【精选】2020中考数学复习点拨34讲专题30 规律型问题(教师版)

专题30 规律型问题

专题知识回顾

1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．

2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．

3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．

4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．

5.解题方法

规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．

专题典型题考法及解析

【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为

＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）

A．5 B．﹣C．D．

【答案】D．

【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．

∵a1＝5，

a2＝＝＝﹣，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝5，

…

∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，

∵2019÷3＝673，

∴a2019＝a3＝

【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．

【答案】﹣384．

【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．

根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．

∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，

∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，

∵其中某三个相邻数的积是412，

∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，

则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，

即（﹣2）3n＝（22）12，

∴（﹣2）3n＝224，

∴3n＝24，

解得，n＝8，

∴这三个数的和是：

（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384

【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．

【答案】（﹣22017，22017）．

【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．由题意得，

A1的坐标为（1，0），

A2的坐标为（1，），

A3的坐标为（﹣2，2），

A4的坐标为（﹣8，0），

A5的坐标为（﹣8，﹣8），

A6的坐标为（16，﹣16），

A7的坐标为（64，0），

…

由上可知，A点的方位是每6个循环，

与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，

与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，

与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，

与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，

与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，

与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，

∵2019÷6＝336…3，

∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，

纵坐标为22017

【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：

①3﹣2＝（﹣1）2，

②5﹣2＝（﹣）2，

③7﹣2＝（﹣）2，

…

请你根据以上规律，写出第6个等式．

【答案】13﹣2＝（﹣）2．

【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．

写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．

【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．

【答案】13a+21b．

【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．

由题意知第7个数是5a +8b ，第8个数是8a +13b ，第9个数是13a +21b

【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A 1、A 2、A 3…A n 在x 轴上，B 1、B 2、B 3…B n 在直线y ＝

x 上，若A 1（1，0），且△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3…△A n B n A n +1都是等边三角形，从左到右的小三角

形（阴影部分）的面积分别记为S 1、S 2、S 3…S n ．则S n 可表示为（ ）

A ．22n

B ．22n

﹣1

C ．22n

﹣2

D ．22n

﹣3

【答案】D ． 【解析】直线y ＝

x 与x 轴的成角∠B 1OA 1＝30°，可得∠OB 2A 2＝30°，…，∠OB n A n ＝30°，∠OB 1A 2＝90°，…，

∠OB n A n +1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A 1B 1＝1，B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣

1；根据勾股定理可得B 1B 2＝

，B 2B 3＝2

，…，B n B n +1＝2n

，再由面积公式即可求解；

解：∵△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3…△A n B n A n +1都是等边三角形，

∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n B n ，B 1A 2∥B 2A 3∥B 3A 4∥…∥B n A n +1，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3…△A n B n A n +1都是等边三角形， ∵直线y ＝

x 与x 轴的成角∠B 1OA 1＝30°，∠OA 1B 1＝120°，

∴∠OB 1A 1＝30°， ∴OA 1＝A 1B 1， ∵A 1（1，0）， ∴A 1B 1＝1，

同理∠OB 2A 2＝30°，…，∠OB n A n ＝30°， ∴B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣

1， 易得∠OB 1A 2＝90°，…，∠OB n A n +1＝90°， ∴B 1B 2＝

，B 2B 3＝2

，…，B n B n +1＝2n

，

∴S 1＝×1×＝

，S 2＝×2×2＝2

，…，S n ＝×2n ﹣

1×2n

＝

。

一、选择题

专题典型训练题