中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合

1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．

（1）求证：DG＝BC；

（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．

（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，

∵E是DC的中点，即DE＝CE，

∴△DEG≌△CEB（AAS），

∴DG＝BC．

（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．

理由：由（1）知DG＝BC，

∵AB＝AD+BC，AF＝AD，

∴BF＝BC＝DG，

∴AB＝AG，

∵∠BAG＝90°，

∴∠AFD＝∠ABG＝45°，

∴FD∥BG．

（3）解：结论：FH＝HD．

理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，

∵FD∥BG，

∴AE⊥FD，

∵△AFD为等腰直角三角形，

∴FH＝HD．

2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．

（1）求证：四边形BEDF是菱形；

（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DFO＝∠BEO，

∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，

∴△DOF≌△BOE（AAS），

∴DF＝BE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形．

（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，

∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，

∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，

在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，

解得x＝5，

∴ON＝．

3．（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH 上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．

（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM 于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．

①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；

②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．

（1）证明：如图1中，延长BH到M，使得HM＝FA，连接EM．

∵∠F+∠EHG＝180°，∠EHG+∠EHM＝180°，

∴∠F＝∠EHM，

∵AE＝HE，FA＝HM，

∴△EFA≌△EHM（SAS），

∴EA＝EM，∠FEA＝∠HEM，

∵∠EAB＝∠FEH，

∴∠FEA+∠BEH＝∠HEM+∠BEH＝∠BEM＝∠FEH，∴∠AEB＝∠BEM，

∵BE＝BE，EA＝EM，

∴△AEB≌△MEB（SAS），

∴AB＝BM，

∵BM＝BH+HM＝BH+AF，

∴AB＝AF+BH．

（2）解：①如图2中，结论：NH＝FN．

理由：∵NE平分∠FEH，

∴∠FEN＝∠HEN，

∵EF＝EH，EN＝EN，

∴△ENF≌△ENH（SAS），

∴NH＝FN．

②∵△ENF≌△ENH，

∴∠ENF＝∠ENH，

∵∠ENM＝α，

∴∠ENF＝∠ENH＝180°﹣α，

∴∠MNH＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，

∵∠FGH＝180°﹣2α，

∴∠MNH＝∠FGH，

∵∠MNH+∠FNH＝180°，

∴∠FGH+∠FNH＝180°，

∴F，G，H，N四点共圆，

∵NH＝NF，

∴＝，

∴∠NGH＝∠NGF＝∠FGH＝90°﹣α．

4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．

（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；

（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．

①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；

②求AM、MN的长；

（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，

∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，

∴△ANM∽△ACB，

∴＝，

∴＝，

∴AM＝．

（2）①如图2中，

∵NA′∥AC，

∴∠AMN＝∠NMA′，

由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，

∴∠MNA′＝∠A′MN，

∴A′N＝A′M，

∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，

∴四边形AMA′N是平行四边形，

∵MA＝MA′，

∴四边形AMA′N是菱形．

②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，

∵MA′∥AB，

∴＝，

∴＝，

解得x＝，

∴AM＝，

∴CM＝，

∴CA′＝＝＝，

∴AA′＝＝＝，

∵四边形AMA′N是菱形，

∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，

∴OM＝＝＝，∴MN＝2OM＝．

（3）如图3中，作NH⊥BC于H．