−(ρ−16ρ3+o(ρ3))ρ3=16。

多元函数求极限的方法

多元函数求极限的方法在学习多元函数求极限的方法时，我们需要掌握一些基本的概念和技巧。

多元函数的极限是指当自变量趋于某一点或无穷远时，函数的取值趋于一个确定的值。

接下来，我们将介绍多元函数求极限的几种常用方法。

首先，我们来看一下多元函数极限存在的条件。

对于二元函数来说，当自变量(x, y)在点(x0, y0)的任何一个邻域内，函数值都无限接近于一个确定的常数L时，就称函数f(x, y)在点(x0, y0)处有极限，记作lim(f(x, y)) = L。

这里需要注意的是，这里的邻域可以是任意小的开区域，而不仅仅是点(x0, y0)的某个小邻域。

接下来，我们将介绍多元函数求极限的方法。

首先是直接法，即通过代入法来求解多元函数的极限。

这种方法适用于一些简单的多元函数，通过直接代入自变量的值，可以求得函数在某一点的极限值。

其次是夹逼法，这种方法常用于证明多元函数在某一点的极限存在。

夹逼法的核心思想是通过构造两个函数，一个比原函数小，一个比原函数大，并且它们的极限值相等，从而得出原函数的极限存在并且等于夹在中间的函数的极限值。

另外，我们还可以利用极坐标法来求解多元函数的极限。

极坐标法适用于一些具有极坐标对称性的函数，通过将自变量用极坐标表示，可以简化函数的求解过程，从而得出极限值。

最后，我们还可以通过换元法来求解多元函数的极限。

换元法的核心思想是通过一些变量替换或者代换，将原函数转化为一个更容易求解的形式，从而得出极限值。

综上所述，多元函数求极限的方法包括直接法、夹逼法、极坐标法和换元法等。

在实际应用中，我们需要根据具体的函数形式和求解的难度来选择合适的方法，从而准确求解多元函数的极限值。

希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和掌握多元函数求极限的技巧。

多元函数的极限与连续性

多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。

本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。

一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。

在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。

我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。

即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。

二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。

具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。

三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。

其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。

四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。

但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。

根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。

五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。

具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。

多元函数求极限方法

多元函数求极限方法多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一，它与微积分、数学分析等领域密切相关。

在学习多元函数求极限的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧。

下面，我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。

一、直接代入法直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。

当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时，可以先将这个点的坐标代入到这个函数中，从而得到一个实数值。

如果这个实数值存在且唯一，那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。

例如，对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y)，当(x,y) = (1,1)时，我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到：f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1因此，在点(1,1)处，该二元函数的极限值为1。

二、夹逼定理夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。

夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。

夹逼定理的核心思想是，如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间，而这两个函数的极限值相等，那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。

例如，对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)，我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。

首先，我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y)，使得：g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)h(x,y) = 1显然，在点(0,0)处，g(x,y)和h(x,y)都等于1。

因此，我们可以将f(x,y)表示为：h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y)当x和y趋近于0时，g(x,y)趋近于1，而h(x,y)趋近于1。

因此，根据夹逼定理，f(x,y)在点(0,0)处的极限值也应该等于1。

三、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用于计算多元函数积分、求解多元函数最大值和最小值以及判断多元函数是否可积等方面的工具。

多元函数求极限例题

多元函数求极限例题多元函数求极限是微积分学中一个重要的概念，也是应用数学和科学工程中经常遇到的问题。

在本文中，我们将讲解多元函数求极限的概念和例题。

一、概念解析多元函数可以看做是具有多个自变量的函数，例如f(x,y)。

多元函数的求极限可以看做是在自变量逐渐逼近一个确定值的情况下，函数值的趋势。

即当(x,y)趋近于点(x0,y0)时，f(x,y)可能无限逼近某个值，这个值就是(x0,y0)点的极限。

二、例题解析1. 例题一：求f(x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 + x * y在点(1, -1)处的极限。

解：对于多元函数f(x, y)，我们可以采用依次逼近法来求解极限。

即将自变量沿着曲线或直线从不同方向逐渐逼近给定的点。

首先，我们可以以(1, -1)为中心，沿着x轴方向逼近，此时f(x, y) = (x - 1) ^ 2 + y ^ 2 - 2，当x趋近于1时，f(x, y)趋近于-2。

