芜湖一中高一自主招生考试数学试卷及答案
芜湖一中自主招生数学试卷
芜湖一中自主招生数学试卷芜湖一中自主招生数学试卷芜湖一中2021年高一自主招生考试数学试卷(150)一、选择题（每题6分，共36分） 1．若x2 6x 1 0，则x xA．144的值的个位数字是（）C．3D．4B．22．已知二次函数y 2x2的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（） A．y 2(x 2)2 2B．y 2x2 8x 6C．y 2x2 8x 6 D．y 2x2 8x 103．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积为（） A．5 B．6 C．7 D．8 4．若y A．0y的最小值是（）B．1 C．2 D．3点，且5．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D，E两 cosA=3，则S△ADE∶S四边形DBCE的值为（）A．12B．13C．2D．3AF6．如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M，BD于N；若AF平分 BAC，DE AF；交记mBEOM,nBNON,pCFBFE,则有（）B．m n p D．m n pA．m n p C．m n p二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）7．已知x xy 3,xy y 2,则2x xy 3y 。
8. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD表示黑色物体甲，其中，A (1，1)，B (2，1)，C (2，2)，D (1，2)，用信号枪沿直线y = 2x + b发射信号，当信号遇到区域甲时，甲由黑变白．则 b 的取值范围为时，甲能由黑变白。
9．已知关于x的方程x p x有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是2222感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2022年芜湖一中高一自主招生考试数学试卷
芜湖一中高一自主招生考试数 学 试 卷一、选择题（每题6分，共36分）（答案必须填在下表中，否则以0分计算）1．某同学编制了一种计算程序。
当输入任一有理数，显示屏旳成果总等于所输入有理数旳平方与1之差。
若输入2-，并将所显示旳成果再次输入，这时显示旳成果应当是： A ．3B ．4C ．8D ．92．已知231,231+=-=b a ，则622++b a 旳值为： A ． 3B ．4C ．5D ．63．函数y旳最小值是：A ．225+B ．3C ．1+22D ．54．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重叠于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点E 、F .若AD ＝2，BC ＝6，则△ADB 旳面积等于：A ．2B ．4C ．6D ．85．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （9，0）. 直线y=kx -3恰好平分⊙P 旳面积，那么k 旳值是： A ．65B ．21C ．56D ．26．已知二次函数2y ax bx c =++旳图象如图所示，有如下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->。
其中所有对旳结论旳序号是： A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤二、填空题（本大题共6个小题，每题7分，共42分） 7．方程24|21|x x -=+旳解是 。
8．如图，在矩形ABCD 中,E 是BC 边上旳点,且CE=2BE ，△DEF 旳面积等于2,则此矩形旳面积等于 。
9．已知x 、y 是实数且满足0222=-++y xy x ，设M=22y xy x +-，则M 旳取值范围是 。
第4第5题第6题ABCxyP10．已知1a =，则3227217a a a +-- 旳值等于 。
11．如图，△ABC 中，AB ＝AC=BC ，P 为三角形内一点，PA 2=，PB12．如图，同心圆旳半径为6，8，AB 为小圆旳弦，CD 为大圆旳弦，且ABCD 为矩形，若矩形ABCD 面积最大时，矩形ABCD 旳周长为____________。
芜湖一中 2017年高一自主招生考试数学试卷及答案
C． 2
D． 13
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 8 分，共 48 分，请把正确答案写在答题卡上）
7．若 x 为实数，且满足 (x2 x 1)(x2 x 3) 5 ，则 x2 x =
.
8．已知实数 a 、 b 满足 (a 1)2 (a 6)2 10 | b 3 | | b 2 | ，则 a b 的取值范围
2
芜湖一中 2017 年高一自主招生考试
数学答题卷
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题（每小题 8 分，共 48 分）
7．
8．
9．
0
10．
11．
12．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
三、.解答题（本大题共 5 小题，满分 66 分，写出必要的解答过程。）
13． (本小题满分 12 分)设 m 是不小于 1的实数，使得关于 x 的方程 x2 2(m 2)x m2
（Ⅰ）．求这条抛物线的表达式； （Ⅱ）．连结 OM，求∠AOM 的大小； （Ⅲ）．如果点 C 在 x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点 C 的坐标．
第 14 题图
4
15．(本小题满分 12 分)从 1，2，…，9 中任取 n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个， 也可以是全部），它们的和能被 10 整除，求 n 的最小值．（写出详细过程才给分）
为
.
