第一讲 复变函数积分的概念与柯西—古萨定理

工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.1 复变函数积分的概念；§3.2 柯西—古萨基本定理．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟练掌握复积分计算的一般方法；2．理解复积分的概念及性质；熟悉柯西—古萨基本定理．教学重点及难点：重点：复积分的概念及性质；复积分计算的一般方法．难点：柯西—古萨基本定理．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.1复变函数积分的概念一、积分的定义1.有向曲线: 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向, . C -记为关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C 的正向是指当曲线上的点P 顺此方向前进时, 邻近P 点的曲线的内部始终位于P 点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.2.积分的定义: () , w f z D C =设函数定义在区域内为区域 D 内起点为 A 终点为 ,B 的一条光滑的有向曲线 , C n 把曲线任意分成个弧段设分点为011,,,,,,,k k n A z z z z z B -==1 (1,2,,) k k z z k n -= 在每个弧段111()()(),n nn k k k k k k k S f z z f z ζζ-===⋅-=⋅∆∑∑作和式11 , , k k k k k k z z z s z z --∆=-∆=这里的长度1 max{},k k ns δ≤≤=∆记 n 当无限增加且0 δ→, 时 , k n C S ζ如果不论对的分法及的取法如何有唯,一极限 那么 称这极限值为 () , f z C 函数沿曲线的积分记为1()d lim().nk k Cn k f z z f z ζ→∞==⋅∆∑⎰关于定义的说明:(1) , C 如果是闭曲线那么沿此闭曲线的积分()d .Cf z z ⎰ 记为(2) , ()C x a x b f z ≤≤如果是轴上的区间而(),u x =这个积分定义就是一元实变函数.定积分的定义二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件() ,f z C 如果是连续函数而是光滑曲线时 ()d .Cf z z ⎰积分一定存在证 C 设光滑曲线由参数方程给出()()(), z z t x t i y t t αβ==+≤≤，正方向为参数增加的方向, ,A B αβ参数及对应于起点及终点 ()0,,z t t αβ'≠<<并且 ()(,)(,) ,f z u x y i v x y D =+如果在内处处连续 (,) (,) u x y v x y D 那么和在内 ,均为连续函数oxy,k k k i ζξη=+设 因为111()k k k k k k k z z z x iy x iy ---∆=-=+-+11()()k k k k x x i y y --=-+- ,k k x i y =∆+∆所以1()nk k k f z ζ=⋅∆∑1[(,)(,)]()nkk k k k k k u i v x i y ξηξη==+∆+∆∑1[(,)(,)]nkk k k k k k u x v y ξηξη==∆-∆∑ 1[(,)(,)]nk k k k k k k i v x u y ξηξη=+∆+∆∑, ,u v 由于都是连续函数根据线积分的存在定理,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , (,) ,k k C ξη不论对的分法任何点的取法如何 ,下式两端极限存在11()[(,)(,)]nnk k kk k k k k k k f z u x v y ζξηξη==∆=∆-∆∑∑1[(,)(,)]nk k k k k k k i v x u y ξηξη=+∆+∆∑()d Cf z z ⎰d d Cu x v y =-⎰d d Ci v x u y ++⎰在形式上可以看成是() d d d :f z u iv z x i y =+=+与相乘后求积分得到()d Cf z z ⎰()(d d )Cu iv x i y =++⎰d d d d Cu x iv x iu y v y =++-⎰d d d d .CCu x v y i v x u y =-++⎰⎰2. 积分的计算法()d .Cf z z ⎰可以通过两个二元实变函数的线积分来计算()d {[(),()]()[(),()]()}d Cf z z u x t y t x t v x t y t y t tβα''=-⎰⎰{[(),()]()[(),()]()}d i v x t y t x t u x t y t y t t βα''++⎰{[(),()][(),()]}{()()}d u x t y t iv x t y t x t iy t t βα''=++⎰ [()]()d .f z t z t t βα'=⎰12 ,,, n C C C C 如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线，则()d Cf z z ⎰12()d ()d ()d nC C C f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的. 例1 d , : 34 .Cz z C i +⎰计算从原点到点的直线段解 直线方程为：3,01,4,x t t y t =⎧≤≤⎨=⎩ , (34),C z i t =+在上d (34)d ,z i t =+120d (34)d Cz z i t t =+⎰⎰12(34)d i t t =+⎰2(34).2i +=d ()(d d )CCz z x iy x i y =++⎰⎰又因为d d d d d CCCz z x x y y i y x x y =-++⎰⎰⎰这两个积分都与路线C 无关， C 所以不论是怎样从原点连接到 34 ,i +点的曲线2(34)d .2Ci z z +=⎰例2 R e d ,Cz z C ⎰计算其中为 (1) 1 ; i +从原点到点的直线段2(2) 1 ;y xi =+抛物线上从原点到点的弧段(3) 1 1 .x i +从原点沿轴到点再到的折线解 (1) 积分路径的参数方程为：()(01),z t t it t =+≤≤ Re ,d (1)d ,z t z i t ==+于是R e d Cz z ⎰1(1)d t i t =+⎰1(1);2i =+(2) 积分路径的参数方程为：2()(01),z t t itt =+≤≤Re ,d (12)d ,z t z ti t ==+于是R e d C z z ⎰10(12)d t it t =+⎰1230223t i t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12;23i =+(3) 积分路径由两段直线段构成：x 轴上直线段的参数方程为：()(01),z t t t =≤≤ Re ,d d ,z t z t ==于是 1到1+i 直线段的参数方程为：()1(01),z t it t =+≤≤ Re 1,d d ,z z i t ==于是R e d Cz z ⎰1d t t =+⎰11d i t ⋅⎰1.2i =+例3 d , : 2.Cz z C z =⎰计算其中为圆周解 积分路径的参数方程为：2(02π),i z e θθ=≤≤d 2d i z ie θθ=d Cz z ⎰2π22d i ie θθ=⋅⎰(2)z =因为2π4(cos sin )d i i θθθ=+⎰0.