探索两直线平行的条件(1)
2.2 探索直线平行的条件(1)
(D)Βιβλιοθήκη 你能找出下图 中的同位角吗？1
∠1和∠3
∠2和∠4
b
2
c
3 4
a
想想看,下图出现的黑色线和红色 线怎样的时候,它们才会平行呢?
还记得吗？
固定木条b、c，转动木条a , 观 察∠1， ∠2满足什么条件时直线a 与b平行.
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行 ②直线a∥b
（等量代换） ∴ ∠3 =∠1= 55°
D
第2题图
随堂练习
3、找出下图互相平行的直线 m 130º
50º
50º
n
a
b
小结：
(1).平行线的概念 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 (2).直线平行的条件是: 同位角相等,两直线平行 (3).过直线外一点画已知直线的平行线 (4).经过直线外一点，有且只有一条直线与这条 直线平行。 (5).平行于同一条直线的两条直线互相平行。
∴ a ∥ b。
怎样用移动三角尺的方法画两条平 行线呢？请说出其中的道理。
同位角相等，两直线平行
一、放 二、靠
●
三、推 四、画
议一议
C
(1)如图,直 线AB和直线 外一点C,你 能过点C画几 条直线与直 线AB平行呢？ B
只能画一条
A
议一议
如图,直线AB外有两点C、Q.
(1)过点C画一条直线EF与直线AB平行； (2)过点Q画一条直线与直线AB平行。
你能看出两个同位角的顶点之间、边与 边之间有什么关系吗? 互为同位角的两个角 没有 公共顶点 、也 没有 公共边，
但都有一条边 在同一条直线上 且 。 方向相同
学会从复杂图形中分解出简单图形
2、2探索直线平行的条件
预习提纲：
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？
问题2：如图，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？
问题3：什么叫两条直线平行？
问题4：如课本彩图，装修工人正在向墙上钉木条。
如果木条b 与墙壁边缘垂直，那么木条a 与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a 与木条b 平行？
问题：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能将上述问题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明。
问题5：1、图中的直线b 与直线c 不垂直，直线a 应满足什么条件才能与直线b 平行呢？请你利用教具亲自动手操作。
做一做：利用纸条和图钉自己制作学具，如图，三根纸条相交成∠1，∠2， 固定纸条b,c,转动纸条a, 在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它
与∠1的关系，你发现纸条a 与纸条b 的位置关系发生了什么变化？纸条a 何时与纸条b 平行？改变图中∠1的大小再试一试，与同学交流你的发现。
2．由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。
问题1：图中还有其他的同位角吗？
问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
3．综上探索，引导学生归纳出两直线平行的条件 A B D
C O。
6 探索直线平行的条件
一、知识概述1、同位角、内错角、同旁内角①两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，也称“三线八角”．其中位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁）叫做同位角．在两条直线之间，并且位置交错（即分别在第三条直线的两旁）的一对角，叫做内错角．在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁的一对角，叫做同旁内角．如图所示，直线l与直线a、b相交，形成了8个角，其中的∠1和∠5这样位置的一对角是同位角，∠3和∠5这样位置的一对角是内错角，∠4和∠5这样位置的一对角是同旁内角．在图中，同位角还有：∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7；内错角还有：∠4和∠6；同旁内角还有：∠3和∠6．②同位角、内错角、同旁内角的识别要准确理解同位角、内错角、同旁内角的定义，首先要抓住这三类角的异同．它们的共同点是：它们都是两条直线被第三条直线所截而成的角中“顶点不同”的角，每个角都有一条边在同一条直线（第三条直线）上，另一条边分别在两条直线（第一、第二条直线）上．它们的区别是：同位角是在两条直线的“同方”，第三条直线的“同侧”（同旁）；内错角是在两条直线“之间”（内），第三条直线“两侧”（错开）；同旁内角是在两条直线“之间”（内），第三条直线“同侧”（同旁）．其次还要识别这三类角是哪两条直线，被什么样的第三条直线所截而成的，关键是要找准截线．另外，还要能从复杂的图形中分离出这三种角的基本图形，从而准确辨别这些角．判别同位角、内错角、同旁内角的关键是找到三线，即找到两条直线和截这两条直线的第三条直线，所需判别的两个角的四条边应该分布在这三条直线上．在复杂的图形中判别这三类角时，应沿着角的两边将图形补全，或把多余的线暂时隐去，找到“三线八角”的图形，进而判定这两个角的位置关系．“F型”为同位角，“Z型”为内错角，“U型”为同旁内角．2、平行线的画法平行线的画法可以概括为“一落二靠三推四画”．一落：把三角板的一边落在已知直线上；二靠：紧靠三角板的另一边放上直尺（或用另一三角板替代）；三推：把三角板沿直尺推到三角板的这边通过已知点P的位置；四画：沿三角板这一边画直线（如图）．3、平行线的基本性质（平行公理）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．4、平行线的传递性平行于同一条直线的两条直线平行．5、平行线的判定方法一：同位角相等，两直线平行．方法二：内错角相等，两直线平行．方法三：同旁内角互补，两直线平行．二、典型例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.分析：（1）判断一对角的关系，关键在于熟悉各种类型的角之间的位置关系和边之间构成的形状特征．（2）在“三线八角”中共有4对同位角，两对内错角和两对同旁内角．解：（1）∠3与∠1是对顶角；∠3与∠2和∠4是邻补角；∠3与∠5、∠7是同旁内角；∠3与∠6是内错角；∠3与∠8是同位角.（2）三条线两两相交（有三个交点）的图形可以看作有三组“三线八角”，而每一组中有4对同位角，2 对内错角和2对同旁内角.因此图中共有12对同位角，6对内错角和6对同旁内角.例2、如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2＋∠4＝180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1＝∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l1∥l2；当∠4＝∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l1∥l2；当∠2＋∠4＝180°时，由同旁内角互补可得l1∥l2．答案：B例3、如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠DBE＝∠A，则BE∥AC，请说明理由．分析：由BE平分∠ABD我们可以知道什么？联系∠DBE＝∠A，我们又可以知道什么？由此能得出BE∥AC吗？为什么？解：∵BE平分∠ABD∴∠ABE＝∠DBE（角平分线的定义）又∠DBE＝∠A∴∠ABE＝∠A（等量代换）∴BE∥AC(内错角相等，两直线平行)注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据．例4、已知，如图AB与CD相交于点E，且∠1＋∠D＝180°，求证：AB∥DF.分析：要证AB∥DF，就要利用我们所学的三个判定平行的方法，找出同位角，内错角或同旁内角，图中∠D与∠2，∠D与∠3，∠D与∠4分别是什么角？如何通过转化？证法一：∵AEB为一直线（已知）∴∠1＋∠2＝180°（补角定义）∵∠1＋∠D＝180°（已知）∴∠2＝∠D（同角的补角相等）∴AB//DF（同位角相等，两直线平行）证法二：∵CED是一条直线（已知）∴∠1＋∠3＝180°（邻补角定义）∵∠1＋∠D＝180°（已知）∴∠3＝∠D（同角的补角相等）∴AB//DF（内错角相等，两直线平行）证法三：∵∠1＝∠4（对顶角相等）∠1＋∠D＝180°（已知）∴∠4＋∠D＝180°（等量代换）∴AB//DF（同旁内角互补，两直线平行）说明：本题给出了三种证法，分别采用了平行线判定的三种方法，为使同学们尽快地熟悉，掌握推理过程，并进行证明格式规范化的训练，在这里给出了正规的推理过程，在推理过程中，必须养成阐明理由的习惯，做到步步有据可依，才能保证推理过程的正确性，这不仅是学习几何的要求，而且是培养我们逻辑思维能力的重要途径．