9．当 n 1, 2, 3,, 2017 时，二次函数 y (n2 n)x2 (2n 1)x 1 的图象与 x 轴所截得的线
芜湖一中2022年高一自主招生考试数学试题及参考答案
芜湖一中2022年高一自主招生考试数学试卷（满分：150分）一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）1.方程xΙxΙ-5ΙxΙ+4=0的实数根的个数是（）A1B2C3D42.依次将正整数1，2，3，……的平方数排成一串：149162536496481100121144……，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第898个位置的数字是（）A1B4C5D93.设抛物线y=x2+x-4与x轴的两个交点的坐标为（x1，0）和（x2，0），则x13-5x22+10=（）A-19B-9C16D-274.若直角坐标系内两点M､N满足条件①M､N都在函数y的图象上②M､N关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y的一个“共生点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一个”共生点对”),已知函数,则函数y的“共生点对”有()个A0B1C2D35.如图(1)，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是()．A252-B5C 3D 3.56.如图(2)，一个边长分别是6,8,10的直角三角形的一个顶点与正方形的点A 重合，另两个顶点在正方形的两边BC,CD 上，则正方形的面积是（）图（1）图（2）图（3）7.如图（3）O 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，OE ⟂OD,∠OED=45°，E 在AB 上，结论：①∠AOD=∠AED；②AD:OD=AF:EF；③OA OF OE ⋅=2；④若AB=6,BE=4,则OD=52,其中正确结论的个数是（）A 1B 2C 3D 4二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）.9.若有四个不同的正整数a,b,c,d,满足（2022-a)(2022-b)(2022-c)(2022-d)=6，则a+b+c+d=.10.已知实数m≠n 且满足（m+2)2=3-3(m+2),(n+2)2=3-3(n+2),则.=+nm m n11.如图4，∠C ＝90°，BC ＝6，tanB ＝，点M 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度在BA 上向点A 运动，点N 同时从点A 出发向点C 运动，其速度是每秒2个单位长度，当一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为秒时，△MNA 为等腰三角形．12.如图（5），点P 为函数xy 36=（x ＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为2，A （4，0），B （8，0），点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是．13.如图图6，在∆ABC 中，AB=AC,以AB 为直径的圆交BC 于点D,连接AD ，点P 是AD 上一点，过点C 作CF ∥AB,延长BP 交AC 于E,交CF 于F,若PE=4,EF=5则BP=图（4）图（5）图（6）14.设自然数m,n,m>n,且(m+n)+(m-n)+mn+n m=75,则m+n=三、解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）15.（1）（本题6分）解方程82)1()344=+++x x （（2）（本题7分）对于函数f （x ）＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0）,若存在实数x 0，使f （x 0）＝x 0成立，则称x 0为f （x ）的固定点．①当a ＝2，b ＝﹣4时，求f （x ）的固定点；②若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个不相同的固定点，求a 的取值范围．16.（本题12分）某校开展研学旅行活动，决定租几辆客车，要求每辆车乘坐相同的人数，每辆车至多乘坐32人。
芜湖一中2013年高一自主招生考试各科试卷及答案(WORD精校版)
2013年芜湖一中自主招生各科试卷及评分标准目录芜湖一中2013年高一自主招生考试语文试卷------------------ 1语文参考答案 -------------------------------------------- 8芜湖一中2013年高一自主招生考试数学试卷------------------ 9数学参考答案 ------------------------------------------- 13 芜湖一中2013年高一自主招生考试英语试卷----------------- 15 英语参考答案 ------------------------------------------- 23 芜湖一中2013年高一自主招生考试物理试卷----------------- 23 物理参考答案 ------------------------------------------- 30 芜湖一中2013年高一自主招生考试化学试卷----------------- 32 化学参考答案 ------------------------------------------- 36芜湖一中2013年高一自主招生考试语文试卷一、语文积累与综合运用（15分）1．在括号里改正错别字，给加点字注音（4分）苦心孤意（）瑕不隐玉（）舐．犊情深（）有恃．无恐（）2．修改病句（4分）（1）热烈欢迎上级领导来我校莅临指导。
修改为：（2）具有不同专长的大学生暑假里愿意登门为您的令郎辅导功课。
修改为：3．名句默写（5分）（1）君不见走马川行雪海边，_________________________。
（2）水是眼波横，________________________。
（3）花间一壶酒，________________________。
（4）宁为百夫长，________________________。
（5）人有悲欢离合，_______________________。
安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷(含解析)
芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________依次类推,A.4 B.3C.2D.12．若正实数a ,b ,c 满足不等式组则a ,b ,c 的大小关系为( )A. B.C.D.3．若实数a ,b 满足等式( )4．在中,,,,连,则长的最大值是( )A.8B.9C.10D.115．已知三个实数,,它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7,则这样的三元数组共有_______组( )A.3B.4C.5D.66．如图,在中,,的中点,以为底边在其右侧作等要,使,连( )64,537,6112,4c a b c a b c a b c a b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩b ac <<b c a <<c b a <<c a b<<222a a -=-b =Rt ABC △90ABC ∠=︒2AB =BC =30ADB =︒CD CD 1x 2x 3x ()123,,x x x Rt ABC △90BAC ∠=︒sin B =AD ADE △ADE B ∠=∠=7．四边形中,,是其两对角线,是等边三角形,,,,则( )A. B. C. D.二、填空题8．已知19个连续整数的和为380,则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.9．已知__________.10．在实数范围内因式分解：__________.11．在平面直角坐标系中,点,,连,,若线段,分别交曲线于点D ,E （异于点B ）,若,则k 的值为__________.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上,使它们两两相外切,若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.13．在菱形中,,点E ,F 分别在边,上,将沿着对折,使点A 恰好落在对角线上的点G ,若,,则的面积等于__________.14．对于任意不为0的实数a ,b ,c 定义一种新运算“#”：①;②,则关于x 的方程的根为__________.三、解答题15．回答下列问题（1）解方程：;（2）求所有的实数a ,使得关于x 的方程的两根均为整数.16．如图,点E 是正方形的边上一动点（异于C ,D ）,连,以为对角线作正方形,与交于点H ,连.ABCD AC BD ABC △6AD =10BD =8CD =ADC ∠=30︒45︒60︒75︒x =)()()()211232x x x x ++++=222234a b c ab bc ca -+-++=xOy ()4,0A (4,B OB AB OB AB (0,0)k y k x x=>>DE OB ⊥ABCD 60A ∠=︒AD AB AEF △EF BD 4DG =6BG =AEF △#1a a =()()###a b c a b c =()2#24x x =+()2224341615x x x x x =+-++-()221430x a x a --+-=ABCD CD BE BE BGEF EF BD AF（1）求证：A ,F ,C 三点共线;（2）若17．在平面直角坐标系中,抛物线经过点和,且在x 轴上截得的线段长为（1）求抛物线的解析式;（2）已知点A 在抛物线上,且在其对称轴右侧,点B 在抛物线的对称轴上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求点A 的坐标;（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线,直线与交于E ,F 两点,直线与交于G ,H 两点,若M ,N 分别为线段和线段的中点,连,求证：直线过定点.18．如图,等边内有一动点D ,是等边三角形（点B ,E 在直线两侧）,直线与直线交于点F .（1）判断的大小是否为定值？若是定值,求出其大小;若不是定值,请说明理由.（2）若,,求线段长的最小值.:1:CE DE =xOy 21:(0)C y ax bx c a =++>()0,3-()4,11-1C 1C 1C OAB △OB 1C 2C ()0y kx k =≠2C 2y x k=-2C EF GH MN MN ABC △CDE △AC BD AE AFC ∠5AB =3CD =AF参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