然后，我们以(1, -1)为中心，沿着y轴方向逼近，此时f(x, y) = x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 - 1，当y趋近于-1时，f(x, y)趋近于1。

综上所述，极限不存在。

2. 例题二: 求f(x, y) = sin(xy) / xy 的极限。

解：对于这道例题，我们可以将其转化为一元函数，令u = xy，则函数变为f(x, y) = sin u / u。

然后，我们可以以(0, 0)为中心，沿着某个代码逼近。

比如，以x = 0的直线为例，此时f(x, y) = sin y / y，当y趋近于0时，f(x, y)趋近于1。

根据夹逼定理，当x^2+y^2趋近于0时，f(x,y)也趋近于1。

因此，原函数在(0,0)点极限为1。

三、总结在求解多元函数极限时，可以采用依次逼近法，将自变量沿着曲线或直线从不同方向逐渐逼近给定的点。

同时，我们要掌握夹逼定理的应用，通过夹逼来判断函数的极限是否存在。

多元函数的极限

多元函数的极限摘要:多元函数是是一元函数的推广，由于自变量个数的增加，函数的极限和连续与一元函数相比复杂了很多。

本文研究了多元函数的极限与连续，文章第一部分通过例题的形式总结了求解多元函数极限的几类方法。

而极限与连续是紧密联系的，在本文第二部分中，我们讨论了连续、对单变量连续、以及一致连续之间的关系。

关键词:多元函数;极限;连续一元函数只有一个自变量，它所能描述的只是客观现实中的很少一部分事物的变化，而更多的情形需要我们考虑多因素影响下事物的变化规律。

例如，矩形的面积依赖于两个量:长和宽;长方体的体积则依赖于三个量:长、宽和高;而空间每一点温度的变化不仅依赖于每一点的位置(x,y,z)，而且还随时间的变化而变化，这时它依赖于四个变量。

因此，为了研究这些比较复杂的问题，我们需要在一元函数的基础上增加自变量的个数。

这就是多元函数。

和一元函数一样，极限与连续是研究多元函数微积分的基础。

自变量由一个变成多个，一方面，多个要以一个为前提。

因此，我们学过的一元函数的极限、连续性与微积分，对多元函数的学习是必不可少的。

另一方面，由单个自变量到多个，也必然会有本质的变化。

变化之一是，一个自变量作为直线上的点是有大小顺序的，而多个自变量，例如两个自变量，作为平面上的点是没有大小顺序的。

本质变化之二是，对直线上固定的一点，其它点趋向于它只有左右两个方向，十分简单，而平面上则有无穷多个方向。

因此，掌握从一元到多元的差异，应该是在学习多元函数中需要特别注意的。

从一元到二元，是需要许多新思想的，但从二元到多于二元，新的思想就不多了，只是形式和计算上会复杂很多。

因此，其它多元函数可以仿照二元函数的性质来研究。

下面我们从二元函数说起，来研究多元函数的极限和连续。

1 多元函数的极限1.1重极限1.1.1定义及性质2,定义1.1:设f是定义在DR上的二元函数，为D的一个聚点，A是一P0。

,个确定的数。

若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P(;δ)?DPU0时，都有f(P)-A<ε，则称f在D上当时以A为极限，记作f(P)=A.PP,lim,,0PP,0PD,,在对于PD不致产生误解时，也可以简单地写作limf(P)=A. PP,0当P, 分别用坐标(x,y),()表示时，也可以记作Pxy00,0=A. lim,fxy，，(,)()xyxy,0,0下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则。

ch7-6-多元函数求极值

umax 63 42 2 6912. 故最大值为
小结
• 多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件） • 多元函数的最值 • 条件极值（拉格朗日乘数法）
练习
1 求函数f ( x, y ) 4( x y ) x 2 y 2的极值. 2 求函数f ( x, y ) e 2 x ( x y 2 2 y )的值.
A 0,B2 AC 4e2 0
故函数在点 ( 1 1 e ,1)处取得极小值 f( ,1) 2 2 2
(3)某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY • 求该公司在生产总量为30单位时使得总成本最低的产量？ • 解：目标函数C= X2+3Y2-XY • 约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）
(4)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数，f(x,y)=60x ¾ y ¼,若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入30000元资金用于生产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多？ • 解：目标函数f(x,y)=60x ¾ y ¼ • 约束条件 x+2y=300（即x+2y-300=0 ）
最大利润为1650单位。
(3)某企业生产两种产品的数量分别为x单位和y单位，单价分别为：200,150，总成本函数为 C ( x, y) 2 x 2 y 2 求最大利润。 L( x, y) R( x, y) C ( x, y) (200 x 150 y) (2 x 2 y 2 ) 解：