例5、如图，已知∠1＋∠2＝∠APC，试说明AB∥CD的理由．分析：由已知条件，无法判定AB∥CD，怎么办？这就需要我们创造条件，为此，在∠APC的内部画∠APM＝∠1，则MP∥AB，由已知可得∠MPC＝∠2，从而MP∥CD，根据平行公理的推论，可得AB∥CD．解：在∠APC内部画∠APM＝∠1，∵∠APM＝∠1，∴AB∥MP（内错角相等，两直线平行）．∵∠APC＝∠APM＋∠CPM（画图），∠APC＝∠1＋∠2（已知），∴∠APM＋∠CPM＝∠1＋∠2．∵∠APM＝∠1（画图），∴∠CPM＝∠2（等式的性质），∴CD∥MP（内错角相等，两直线平行）∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行）．测试一、选择题1、如图所示，L是L1与L2的截线．找出∠1的同位角，标上∠2，找出∠1的同旁内角，标上∠3．下列何者为∠1、∠2、∠3正确的位置图（）A．B．C．D．2、如图，若∠1＝135°，∠COD＝45°，则AB与OD的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不能确定3、如图所示，下列判断不正确的是（）A．∵∠1＝∠2，∴AE∥BDB．∵∠3＝∠4，∴AB∥CDC．∵∠1＝∠2，∴AB∥EDD．∵∠5＝∠BDC，∴AE∥BD4、下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（）A．B．C．D．5、平面上五条直线a、b、c、d、e，若a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥e，则下面结论中正确的是（）A．a∥d∥c B．d∥a∥eC．b∥d∥c D．a∥c∥e6、下列说法中正确的是（）A．连接两点间的线段叫做两点间的距离B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行D．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行7、如图，能判定AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠1＋∠2＝180°C．∠3＝∠4D．∠3＋∠4＝90°8、如图：当∠A等于哪个角时，可以判断AC//BD（）A．∠D B．∠CC．∠B D．∠AOC9、如图，当∠2与∠3满足什么条件时，a∥b（）A．∠2＝∠3B．∠2＋∠3＝90°C．∠2＋∠3＝180°D．无法确定10、下列四个图中若∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是（）A．B．C．D．B卷二、解答题11、如图，已知∠B＝110°、∠BCG＝110°、∠BCD＝150°、∠D＝100°，求证：DE∥BC.证明：∵∠B＝∠BCG＝110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF＝180°－110°（）∵∠BCD＝150°（）∴∠FCD＝80°∴∠D＝100°∵∠D＋∠FCD＝100°＋80°＝180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）显示答案12、已知：∠1＝60°，∠2＝60°，AB//CD．求证：CD//EF．显示答案13、已知如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判断的根据是什么？（1）∠2＝∠B；（2）∠1＝∠D；（3）∠3＋∠F＝180°.显示答案14、在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？显示答案15、如图，∠AED＝60°，∠1＝30°，EF平分∠AED．（1）EF∥BD吗？试说明理由．（2）∠ABC等于多少度时，就能使DE∥BC？课外拓展例、如图已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试证AB∥EF．分析：从图形中找出有直接判定AB//EF的角较困难，我们可以从线入手，从平行公理的推论即平行线的传递性来证明．证明：在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°∵∠B＝25°，∠E＝10°（已知）∴∠B＝∠BCM ，∠E＝∠EDN（等量代换）∴AB∥CM ，EF∥DN（内错角相等，两条直线平行）又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°（已知）∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°（等式性质）∴∠DCM＝∠CDN（等量代换）∴CM∥DN（内错角相等，两直线平行）又∵AB∥CM，EF∥DN（已知）∴AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）。
两条直线平行与垂直的判定 课件
又∵kBC＝3－2（－－572）＝－163， kDA＝2－－（3－－44）＝－76， ∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行． ∴四边形 ABCD 是梯形．
题型二 两直线垂直
例 2 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过 点 C(1，2)，D(－2，a＋2)．
两条直线平行与垂直的判定
要点 1 两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1 ∥l2⇔k1＝k2． (2)若两条不重合直线 l1 与 l2 都没斜率，则直线 l1 与 l2 平行．
要点 2 两条直线垂直的条件 (1)设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝ －1． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 0， 则两条直线垂直．
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3，或 a＝－4.
探究 2 由 C，D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A，B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此 应注意对 a 的取值的讨论．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不 存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以 l1 与 l2 重 合或平行，需进一步研究 E、F、G、H 四点是否共线． kFG＝43－ －（ （－ －12） ）＝1，∴E、F、G、H 四点共线． ∴l1 与 l2 重合．
两条直线向垂直或者相平行的公式(一)
两条直线向垂直或者相平行的公式(一)
直线的一般方程式
直线可以用一般方程式来进行表示，其一般形式为：
Ax + By + C = 0
其中，A、B、C为常数，A和B不能同时为0。
可以通过这个一般方程式判断两条直线是否垂直或者平行。
判断两条直线是否垂直的条件
当两条直线的一般方程式为：
A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0
如果A1A2 + B1B2 = 0，则这两条直线垂直。
判断两条直线是否平行的条件
当两条直线的一般方程式为：
A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0
如果A1B2 - A2B1 = 0，则这两条直线平行。
举例说明
例如，有两条直线的一般方程式分别为：
2x + 3y - 5 = 0 4x + 6y - 10 = 0
根据判断两条直线是否垂直的条件，可以计算：
A1A2 + B1B2 = 24 + 36 = 8 + 18 = 26
因为A1A2 + B1B2不等于0，所以这两条直线不垂直。
根据判断两条直线是否平行的条件，可以计算：
A1B2 - A2B1 = 26 - 43 = 12 - 12 = 0
因为A1B2 - A2B1等于0，所以这两条直线是平行的。
通过一般方程式可以判断两条直线是垂直还是平行，这对于解决直线相关的问题非常重要。
苏教版七下7.1探索直线平行的条件(1)
爱数学就请
说出来！
在七年级上我们已学习了相交线， 并从直观上认识了平行，本章将在此基 础之上进一步研究平行线和三角形，它 们可以帮助我们更好地认识世界.