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芜湖一中2012年高一自主招生考试数 学 试 卷题 号 一二三总 分1314151617得 分一、选择题（每题6分，共36分）（答案必须填在下表中，否则以0分计算）题 号 1 2 3 4 5 6 答 案1．某同学编制了一个计算程序。
当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之差。
若输入2-，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是： A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 2．已知231,231+=-=b a ，则622++b a 的值为： A ． 3B ．4C ．5D ．63．函数y ＝224548x x x x +++-+的最小值为：A ．225+B ．3C ．1+22D ．54．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点E 、F .若AD ＝2，BC ＝6，则△ADB 的面积等于： A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （9，0）. 直线y=kx -3恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是：A ．65B ．21C ．56D ．2第4题图 第5题图第6题图ABCxyP6．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->。
其中所有正确结论的序号是：A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分） 7．方程24|21|x x -=+的解为 。
8．如图，在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,且CE=2BE ，△DEF 的面积等于2,则此矩形的面积等于 。
9．已知x 、y 是实数且满足0222=-++y xy x ，设M=22y xy x +-，则M 的取值范围是 。
安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高一自主招生考试数学试题
安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高一自主招生考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．①②B ．②④3．已知2222,a b b c a b c -=-=++=A ．-22B ．-14．两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为（A ．2个B ．6．如图，已知直线1:l y =A ．2B ．D ．7．如图，已知在平面直角坐标系的顶点A ，且点B 在x 轴上，过点A ．6B ．二、填空题8．已知()2311a a --=，则a 的取值可能是__________．9．分解因式32452x x x +++=__________．10．若关于整数x 的不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解为31x -≤≤，则a b -的最大值为__________．11．设,,a b c 是正整数，且7080,8090,90100a b c ≤<≤<≤<，当数据,,a b c 的方差最小时，a b c ++的值为__________．12．若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于与它相邻的前后两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2025个，第五个数为3，且具有“波动性质”，则这2025个数的和是__________．三、解答题13．如图，A 是圆B 上任意一点，点C 在圆B 外，已知2,4AB BC ACD == ，是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为__________．四、填空题五、解答题(1)如图（1），若236CF EF ==，求线段BD 的长度；(2)如图（2），若2,22GC GE ==，求tan CDA ∠的值．18．材料：对抛物线21(0)2y x p p=>，定义：点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭叫做该抛物线的焦点，(1)求抛物线C的解析式和点A的坐标；(2)若将抛物线C的图象向左平移2个单位，再向上平移①设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，+的最小值；MN MA参考答案：由于A 为定点，则A '也为定点，故当即此时AM MP PN ++取得最小值，因为直线1l 和2l 与x 轴相交所成的锐角分别为所以604020PON ∠=-= ，则而A 坐标为()2,23，故OA OA =AF BC ∴ ,AED BCD ∴ ，32AE AD BC BD ∴==，EF AF AEBC BC-∴=，【详解】，连接为边作等边BCM=∠=︒，60MCB=∠，DCM ACB,=，AC MC BC≅△（SAS），DCM CAB//EH AD ，,BH BE CD CF HD EA HD EF∴==，因为,CB CA CE AB =⊥，所以E如图，过点E 作EH AD ⊥于点H EGH ∴ 等腰直角三角形，EH =2,2CG CG EH =∴== ，在CFG △和EFH △中，根据阅读材料中的结论，可得MF 于是1MN MA MF MA +=+-要使MN MA +最小只需MF MA +根据两点间线段最短，可得MF【点睛】难点点睛：求解2PF FA -⋅方程，和抛物线方程联立，表示出点:1AB y kx =+，联立214y x =推出。
【新】2019-2020芜湖市第一中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年芜湖市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
芜湖一中2009-2012年高一自主招生数学试卷含答案
芜湖一中2009年高一自主招生考试数 学 试 卷题 号一二三总分1314 15 16 17 得 分一、选择题（每小题6分，计36分）1．若一元二次方程20x px q ++=的两根为p 、q ，则pq 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．0或—2 D ．0或12．从1、2、3、4、5这些数中任取两个，则它们的和是偶数的概率是（ ） A ．110B ．25C ．35D ．453．满足不等式组21531321353x x x x x --⎧+≥-⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的所有整数解的个数为（ ）A ．20B ．21C ．22D ．234．正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．32B ．34C ．45D ．355．二次函数1()()y x a x b =---，（a 、b 为常数，且a b <）与x 轴的交点的横坐标分别为m 、n ()m n <，则m 、n 、a 、b 的大小关系是（ ）A ．m a b n <<<B ．m n a b <<<C ．m a n b <<<D ．a b m n <<<6．两个相似三角形，它们的周长分别是36和12，周长较大的三角形的最大边边长为15，周长较小的三角形的最小边边长为3，则这两个三角形的面积之和是（ ） A ．54 B ．56 C ．58 D ．60二、填空题（每小题7分，共42分）7．33(743)(743)+--= （化成最简形式） 8．在直角坐标系xoy 中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1，4）、B （m ，43）两点，则一次函数的解析式为 9．方程331x x -+=的解是10．已知由n 个单位正方体堆成的简单几何体的主视图（a ）和俯视图（b ），则n 的最大值与最小值的和为（a ） （b ）第10题 第11题11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，CG//AB ，BG 分别交AD 、AC 于点E 、F ，若EF a BE b =，那么GEBE= 12．现有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3:5，则桶的容积为 升。
