习题课一_杆件内力图

L x 2L 0 xL
L
连线 B AB段线性 BC段线性 B截面没有集中载荷作用 A
B
S AB l
L
B
x
A
0
A
3
2013‐03‐03
例2: 一等腰三角形柱，底为a，高为h，厚为b，受重力作 用，写出轴力方程及轴力图。
分段 求载荷集度p(x)
求载荷集度p(x)
c hx a h
FＡ A
m m
F1 B
n n C
F2
p p
F3 D
q q
F4 x E
FＡ A
m m
F1 B
n n C
F2
p p
F3 D
q q
F4 x E
AB段：
CD段： FN ( x3 ) F1 FA F2 2 F
(0 x1 a )
FNB S AB l
FNC S AB l S BC l l S AB S BC
L
B
pBC x S BC
p AB x S AB
B 常数! L=50m
B截面承受AB段的重力 C截面承受AB、BC段重力之和 A
A
dFN p x dx
x
例题1
F1

梁由一个固定铰链支座 和一个辊轴支座所支承， 和一个辊轴支座所支承 ，但

轴力 扭矩 剪力和弯矩
F2
A
q
D
是梁的一端向外伸出， 是梁的一端向外伸出 ，这种 梁称为 外伸梁 (overhanging beam) beam ) 。 梁的受力以及各部
a qa
B
FAy
4a
FBy
分尺寸 尺寸均示于图中 均示于图中。 。求剪力 方程及弯矩方程并画图 。
1 c a 1 x h
1 dG g a1 x b dx h
c
dx
dG
x h
dFN p x dx
x
dG 1 p x g ab1 x dx h
FN x p x'dx '
M t N m 9549
P kW nr min
• 判断各段扭矩形式
– 没有均布外力扭矩作用，T(x)为常数
• 求解各截面扭矩T
– 轮4截面分析
T4 477.45 477.45 N m T4 1050.39 477.45 1527.84 N m T4 T4
Me
4
2013‐03‐03
• 简化模型
Me Me Me Me Me M Me
芯轴
轴套
Me
芯轴
轴套
Me
• 例：图示传动轴的转速n为200r/min，主动轮2输 入功率55kW，从动轮1、3、5的输出功率分别为 10kW、13kW、10kW，画出传动轴的扭矩图。
• 判断外力扭矩方向
1 2 3 4 5
n 1 2 3 4 5 主动轮
• 求解各截面扭矩T
– 轮2截面分析
T2 T3 T2 T1 T2 T2
T3
T3
6
2013‐03‐03
T1 477.45
T2 477.45 T2 2148.53
T3 2148.53
T3 1527.84
T4 1527.84 T4 477.45
F1 a x2 B n FN(x2) n
( a x2 2 a )
DE段： FN ( x4 ) F4 F
(3a x4 4a )
q FN(x4) x4 4a q F4 E
内力方程为：
AB段：FN ( x1 ) 2 F BC段：FN ( x2 ) F CD段：FN ( x3 ) 2 F DE段：FN ( x4 ) F (0 x1 a) ( a x2 2a ) (2a x3 3a ) (3a x4 4a)
x h
集度线性 轴力为二次曲线
a
gab 1 x h 2 二次曲线 FN x p x'dx' g ab1 x' dx' 2h h x x
h h
x h, FN h 0 1 x 0, FN 0 gabh 2
• 求解各截面扭矩T
– 从1或5开始
T1 477.45 N m
T5 477.45 N m
1 2 3 4 5
477.45
2625.98
620.69
1050.39
477.45
• 求解各截面扭矩T
– 轮3截面分析
T3 T4 1527.84 N m
T3 620.69 1050.39 477.45 2148.53N m
2013‐03‐03
F1

轴力
F2

习题一：杆件在一般外力作用 下的内力分析
李德昌 2013‐03‐04
扭矩 剪力和弯矩
• 分段 • 对各段用截面法
– 局部平衡
• 例1：轴力方程和轴力图
F1

