专题12 压轴题 .doc
【压轴题全揭秘(河南专版)】专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识(原卷版)
专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、A 字形（手拉手）及其旋转模型二、K 字型及其旋转【例1】（2021·济源一模）在菱形 ABCD 中，∠ABC =60°，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边∠APE ，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化．（1）探索发现如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ．填空：BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是．（2）归纳证明当点E 在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P 在线段 BD 的延长线上时，连接BE ，若AB=，BE=请直接写出四边形 ADPE 的面积．图1 图2 图3 图4D【变式1-1】（2021·周口二模）在△ABC 中，∠ABC 为锐角，点M 为射线AB 上一动点，连接CM ，以点C 为直角顶点，以CM 为直角边在CM 右侧作等腰直角三角形CMN ，连接NB ．（1）如图1，图2，若∠ABC 为等腰直角三角形，问题初现：∠当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，则线段BN ，AM 之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；深入探究:∠当点M 在线段AB 的延长线上时，判断线段BN ，AM 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，∠ACB ≠90°，若当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，MP ∠CM 交线段BN 于点P ，且∠CBA =45°，BC=，当BM =_________时，BP 的最大值为__________．图1 图2图3图1CBAMNABC图2图3CBAMNP【例2】（2021·洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出∠ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．【变式2-1】（2021·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG∠DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立请直接写出你的判断．图1 图2 图31.（2021·河南南阳一模）我们定义：如图1，在∠ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称∠AB’C’是∠ABC的“旋补三角形”，∠AB’C’边B’C’上的中线AD是∠ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，∠AB’C’是∠ABC的“旋补三角形”，∠AB’C’边B’C’上的中线AD是∠ABC的旋补中线，∠如图2，当∠ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是∠如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当∠ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.2.（2021·郑州外国语测试）已知如图1所示，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE∠AB 交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将∠BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将∠BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE，直接写出线段BF的范围.3.（2021·偃师一模）特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB 交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为；②线段BC，DE的位置关系为．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM 上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM与△AFD全等时，请直接写出DE的值．图1 图2 图34.（2021·省实验一模）观察猜想（1）如图∠，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF ＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图∠，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图∠，在∠ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少请用含有n，a的式子直接写出结论．图1 图2图35.（2021·濮阳二模）在∠ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∠AC 交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．（1）特例猜想如图1，当α＝90°时，试猜想：∠AF与BE的数量关系是；∠∠ABE＝；（2）拓展探究如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．（3）解决问题如图（3），在∠ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．图1 图2 图36.（2021·开封二模）问题发现如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∠AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系拓展探究如图2，将∠ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决如果∠ABC的边长等于AD＝2，直接写出当∠ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．图1 图2 备用图7.（2021·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∠DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∠DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，AB∠CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD ＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．图1 图2 图38.（2021·中原名校大联考）如图1，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【探究证明】把∠ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把∠ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．图1 图29.（2021·新乡一模）如图1，在∠ABC与∠ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是：；（2）把图1的∠ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.∠求证：BD＝CE；∠BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么说明理由.（3）若AD=10，AB=6，把图1中的∠ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图210.（2021·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AC、BC边上，DC=CE，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为.【深入探究】（2）将∠DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；。