【6套合集】安徽芜湖市第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析
【6套合集】安徽芜湖市第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析中学自主招生数学试卷一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．B．C．D．02．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A．3.56×106人B．35.6×105人C．3.6×105人D．0.356×107人3．（3分）下列各式正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2+2a3＝2a5C．D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣14．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）在下列说法中不正确的是（）A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x 的增大而增大，那么a的取值范围为（）A．a＜3B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3．9．（3分）将抛物线y ＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2B．y＝5（x+3）2﹣2C．y＝5（x﹣3）2+2D．y＝5（x﹣3）2﹣210．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A．72°B．68°C．64°D．62°11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（）米．A．25.5B．26C．28.5D．20.512．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：3a2﹣12＝．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O 为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E 的坐标是．15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是．16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为．17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x 轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）（1）这次调查中，一共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE （1）求证：EG是⊙O的切线；（2）求证：GF2＝GD?GC；（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tan G＝，HC＝4，求EM的值．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC ＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD 与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OC＝2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD 为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是（只填写序号）（2）若二次函数y＝x2﹣2x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C 的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（3）若二次函数y＝x2﹣2nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．B．C．D．0【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、＝2是整数，是有理数，故选项不符合题意；B、是分数，是有理数，故选项不符合题意；C、是无理数，故选项符合题意；D、0是整数，是有理数，故选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A．3.56×106人B．35.6×105人C．3.6×105人D．0.356×107人【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：356万＝3.56×106．故选：A．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列各式正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2+2a3＝2a5C．D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝x2﹣1，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3分）在下列说法中不正确的是（）A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断．【解答】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系．6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．。
芜湖一中2020年高一数学自主招生考试答案定稿
芜湖一中2020年高一自主招生考试数 学 试卷一、选择题二、填空题 8．5; 9．92; 10．(-4019,2);11．()()()2113--+x x x ；12．332-；13．22；14．572； 三、解答题15．（1）因为310+=a ，所以3106-=-a ，则()16=-a a ，于是13117672345++-+-a a a a a =()()1311766234++----a a a a a a =13117223++--a a a a =()13112622++--a a a a =13)6(2+--a a =11.（2）设t x x =--+9922，由()()1899992222=--+-++x x x x ，得75-=t ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--++=-++759975992222x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+795922x x ，即162=x ，所以4±=x . 16.解：由题c y x 2=+，又y x =2，则022=-+c x x ，则2811cx +±-=，因为Z x ∈，所以设1281+=+k c （*∈N k ）,于是()12+=k k c ，所以c k k 21,1=+=或c k k =+=1,2；若c k k 21,1=+=，则1=c ，与c 是素数不符，舍去； 若c k k =+=1,2，则3=c ，3-=x 或2.当3-=x 时，0<-+=a c b x ，即a c b <+，显然不能成三角形三边长.当2=x 时，4=y ，16=z ，此时182=+=z x b ，9=b 为合数，与b 是素数不符. 综上，c b a ,,不能作为三角形的三边长.17.解：（1）令0=x ，代入343+-=x y ，得3=y ，则()3,0C .令0=y ，代入343+-=x y ，得4=x ，则()0,4B .设抛物线的解析式为：()()42-+=x x a y ，把()3,0C 代入得83-=a ，则抛物线的解析式为()8271833438322+--=++-=x x x y ，顶点⎪⎭⎫⎝⎛827,1D .（2）由题易知PF DE //,于是当PF DE =时，有四边形DEFP 为平行四边形.令1=x ，代入343+-=x y ，得49=y ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛49,1E ，于是89=DE .设⎪⎭⎫ ⎝⎛+-343,00x x F ，则⎪⎭⎫⎝⎛++-34383,0200x x x P ，于是0202383x x PF +-=，令892383020=+-x x ，解得30=x 或1（舍），将3=x ，代入343+-=x y ，得815=y ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛815,3P . （3）过点Q 向x 轴作垂线，交线段BC 于点R ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛++-34383,020x x x Q ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+-343,00x x R ,则0202383x x QR +-=，则⎪⎭⎫⎝⎛+-=⨯⨯=02023832421x x QR S QBC ∆=()324320+--x ，由题知400<<x ，于是当20=x 时，有()3max=QBCS ∆，此时()3,2Q .