解：令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,

大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法

第三步：定出 AC − B 2 的符号，再判定是否是极值。
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点，是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
机动
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )

求多元函数极限的方法

求多元函数极限的方法多元函数的极限是指当自变量趋于其中一点时，函数的取值趋近于其中一值或趋近于无穷大的特性。

下面将介绍几种求多元函数极限的方法。

1.代数方法：代数方法是通过对多元函数进行代数运算，得到与之等价但更容易求解极限的函数形式。

常见的代数方法有因式分解、有理化、换元等。

例如若要求多元函数lim(x,y)→(0,0) [(x^2 - y^2)/(x - y)]，其中(x,y)表示二维平面上的点，则可以进行因式分解，得到lim(x,y)→(0,0) [(x+y)(x-y)/(x-y)] = lim(x,y)→(0,0) (x+y) = lim(x,y)→(0,0) x + lim(x,y)→(0,0) y = 0+0=0，从而求得极限为0。

2.几何方法：几何方法是通过将多元函数表示为几何图形，通过观察几何图形的特征来求解极限。

常见的几何方法有夹逼定理、极坐标系等。

例如若要求多元函数lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)，可以将多元函数表示为平面上的点(x,y)到点(0,0)的距离与x^2+y^2的比值。

由于距离必大于或等于0，而距离为0时，函数的取值为0，因此当x^2+y^2趋近于0时，函数取值必趋近于0。

3.极限运算法则：极限运算法则是多元函数的极限性质与一元函数极限性质之间的对应关系。

常见的极限运算法则有加法法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则、反函数法则等。

通过应用极限运算法则，可以将复杂的多元函数极限化简为简单的一元函数极限。

例如若要求多元函数lim(x,y)→(a,b) [f(x,y)g(x,y)/h(x,y)]，其中f(x,y)，g(x,y)，h(x,y)为多元函数，可以将其化简为lim(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim(x,y)→(a,b) g(x,y) /lim(x,y)→(a,b) h(x,y)，再根据一元函数的极限性质求解。

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。

介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。

函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。

有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。

举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。

还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。

一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。

多元函数的极限存在判定

多元函数的极限存在判定在数学领域中，多元函数的极限存在与否是一个重要的问题。

本文将介绍多元函数的极限存在的判定方法，并提供一些例子来帮助读者更好地理解这些概念和方法。

一、多元函数的极限定义在讨论多元函数的极限存在与否之前，我们需要先了解多元函数的极限的定义。

设函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是定义在某区域$D$上的多元函数，$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$是$D$中的固定点。

如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当点$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$满足条件$0<\sqrt{(x_1-a_1)^2 + (x_2-a_2)^2 + \ldots + (x_n-a_n)^2}<\delta$时，不等式$|f(x_1, x_2, \ldots, x_n)-A|<\varepsilon$成立，则称函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$在点$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$处的极限为$A$，记作$\lim\limits_{(x_1, x_2, \ldots, x_n) \rightarrow (a_1, a_2,\ldots, a_n)}f(x_1, x_2, \ldots, x_n)=A$。

二、多元函数的极限存在判定方法1. 二重极限判定法：对于二元函数$f(x, y)$，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$(x, y)$满足$0<\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}<\delta$时，不等式$|f(x, y)-A|<\varepsilon$成立，则$f(x, y)$在点$(a, b)$处的极限存在。

2. 存在唯一性判定法：如果一个多元函数在点$(a_1, a_2, \ldots,a_n)$处的极限存在且唯一，则称该极限存在。

求多元函数极限的方法

求多元函数极限的方法【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。

而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。

【1】【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。

这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，212(3)3n n n n a a a a a a++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则1!lim!nk n k n =→∞∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。

