图的基本概念

相同，则称 D1 , D2 同构，记为 D1 D2
例：（1）画出4个顶点3条边的所有可能非同构的无 向简单图， （2）画出3个顶点2条边的所有可能非同构的有向简 单图。
7.子图
定义 5-10.设 G (V , E ). G0 (V0 , E0 ) 都是图，如果非空 集合 V0 V 且 E0 E ,则称 G 0 是 G 的子图； 如果 V0 V 且 E0 E ，则称为 G 0 是 G 的真子图；如果 V0 V 且
V2 ，…， Vk ，则称 G 的子图 Gi Vi , Ei 为 G 的连通分支。
v1 e1 e2 v2 e6 e3 v e5 v5 e4 v4 v6
8.连通性
用 (G ) 表示 G 的连通分支个数。
G 的连通的 (G) 1 （ G 不连通 (G ) 2 ）
删除图 G 的一些结点或边可能改变图的连通性。规 定：删除结点时，要将关联该结点的边一起删去，删除 边时则不删除相应的结点。 改变原图连通性的点称为割点，改变原图连通性的边 v1 称为桥。
v1 e1 v2 e2 v3 e6 e5 e4 v4 e3
5.有向图及相关概念
定义 5-6: 定义 5-6.设 D V , E 为一有向图。
deg (v j ) 出度（ v j 作为边的始点次数之和） deg (v j ) 入度（ v j 作为边的终点次数之和） deg (v j ) deg (v j ) deg (v j ) 度数（ v j 作为边的终点
v0e1v1e2 el vl
二、通路、回路、图的连通性 1．通路与回路 若 满足：vi 1 和 vi 是 ei 的端点，i 1, 2,, l ，则 称 为顶点 v0 到 vl 的通路，v0 和 vl 分别称为此通 路的起点和终点， 中的边数 l 称为 的长度。 当 v0 =vl 时， 称为回路。
v1 e1 e5 e7 e3 e6 e4 v4
v2
v3
3.相关基本概念 如果边e=(vi,vj)，则称vi,vj是e的端点，顶点vi(或vj) 关联 于边e，当vi=vj称e为环。与一条边相关联的两个顶点 称为邻接的或相邻的。若几条边关联于一公共顶点， 称这些边是邻接的或相邻的。如果两个顶点间的边数 多于一条，称这些边为平行边，平行边的边数称为重 数。没有边关联的顶点称为孤立点。关联顶点v的边数 （当边为环时，按两条边计算）称为v的度数，记为 deg(v). 度数为1的顶点为悬挂顶点，它所对应的边称为 悬挂边 v1
v2 e1
4
e6 e2 v3
e5
e3
7.通路与回路
设 vi ， 如果 vi v j 是有向图 D 的两个不同结点， 可达 v j ，则在 vi 到 v j 的所有有向通路中长度最小 者称为 vi 到 v j 的有向短程，有向短程的长度称为 记为 d vi , v j ； 若 vi 到 v j 不可达 vi 到 v j 的距离， 时，规定 d vi , v j .