（4）由（3）知：()3,2Q ，设点M 关于抛物线对称轴的对称点为M ',则点M '在y 轴上，2='M M ,N M MN '=,以M M '与MC 为临边作平行四边形M MCS '，则M S CM '=，()3,2-S ,于是NB MN CM ++=NB N M M S +'+',容易知道当B N M S ,,,'四点共线时，NB N M M S +'+'取最小值，为53=SB .18.（1）解：连接BO PM ,，由M 为BC 中点，得BC OM ⊥且3=OM .易知PC PB =，则BC PM ⊥，于是P M O ,,三点共线.因为BP OB ⊥,BM OP ⊥，容易得到BM OM BP OB =,则320=PB .（2）证明：由（1）易知PBPMPO PB =,即PM PO PB ⋅=2，又PA PE PB ⋅=2，所以PA PE PM PO ⋅=⋅，即PMPE PA PO =，又EPM OPA ∠=∠，所以OPA ∆∽EPM ∆,于是PME PAO ∠=∠，故E M O A ,,,四点共圆.（对于平几水平较高的学生，在得到PA PE PM PO ⋅=⋅，直接说E M O A ,,,四点共圆也可以.）（3）证明：（法1）过点C 作AB CF ⊥于点F ，连接FM .因为M 为BC 中点，所以MC BC FM ==21,又BAC PCB ∠=∠，所以PCFMPC MC PCB BAC AC AF ==∠=∠=cos cos ，于是有CPACFM AF =.又ACP FBC BFM AFM o o ∠=∠-=∠-=∠180180，所以AFM ∆∽ACP ∆，于是CAP FAM ∠=∠，又CAT BAT ∠=∠，所以DAT MAT ∠=∠，即AT 为MAE ∠平分线；（法2）连接CE BE ,，易知ABEC 为调和四边形，所以BE AC EC AB ⋅=⋅，又由托勒密定理，得BC AE BE AC EC AB ⋅=⋅+⋅，于是BM AE EC AB 22⋅=⋅，即ECAEBM AB =，又AEC ABM ∠=∠，所以ABM ∆∽AEC ∆，于是EAC BAM ∠=∠,又CAT BAT ∠=∠，所以DAT MAT ∠=∠，即AT 为MAE ∠平分线；。
2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷及答案解析
2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共6小题，满分36分，每小题6分）1．（6分）若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．0C．9D．182．（6分）由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有（）个．A．2个B．4个C．6个D．8个3．（6分）据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433﹣1，这个质数的末尾数字是（）A．1B．3C．7D．94．（6分）在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，AH＝BC，则∠BHC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：16．（6分）如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=−12x于点B i．则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为（）A．2nn+1B．2C．2n(n+1)D．2n+1二．填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）7．（7分）函数y=√x2+4x+5+√x2−4x+8的最小值是．8．（7分）甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A和B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲的速度与乙的速度之比为．9．（7分）设函数y＝x﹣3与y=2x的图象的两个交点的横坐标为a、b，则1a+1b=．10．（7分）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为．11．（7分）一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是立方厘米．12．（7分）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，那么[x+y﹣z]的值等于．三．解答题（共5小题，满分72分）13．（14分）试求实数a、b使得抛物线y＝x2+ax+b，y＝x2+bx+a与x轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等．14．（15分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．15．（14分）如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH2＝AH•OH．16．（14分）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．17．（15分）如图①，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1 cm，a秒时点P的速度变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象：（1）根据图②中提供的信息，a＝，b＝，c＝．（2）点P出发后几秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的四分之一？2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分36分，每小题6分）1．（6分）若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．0C．9D．18【解答】解：设a+b＝m，则ab＝m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3＝0的两根，a、b为实数，则△＝（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b＝m＞0，只有m≥6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2（m+3）＝（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m＝6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．2．（6分）由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有（）个．A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：如图所示：由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有：（0，2），（0，1），（0，0），（1，0），（1，1），（1，2）一共有6个点．故选：C．3．（6分）据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433﹣1，这个质数的末尾数字是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．9【解答】解：∵859433＝214858×4+1， ∴2859433的末尾数与21的末尾数相同，都为2， ∴2859433﹣1的末尾数是1． 故选：A ．4．（6分）在△ABC 中，∠A 是钝角，H 是垂心，AH ＝BC ，则∠BHC ＝（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解答】解：如图，AD 、CE 、BF 为△ABC 的高，H 点为三条高线的交点，即H 是垂心， ∵AD 、CE 为△ABC 的高， ∴∠AEH ＝90°，∠ADB ＝90°， ∴∠1＝∠2，∵在△HAE 和△BCE 中 {∠1=∠2∠AEH =∠CEB AH =BC， ∴△HAE ≌△BCE （AAS ）， ∴HE ＝BE ，∴△HEB 为等腰直角三角形， ∴∠BHC ＝45°． 故选：B ．5．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC ＝3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BF A，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DFE：S△BF A＝9：16．故选：B．6．（6分）如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=−12x于点B i．则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为（）A．2nn+1B．2C．2n(n+1)D．2n+1【解答】解：根据题意得：A i B i=12x2﹣（−12x）=12x（x+1），∴1A iB i =2x(x+1)=2（1x−1x+1），∴1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n=2（1−12+12−13+⋯+1n−1n+1）=2nn+1．故选：A．二．填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）7．（7分）函数y =√x 2+4x +5+√x 2−4x +8的最小值是 5 ． 【解答】解：∵x 2+4x +5＝（x +2）2+1，x 2﹣4x +8＝（x ﹣2）2+4， ∴即抛物线的顶点坐标分别为：（﹣2，1），（2，4），即相当于求x 轴上一点到（﹣2，1）和（2，2）的和的最小值，等价于（﹣2，﹣1）到（2，2）距离，故如图所示：A ′B =√32+42=5，即原式的最小值为5． 