复习&回顾
1、同一平面内，两条直线有怎样的 位置关系？ 相交或平行 2、同一平面内，不相交的两直线 同一平面内 叫做平行线.
知识再现
我们通常用“ // ”符号表示平行.
截线
想一想，图中还有没有其他的同位角？若有， 请你把它找出来！ 同位角一定相等吗？ 同位角不一定相等！
同位角定义的理解
C 7 4 A 8 F 6 1 2 3 E 1
5
D B
我们试着从复杂图形 中分解出简单图形。
同位角近似 F 形状
“三线八角图”
3 5
7
2
4
6
8
注意：同位角不一定相等
例1、如图，∠1和∠2是同位角的是（ A ）
1 2 3
a b
c
能力拓展 1.结合图,当 或当 时, 有 a1∥a2. 2.如图,回答下列问题: (1) ∠1与∠2互为什么角?
a b 1 2 c
1 2
3
4
a1 a2
(2) a与b可能平行吗?试说明 理由.
课堂小结：通过本节课的学习，你 有什么感悟？
1.知道了同位角的含义,能识别出同位角; 2.能利用同位角相等说明两直线平行; 3.通过探索两直线平行条件的活动过程, 提高对图形的认识能力和分析能力; 4.学会了一些简单的说理.
①直线a和b不平行
②直线a∥b
③直线a和b不平行
判断两条直线平行的方法：
同位角相等，两直线平行.
判断两条直线平行的方法：
同位角相等，两直线平行.
苏科版数学七年级下册第七章平面图形认识第一节 7.1探索直线平行的条件课件 17张ppt
线被哪一条直线截成的同位角?
A
4.如图,∠1=∠2,直线AB、CD平行吗？
说明你的理由.
D 21 E
A E1 C
3
3
B
FC
(第1题)
B 2F D
(第2题)
议一议 如图,直线a、b被直线c所截,∠2＝∠3,直线a与直线b平
行吗?为什么? 解:因为∠1与∠3是对顶角,
c
1
3
b
2
a
所以∠1=∠3.理由是:对顶角相等. 这样由∠1=∠3、∠2=∠3,可得∠1=∠2. 因为∠1=∠2，所以a∥b.
7.1 探索直线平行的条件
生活中的平行线： 思考交流 你能找出它们的共同点吗？生活中还有哪些平行线？
平行线的介绍
1.在同一平面内,两条直线的位置关系是:相交或平行.
2.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 3.如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线 也互相平行.
知识回顾 我们通常用“//”表示平行.
试说明理由. 8.如图,回答下列问题: (1)∠1与∠2互为什么角?
(第5题)
a
1
b 2
(第6题) c
(2)∠1与∠2可能相等吗?试说明理由.
作业：完成课时作业本相应习题. 要求：字迹工整，表述科学.
图中的∠1与∠2这样的一对角称为：同位角. 实践告诉我们一个基本事实：同位角相等,两直线平行.
同位角的介绍 图中的∠1与∠2这样的一对角称为:同位角.
同位角是F 形状
如图:两条直线a、b被第三条直线c所截而成的 8个角中,在两条被截线的同侧,在截线的同旁, 这样的一对角称为同位角.
同位角的特点： ①必须是两直线被第三条直线所截成的角; ②没有公共端点;③在第三条直线同旁; 注意:同位角不一定相等.
第8讲 探索直线平行的条件(解析版)
第8讲探索直线平行的条件【知识点拨】考点1：同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.图1细节剖析⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.细节剖析(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．知识点2：同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征细节剖析巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．平行线的判定知识点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．细节剖析(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.考点2：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．细节剖析(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.考点3：直线平行的判定判定方法1：两直线平行，同位角相等，.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）细节剖析平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【考点精讲】考点1：同位角、内错角、同旁内角【例1】（2021春•西湖区期末）如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是．【解答】解：①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个，即∠EF A和∠EDC，故正确；②能与∠EFB构成同位角的角的个数只有1个：即∠F AE，故正确；③能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个：即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故错误；所以结论正确的是①②．故答案为：①②．【例2】（2021秋•南沙区期中）下列图中，∠1与∠2是同位角的是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A中的两个角是同旁内角，因此不符合题意；选项C中的两个角既不是同位角、也不是内错角、同旁内角，因此不符合题意；选项D不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；只有选项B中的两个角符合同位角的意义，符合题意；故选：B．【变式训练1】（2021春•高州市期中）如图，如果∠1＝40°，∠2＝100°，那么∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于．【解答】解：如图，如果∠1＝40°，∠2＝100°，那么∠3的同位角等于80°，∠3的内错角等于80°，∠3的同旁内角等于100°，故答案为：80°；80°；100°【变式训练2】（2021春•瑞安市期中）如图，∠1的同旁内角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；B、∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；C、∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；D、∠1和∠5是同旁内角，故本选项符合题意；故选：D．【变式训练3】（2021春•滦南县期末）下列说法正确的是（）A．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补B．相等的角是对顶角C．有一条公共边并且和为180°的两个角互为邻补角D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角【解答】解：A、应该是“若两条平行直线被第三条直线所截，则同旁内角互补”，故错误；B、相等的角不一定都是对顶角，如两直线平行，其中的同位角相等但不是对顶角，故错误；C、如果这两个角在公共边的同侧，则不是邻补角，故错误；D、正确．故选：D．【变式训练4】（2021春•城关区校级月考）如图所示，同位角共有（）A．6对B．8对C．10对D．12对【解答】解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．则总共10对．故选：C．【变式训练5】（2021春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线和被直线所截而成的角；图中与∠2是同旁内角的角有个．【解答】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，故答案为：AB、AC、DE、内错，3．【变式训练6】（2021春•杭州期中）如图两条直线被第三条直线所截，∠2是∠3的同旁内角，∠1是∠3的内错角，若∠2＝4∠3，∠3＝2∠1，则∠1的度数是【解答】解：如图，设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝4∠3＝8x°，∵∠1+∠2＝180°，∴x°+8x°＝180°，解得：x＝20，∴∠1＝20°．故答案为：20°．考点2：平行线的判定【例1】（2021秋•双阳区期末）如图，直线a、b都与直线c相交，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠8＝∠1；④∠6+∠7＝180°．其中，能够判断a∥b的是（）A．①②③④B．①③C．②③④D．①②【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴a∥b，故本小题正确；②∵4＝∠5，∴a∥b，故本小题正确；③∵∠8＝∠1，∠8＝∠2，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故本小题正确；④∵∠6+∠7＝180°，∠6+∠2＝180°，∴∠7＝∠2，∴a∥b，故本小题正确．故选：A．【例2】（2021春•江阴市期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．故选：D．【变式训练1】（2021春•越秀区校级期中）如图，要得到AB∥CD的结论，则需要角相等的条件是（写出一个即可）．【解答】解：要得到AB∥CD的结论，则需要角相等的条件是∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．故答案为：∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．【变式训练2】（2021秋•南关区期末）如图，能判定AB∥EF的条件是（）A．∠ABD＝∠FEC B．∠ABC＝∠FEC C．∠DBC＝∠FEB D．∠DBC＝∠FEC【解答】解：A、当∠ABD＝∠FEC，无法判定AB∥EF，故选项错误；B、当∠ABC＝∠FEC时，AB∥EF，故选项正确；C、当∠DBC＝∠FEB时，无法判定AB∥EF，故选项错误；D、当∠DBC＝∠FEC时，BD∥EF，故选项错误．