【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。

1 利用极限定义的思想观察函数的极限例1、讨论当x →12时函数y =21x x +的极限。

我们列出了当x →12时某些函数值，考察从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2时，y =21x x +的极限是0.75。

2、利用四则运算法则求极限例2（1）求23321lim(4)x x x →-+（2）221lim 21x x x →-+解（2）221lim 21x x x →-+=222lim(1)3lim(21)5x x x x →→-=+3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限例3求01lim sinx x x→ 解因为0lim x x →=0，且1sin1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x→=04、利用两个重要极限求极限例4 求11lim sinlim(1)x x x x x x→∞→∞- 解1lim sin x x x →∞=1sinlim 1x x x→∞=1（因为x →∞时10x→）。

多元函数极限与连续性的性质及求解方法

多元函数极限与连续性的性质及求解方法在数学中，多元函数极限与连续性是非常重要的概念。

了解多元函数的极限与连续性的性质，以及相关的求解方法，对于深入理解和应用多元函数的数学知识具有重要意义。

一、多元函数极限的性质与求解方法1.1 多元函数极限的定义多元函数极限是指当自变量趋于某个确定值时，函数变量的极限。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果存在常数L，对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ，当0<(|x1−a1|+|x2−a2|+⋯+|xn−an|)<δ时，总有|f(x1, x2, ..., xn)−L|<ε成立，则称L是函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限。

1.2 多元函数极限的性质(1) 多元函数极限存在性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它是唯一的。

(2) 多元函数极限的局部性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它在点(x1, x2, ..., xn)的某个邻域内必然存在。

(3) 多元函数极限与一元函数极限之间的关系：多元函数可以分解为一元函数，所以多元函数极限可以通过一元函数极限的方法来求解。

1.3 多元函数极限的求解方法(1) 代数运算法：利用多元函数的代数运算性质，如加减乘除、乘幂、复合函数等，将多元函数转化为一元函数，然后利用一元函数的极限求解方式来求解多元函数的极限。