故答案为：5．8．（7分）甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A 和B ，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ，甲的速度与乙的速度之比为34．【解答】解：设甲的速度为v 1千米/时，乙的速度为v 2千米/时，根据题意知，从出发地点到A 的路程为v 1千米，到B 的路程为v 2千米，从而有方程：v 2v 1−v 1v 2=3560，化简得：12（v 1v 2）2+7（v 1v 2）﹣12＝0， 解得：v 1v 2=34或v 1v 2=−43（不合题意舍去）．故答案为：34．9．（7分）设函数y ＝x ﹣3与y =2x 的图象的两个交点的横坐标为a 、b ，则1a +1b= ﹣1.5 ．【解答】解：联立{y =x −3y =2x 消掉y 得，x 2﹣3x ﹣2＝0， ∵两个交点的横坐标为a 、b ，∴a +b =−−31=3，ab ＝﹣2， ∴1a +1b=a+b ab=3−2=−1.5．故答案为：﹣1.5．10．（7分）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为14．【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积=14S 四边形， ∴针头扎在阴影区域内的概率为14；故答案为：14．11．（7分）一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是 2688 立方厘米．【解答】解：如图①∵长方体的长、宽、高分别为28cm 、19cm 、16cm ，∴第一次切下的正方形的边长为16cm ，则其体积为163＝4096（cm 3）， ∴可以认为还有一个长、宽、高分别为19cm 、16cm 、12cm 的长方体存在； 如图②：∴第二次切下的正方形的边长为12cm ，则其体积为123＝1728（cm 3），∴剩下部分的体积是：28×19×16﹣4096﹣1728＝8512﹣4096﹣1728＝2688（cm3）．故答案为：2688．12．（7分）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，那么[x+y﹣z]的值等于2或3或4．【解答】解：∵[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，∴3＜x＜4，1＜y＜2，1＜z＜2，∴2＜x+y﹣z＜5，故可得出[x+y﹣z]＝2，3，4．故答案为：2或3或4．三．解答题（共5小题，满分72分）13．（14分）试求实数a、b使得抛物线y＝x2+ax+b，y＝x2+bx+a与x轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等．【解答】解：设函数y＝x2+ax+b与x轴的两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）且x1＜x2，函数y＝x2+bx+a与x轴的两个交点坐标分别为C（x3，0），D（x4，0），且x3＜x4，则x1+x2＝﹣a≤0，x1x2＝b＜0，则x1＜0，x2＞0，同理x3+x4＝﹣b＞0，x3x4＝a≥0，则x3≥0，x4＞0，则A、B、C、D在x轴上的左右顺序为A，B，C，D或A，C，B，D或A，C，D，B，若按A，C，D，B的顺序排列，则AC＝CD＝DB，则有x3﹣x1＝x4﹣x2，即x1+x2＝x3+x4，即﹣a＝﹣b，与假设（a≥0＞b）矛盾，此不可能．若按A、B、C、D的顺序排列，则x2﹣x1＝x4﹣x3＝x3﹣x2，由于x1，2=−a±√a2−4b2，x3，4=−b±√b2−4a2，则√a2−4b=√b2−4a，∴（a﹣b）（a+b+4）＝0，而a＞b，∴a+b+4＝0，又2x3＝x2+x4，则2×−b−√b2−4a2=−a+√a2−4b2+−b+√b2−4a2，化简得：a+b＝3√b2−4a+√a2−4b，即3√b2−4a+√a2−4b=−4，此不可能．若按A、C、B、D的顺序排列，则x3﹣x1＝x2﹣x3＝x4﹣x2，则有x2﹣x1＝x4﹣x3，且2x3＝x1+x2，因此√a2−4b，∴（a﹣b）（a+b+4）＝0，而a＞b，∴a+b+4＝0，又2x3＝x2+x1，则2×−b−√b2−4a2=−a，解之得a＝0或a＝﹣4．而a≥0，∴a＝0，b＝﹣4，经经验，a＝0，b＝﹣4满足题设要求．故a＝0，b＝﹣4为所求．14．（15分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=12×180°＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x＝0，得y＝12，∴DE＝12，令y＝0，得x＝10，∴MN＝10，把y=245代入y=−65x+12，解得：x＝6，即NQ＝6，∴QM＝10﹣6＝4，∵Q是BF中点，∴FQ＝QB，∵BM＝2FN，∴FN+6＝4+2FN，解得：FN＝2，∴BM＝4，∴BF＝FN+MN+MB＝16；（3）①连接EM 并延长交BC 于点H ，如图2所示：∵FM ＝2+10＝12＝DE ，DE ∥BF ，∴四边形DFME 是平行四边形，∴DF ＝EM ，EH ∥CD ，∴∠MHB ＝∠C ＝90°，∵AD ＝6，DE ＝12，∠A ＝90°，∴∠DEA ＝30°，∴∠DEA ＝∠FBE ＝∠FBC ＝30°，∴∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠FME ＝60°，∴∠DFM ＝∠DEM ＝120°，∴∠MEB ＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠MEB ＝∠FBE ＝30°，∴∠EHB ＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF ＝EM ＝BM ＝4，∴MH =12BM ＝2，∴EH ＝4+2＝6，由勾股定理得：HB =√BM 2−MH 2=√42−22=2√3，∴BE =√EH 2+HB 2=√62+(2√3)2=4√3，当DP ＝DF 时，−65x +12＝4，解得：x =203，∴BQ ＝14﹣x ＝14−203=223， ∵223＞4√3，∴BQ ＞BE ；②（Ⅰ）当PQ 经过点D 时，如图3所示：y ＝0，则x ＝10；（Ⅱ）当PQ 经过点C 时，如图4所示：∵BF ＝16，∠FCB ＝90°，∠CBF ＝30°，∴CF =12BF ＝8，∴CD ＝8+4＝12，∵FQ ∥DP ，∴△CFQ ∽△CDP ，∴FQ DP =CF CD ， ∴2+x−65x+12=812，解得：x =103；（Ⅲ）当PQ 经过点A 时，如图5所示：∵PE ∥BQ ，∴△APE ∽△AQB ，∴PE BQ =AE AB ，由勾股定理得：AE =√DE 2−AD 2=√122−62=6√3，∴AB ＝6√3+4√3=10√3，∴12−(−65x+12)14−x=√310√3， 解得：x =143，由图可知，PQ 不可能过点B ；综上所述，当x ＝10或x =103或x =143时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点．15．（14分）如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH2＝AH•OH．【解答】解：连接OC 、BC ，∵C 是弧AB 的中点，M 是弦AC 的中点，∴∠BOC ＝∠BHC ＝90°，则点O 、B 、C 、H 四点共圆，∴∠OHB ＝∠OCB ＝45°，∵∠BCM ＝90°，CH ⊥BM ，M 为AC 的中点，∴AM 2＝CM 2＝MH •MB ，即HM AM =AM BM ，∴△AMH ∽△BMA ，则∠MAH ＝∠MBA ，∠AHM ＝∠BAM ＝45°，∴∠AHM ＝∠BHO ，∴△AMH ∽△BOH ，∴AH BH =MH OH ，则AH •OH ＝MH •BH ，∵CH 2＝MH •HB ，∴CH 2＝AH •OH ．16．（14分）甲、乙两条轮船同时从港口A 出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A 与小岛C 之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．【解答】解：（1）作BD ⊥AC 于点D ，如图所示：由题意可知：AB ＝30×1＝30海里，∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，在Rt △ABD 中，∵AB ＝30海里，∠BAC ＝30°，∴BD ＝15海里，AD ＝AB cos30°＝15√3海里，在Rt △BCD 中，∵BD ＝15海里，∠BCD ＝45°，∴CD ＝15海里，BC ＝15√2海里，∴AC ＝AD +CD ＝15√3+15海里，即A 、C 间的距离为（15√3+15）海里．（2）∵AC ＝15√3+15（海里），轮船乙从A 到C 的时间为15√3+1515=√3+1，由B 到C 的时间为√3+1﹣1=√3，∵BC ＝15√2海里，∴轮船甲从B 到C 的速度为√2√3=5√6（海里/小时）．17．（15分）如图①，在长方形ABCD 中，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从A 出发，沿A 、B 、C 、D 路线运动，到D 停止，点P 的速度为每秒1 cm ，a 秒时点P 的速度变为每秒bcm ，图②是点P 出发x 秒后，△APD 的面积S 1（cm 2）与x （秒）的函数关系图象：（1）根据图②中提供的信息，a ＝ 6 ，b ＝ 2 ，c ＝ 17 ．（2）点P 出发后几秒，△APD 的面积S 1是长方形ABCD 面积的四分之一？【解答】解：（1）依函数图象可知：当0≤x ≤a 时，S 1=12×8a ＝24 即：a ＝6当a ＜x ≤8时，S 1=12×8×[6×1+b （8﹣6）]＝40 即：b ＝2 当8＜x ≤c 时，①当点P 从B 点运动到C 点三角形APD 的面积S 1=12×8×10＝40（cm 2）一定，所需时间是：8÷2＝4（秒）②当点P 从C 点运动到D 点：所需时间是：10÷2＝5（秒） 所以c ＝8+4+5＝17（秒）故答案为：a ＝6，b ＝2，c ＝17．（2）∵长方形ABCD 面积是：10×8＝80（cm 2）∴当0≤x ≤a 时，12×8x ＝80×14即：x ＝5； 当12≤x ≤17时，12×8×2（17﹣x ）＝80×14即：x ＝14.5． ∴点P 出发后5秒或14.5秒，△APD 的面积S 1是长方形ABCD 面积的四分之一。