=例4 0101 d , , ()n CzC z r z z +-⎰求为以为中心为,.n 半径的正向圆周为整数 解 积分路径的参数方程为；：0(02π),i z z r e θθ=+≤≤101d ()n Cz z z +-⎰2π1(1)0d i n i n ire reθθθ++=⎰2π0d ,in ni e rθθ-=⎰0 ,n =当时101d ()n Cz z z +-⎰ 2π0d i θ=⎰2;i π=0 ,n ≠当时101d ()n Cz z z +-⎰2π0(cos sin )d ni n i n rθθθ=-⎰0;=i+i+所以0101d ()n z z rz z z +-=-⎰2,0,0,0.i n n π=⎧=⎨≠⎩重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.(1)()d ()d ;CCf z z f z z -=-⎰⎰(2)()d ()d ;()CCkf z z k f z z k =⎰⎰为常数(3)[()()]d ()d ()d ;CCCf zg z z f z z g z z ±=±⎰⎰⎰(4) , () C L f z C 设曲线的长度为函数在上满足 (), f z M ≤那末()d ()d .CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰（估值不等式）性质(4)的证明：1 ,k k k z z z -∆因为是与两点之间的距离 ,k s ∆为这两点之间弧段的长度1()nk k k f z ζ=⋅∆∑所以1()n k k k f z ζ=≤⋅∆∑1()nk k k f s ζ=≤⋅∆∑，两端取极限得，()d ()d .CCf z z f z s ≤⎰⎰1()nk k k f s ζ=⋅∆≤∑因为1nkk Ms=∆∑,M L =所以()d ()d CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰[证毕]例5 34 C i +设为从原点到点的直线段 1d Cz z i-⎰试求积分绝对值的一个.上界解 (34), (0C z i t t =+≤≤的参数方程为，根据估值不等式知1d Cz z i-⎰1d Cs z i≤-⎰11,3(41)C z it t i=-+-因为在上==5,3≤从而1d Cz z i-⎰5d 3Cs ≤⎰253=125 d 3Cz z i≤-⎰故§3.2 柯西—古萨基本定理一、问题的提出观察上节例1, () ,f z z =被积函数在复平面内处处解析此时积分与路线无关. 观察上节例4, 01 0,n z z =-被积函数当时为0 z C 它在以为中心的圆周的内部不是,处处解析的01 d 20.cz i z z π=≠-⎰此时0 z C 虽然在除去的的内部函数处处解,.析但此区域已不是单连通域观察上节例5, (),f z z x iy ==-被积函数由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. d .cz z ⎰此时积分值与路线有关由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.二、基本定理柯西－古萨基本定理 () ,f z B 如果函数在单连通域内处处解析 那末函数() f z 沿 B 内的任何一条封 : ()d 0.cC f z z =⎰ 闭曲线的积分为零定理中的 C 可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.关于定理的说明:(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, () f z 函数在 ,B C 内与上解析在闭区域B = ,BC +上解析 ()d 0.cf z z =⎰ 那末(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, () f z 函数在 ,B 内解析 B =在闭区域 , B C +上连续那末定理仍成立.三、典型例题 例1 11d .23z z z =-⎰ 计算积分 解 11 ,23z z ≤-函数在内解析根据柯西－古萨定理, 有 11d 0.23z z z ==-⎰例2 ()d 0(1), ncz z n C α-=≠-⎰ 证明其中是.任意闭曲线证 (1) ,n 当为正整数时() ,n z z α-在平面上解析由柯西－古萨定理, ()d 0.ncz z α-=⎰(2) 1 ,n -当为负整数但不等于时() ,nz z αα-在除点的整个平面上解析 : ,C α情况一若不包围点() ,nz C α-在围成的区域内解析由柯西－古萨定理,()d 0;ncz z α-=⎰: ,C α情况二若包围点由上节例4可知,()d 0.ncz z α-=⎰例3 2121d .(1)z i z z z -=+⎰计算积分解211111,(1)2z z zz iz i⎛⎫=-+⎪++-⎝⎭ 111 ,2z i z z i -≤+因为和都在上解析 根据柯西－古萨定理得2121d (1)z i z z z -=+⎰1211111d 22z i z zz i z i -=⎛⎫=--⎪+-⎝⎭⎰ 11122211111d d d 22z i z i z i z z z zz iz i-=-=-==--+-⎰⎰⎰1211d 2z i z z i-==--⎰122i π=-⋅.i π=-作业和思考题：第三章习题 11),3)；2；5；62),4) ,6)课后小结： （1）我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 重点掌握复积分的一般方法.（2）重点掌握柯西－古萨基本定理: 如果 () f z 函数在单连 通域B 内处处解析 () f z B C 那末函数沿内的任何一条封闭曲线:的积分为零()d 0.cf z z =⎰并注意定理成立的条件.。