第一讲 复变函数积分的概念与柯西—古萨定理

工程数学II 课程教案

授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：

§3.1 复变函数积分的概念；§3.2 柯西—古萨基本定理．

教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：

1．熟练掌握复积分计算的一般方法；

2．理解复积分的概念及性质；熟悉柯西—古萨基本定理．

教学重点及难点：

重点：复积分的概念及性质；复积分计算的一般方法．

难点：柯西—古萨基本定理．

教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：

§3.1复变函数积分的概念

一、积分的定义

1.有向曲线: 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A 到B 作为曲线C 的正向,

那么B 到A 就是曲线C 的负向, . C -

记为

关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.

简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C 的正向是指当曲线上的点P 顺此方向前进时, 邻近P 点的曲线的内部始终位于P 点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.

2.积分的定义: () , w f z D C =设函数定义在区域内为区域 D 内起点为 A 终点为 ,B 的一条光滑的有向曲线 , C n 把曲线任意分成个弧段设分点为

011,,,,,,,k k n A z z z z z B -==

1 (1,2,,) k k z z k n -= 在每个弧段11

1

()()(),n n

n k k k k k k k S f z z f z ζζ-===

⋅-=

⋅∆∑

∑

作和式

11 , , k k k k k k z z z s z z --∆=-∆=这里的长度1 max{},k k n

s δ≤≤=∆记 n 当无限增加且

0 δ→, 时 , k n C S ζ如果不论对的分法及的取法如何有唯,一极限 那么 称

这极限值为 () , f z C 函数沿曲线的积分记为

1

()d lim

().n

k k C

n k f z z f z ζ→∞

==⋅∆∑

⎰

关于定义的说明:

(1) , C 如果是闭曲线那么沿此闭曲线的积分()d .C

f z z ⎰ 记为

(2) , ()C x a x b f z ≤≤如果是轴上的区间而(),u x =这个积分定义就是一元实

变函数.定积分的定义

二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件

() ,f z C 如果是连续函数而是光滑曲线时 ()d .C

f z z ⎰积分一定存在

证 C 设光滑曲线由参数方程给出()()(), z z t x t i y t t αβ==+≤≤，正方向

为参数增加的方向, ,A B αβ参数及对应于起点及终点 ()0,,z t t αβ'≠<<并且 ()(,)(,) ,f z u x y i v x y D =+如果在内处处连续 (,) (,) u x y v x y D 那么和在内 ,均为连续函数

o

x

y

,k k k i ζξη=+设 因为

111()k k k k k k k z z z x iy x iy ---∆=-=+-+11()()k k k k x x i y y --=-+- ,k k x i y =∆+∆

所以

1

()n

k k k f z ζ=⋅∆∑

1[(,)(,)]()n

k

k k k k k k u i v x i y ξ

ηξη==

+∆+∆∑

1

[(,)(,)]n

k

k k k k k k u x v y ξ

ηξη==

∆-∆∑ 1

[(,)(,)]n

k k k k k k k i v x u y ξηξη=+∆+∆∑

, ,u v 由于都是连续函数根据线积分的存在定理,

当 n 无限增大而弧段长度的最大值

趋于零时, , (,) ,k k C ξη不论对的分法任何点的取法如何 ,下式两端极限存在

1

1

()[(,)(,)]n

n

k k k

k k k k k k k f z u x v y ζξ

ηξη==∆=

∆-∆∑

∑1

[(,)(,)]n

k k k k k k k i v x u y ξηξη=+∆+∆∑

()d C

f z z ⎰

d d C

u x v y =

-⎰

d d C

i v x u y ++⎰

在形式上可以看成是() d d d :f z u iv z x i y =+=+与相乘后求积分得到

()d C

f z z ⎰

()(d d )C

u iv x i y =

++⎰

d d d d C

u x iv x iu y v y =

++-⎰

d d d d .C

C

u x v y i v x u y =

-++⎰

⎰

2. 积分的计算法

()d .C

f z z ⎰可以通过两个二元实变函数的线积分来计算

()d {[(),()]()[(),()]()}d C

f z z u x t y t x t v x t y t y t t

β

α''=

-⎰

⎰

{[(),()]()[(),()]()}d i v x t y t x t u x t y t y t t β

α''++⎰

{[(),()][(),()]}{()()}d u x t y t iv x t y t x t iy t t β

α''=++⎰ [()]()d .f z t z t t β

α

'=

⎰

12 ,,, n C C C C 如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线，

则

()d C

f z z ⎰

1

2

()d ()d ()d n

C C C f z z f z z f z z =

+

++

⎰

⎰

⎰