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E0 E ,则称 G 0 是 G 的生成子图。
7.子图
定义 5-11.设有图 G (V , E ) ，设 E E ,以 E 为边集，
E 中边的端点全体为顶点集， 构成的子图称为由 E 导出
的 G 的子图，记为 G( E ) ,又称为 G 的边集导出子图。设
V V , 以 V 为顶点集，端点均在 V 中所有边的全体为
图论的产生背景 1.生活中的图 交通图，通讯网络图等 2.图论的起源 哥尼斯堡的七桥问题 3.应用：计算机科学、 化学、运筹学、社会 学等领域
A
B
D
C
1.无序积： 2.无向图：一个无向图G是一个二 元组<V,E>，即G=<V,E>其中 （1）V={v1,v2,…,vn}是非空集合， 称为G的顶点集，V中的元素称 e2 为顶点或结点； （2）E ={e1,e2,…,en}是无序积 V&V的一个多重子集，称E为G 的边集，E中的元素称为无向边 或简称边。
e2 v2 v1 e1 e6 e3 v3 e5
e4
v4
1．通路与回路 若 中的所有边互不相同，则称 为简单通路； 若回路中所有的边互不相同，则称此回路为简单 回路。若通路 的所有顶点互不相同，则称此通 路为初级通路，如果初级通路的长度大于 2,且
v0 vl ，则称 为初级回路。
e1
4
e2 v2 e6
e5
v4
e3
v
7.通路与回路
定义 5-14 在有向图 D V , E ，结点和边的交替
v1
序列 =v0e1v1e2 el vl
v2
e1
e4
e6
e2 v3
e5
e3
为 D 的 v0 到 vl 的有向通路，称 v0 可达 vl .规定结点到自身 可达。 中包含的有向边的条数称为 的长度。如果
e1 e2 v2 e6 e5 e4 v4
e3
v3
4.图的分类及特殊的图 • 若V，E均为有穷集合，则称G为有限图，否则称为无 限图。以后我们只讨论有限图。 • 若|V|=n,则称图G为n阶图。 • 若E= ，则称G为零图，若|V|=1，E= ，则称图G为 平凡图。 • 有m条边的n阶图称也称(n,m)图。 • 既不含环，也不含平行边的图称为简单图。 • 设G=<V,E>为n阶无向简单图，若G中任意两个顶点都有 边相连，则称图G为n阶无向完全图，记作Kn。n阶无向 完全图共的n(n-1)/2条边，每个顶点的度数为n-1
（2）已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数 均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为什么？
5.有向图及相关概念
有向图：一个有向图 D 是一个二元组 D V , E .其中： （1） （2） 集合 V ，称为 D 的顶点集， V 中元素为顶点。 E 是 V V 的多重子集，其元素为有向边（或弧）
边集，构成的子图称为由 V 导出的 G 的子图 ，记为
G(V ) ，又称为 G 的点集导出子图。
8.补图
定义 5-12.设 G (V , E ). ，是 n 个顶点的任意简单图， 从完全图 K n 中删去 G 的所有边，但保留顶点集 V 所得 到的图称为 G 的补图。记为 G ,简称为 G 的补。 ★简单图 G (V , E ) 的补图是一个以 V 为顶点集的简单 图，G 中两个顶点相邻，当且仅当这两个顶点在 G 中不 相邻。
v1 e1 e4 e6 e2 v3 e5 v4 e3
v2
5.有向图及相关概念
◆若 e vi , v j ， 称 v i 为 e 的始点，v j 为 e 的终点。 当 vi v j 时， 称 e 为环。它是 v i 到自身的有向边。两个顶点之间同方向的边称 为平行边。平行边的边数称为平行边的重数。有 m 条边的 n 阶有 向图称为（n,m）有向图。
v2 v1 e1 e6 e2 v3 e4 e5 e3
8.连通性
定义 5-15 设 G V , E 为无向图，若它的任意两个不 同结点之间都存在通路，则称 G 是连通的。 连通分支 定义 V 上的连通关系
{ u, v | u, v V , 且u, v 之间存在通路 }
易知：而 是 V 上的等价关系。设 将 V 分成的等价类为 V1 ，
7.通路与回路
定理 5-3 在一个图中，若从结点 vi 到结点 v j （ vi v j ） 存在一条通路（或回路） ，则必存在一条从 vi 到 v j 的初级 通路（或初级回路）
v1
e1
e2 v2 e6 e3 v3 e5
e4 v4
7.通路与回路
推论 在一个具有 n 个结点的图中，任何初级通路的 长度均不大于 n-1 定理 5-4 在一个具有 n 个结的图中，若从结点 vi 到 自身存在一条回路， 则必有一条从 vi 到自身的长度小于 n 的回路。 推论 在一个具有 n 个结点的图中，任何初级回路的 v1 长度均不大于 n e
__ __
8.补图
如果一个图构于它的补图，则称此图为自补图。
写出下面图的补图:
9.删去图中的顶点和边
从图 G 中删去一个顶点 v 及其关联的边得到的子图，记 为 G —v 或 G {v} ，从图 G 中删去一边 e 得到的子图记为
G —e 二、通路、回路、图的连通性 1．通路与回路
定义 5-13 给定图 G (V , E ) ， 设 G 中顶点和边的交替序列
定理 5-1.(握手定理)设 v1 , v2 ,vn 是 (n, m) 图的结点。则
deg (v ) 2m 。
i 1 i
n
推论：一个由自然数构成的序列如恰好是一个度数序列，那 么此序列的各项和必为偶数。 例1 （1）（3，3，2，3），（5，2，3，1，4）能成为图 的度数序列吗？为什么？
注：初级通路一定是简单通路，初级回路一定是 简单回路，反之不成立。
1．通路与回路
设 vi ， v j 是两个不同结点，若存在从 vi 到 v j 的通路，则 称 vi ， v j 连接的（或连通的） ，称连接 vi ， v j 的所有通路 中长度最小者为 vi ，v j 的短程， 短程的长度称为 vi ，v j 之 间的距离，记为 d (vi , v j ) ；若不存在连接 vi ， v j 的通路 时，定义 d (vi , v j ) .