芜湖一中数学试题及答案
芜湖一中数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. √2C. -1D. i2. 如果函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，那么f(-1)的值是多少？A. -4B. -6C. -8D. -103. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. |-3| < 3C. |-3| = 3D. |-3| ≠ 3二、填空题（每题4分，共16分）5. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。
6. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是______。
7. 圆周率π的近似值是______。
8. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。
三、解答题（每题8分，共24分）9. 解方程：2x + 5 = 13。
10. 证明：对于任意实数a和b，(a + b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)。
11. 计算：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1)。
四、综合题（每题10分，共40分）12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f(x)的极值。
13. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，已知a = 3，b = 4，c = 5，求长方体的表面积和体积。
14. 一个圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d < r时，求圆与直线的位置关系。
答案：一、选择题1. D2. A3. B4. C二、填空题5. 56. 47. 3.141598. -2三、解答题9. 解：2x + 5 = 13，移项得2x = 8，除以2得x = 4。
10. 证明：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ≤ a^2 + a^2 + b^2 +b^2 = 2(a^2 + b^2)。
11. 计算：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1) = 3x + 1（通过多项式长除法）。
安徽省芜湖市第一中学2020-2021学年高一自主招生考试数学试题
安徽省芜湖市第一中学2020-2021学年高一自主招生考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．E B．F3．已知圆O与直线l相切于点A，点沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积A ．23B ．22二、填空题8．关于x 的一元二次方程()2640x ax a -+-=的两个正实数根分别为12,x x ，且1228x x +=，则a 的值是__________.9．在分别标有号码2,3,4,,10 的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率为__________.10．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：对于点(),P x y ，若点Q 坐标为()2,2x y --，则称点Q 为点P 的“朋友点”.例如，点()3,2的“朋友点”为点()1,0.已知点M 的坐标为()1,2，点M 的“朋友点”为点1M ，点1M 的“朋友点”为点2M ，点2M 的“朋友点”为点3,M ，点2019M 的“朋友点”为点2020M ，则点2020M 的坐标是__________.11．因式分解：323832x x x -++=__________.12．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同的两点,A B C 为二次函数的图象的顶点，3AB =，若ABC 是边长为3的等边三角形，则=a __________.13．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.三、解答题15．（1）已知103a =+，求函数5432767a a a a -+-+(1)请直接写出B C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点(2)设抛物线的对称轴交线段垂线，交线段BC 于点F (3)Q 是第一象限内抛物线上一点，连接两点的圆的切线交于点P ，连接AP ，分别与BC 和O 相交于 D 、E 两点.(1)若O 半径为5，3OM =，求PC 长；(2)求证：A 、O 、M 、E 四点共圆；(3)求证：AT 为MAE ∠平分线.参考答案：14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是D如图4，如图所示：设圆心为O ，GH 与AB 交点为P ，连接PG 垂直平分NF ，OA OB ON ==，O ∴在PG 上，AP PB =设OG x =，则10OP PG OG x =-=-，在Rt APO 中，222OA AP OP =+，在Rt NGO 中，2ON NG =因为2(510)(10>故选：C5．C【分析】根据题意得到8．5【分析】由题得到韦达定理，结合已知得再检验即得解.中，在PAH和PQM，所以HM=≅PQMPQN≅（3）过点Q 向x 轴作垂线，交线段设200033,3,84Q x x x R ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则20033||82QR x x =-+，则S （4）由（3）知：(2,3Q 2,MM MN M N ='='，以于是CM MN NB SM ++=【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练利用方程和函数的思想、数形结合的数学思想研究数学问题.求值一般利用方程的思想，求最值一般利用函数和数形结合思想18．(1)20 3(2)证明见解析（2）证明：因为OB 由切割线定理可得PB 又OPA EPM ∠∠=，所以故A 、O 、M 、E 四点共圆（3）证明：过点C 作。
芜湖一中 2015年高一自主招生考试数学试卷及答案
芜湖一中2015年高一自主招生考试数学试卷题号一二三总分1516171819得分一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）1．已知非零实数,a b 满足53353,a b a a b -+++=+=则（）A ．1-B ．0C ．1D ．5-2．已知11=-x x ，则x x+1的值为（）．A ．5±B ．5C ．3±D ．5或13．若关于x 的方程12221ax -=-的解为正数，则实数a 的取值范围是（）A ．32a <B ．32a >C ．322a a >≠且D ．3122a a <≠且4．如果一直线l 经过不同三点()()(),,,,,A a b B b a C a b b a --，那么直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、二象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限5．已知平面四边形ABCD ，下列条件：①AB ∥CD ；②BC ∥AD ；③AB=CD ；④BC=AD ⑤∠A=∠C ；⑥∠B=∠D.任取其中两个，可以得出“平面四边形ABCD 是平行四边形”的概率是（）A ．32B ．815C ．53D ．1576．一个正方体内接于一个球(正方体的顶点均在球面上)，过球心作一个截面，如下图所示，则截面的可能图形是（）A ．（3）（4）B ．（1）（2）（4）C ．（2）（4）D ．（1）（2）（3）（1）（4）（3）（2）7．直角ABC 的三个顶点,,A B C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（）8．二次根式的最简根式形式为9．已知关于x 的方程：x m x m 22240---=()有两个实根x 1、x 2满足x x 212=+，则m 的值为10．若关于x 的不等式组5030x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅有1、2、3，则满足这个不等式组的有序整数对(),a b 的个数为对11．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，()11,A x y 是反比例函数()10y x x=>的图像上的一点，()22,B x y 是反比例函数()40y x x=-<的图像上的一点，则AOB 的面积的最小值为12．有一个半径为1cm 的圆，在边长为6cm 的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切）。