F2

• 简化模型
Fp
B B B
Fp
B
A
A
Fp
C
FN FP
Fp
AB段 BC段
C
Fp Fp
FN FP
F2
p p
F3 D
q q
F4 x E
F1 A a B a C
F2
F3 D a a
F4 E
F
N
0
FA F1 F2 F3 F4 0
FA F1 F2 F3 F4 2 F
分段求解内力方程：AB段、BC段、CD段、DE段
p F2 45 N / m 2 2 l 3
• 例1：矿井起重机钢绳如图所示，AB段截面积为 SAB=300mm2，BC段截面积为SBC=400mm2，钢绳单位体积 重量为γ=28kN/m3，长度l=50m，画钢绳在自重情况下的 轴力图。
C
90 x FN x 60
pBC x S BC
p AB x S AB
常数!
dFN p x dx
边界条件：
FNB FN L S AB L
FNC FN 0 S AB L S BC L L S AB S BC
L
FNA FN 2 L 0
1
2013‐03‐03
• 例1.1： 阶梯杆AE如图所示，在杆件B、C、D、E截面上分别作用了轴 向载荷F1、F２、 F３和 F４ ，且 F1= F２= F４= F ， F３=3 F ，试求 杆的内力方程并绘出内力图。 求出A截面约束力（方向向右为正）：
FＡ A
m m
F1 B
n n C
pBC x S BC
常数!
dFN p x dx
L
C
判断各分段轴力图曲线形式：AB、BC段均为线性 求解A、B、C三个截面的轴力 个截面的轴力 从自由端开始
分段：AB段、BC段 先求AB、BC段载荷的集度p(x) (单位长度的载荷强度)
L=50m
FNA 0
FNA 0
FNB S AB l
C
l S AB S BC
C L C
FNC S AB l S BC l l S AB S BC
画出A、B、C截面轴力大小
FN x p AB x x C FN x pBC x x D
x
l
x
M(x)
T x m x'dx'
x
l
• 如果m(x)=Me（常数）
T x m x'dx' M e dx' M el M e x
x x l l
dT m x dx
T(x) 线性
• 轴力、扭矩图
– 分段 – 判定各段内力图的函数形式
x x l l
• 扭矩图
B L
1 M e l 2 x2 2


T(x) 二次函数
– 段中无集中扭矩作用，常数 – 段中有沿轴向均布扭矩，线性 – 段中有沿轴向载荷m(x)，扭矩函数比m(x)高一次
– 确定各截面内力大小，正负 – 连线（根据各截面内力大小，函数形式）
m(x)
A
T x m x'dx'
p x
FN 1
FN 2
FN
FN dFN
dx FN 1 FN 2
dx
FN dFN p x dx FN
dFN p x dx
F F F
D 2F E 检验：局部平衡
2F
2
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• 课本习题1.2, P53
p
F2
p
x
F2 2 f s F1 2 0.3 100 N 60 N
自由端 柱子总重量
0
• 思考：一变截面柱，厚度为b，高h，考虑 柱子自重作用，单位体积重量为γ,如要求 该柱子横截面上压应力（单位面积上的力） 处处相等，是否有可能？如果可能，该柱 子截面应为何种形状？ FP
c x x h
1 gabh 2
a
F1

轴力 扭矩 剪力和弯矩
F2

• 例：同轴线的芯轴AB与轴套CD，在D处二者无接触，而 在C处焊成一体。轴的A端承受扭转力偶Me作用，如图 所示。画出芯轴和轴套的扭矩图。
2 0 x m 3 2 m x 1m 3
L=50m
B L=50m
x
60 N
A
x
• 例1：矿井起重机钢绳如图所示，AB段截面积为 SAB=300mm2，BC段截面积为SBC=400mm2，钢绳单位体积 重量为γ=28kN/m3，长度l=50m，画钢绳在自重情况下的 轴力图。
C
p AB x S AB
1 2
T5 477.45
• 扭矩与集度载荷的微分关系
m(x)
4 5
3
– 截面，受力平衡
x T(x) m(x) T(x)+dT
477.45
2625.98
620.69
1050.39
477.45
T x dT m x dx T x
dT m x dx
T x m x'dx'
FNA 2 F
FNB 2 F FNC F FNB F FNC 2 F FND F
轴力与载荷集度的微分关系
p x
F
ND
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 F
FNE F
绘制内力图：
F1 A a A B B a C C a F2 F3 D a F4 E
10kW
55kW
13kW
22kW
10kW
M t1 9549
22kW 10kW
10kW N m 477.45N m 200r min
10kW
55kW
13kW
M t 2 2625.98N m M t 3 620.69N m M t 4 1050.39N m M t 5 477.45N m
解：1．确定约束力 根据梁的整体平衡， 根据梁的整体平衡 ，由 求得A、F 两处的约束力
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
M ＝0 ， M ＝0
A B
7
2013‐03‐03
q
D
q
D
A
B
A
B
4a
FAy 9 qa 4 FBy
• 轴力图
– 段中无集中力作用，常数 – 段中有沿轴向均布载荷 段中有沿轴向均布载荷，线性 线性 – 段中有沿轴向载荷p(x)，轴力函数比p(x)高一次
FN x p x'dx'
C L
• 如果m(x)=Me*x（线性函数）
T x m x'dx' M e x' dx'
FＡ FN(x1) A A a B x3 a C p F1 F2 p m
(2a x3 3a )
Fx 0，FA FN ( x1 ) 0 FN ( x1 ) FA 2F
FＡ A x1 m
FN(x3)
BC段：
F
FＡ A
x
0，FN ( x2 ) F1 FA 0 FN ( x2 ) F1 FA F
n
• 从动轮4的输出功率？
1 2 3 4 5
• 简化模型
1 2 3 4 5
10kW
55kW
13kW
22kW
10kW
P4 Pin Pout 55 10 13 10 22kW
10kW
55kW
13kW
22kW
10kW
5
2013‐03‐03
1
2
3
4
5
• 求解各轮处外力扭矩