故选：B．【变式训练3】（2021秋•郫都区期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠5＝180°﹣∠2，∵AC∥BD，∴∠3＝∠5，∵AE∥BF，∴∠1＝∠6，∵EF∥AB，∴∠4＝∠6，∴∠3﹣∠4＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．故答案为：77°．【变式训练4】（2021秋•建平县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．【解答】解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．理由：∵∠EOD+∠OBF＝180°，又∠EOD+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠OBF，∴EC∥BF；∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵EC∥BF，∴∠ECB＝∠CBF，∴∠DBC＝∠CBF，又∵∠DBC＝∠G，∴∠CBF＝∠G，∴DG∥BF；∵EC∥BF，DG∥BF，∴DG∥EC．【变式训练5】（2021春•江都区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝时，CD∥AB．【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150°或30°．【变式训练6】（2021春•夏邑县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有．（填序号）【解答】解：①∵∠1＝25.5°+∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30'，所以，m∥n；②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n；③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；故答案为：①⑤【课后巩固】一．选择题1．（2021秋•双阳区期末）如图，直线a、b都与直线c相交，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠8＝∠1；④∠6+∠7＝180°．其中，能够判断a∥b的是（）A．①②③④B．①③C．②③④D．①②【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴a∥b，故本小题正确；②∵4＝∠5，∴a∥b，故本小题正确；③∵∠8＝∠1，∠8＝∠2，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故本小题正确；④∵∠6+∠7＝180°，∠6+∠2＝180°，∴∠7＝∠2，∴a∥b，故本小题正确．故选：A．2．（2021秋•南关区期末）如图，能判定AB∥EF的条件是（）A．∠ABD＝∠FEC B．∠ABC＝∠FEC C．∠DBC＝∠FEB D．∠DBC＝∠FEC【解答】解：A、当∠ABD＝∠FEC，无法判定AB∥EF，故选项错误；B、当∠ABC＝∠FEC时，AB∥EF，故选项正确；C、当∠DBC＝∠FEB时，无法判定AB∥EF，故选项错误；D、当∠DBC＝∠FEC时，BD∥EF，故选项错误．故选：B．3．（2021秋•雨花区期末）如图，点E在CB的延长线上，下列条件中，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3C．∠A＝∠ABE D．∠A+∠ABC＝180°【解答】解：A．由∠1＝∠4，不能判定AB∥CD，故本选项错误；B．由∠2＝∠3，能判定AB∥CD，故本选项正确；C．由∠A＝∠ABE，不能判定AB∥CD，故本选项错误；D．由∠A+∠ABC＝180°，不能判定AB∥CD，故本选项错误．故选：B．4．（2021春•老城区校级月考）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3＝∠4；（2）∠1＝∠2；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠D+∠ABD＝180°．能判断AB∥CD的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）∵∠3＝∠4，∴BD∥AC；（2）∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；（3）∵∠A＝∠DCE，∴AB∥CD；（4）∵∠D+∠ABD＝180°，∴AB∥CD，故选：C．5．（2021秋•昌平区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（）A．60°和135°B．45°、60°、105°和135°C．30°和45°D．以上都有可能【解答】解：如图，当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．故选：B．6．（2021春•兴国县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．故选：C．7．（2021春•织金县期末）如图，能够证明a∥b的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠4＝∠3 D．∠1＝∠5 【解答】解：∵∠4＝∠5，∴a∥b（内错角相等两直线平行）．故选：B．8．（2021春•新泰市期末）如图，下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABC+∠BCD＝180°D．∠BAD+∠ABC＝180°【解答】解：∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．故选：C．9．（2021春•娄星区期末）如图，下列各选项不能得出AB∥CD的是（）A．∠2＝∠A B．∠3＝∠BC．∠BCD+∠B＝180°D．∠2＝∠B【解答】解：∵∠2＝∠A，∴AB∥CD，∵∠3＝∠B，∴AB∥CD，∵∠BCD+∠B＝180°，∴AB∥CD，故选：D．二．填空题10．（2021春•官渡区期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC＝180°；③∠ABC＝∠ADC；④∠3＝∠4；其中能判定AB∥CD的是①②（填序号）．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；②∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD；③∵∠ABC＝∠ADC，不能判定AB∥CD；④∵∠3＝∠4，∴AD∥BC；故答案为：①②．11．（2021春•黄陵县期末）如图，将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB ∥CD，依据是内错角相等，两直线平行．【解答】解：如图所示：∵∠1＝∠2＝30°，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：内错角相等，两直线平行．12．（2021•咸宁）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°，∴a∥b．【解答】解：∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°，∴a∥b．故答案为：∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°．13．（2021春•常德期末）如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠CDE；④∠ABC+∠C＝180°．其中，能推出AB∥CD的条件是①③④（填序号）．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；②∵∠3＝∠4，∴AD∥BC；③∵∠A＝∠CDE，∴AB∥CD；④∵∠ABC+∠C＝180°，∴AB∥CD．故答案为：①③④．14．（2021春•江都区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝30°或150°时，CD∥AB．【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150°或30°．15．（2021春•凌海市期末）如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4：③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判断AB∥CD的有①③④．（填写所有满足条件的序号）【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥BC，根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥BC；②∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；③∠A＝∠DCE，根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；④∠D+∠ABD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD．故答案为：①③④．16．（2021秋•胶州市期末）如图，∠C＝120°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是∠BEC＝60°（答案不唯一）．【解答】解：因为∠C＝120°，要使AB∥CD，则要∠BEC＝180°﹣120°＝60°（同旁内角互补两直线平行）．故答案为：∠BEC＝60°（答案不唯一）．17．（2021秋•卧龙区期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B 是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是①②③（只填序号）．【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，故答案为：①②③．三．解答题18．