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芜湖一中2013年高一自主招生考试数 学 试 卷一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分） 1．在△ABC 中，∠C=90°，∠B 的平分线交AC 于D ．则AD BCAB -=：A ．B sinB ．B cosC ．B tanD ．Btan 12．在分别标有号码2，3，4，…，10的9张卡片中，随机取出两张卡片，记下 它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是： A ．367 B ．185 C ．92 D ．41 3．已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分别为(1,0)A -，(5,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，直线2y kx =+将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为：A ． 23-B ．29-C ．47-D ．27-4．如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，则圆的半径为：A ．333B ．165C ．162D ．5175．若自然数n 使得作竖式加法)2()1(++++n n n 时均不产生进位现象，便 称n 为“好数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“好数”；但 13+14+15产生进位现象，所以13不是“好数”，则不超过100的“好数”共有: A ．9个 B ．11个 C ．12个 D ．15个 6．函数232||+-=x x x y 的图象与x 轴的交点个数是： A ．4B ．3C ．1D ．07．已知实数a 、b 满足|2||3|10)6()1(22--+-=-+-b b a a ，则22b a +的最大值为：A ．50B ．45C ．40D ．10 二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）8．已知关于x 的方程k x x +=有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 9．函数845422+-+++=x x x x y 的最小值为 ．10．如图，点A 、C 都在函数)0(33>=x xy 的图象上，点B 、D 都在 x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．11．若实数a 、b 分别满足0882=++a a ，0882=++b b ，则ab b b a a +的值为 . xy12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为 ．(第12题图) (第13题图①) (第13题图②)13．将两个相似比为1：2的等腰直角三角形如图①放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．绕点C 旋转小直角三角形，使它的斜边与AB 交于点E ，CD 的延长线与AB 交于点F ，如图②．若1,2==BF AE ，则EF = .三、解答题（本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤） 14．（本题12分）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车．问再过多少分钟，货车追上了客车？ 15．（本题12分）已知n m ,为整数，给出如下三个关于x 方程： ①2(6)70x m x n +-+-=②230x mx n -+-=③2(4)50x m x n +-+-=若方程①有两个相等的实数根，方程②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根，求2013)(n m -的值．O PC B A y x 16．（本题14分）已知如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴相交于B （1x ，0）、C （2x ，0）(,1x 2x 均大于0)两点, 与y 轴的正半轴相交于A 点. 过A 、B 、C 三点的⊙P 与y 轴相切于点A ，其面积为425π. （1）请确定抛物线的解析式；（2）M 为y 轴负半轴上的一个动点，直线MB 交⊙P 于点D ．若△AOB 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，求MB •MD 的值．（先画出符合题意的示意图再求解）．17．（本题14分）如图，已知菱形ABCD ，∠B=60°．△ADC 内一点M 满足∠AMC=120°，若直线BA 与CM 交于点P ，直线BC 与AM 交于点Q ，求证：P 、D 、Q 三点共线．18．（本题14每名学生互赠一张贺卡，且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？芜湖一中2013年高一自主招生考试数学参考答案二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）8．410<<k 9．5 10．)0,62( 11．212- 12．12-13．3三、解答题（本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤）14．解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-S c b x S c a S b a )(2)(15)(10 …………………………………………………………………………6分 ∴30b c S -=（）， ∴30=x ． ……………………………………………………10分 故30-10-5=15（分）．答：再过15分钟，货车追上了客车．……………………………………………………12分 15．解：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≤--->--=---)3(0)5(4)4()2(0)3(4(1) 0)7(4)6(222 n m n m n m 或⎪⎩⎪⎨⎧>---≤--=---)3(0)5(4)4()2(0)3(4(1) 0)7(4)6(222 n m n m n m ……4分由（1）得24128n m m =-+-代入（2）、（3）得335≤<m 或无解………………7分又m ，n 为整数，2m ∴=或3=m当2m ∴=时，3n =；当3=m 时，419=n （舍）2m ∴=，3n =则1)(2013-=-n m ………… …12分 16．（1）解：根据题意知：圆半径PA=25，取BC 中点为E ，连接PB ，PE ，则BC PE ⊥ 53DMOP C B AyxDMO P C BAyx从而知：)0,4(),0,1(C B …………………………………………………………3分 将B ，C 两点坐标代入抛物线方程，可得： 抛物线的解析式是：225212+-=x x y ……………………………………6分（2）根据题意∠OAB=∠ADB ，所以△AOB 和△ABD 相似有两种情况①∠ABD 和∠AOB 对应，此时AD 是⊙P 的直径 则AB=5，AD=5，BD=25AMB Rt ∆ ∽DAB Rt ∆∴MA ：AD=AB ：BD即MA=25=⋅BD AD AB 又AMB Rt ∆ ∽DMA Rt ∆ ∴MA ：MD=MB ：MA即MB·MD=MA2=425……………………………………………………10分②∠BAD 和∠AOB 对应，此时BD 是⊙P 的直径，所以直线MB 过P 点∵B （1，0），P （)2,25∴直线MB 的解析式是：3434-=x y∴M 点的坐标为（0，43-）∴ AM=103 由△MAB ∽△MDA 得MA ：MD=MB ：MA∴MB·MD=MA2=1009………………………………………………14分17．证:连结DQ PD ,．易证PAC ∆∽AMC ∆，AMC ∆∽ACQ ∆，……………………3分∴MC AC AM PA =，MC QCAM AC =． ∴QCPA AC ⋅=2，………………………………………………7分∵DC AD AC ==， ∴QCADDC PA =，∴PAD ∆∽DCQ ∆，…………………………………………………………………………10分 ∴CDQ APD ∠=∠，∴︒=∠+∠+∠180CDQ ADC PDA ，∴P 、D 、Q 三点共线．……………………………………………………………………14分 18．解：这间宿舍住着x 名学生，y 名管理员),(N y x ∈，由题意得51)1(=++-y xy x x ， ………………………………………………………4分化简得051)1(2=-+-+y x y x ， 则196)3(2056)51(4)1(222+-=+-=---=∆y y y y y ， ∵N x ∈，∴∆必为完全平方数． ………………………………………………………6分设)(196)3(22N k k y ∈=+-， 则196)3)(3(-=--+-k y k y ，其中k y +-3和k y --3具有相同的奇偶性，且k y k y --≥+-33，∴⎩⎨⎧-=--=+-98323k y k y ① 或⎩⎨⎧-=--=+-23983k y k y ② 或⎩⎨⎧-=--=+-143143k y k y ③ …10分 由方程组①得45-=y ，不合题意，舍去；由方程组②得51=y ，此时，原方程为0502=+x x ，解得0,5021=-=x x （舍去）； 由方程组③得3=y ，此时，原方程为04822=-+x x ，解得8,621-==x x （舍去）；综上所述，6=x ．答：这间宿舍里住有6名学生．…………………………………………………………14分。