(2) 两变量函数的二次折线法：对于两个变量的多元函数，可以采用二次折线法来求解。

具体步骤是：首先取一个路径，沿该路径逼近极限点，然后通过二次折线逼近法构造两个逼近值，如果这两个逼近值相等，则可得到极限值；如果不等，则重新选择路径再进行逼近。

(3) 极坐标法：对于特定形式的多元函数，可以采用极坐标法来求解。

具体步骤是：将自变量用极坐标表示，然后将多元函数转化为单变量极坐标函数，再利用一元函数的极限求解方法来求解。

多元函数极限

多元函数极限多元函数极限是一种数学概念，它用来描述一个多元函数在一定极限点上的表现特征。

一个多元函数的极限是根据它的分量函数的极限来求得的，即当其自变量接近某一值时，函数值接近某一值。

换句话说，当自变量x趋近至某一值时，多元函数f(x)的极限存在。

多元函数极限的计算主要分为直接计算和迭代计算两种方法。

直接计算的方法是求多元函数极限的一般形式，即求多元函数的极限时，将多元函数的极限分解为原来的分量函数的极限，再将这些极限组合在一起，最终得出多元函数的极限值。

迭代计算的方法通过重复求分量函数的极限，最终得出多元函数的极限值。

多元函数极限的种类有很多，这些多元函数极限可以分为基本极限、指数极限、对数极限以及幂函数极限4类。

基本极限是指当函数中所有变量都趋近无穷时，函数值也趋近无穷。

指数极限是指当函数中某一变量值接近无穷时，函数值也趋近无穷。

对数极限是指当函数中一个变量值等于另一个变量的函数值的极限。

幂函数极限是指当函数中一个变量值接近另一个变量的函数值的极限，即当一个变量值很接近另一个变量值时，函数的极限存在。

多元函数极限的计算是一种复杂的任务，但只要掌握了正确的计算方法，就可以轻松计算出多元函数极限，而且这些极限技术也可以用来解决一些复杂的问题。

多元函数极限的应用涉及到信号处理、控制系统、函数反演等领域，也是多个科学领域的重要数学建模工具。

它的应用不仅有助于理解和研究一些复杂的系统，而且还有助于控制系统的设计。

它为科学家提供了一种理解自然界表现形式的强有力工具。

总之，多元函数极限为人们提供了一种理解自然界作用规律的理论和方法，并且在科学技术领域中有着广泛的应用前景。

复旦大学高等数学C(下)方法技巧归纳

高等数学C 基本方法技巧总结一、多元函数求极限的方法：1、直接代入法（有限次不改变连续性，函数值=极限值）2、整体法如：4112lim,0=-+→→xy xy y x3、不等式放缩，使得原式绝对值小于等于一个有极限的式子，则存在极限（如果极限为0，则就为0）；原式绝对值大于等于一个没极限的式子（如：22)0,0(,limyx xy y x +→，一种证明方法即设kx y =，发现不同方向，极限值不同，但不可以用它来证明极限存在）4、利用以前的，如幂指函数（换底、用基本极限），等价无穷小5、不等式放缩，然后夹逼如：1)(lim 22222)0,0(,=+→yxy x y x （22222)(2y x y x +≤）6、极坐标代换（适合于分式结构，分母有22y x +）如：)(lim22)0,0(,=+-→yx x x y y x（设0)0,0(),(sin ,cos →→==ρθρθρ时，，且y x y x ）0)(lim22)0,0(),(=++→yx y x y x αα的范围，使得确定（2>α）7、分子（母）有理化如：211lim)0,0(,=-+→xy xy y x8、一些常用的等价无穷小3221~sin tan ~1)1(~)1ln(~121~cos 1xx x x x x x x e xx x--++--αα如：)21(11lim)0,0(),(y x y x y x +-++→)2(1)12tan(lim22)21,21(),(-+-++→y x y xy x y x9、一些能拆的就拆掉如：0)()cos(1lim222222)0,0(,=++-→yx y x ey x y x10、对于有界量的处理：如：()0lim1sin 1sin lim )0,0(,)0,0(,=+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→→y x x y y x y x y x11、利用积分中值定理解题：如：求极限dxdyy x etty x yx t )cos(1lim222222+⎰⎰≤++→（先说明连续，则可以用定理，答案：π）12、利用导数定义方法（下题中，没说函数连续，只说在一点处可微，而用定义法求导！！！）))0(32()(lim 0)0('3220222f tdxdyy x f f f ty x t π⎰⎰≤+→+=+求。

多元函数求极限的方法

多元函数求极限的方法在学习多元函数的极限时，我们需要掌握一些方法和技巧，以便准确地求解极限。

本文将介绍多元函数求极限的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识。

首先，我们来看一下多元函数的定义。

多元函数是指自变量不止一个的函数，通常用向量表示。

在求多元函数的极限时，我们可以利用以下几种方法：1. 代数方法。

代数方法是求多元函数极限的基本方法之一。

通过代数方法，我们可以将多元函数化简为一元函数，然后再求极限。

这种方法在一些特殊的情况下非常有效，可以大大简化问题的求解过程。

2. 几何方法。

几何方法是求多元函数极限的另一种重要方法。

通过几何方法，我们可以将多元函数的极限问题转化为几何图形的性质问题，从而更直观地理解和求解极限。

3. 极坐标法。

对于一些复杂的多元函数，我们可以利用极坐标法来求极限。

通过将自变量用极坐标表示，可以简化问题的求解过程，使得极限的计算更加方便和直观。

4. 逼近法。

逼近法是一种常用的多元函数求极限的方法。

通过逼近法，我们可以将多元函数的极限问题转化为一系列一元函数的极限问题，从而更容易地求解多元函数的极限。

5. 夹逼定理。

夹逼定理是求多元函数极限的重要定理之一。

通过夹逼定理，我们可以利用已知函数的极限性质，来求解复杂多元函数的极限，是一种非常有效的方法。

总结起来，多元函数求极限的方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题，灵活选择合适的方法来求解多元函数的极限，以便更准确地得到极限的值。

希望本文介绍的多元函数求极限的方法能够对大家有所帮助，让大家能够更好地理解和掌握多元函数的极限知识。

同时也希望大家能够在学习和应用中不断总结经验，提高自己的数学水平。