（2021春•雨花区校级月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝180°（邻补角的意义）因为∠2+∠3＝180°（已知）所以∠3＝∠4（同角的补角相等）因为∠1＝∠3（已知）所以∠1＝∠4（等量代换）所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）【解答】解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝180°（邻补角的意义）因为∠2+∠3＝180°（已知）所以∠3＝∠4 （同角的补角相等）因为∠1＝∠3（已知）所以∠1＝∠4 （等量代换）所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）故答案为：180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．19．（2021春•防城港期末）光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行．如图标注有∠1～∠8共8个角，其中已知∠1＝64°，∠7＝42°．（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）直接写出∠2，∠3，∠6，∠8的度数．【解答】解：（1）同位角：∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6（写两对即可）；内错角：∠5与∠7；同旁内角：∠6与∠8；∠1与∠3；∠2与∠4（写一对即可）；（2）∠2＝∠1＝64°，∠3＝180°﹣∠1＝116°，∠6＝∠5＝∠7＝42°，∠8＝180°﹣∠6＝138°．20．（2021秋•官渡区校级月考）如图，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠ECG ＝90°﹣∠HAE．求证：BH∥CD．【解答】证明：过点E作EF∥BH，∴∠HAE＝∠AEF，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°即∠AEF+∠CEF＝90°，∴∠HAE+∠CEF＝90°，∴∠CEF＝90°﹣∠HAE，∵∠ECG＝90°﹣∠HAE，∴∠CEF＝∠ECG，∴EF∥CD，∵EF∥BH，∴BH∥CD．21．（2021春•三门峡期末）如图，CE⊥DG，垂足为C，∠BAF＝50°，∠ACE＝140°．试判断CD和AB 的位置关系，并说明理由．【解答】解：CD∥AB．理由：∵CE⊥DG，∴∠ECG＝90°，∵∠ACE＝140°，∴∠ACG＝∠ACE﹣∠ECG＝50°，∵∠BAF＝50°，∴∠BAF＝∠ACG，∴AB∥DG，即CD∥AB．22．（2021秋•达川区期末）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是平行；如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是垂直；如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是垂直；（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．我选图①来证明．【解答】解：（1）①BD∥FM；②BD⊥FM；③BD⊥FM；（2）选择①证明：∵∠A＝90°，ME⊥BC，∴∠A＝∠CEM，∴∠CME＝∠ABC，∴∠ABC+∠AME＝180°（三角形的内角和等于180°），∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠AMF+∠ABD＝90°，∴∠AFM＝∠ABD，∴BD∥FM（同位角相等，两直线平行）．23．（2021春•岱岳区期末）如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B＝∠1，∠2＝∠E，试说明AD ∥CE．【解答】证明：∵∠B＝∠1，∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）∵∠2＝∠E，∴∠E＝∠ADE，∴AD∥CE（内错角相等，两直线平行）．24．（2021春•西湖区校级月考）如图，已知∠C＝60°，∠ADE＝65°，∠CED比∠A的2倍大10°，请判断DE与BC的位置关系，并说明理由．【解答】解：DE∥BC，理由如下：设∠A为x°，所以∠CED为2x°+10°，∵∠CED＝∠A+∠ADE，可得：2x°+10°＝x°+65°，解得：x＝55，∴∠DEC＝2×55°+10°＝120°，∵∠C＝60°，∴∠C+∠CED＝180°，∴DE∥BC25．（2021春•姜堰区期中）如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1＝∠2．求证：DE∥BC．【解答】证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠2＝∠BCD，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DE∥BC．26．（2021春•鄄城县期末）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1+∠2＝90°．试说明CD∥AB．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∴∠2＝∠BAC，∠1＝∠ACD．∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴CD∥AB．27．（2021春•泰安期中）如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC．（1）填空：∠OEC+∠OFC＝180°；（2）求证：EG∥FH．【解答】解：（1）在四边形OECF中由∠C＝90°，a⊥b，得∠OEC+∠OFC＝180°，故答案为：180°；（2）证明：在四边形OECF中由∠C＝90°，a⊥b，得∠OEC+∠OFC＝180°，因为∠MEC＝180°﹣∠OEC，∠NFC＝180°﹣∠OFC，所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC）＝360°﹣（∠OEC+∠OFC）＝360°﹣180°＝180°，因EG，FH分别平分∠MEC和∠NFC，所以∠CEG＝∠MEC，∠CFH＝∠NFC，所以∠CEG+∠CFH＝（∠MEC+∠NFC）＝×180°＝90°，过C点作CD∥EG，所以∠CEG＝∠DCE，因为∠DCE+∠DCF＝90°，∠CEG+∠CFH＝90°，所以∠DCF＝∠CFH，所以CD∥FH，又因为CD∥EG，所EG∥FH．。
2.2 探索直线平行的条件(1)
2.2 探索直线平行的条件（1） 姓名1、如图是同位角关系的两角是 ，是互补关系的两角是 ，是对顶角的是 。
2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，那么这两直线 。
简称： （公理）如图，可表述为：∵ ( )∴ ( ) 2、 如图（1）,()a b c a ⊥⊥ 已知12∴∠=∠= （垂直的定义）∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律 变式训练：如图所示1、12∠=∠ （已知） ∴ ∥ （ ）2、23∠=∠ （已知） ∴ ∥ （ ）3、如图，已知00165,2115∠=∠=，直线BC 与DF平行吗？为什么？4、如图，已知00170,2110∠=∠=，试问a 与b 平行吗？说说你的理由。
3、 平行线公理：过直线外一点有 条直线与这条直线平行。
4、 平行线的传递性：几何语言：拓展：如图，已知12∠=∠，问再添加什么条件可使AB ∥CD ？试说明理由。
计算：1．x 10＝（－x 3）2·_________＝x 12÷x （ ） 2．4（m －n ）3÷（m －n ）2＝___________． 3．－x 2·（－x ）3·（－x ）2＝__________．． 4．（2a －b ）（ ）＝b 2－4a 2．5．（a －b ）2＝（a ＋b ）2＋_____________． 6．（31）－2＋（-1）0＝_________；4101×0.2599＝__________．7．（－2ab ）·（－3ab ）3=8．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．9．（x －2y ＋1）（x －2y －1）＝（ ）2－（ ）2＝_______________． 10．若（x ＋5）（x －7）＝x 2＋mx ＋n ，则m ＝__________，n ＝________ 11．899×901＋1= = 12．（2a －3b ）（2a ＋3b ）= 13．（－3x ＋2）2= 14．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求22b a + 15．（x －3）（2x ＋1）－（2x －1）24321F EDC B A21cba21dcb a321NMFEDCBA21E D C B A 21cba321。
7章探索直线平行的条件(新)
探索新知
活动（一）
如图，三根木条相交成 ∠1、∠2，固定木条b、c，转 动木条a , 在木条a的转动过程 1
b
a
2
c
中，∠1与∠2的大小关系发生
了什么变化？木条a、b的位置
关系发生了什么变化？
活动（二）：
b a
1
2 c
改变图中∠1的大小， 按照上面的方式再试一试， 当∠2与∠1的大小满足什么 关系时，木条a与木条b平 行？
66
77 88
99 10 10
3. （1）在实心球比赛中，小辉打破了学校纪录。 若小辉站在直线AB掷球，球落地点在P处， 你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？ 若能，能画出几条？
Ａ
．
P
B
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
（２）若分别过点Ｃ，Ｄ画直线AB的平行线ＥＦ，ＧＨ．ＥＦ与 ＧＨ有怎样的位置关系？ 平行于同一条直线的两条直线平行．
Ｃ ．
符号语言:
∵EF//AB，DF//AB ∴CE//DF
E Ａ G
F Ｂ
．
Ｄ
H
回归比赛
工作人员需在墙上钉两根木 条做展板。如果木条b与墙壁 的边缘垂直，那么木条a与墙壁 的边缘所夹的角为多少度时， 才能使木条a与木条b平行？ 现在你能用所学的知识解释这个问 题了吗？
同位角相等，两直线平行.