专题12 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版)
专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。
浙江省宁波市中考数学试题分类解析 专题12 押轴题
宁波市2002-2013年中考数学试题分类解析专题12 押轴题一、选择题1. （2002年浙江宁波3分）如图，有一住宅小区呈四边形ABCD，周长为2000 m，现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪，则草坪的面积是（精确至lm2）【】2. （2003年浙江宁波3分）如图，八边形ABCDEFGH中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°，AB=CD=EF=GH=1cm，BC=DE=FG=HA=2cm，则这个八边形的面积等于【】【分析】如图，延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是正方形，△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形∴这个八边形的面积等于=矩形面积－4个小三角形的面积13341172=⨯-⨯⨯⨯=。
故选A。
3. （2003年浙江宁波3分）如图，八边形ABCDEFGH中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°，AB=CD=EF=GH=1cm，BC=DE=FG=HA=2cm，则这个八边形的面积等于【】4. （2005年浙江宁波3分）一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色的概率是【】A. 12B.13C.14D.16【答案】D。
【考点】概率。
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。
因此，设4个珠子分别为红1，红2，蓝1，蓝2，从这个袋中任取2个珠子的所有情况有（红1，红2），（红1，蓝1），（红1，蓝2），（红2，蓝1），（红2，蓝2），（蓝1，蓝2）6种，都是蓝色的情况为1种，∴从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色的概率是16。
故选D。
5. （2006年浙江宁波大纲卷3分）已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是【】6. （2006年浙江宁波课标卷3分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是【】A．1 B．2 C．3 D．47. （2007年浙江宁波3分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光 的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别 为2m 和1m ，那么塔高AB 为【 】【答案】A 。
2020年中考数学压轴专题12 圆的有关性质与计算 (学生版)
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题12 圆的有关性质与计算【典例分析】【考点1】垂径定理【例1】（2019·湖北中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是这段弧所在圆的圆心，40AB m =，点C 是¶AB 的中点，且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【变式1-1】（2019·四川中考真题）如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）A．25B．4 C．213D．4.8【变式1-2】（2019·四川中考真题）如图，Oe的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，22.5∠=o，CAOOC=，则CD的长为( )6A．62B．32C．6 D．12【考点2】弧、弦、圆心角之间的关系【例2】（2019·四川自贡中考真题）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB CD、.=,连接AD BC求证：⑴»»AD BC=；=.⑵AE CE【变式2-1】（2018·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．【考点3】圆周角定理及其推论【例3】（2019·陕西中考真题）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【变式3-1】（2019·北京中考真题）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作»PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交»PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，点A，B，C均在⊙O上，当40∠=︒时，AOBC∠的度数是（）A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒【考点4】圆内接四边形【例4】（2019·贵州中考真题）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______；【变式4-1】（2019·甘肃中考真题）如图，四边形ABCD内接于Oe，若40∠=︒，则CA∠=（）A．110︒B．120︒C．135︒D．140︒【变式4-2】（2019·四川中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为»DE上的一点（点P不与∠的度数为（）点D重合），则CPDA．30°B．36︒C．60︒D．72︒【考点5】正多边形和圆【例5】（2019·山东中考真题）如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．【变式5-1】（2019·山东中考真题）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 【变式5-2】（2019·陕西中考真题）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为___.【考点6】弧长和扇形的面积计算（含阴影部分面积计算）【例6】（2019·广西中考真题）如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，AB 为O e 直径，6AB =，AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，交O e 于点D ，连接BD ． （1）求证：BAD CBD ∠=∠；（2）若125AEB ∠=︒，求»BD 的长（结果保留π）．【变式6-1】（2019·湖北中考真题）如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于D ，E ，再以点C 为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为________.【变式6-2】（2019·四川中考真题）如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90o 后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）2cm ．A ．2πB ．2πC ．178π D ．198π 【考点7】与圆锥有关的计算【例7】（2019·湖南中考真题）如图，在等腰ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，且6AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，（1）求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h ．【变式7-1】（2019·广西中考真题）已知圆锥的底面半径是115角是_____度．【变式7-2】（2019·辽宁中考真题）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216︒，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．【变式7-3】（2019·西藏中考真题）如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）A ．15cmB ．12cmC ．10cmD ．20cm【达标训练】一、单选题1．