第一章 自测题答案

70 * * y x y*
由上分析, 可见通过
1 计算后得到的结果最好. (3 2 2)3
N 1
19. 当 N 充分大时，怎样求 解：因为
N 1
N
1 dx ？ 1 x2
1 dx arctan( N 1) arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相减 N 1 x2 设 arctan( N 1) ， arctan N ，则 N 1 tan ， N tan ，从而
B
).
10. 已知x* 1 =x 1 0.5×10－3， x* 2 =x 2 0.5×10－2， 那么近似值x 1 ， x 2 之差的误差限是多少？ －2 (答案：0.55×10 ．) 11. 设近似值 x=－9.73421 的相对误差限是 0.0005，则 x 至少有几位有效数字． (答案：3) 12.数值 x*＝2.197224577…的六位有效数字的近似值 x=( B (A) 2.19723 (B) 2.19722 (C) 2.19720 (D) 2.197225 ).
x 4．用 1+ 近似表示 3 1 x 所产生的误差是( 3 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 答案：D
。
)误差。 D. 舍入
)误差。 D. 截断
5．-324.7500 是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 答案：C 6. 下列各数中，绝对误差限为 0.000 05 的有效近似数是( B (A)－2.180 (B) 2.1200 (C) －123.000 (D) 2.120 )
1
13．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位， 试指出他们各有几位有效数字。 12.100 12.1 ； 12.10 ； （1） x （2） x （3） x 解：根据易得有效数字位数分别为：3，4，5 14. 为了使 10 的近似值的相对误差限小于 0.1%，要取几位有效数字？ 解：设取 n 个有效数字可使相对误差小于 0.1％，则 1 101 n 0.1% ， 2a1 而 3 10 4 ，显然 a1 3 ，此时， 1 1 101 n 101 n 0.1% ， 2a1 23 1 即 101 n 103 ， 6 也即 6 10n 104 所以，n=4。 15. 序列 yn 满足递推关系式 yn 10 yn 1 1, (n 1, 2,3,) .若 y0 2 1.41 （三位有效 数字） ，计算 y10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解: 设 y 0 1.41 为 y 0 的近似值，则 1 e * ( y 0 ) 2 1.41 10 2 * ，由 2 * * y1 10 y 0 1, y1 10 y 0 1 ，得：
17．下面计算 y 的公式哪个算得准确些？为什么？
（1）已知 x 1 ， （A） y （2）已知 x 1 ， （A） y
2x2 1 1 x ， （B） y ； (1 2 x)(1 x) 1 2x 1 x
2 x( x 1 1 x ) x x
， （B） y x
4
tan tan ( N 1) N 1 ， 2 1 tan tan 1 N ( N 1) N N 1 N 1 1 1 dx arctan 2 因此 2 N 1 x N N 1 tan( )
20. 设 x 0 ，x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差。 解：设 x * 0 为 x 的近似值，则有相对误差为 r* ( x) ，绝对误差为 * ( x) x * ， 从而得 1 ln x 的绝对误差为 * (ln x) (ln x * ) ( x * ) * x * ， x * (ln x) ln x 相对误差为 r* (ln x) 。 * ln x ln x * 21.设 x 的相对误差为 2%，求 x n 的相对误差。 解：设 x * 为 x 的近似值，则有 x * 相对误差为 r* ( x) 2% ，绝对误差为 * ( x) 2% x * 从而得
3
18. 计算 f ( 2 1)6 ，取 2 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？ 1 1 ， 99 70 2 . (3 2 2)3 , 6 , ( 2 1) (3 2 2)3 1 * 1 解：设 y ( x 1)6 ，若 x 2 ， x* 1.4 ，则 x 10 . 2 1 若通过 计算 y 值，则 ( 2 1)6
*
y1 y1 (10 y 0 1) (10 y 0 1) 10 y 0 y 0 10 *
* * *
y 2 y 2 (10 y1 1) (10 y1 1) 10 y1 y1 10 2 *
* * *
……………………………………………………
7. 数 8.000033 的 5 位有效数字的近似值是多少？(答案：8.000 0)
－ 8. 若误差限为 0.5×10 5，那么近似数 0.003400 有( (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6
B
)位有效数字.
9. 若近似值x的绝对误差限为＝0.5×10－3，那么以下有 4 位有效数字的x值是( (A) 0.934 4 (B) 9.344 (C) 93.44 (D)934.4
16. 试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中 x 1 表示 x 充分接近 0，
x 1 表示 x 充分大） 。
(1) ln x1 ln x2 , x1 x2 ； (3) x
1 1 x , x 1； x x
1 1 x , x 1； 1 x 1 x 1 cos x (4) , x 0且 x 1 x
第一章 自测题答案
1．计算方法主要研究( 答案: 截断，舍入； 2． 为了使计算 y 10 改写为 )误差和( )误差；
3 4 6 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式 2 x 1 ( x 1) ( x 1) 3
；为了减少舍入误差，应将表达式 2001 1999 改写为 2 1 答案: y 10 (3 ( 4 6t )t )t , t ； x 1 2001 1999 3．用 1+x近似表示ex所产生的误差是( A. 模型 B. 观测 C. 截断 答案：C
x n 的绝对误差为 * (ln x) ( x n ) x * 相对误差为 r* (ln x)
x x*
( x * ) n( x * ) n 1 2% x * 2n% x * ，
n
* (ln x)
(x* )n
2n% 。
5
若通过
1 计算 y 值，则 (3 2 2)3
y *
2 x* * 4 (3 2 x )
1 y* x* * (3 2 x )
y* x*
若通过 99 70 2 计算 y 值，则 y * 70 x*
y*
1 x* 7 ( x 1)
*
6 x* 7 ( x 1)
*
y * x*
若通过 (3 2 2)3 计算 y 值，则
y * (3 2 x* ) 2 x* 6 y* x* * 3 2x y* x*
1 1 * * * y10 y10 (10 y 9 1) (10 y9 1) 10 y 9 y 9 1010 * 1010 10 2 10 8 2 2 1 8 可见，从 y0 计算到 y10 时，误差约为 10 2 y 10 y n 1 1 求 y10 时，会把初始误差 * 扩大 1010 显然，误差积累很大，按递推公式 n 倍，使计算精度受到严重影响，因此，这个计算过程不稳定。
(2)
2
分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒 展开的方法。 x 解：(1) ln x1 ln x2 ln 1 ； x2
(2)
(3)
1 1 x 1 x (1 x) 2 1 x (1 2 x x 2 ) 3x x 2 1 x 1 x (1 x)(1 x) (1 x)(1 x) (1 x)(1 x)
x
1 1 x x x 1 (1
x2 1 x2 1 x x x2 1 x2 1 x 2 x ( x 2 1 x 2 1)
(4)
x2 x4 x2n (1) n ) 1 cos x 2! 4! (2n)! x x 2 4 x x x2n (1) n 1 2! 4! (2n)! x 3 2 n 1 x x n 1 x (1) 2! 4! (2n)!
1 1 x ； x x
2sin 2 x 1 cos 2 x ， （B） y ； x x 1 （4） （A） y 9 80 ， （B） y 9 80
（3）已知 x 1 （A） y
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数 相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应 尽量避免上述情况发生。 （1） （A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 （2） （B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。 （3） （A）中 sin 2 x 使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。 （4） （A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。