牛刀小试
b
∠1和∠2同位角， 相等，
∵同位角相等，两直线平行，
∴ a ∥b。
A 2 1 3 5
3 B C C B A
4
C
A 1 D
D
E
B D 第3题图
第4题图
第5题图
如图，在屋架上要加一根横梁 DE ， 已 知 ∠ B=32°, 要 使 DE∥BC, 则 ∠ADE必须等于多少度？为什么？ A D B F E
七年级数学下册课件(北师大版)探索直线平行的条件
2 如图，∠1 = ∠2 = 55°，
直线AB 与CD 平行吗？
解：AB∥CD.
理由：如图，∠3＝∠2，又因为∠1＝∠2＝55°， 所以∠3＝∠2＝55°，所以∠1＝∠3，所以
AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．
3 如图，木工师傅利用直角尺在木板上画出两条
线段，则线段AB___∥____CD.
某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方 向与原来相同，则这两次拐弯的角度可能是( A ) A．第一次左拐30°，第二次右拐30° B．第一次右拐50°，第二次左拐130° C．第一次右拐50°，第二次右拐130° D．第一次左拐50°，第二次左拐130° 易错点：混淆两角的位置关系，画不出图形而致错
改变图中∠1的大小，按照上面的方式再做一
做. ∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a 与木 条b 平行？与同伴进行交流.
请按下图所示方法画两条平行线，然后讨论下面的问题:
(1)上面的画法可以看做是怎
A 样的图形变换?
l1
平移变换
(2)把图中的直线l1，l2 看成被
尺边AB 所截，那么在画图过
l2
例1 如图，下列四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是( B )
导引：根据同位角的概念，找出“三线”之后再看是否为 “F”形即可判定．选项B中的∠1与∠2的边有四条，
分别为PA，PC，QB，QD，不满足“三线”的条
件，故选项B中的∠1与∠2不是同位角；其他A，C， D三项中的∠1，∠2均满足同位角的条件，故选B.
总结
对于此类辨析题，要正确解答，必须要抓住 相关的内容，特别是关键字词及其重要特征，要 在比较中理解，再在理解的基础上进行记忆．
两直线平行的证明方法步骤
两直线平行的证明方法步骤两直线平行用肉眼看是一定有偏差的，因此需要好好证明，那证明的方法是怎样的呢?下面就是店铺给大家整理的怎样证明两直线平行内容，希望大家喜欢。
两直线平行的证明方法一“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC 的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc(1)根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
(2)根据判定定理。
证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。
2.2探索直线平行的条件 第一课时-七年级数学下册课件(北师大版)
所以AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．
总结
判断两条直线是否平行，可以找出这两条直线 被第三条直线所截得到的一对同位角，并利用相关 角的条件判断其是否相等，如果相等，那么这两条 直线平行．
1 找出下面点阵(点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段.
解：AB∥CD，EF∥GH.
导引：要说明AB 与CD 平行，需找出AB， CD 被第三条直线所截形成的一组
同位角相等，即要说明∠1＝∠3 即可；要说明∠1＝∠3，由于已 知∠1＋∠2＝180°，因此只需说明∠2＋∠3＝180° 即可，这可由补角定义得出．
解： AB∥CD. 理由如下：
因为∠1＋∠2＝180°(已知)， ∠2＋∠3＝180°(补角定义)，
程中，什么角始终保持相等？
同位角 B
由此你能发现判定两直线平行的方法吗？
一般地，判断两直线平行有下面的方法:
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行. 简单地说，同位角相等，两直线平行.
例2 如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是( C )
A．AD∥BC B．AB∥CD C．AD∥EF D．EF∥BC
例1 如图，下列四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是( B )
导引：根据同位角的概念，找出“三线”之后再看是否为 “F”形即可判定．选项B中的∠1与∠2的边有四条，
分别为PA，PC，QB，QD，不满足“三线”的条
件，故选项B中的∠1与∠2不是同位角；其他A，C， D三项中的∠1，∠2均满足同位角的条件，故选B.
b
C
B D
(3) 通过画图，你发 现了什么？
经过直线外一点，有且只有一条直 线与这条直线平行；
探索两直线平行的条件
∴ ∠3 =∠1= 55°
∴ AB∥CD.
D
第2题图
本节课你的收获是什么？
找同位角的关键是抓住第三线, 在第三线同侧，另两线的同一方位的两 个角。 “同位角相等，两直线平行” 是判断两直线平行的公理。
每得出一个两直线平行的结论， 都要依序完成下列三个过程：
①找出同位角； ②说明这两个同位角相等； ③用公理得出“平行”的结论。
∠1和∠2是同位角， ∵∠1和∠2有一边共线、 同向， 且不共顶点。
回到两直线平行的判断来
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
∠1、∠2是 同位 角。
b ①直线a和b 不平行 ， ②直线a ∥ ； ③直线a和b不平行。
由此可猜想：
判断两条直线平行的方法：
同位角相等，两直线平行。
你还记得怎样用移动三角尺的方法画两 条平行线吗？ 试用这种方法 过已知直线外一点画它的平行线. 由此可得到判定两条直线的方法：
作业
作业
教材p.55 习题2.2 第1、2题。
如图，三根木条相交成 ∠1， ∠2，固定木条b、c， 转动木条a , 观察∠1， ∠2满 足什么条件时直线a与b平行.
做一做
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行
②直线a∥b
③直线a和b不平行
同位角定义的理解：
C 3
7构成的八个角中，位于两直 线同一方、且在第三直线同 一侧的两个角，叫做同位角.