（2019·山东中考真题）如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为（ ）A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°2．（2019·广西中考真题）如图，,,,A B C D 是⊙O 上的点，则图中与A ∠相等的角是（ ）A ．B Ð B ．C ∠C ．DEB ∠D ．D ∠3．（2019·吉林中考真题）如图，在O e 中，»AB 所对的圆周角050ACB ∠=，若P 为»AB 上一点，055AOP ∠=，则POB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°4．（2019·山东中考真题）如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒5．（2019·贵州中考真题）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）A ．13B ．22C ．2 D ．226．（2019·甘肃中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC ＝126°，则∠CDB ＝（ ）A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°7．（2018·贵州中考真题）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）A ．55°B ．110°C ．120°D ．125°8．（2019·浙江中考真题）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．29．（2019·浙江中考真题）如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O e ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒10．（2019·宁夏中考真题）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点,A D 为圆心，以,AB DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4633π-B ．8633π-C ．41233π-D ．41233π-11．（2019·江苏中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）A ．63πB ．632πC ．63πD ．632π12．（2019·山东中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）A ．8π-B ．162π-C ．82π-D ．182π-13．（2019·浙江中考真题）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π14．（2019·湖南中考真题）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π15．（2019·浙江中考真题）如图，ABC △内接于圆O ，65B ∠=︒，70C ∠=︒，若22BC =，则弧BC 的长为（ ）A ．πB ．2πC ．2πD ．22π16．（2019·山东中考真题）如图，点A 、B ，C ，D 在⊙O 上，AB ＝AC ，∠A ＝40°，BD ∥AC ，若⊙O 的半径为2．则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23π3B ．23π3C ．43π3D ．43π2 二、填空题17．（2019·广西中考真题）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道1AB=尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．18．（2019·江苏中考真题）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______．19．（2019·安徽中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O 的半径为2，则CD的长为_____20．（2019·辽宁中考真题）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则»BC的长为____．21．（2019·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB 时，OC平分AB）可以求解．现已知弦8AB=米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．22．（2019·江苏中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O e 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．23．（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知D e 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为(0,23)，OC 与D e 交于点C ，30OCA ∠=︒，则圆中阴影部分的面积为_____．24．（2019·湖北中考真题）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O e 的面积S ，设O e 的半径为1，则1S S -=__________.25．（2019·江苏中考真题）如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=____ .26．（2019·重庆中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）27．（2019·浙江中考真题）如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰激凌外壳的侧面积等于______2cm （计算结果精确到个位）.28．（2019·山东中考真题）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC=3，AC=3．则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题29．（2019·天津中考真题）已知PA ，PB 分别与O e 相切于点A ，B ，80APB ︒∠=，C 为O e 上一点．（Ⅰ）如图①，求ACB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE 为O e 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．30．（2019·黑龙江中考真题）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上；（1）在图1中画出以AC 为底边的等腰直角ABC △，点B 在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC 为腰的等腰ACD V ，点D 在小正方形的顶点上，且ACD V 的面积为8.31．（2019·河南中考真题）如图，在ABC ∆中，BA BC =，90ABC ︒∠=，以AB 为直径的半圆O 交AC于点D ，点E 是¶BD 上不与点B ，D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接BE 并延长交AC 于点G ．（1）求证：ADF BDG ∆≅∆； （2）填空：①若=4AB ，且点E 是¶BD的中点，则DF 的长为 ； ②取¶AE的中点H ，当EAB ∠的度数为 时，四边形OBEH 为菱形．32．（2019·江苏中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径的⊙O 经过点B ．(1)求⊙O 的半径；(2)点P 为»AB 中点，作PQ ⊥AC ，垂足为Q ，求OQ 的长； (3)在(2)的条件下，连接PC ，求tan ∠PCA 的值．33．（2019·广西中考真题）如图，五边形ABCDE 内接于O e ，CF 与O e 相切于点C ，交AB 延长线于点F ．（1）若,AE DC E BCD =∠=∠，求证：DE BC =； （2）若2,,45OB AB BD DA F ===∠=︒，求CF 的长．34．（2019·辽宁中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的直径，过点A 的切线与CD 的延长线相交于点P ．且APC BCP ∠=∠ （1）求证：2BAC ACD ∠=∠；（2）过图1中的点D 作DE AC ⊥，垂足为E （如图2），当6BC =，2AE =时，求圆O 的半径．35．