第三讲 函数的连续性与导数、微分的概念

第三讲 函数的连续性与导数、微分的概念

一、单项选择题（每小题4分，共24 分）

1．若()f x 为是连续函数，

且()()01,10f f ==， 则1lim sin x f x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭

( ) A ． -1 B ．0

C ．1

D ． 不存在

解： 原式

1sin 1lim sin lim 1x x f x f x f x x →∞→∞⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣

⎦连续()10f ==，选B 2． 要使()()ln 1m x f x kx =+在点0x =处连续，应给()0f 补充定义的数值是( )

A ． km

B ． k m

C ． ln km

D ． km e

解：()00lim ln lim(1)m x x x f x kx →→⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

0lim ln ln x m

kx km x e e km →⋅===

()0f km ∴= 选A

3．若lim ()x a

f x A →=，则下列正确的是 （ ） A ． ()lim x a

f x A →= B ．

x a →=

C ． ()lim x a

f x A →=- D ． lim ()x a

f x A →= 解：

x →=选B

4．设()()(),00,0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

且()f x 在0x =处可导，()00,f '≠

()00f =,则0x =是()F x 的 ( )

A ． 可去间断点

B ． 跳跃间断点

C ． 无穷间断点

D ． 连续点

解：()()()()000lim lim 0,0

x x f x f F x f x →→-'==- ()()00f f '≠()()()000lim 0x F f F →∴=≠，故0x =是()F x 的第一类可去间断点。选A

5．()1sin ,00,0

x f x x x x ⎧⎪=≠⎨⎪=⎩在0x =处 ( )

A ． 极限不存在

B ．极限存在但不连续

C ．连续但不可导

D ．可导但不连续

解：()001lim lim sin 0x x f x x x

→→=⋅= ，且()00f = ()f x ∴在0x =连续，又()0f '

01sin 0lim 0

x x x x →-==-不存在，()f x ∴在0x =不可导 选C 6．设()21,1,1

x x f x ax b x ⎧+≤=⎨+>⎩在1x =可导，则,a b 为 （ ） A ． 2,2a b =-= B ． 0,2a b ==

C ． 2,0a b ==

D ． 1,1a b ==

解：（1）()f x 在1x =连续，

()()211

lim 12,lim x x x ax b a b -+→→∴+=+=+ 故()21a b +=⋯

（2）()()2111lim 2,11

x x f f x --+→-''==-

()()11112lim lim 11

x x a x ax b a x x ++→→-+-==-- 2a ∴=，代入()1得0b =，选C

二、 填空题（每小题4分，共24分）

7．设()f x 为连续奇函数，则()0f =

解：（1）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-

（2）()()00lim lim x x f x f x →→-=-⎡⎤⎣

⎦ 又()f x 在0x =连续

()()00f f ∴=- 故()00f =

8．若()f x 为可导的偶函数，则()0f '=

解：（1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=

(2)()f x 可导，()()f x f x ''∴--= 故()()00f f ''-=

()200f '= 即()00f '=

9．设6y x k =+是曲线23613y x x =-+的

一条切线，则k =

解： （1）6,66,666,2y y x x x ''==-∴-==

（2）62346213,12121213,k k ⨯+=⨯-⨯+∴+=-+故1k =

10． 若()y f x =满足：()()0f x f =x +

()x +α，且()0lim 0x x x

→α= 则()0f '=

解：()()()000lim 0x f x f f x →-'=-

()0lim 101x x x x α→-==+=

11． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4， 则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭

解： 原式=2224(2)lim 4

x x f x →+-- 2114lim 4124

x x →==⋅=+ 12．()5sin 1()x x f x x x

⋅-=-的间断点个数为 解： 令()()()

520,1110x x x x x x -=-++= 0,1,1x x x ==-=为间断点，

故()f x 有三个间断点

三 、计算题（每小题8分，共64分）

13． 已知2sin 21,0(),0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩

在(),-∞+∞上连续，求a 的值

解：()f x 在0x =连续

()200sin 21lim lim ax x x x e f x x →→+-∴=200sin 21lim lim 22ax x x x e a x x

→→-=+=+ 且()0,22f a a a =∴+=

故2a =-

14． 讨论1

,0()0,01ln ,11

x e x f x x x x x ⎧⎪<⎪=≤≤⎨⎪⎪>-⎩在0,1x x ==连续性

解：（1）在0x =处，10lim 0,x

x e -→= 0lim 00x +→= 且()00f =

()f x ∴在0x =处连续