同位角相等，两直线平行.
●
一、放
0
1
2 0
3 1
4 2
5 3
6 4
7 5
8 6
两条直线平行的条件平行线的特征
两条直线平行的条件平行线的特征主讲：方敏文一周强化一、一周知识概述1、两条直线平行的条件(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行．上述方法可表述为：如图．(1)如果∠1=∠2，那么AB∥CD；(2)如果∠3=∠2，那么AB∥CD；(3)如果∠2＋∠4=180°，那么AB∥CD．关键是－定要看清哪两条直线被哪－条直线所截形成的同位角或同旁内角或内错角相等或互补，才能正确判断是哪两条直线平行．2、平行线的特征(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单地说成“两直线平行，同位角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠l=∠2(两直线平行，同位角相等)．(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单地说成“两直线平行，内错角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单地说成“两直线平行，同旁内角互补”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2＋∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．注意：①只要两条直线被第三条直线所截，都存在这三类角，但同位角、内错角不－定相等，同旁内角也不－定互补；②同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线的特有性质，在使用时，切不可忽略前提条件“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角与内错角就不相等，同旁内角也不互补．3、直线平行的条件与平行线的特征区分几何中，图形之间的“位置关系”－般都与某种“数量关系”有着内在联系，常有“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可以由“数量关系”去确定“位置关系”．正确区分平行线的判定方法和平行线的特征是十分重要的．从表中可以看出，由角的相等或互补关系，得到两直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线的特征．二、典型例题剖析例1、如图，下列条件中，不能判断直线l 1∥l 2的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2＋∠4=180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1=∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠4=∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠2＋∠4=180°时，由同旁内角互补可得l 1∥l 2． 答案：B例2、如图，已知AC 平分∠DAB ，∠BAC ＝∠ACB ，那么AD 与BC 平行吗?请写出推理过程．分析：要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），∵∠BAC＝∠ACB（已知），∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例3、如图，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF．请你将这样的相关的角写出几组，并说明理由．分析：本题属于条件开放性问题，由于图形比较复杂，很容易找不全所有符合条件的答案．解题时要紧紧抓住判定两条直线平行的三种判定方法，以顶点为出发点来寻找符合条件的两个角．由以B为顶点的∠B，可以得到以下条件：∠B=∠7，∠B=∠6，∠B＋∠BAE=180°；然后再找以C为顶点的角有∠1，∠3，∠BCE和∠ACF(∠2不能和其他角构成符合条件的－组角)，可以得到以下条件：∠1=∠5，∠l＋∠CAG=180°，∠3=∠E，∠BCE＋∠E=180°，∠ACF=∠CAG，∠ACF＋∠5=180°，由此可以得到符合条件的全部答案．解：满足条件的两个角有：(1)∠B=∠7(内错角相等，两直线平行)；(2) ∠B=∠6(同位角相等，两直线平行)；(3) ∠B＋∠BAE=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(4) ∠1=∠5(内错角相等，两直线平行)；(5) ∠1＋∠CAG=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(6) ∠3=∠E(内错角相等，两直线平行)；(7) ∠BCE＋∠E=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(8) ∠ACF=∠CAG(内错角相等，两直线平行)；(9) ∠ACF十∠5=180°(同旁内角互补，两直线平行)．小结：以顶点为出发点，有规律、有顺序地寻找符合条件的两角，关键是要从简单情形入手，逐步过渡到复杂情形．例4、如图(1)，线段AB//CD，点P是AB、CD间的－个点．(1)试判断∠A、∠C与∠APC的数量关系；(2)如果点P移动到线段AC的左侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(如图(2))(3)如果点P移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．(如图(3))分析：图中虽然有平行线，但是缺少和两条平行线都相交的第三条直线，因此也就没有同位角、内错角的相等关系以及同旁内角的互补关系，如何构造出这三类角，充分利用平行线的性质是解决问题的关键，因此，需要构造满足平行线的性质的基本图形．解：(1) ∠A＋∠C=∠APC．理由：如图(1)，过P作直线PM∥AB．由AB//PM，得∠A=∠APM．由AB//CD，PM//AB，得CD//PM．于是∠C=∠CPM．而∠APC=∠CPM＋∠APM，故∠APC=∠A＋∠C；(2)不成立，∠BAP＋∠PCD＋∠APC=360°．理由：如图(2)，过P作PM//AB，而AB∥CD，所以AB∥PM∥CD．所以∠1＋∠BAP=180°，∠2＋∠PCD=180°．所以∠1＋∠BAP＋∠2＋∠PCD=180°×2=360°，即∠APC＋∠BAP＋∠PCD=360°；(3)不成立．∠APC=∠C－∠A．理由：如图(3)，过P作PM∥AB，从而知PM∥AB∥CD，于是有∠MPA=∠A，∠MPC=∠C，而∠MPC=∠MPA＋∠APC，故∠C=∠A＋∠APC．即∠APC=∠C－∠A．小结：两条平行线中出现折线时，过折线的折点作平行线是解决问题的关键．。
7.1探索直线平行的条件(1)
探索活动二
“三线八角” 三线八角”
C 3 6 7 F 8 2 E 1 4 5 D B
∮在这个图中你能
找到一对同位角吗？ 找到一对同位角吗？
★ 在判别“同位角” 在判别“同位角” 要注意“两同” 时，要注意“两同”： 在第三条直线的同旁 A 同旁； 在第三条直线的同旁； 在被截两条直线的同 在被截两条直线的同 一方向。 一方向。
学会从复杂图形中分解出简单图形
C 7 4 A 2 3 E 1 5 D B 同位角是 3 7 将上述互为同位角的两个 从图中分解出来， 角，从图中分解出来，画出 草图. 草图.