判断下列各组图是否同构
彼得森图（略）
（1） （2）
（3）
6.同构
定义 5-9. 设 D1 V1 , E1 和 D2 V2 , E2 都是有向 图，如果存在双射 f :
V1 V2 ， 使 得 对 于 任 意
e vi , v j E1 ,当且仅当 f (vi ), f 1(v j ) E2 且重数
v1
e1 v2 e2 v3 e6 e4
e5
v4 e3
5.有向图及相关概念
推论：任何（n,m）图（无向的或是有向的）中，度为 奇数的顶点个数为偶数。 定义 5-7：设 D 为 n 阶简单有向图，如果任两个结点 都有方向相反的一对边，则称 D 是 n 阶完全有向图。 ◆n 阶有向完全图共有 n(n-1)条有向边，每个结点的 出度与入度相等，都为 n-1
6.同构
定义 5-8.设两个图 G (V , E ). G V , E 如果存在 双射函数 f : V V ，使得对于任意的 e (vi , v j ) E ， 当且仅当 e ( f (vi ), f (v j ) E ,并且 e 与 e 的重数相 同，则称 G 与 G 同构，记为 G G
次数之和）
e1 v2 e2 v3 e6 e5 v1
e4
v4 e 3
5.有向图及相关概念
定理 5-2.设 v1 , v2 ,, vn 是(n,m)有向图 D 的结点， 所有顶点的 入 度之和等于所有顶点的出度之和，即
deg ( v ) deg (vi ) m i i 1 i 1 n n
v0 vl ，则称有向通路 为 D 的有向回路。
7.通路与回路 在有向图中，若有向通路（回路） 中的 所有有向边互不相同，则称 为简单有向通路 （回路） ；若有向通路 的所有顶点互不相同， 则称 为 D 的初级有向通路，如果除了 的起 点和终点相同外， 其它的结点互不相同， 则称 为初级有向回路。 初级有向通路（回路）一定是简单有向通路 v1 （回路） ，反之不成立。 e
e1
e2 v2 e6 e3 v3 e5 e4 v4
v6
8.有向图的连通性 定义 5-16 设 D 是有向图。 （1）如果略去 D 中各边的方向所得的无向图 G 是 连通的，则称图 D 是弱连通图，简称连通图； （2）如果 D 的任意两个不同结点至少有一个可达 另一个，则称 D 的单向连通图； （3）如果 D 的任意两个不同结点都是互相可达的， 则称图 D 是强连通图. 强连通图一定是单向连通图，单向连通图一定是弱 v1 连通图。反之不成立。
v1 e1 v2 e2 v3 e6 e5
e4
v4 e3
5.有向图及相关概念
◆ 设 e vi , v j 是有向图 D 的边，则称顶点 v i 邻接顶点 v j .与一 条弧相关联的两个顶点称为邻接的或相邻的， 一个顶点关联于 几条弧，称这些弧是弧邻接或弧相邻。 ◆ 不含环及平行边的有向图称为简单有向图。