同位角相等，两直线平行。 同位角相等，两直线平行。
学以致用
1、如图，如果∠1 =∠C， 如图，如果∠ =∠ 那么直线 AB∥CD 。理由 是同位角相等,两直线平行 。 同位角相等, 2、如图，如果∠2 =∠C， 如图，如果∠ =∠ 那么直线 BD∥AC 。理由 是同位角相等,两直线平行 。 同位角相等, 3、如果∠1 =∠C , ∠1=∠2. 、如果∠ =∠ 1=∠ AC∥ 吗 你能说明 AC∥BD吗？
误区： 误区：
• 1.同位角相等吗？ 同位角相等吗？ 同位角相等吗 • 2.下图∠1和∠2是同位角 吗？ 下图∠ 和 下图 是同位角
A N F M E Q
1
B P
C
2
D
图8.1—13
布置作业： 补充 布置作业：<补充 习题>探索直线平 习题 探索直线平 行的条件1 行的条件
探索直线平行的条件
探索直线平行的条件一、知识点概述（一）同位角、内错角、同旁内角1、同位角：如右图所示，具有∠1和∠6这样位置关系的角称为同位角，同位角还有∠2和∠5.同位角的特征：①在被截两直线的同一方；②在截线的同侧。
形如字母“F”.2、内错角：如右图所示，具有∠1和∠3这样位置关系的角称为内错角，内错角还有∠2和∠4。
内错角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的两侧。
形如字母“Z”.3、同旁内角：如右图所示，具有∠1和∠4这样位置关系的角称为同旁内角，同旁内角还有∠2和∠3.同位角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的同侧。
形如字母“U”. （二）两条直线平行的条件1、两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行。
简称为：同位角相等，两直线平行。
2、两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。
简称为：内错角相等，两直线平行。
3、两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。
简称为：同旁内角互补，两直线平行。
（三）平行线基本公理1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
2、平行于同一条直线的两条直线平行。
二、典型例题讲解例1、如图，下列说法不正确的是（）A.∠1和∠2是同旁内角B.∠1和∠3是对顶角C.∠3和∠4是同位角D.∠1和∠4是内错角例2、指出下图中的同位角、内错角、同旁内角。
例3、如图，在下列条件中，不能判定判定直线a与b平行的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠3=∠5D.∠3+∠4=180°例4、如图，下列能判定AB‖CD的条件有（）个。
（1）∠B+∠BCD=180°（2）∠1=∠2（3）∠3=∠4 （4）∠B=∠5A.1B.2C.3D.4例4、如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD+∠C=180°，直线AB与CE一定平行吗？试说明你的理由.例5：如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1=∠2，求证：DC‖AB.例6、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明b‖c.例6、如图所示，有平面镜A与B，光线由水平方向射来，传播线路为a⟶ b⟶ c，已知a⊥b，b⊥c，∠1=∠3=45°，你知道平面镜A与平面镜B之间的位置关系吗？例7：如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°.试说明AB‖EF.练习1、如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（）A.∠1和∠2是邻补角B.∠1和∠3是对顶角C.∠2和∠4是同位角D.∠3和∠4是内错角2、下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（）4、过一点画一只直线的平行线（）A.有且只有一条B.不存在C.有两条D.不存在或有且只有一条5、下列说法正确的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行B.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C.不相交的两条直线叫平行线D.邻补角的平分线互相垂直2、如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a‖b的是（）A.∠1=∠6B.∠2=∠6C.∠1=∠3D.∠5=∠73、如图，能判定EC‖AB的条件是（）A.∠B=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠ACBD. ∠A=∠ACE4、如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC‖AD，则可添加的条件为____________________.（写出一个符合题意的条件即可）5、如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是____________________.4、如果a‖b，a‖c，那么b与c的位置关系式（）A.不一定平行B.一定平行C.一定不平行D.以上都有可能5.下列说法正确的个数为（）（1）过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交A.1个B.2个C.3个D.4个6.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据是（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.①④4、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD于点E，CF平分∠BCD交AB于点F，求证：AE‖CF.5、如图所示，如果∠ACE=∠BDF，那么CE‖DF吗？6、如图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由.7、如图，已知直线l1、l2、l3被直线l所截，∠1=72°，∠2=108°，∠3=72°，试说明：l1‖l2‖l3.8、如图，∠BEC=95°，∠ABE=120°，∠DCE=35°，则AB与CD平行吗？请说明理由.7.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为_______________；②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由。
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2探索直线平行的条件（第1课时）
教学目标：
1．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
2．会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
3．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
4．使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。
教学重点和难点：
探索得出判别直线平行的条件一，并初步认识“三线八角”中的同位角。
课型：新授课
教学方法：探索讨论法、猜想归纳法、实践法
学法指导：多动手、多观察，通过自己的实验发现两直线平行不平行于同位角的大小有关系，并从中探讨出利用同位角判断两直线是否平行，并根据定理会画出平行线，得到有关平行线的性质.
教具学具：练习本、笔、直尺、三角板、自制小纸板等
课时：1课时
教学过程：
第一环节：巧妙设疑，复习引入
内容：教师通过设置问题串，层层设疑，在引导学生思考、层层释疑的基础上，既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起认知冲突，从而自然引入新课。
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？
学生很容易回答出“在同一平面内两条直线的位置关系有两种，分别是相交和平行”，再进一步针对相交和平行分别提出问题2、3。
问题2：如图，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？ 借助两条直线相交的基本图形复习“两线四角”的关系，为探索“三线八角” 的关系奠定基础。
问题3：什么叫两条直线平行？
复习平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
A B D C
O
第二环节：联系实际，积极探索
内容：1．引入实际问题：如课本彩图，装修工人正在向墙上钉木条。
如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木
条a与木条b平行？学生根据自己的生活经验自然会得到：木条a也与墙壁边
缘垂直时，才能使木条a与木条b平行。
在此基础上提出两个问题：
问题1：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能
将上述问题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明。
如图，把墙壁看作直线c,直线b与直线c垂直时，
只有当直线a也与直线c垂直时，才能得到直线a平行于直线b。
2．由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。
如图，直线AB，CD被直线l所截，构成了八个角，具有∠1与∠2
这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，
相对位置是相同的，我们把这样的角称为同位角。
问题1：图中还有其他的同位角吗？
问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
3．综上探索，引导学生归纳出两直线平行的条件：同位角相等，两直线平行。
第三环节：变式训练，熟练技能：
练习：分别过点C、D画直线AB的平行线EF、GH， EF与GH有怎样的位置关系？
你有什么发现？与同伴交流.
第四环节：学以致用，步步提高
活动内容：
1．b∥a , c∥a , 那么，理由： .
2.如图如果∠1=∠2，那么哪两条直线平行？为什么？
3.如图，∠AOC=∠APQ=∠CFE=46°，可得到哪些平行线？为什么？
4. 如图，直线EF与∠DCG的两边相交于A，B两点，∠C的同位角是
和，∠BAC的同位角是，∠EBG的同位角是 .
第五环节：总结反思，布置作业
总结反思，
问题1：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？
问题2：本节课你有哪些收获？
布置作业习题2.3第 1,5题
板书设计
教学反思
本节课主要让学生通过动手寻找发现两条直线平行的条件是利用角进行判断的，而教相等不相等，可以通过测量或给出数据进行比较的，也就是让学生会利用数据来研究位置关系.上课之前可以让学生学会自制教具，既锻炼了学生的动手能力，又锻炼了学生发明创造能力，还培养了学生的学习兴趣.上课时，教师开始也可以扮演一位工人师傅在墙上或一块小黑板上要钉两条直线互相平行的木板，让学生帮助教师完成，调动学生的积极性，可以把学生分几个活动小组，利用他们自制的教具完成一系列的探究活动.。