（2019·内蒙古中考真题）如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=o ，弦23AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接,MA MC ． （1）求⊙O 半径的长；（2）求证：AB BC BM +=．36．（2019·江苏中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥OA ，OC 交于AB 于P ，且CP=CB ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）已知∠BAO=25°，点Q 是弧A m B 上的一点. ①求∠AQB 的度数； ②若OA=18，求弧A m B 的长.37．（2019·江苏中考真题）（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O e ）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． （实际应用）:观测点A 在图1所示的O e 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O e 的直径，PQ ON ⊥．（1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP =km ，求这两个观测点之间的距离即O e 上»AB 的长．（π取3.1） 38．（2019·湖北中考真题）如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆圆O 相交于点D ，过D 作直线//DG BC ． （1）求证：DG 是圆O 的切线；（2）若6DE =，63BC =，求优弧·BAC 的长．39．（2019·湖南中考真题）如图，AB 为O e 的直径，且3AB =C 是¶AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，过点B 作O e 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ． (1)求证：EC 是O e 的切线；(2)当30D ︒∠=时，求阴影部分面积．40．（2019·贵州中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)已知FG＝23，求图中阴影部分的面积.41．（2019·广东中考真题）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，∆的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的»EF与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F. ABC∆三边的长；（1）求ABC（2）求图中由线段EB、BC、CF及»FE所围成的阴影部分的面积.。
专题12 家用电器类电学综合计算专题(原卷版)-决胜2021年中考物理压轴题全揭秘
专题12—家用电器类电学综合计算专题考点01：电热类电学综合计算：对于电热类家电如：电饭煲，电热水壶，饮水机等发热家电应注意电阻丝或发热电阻的串、并联情况的变化会对电热器的功率产生影响，即应注意“高”、“低”，“中”不同的档位时电路中的电流，电压的分配，及电阻的发热功率情况。
另外应注意保温与正常发热情况下电路中不同的连结方式；一般来说电路中串联的电阻越多，电路中电流越小，此时的总功率越小通常此时为保温状态，而串联电路中连入电阻越少时，电路中总电流越大，此时电路中的总功率越大，此时通常为加热状态。
【帮你归纳】对于多挡位电热器，判断电热器的挡位时，应根据P=U2/R，电源电压通常为220V，当多个电热丝串联时，电路中电阻最大，此时电路的总功率最小，此时通常为“低温挡”，或处于电热器的“保温状态”；当多个电热丝并联时，电路中的总电阻最小，电路中的总功率最大，所以此时通常电路为“高温挡”工作状态或处于“加热状态”，当只有一个电阻丝工作时，电路中的总功率即不是最大值也不是最小值，此时通常为“中温挡”工作状态。
例1：（2020·四川南充）市面上的电热水壶大多具有加热和保温功能。
下图是某电热水壶的电路简图，开关K接通后，开关S自动与触点a、b接通，热水壶开始烧水；当壶内水温达到100o C时，温控开关S自动与a、b断开，并立即与触点c接通，水壶进入保温状态。
已知电源电压为220V，电阻R1=50Ω，这种水壶的加热功率P加热是保温功率P保温的5倍，水的比热容c=4.2x103J/(kg.o C)，R1、R2电阻不受温度影响。
求：(1)将1kg初温为35o C的水加热到100o C需要吸收多少热量?(2)电阻R2的阻值。
(3)在晚上用电高峰期将1kg初温为35o C的水加热到100o C需用时300s，若加热效率为91%，则晚上用电高峰期的实际电压为多少?【变式1-1】（2019湖北荆州中考）随州的冬季不像北方有集中供暖，所以本地居民常选用一些小型电暖器越冬。
2020年中考数学压轴解答题12 有关函数的计算说理类综合问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题12 有关函数的计算说理类综合问题【类型综述】计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理,说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题,主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式,按照设、列、解、验、答五步完成,一般来说,解析式中待定几个字母,就要代入几个点的坐标．还有一类计算题,就是从特殊到一般,通过计算寻找规律．【典例分析】【例1】在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22y x mx n =-++经过点()0,2A ,()3,4B -.（1）求该抛物线的函数表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ,点D 是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A ,B 之间的部分为图象G （包含A ,B 两点）,如果直线CD 与图象G 有一个公共点,结合函数的图象,直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.【例2】如图,在平面直角坐标系中,边长为4的等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上,反比例函数()0ky x x=<的图象经过AB 边的中点C ,且与OA 边交于点D .（1）求k 的值；（2）连接OC ,CD ,求OCD ∆的面积；（3）若直线y mx n =+与直线CD 平行,且与OAB ∆的边有交点,直接写出n 的取值范围.【例3】如图1 ,等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB ＝90°,CB ＝CA,直线 DE 经过点 C,过 A 作 AD ⊥DE 于点 D,过 B 作 BE ⊥DE 于点 E,则△BEC ≌△CDA,我们称这种全等模型为 “K 型全等”．（不需要证明）（模型应用）若一次函数 y=kx+4（k≠0）的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点．（1）如图 2,当 k=－1 时,若点 B 到经过原点的直线 l 的距离 BE 的长为 3,求点 A 到直线 l 的距离 AD 的长；（2）如图 3,当 k=－ 43时,点 M 在第一象限内,若△ABM 是等腰直角三角形,求点 M 的坐标；（3）当k 的取值变化时,点 A 随之在x 轴上运动,将线段BA 绕点 B 逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,求OQ 长的最小值．【例4】如图,在平面直角坐标系中,直线l1：16 2y x=-+分别与x轴、y轴交于点B、C,且与直线l2：1 2y x=交于点A．（1）求出点A的坐标（2）若D是线段OA上的点,且△COD的面积为12,求直线CD的解析式（3）在（2）的条件下,设P是射线CD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【例5】寻找神奇点！每条抛物线内都有一个神奇的点F（也叫焦点）,还有一条与之配套的直线！（也叫准线）,使得抛物线上的每个点到F的距离等于到直线l的距离．如图,对于抛物线上任意一点D,都有DF＝DH．根据以上知识,我们来完成以下问题：（1）因为抛物线是轴对称图形,由对称性可知这个神奇的点F应在抛物线的上,且准线l一定与对称轴垂直即l⊥MN（对称轴）．（2）若准线l 与对称轴MN 交于E ,MN 交抛物线于点P ,则PE 、PF 的数量关系是PE PF （填＞、＝、＜）,（3）求抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+4的神奇点（焦点）F 的坐标．【例6】在平面直角坐标系中,已知矩形OABC 中的点()0,4A ,抛物线21y ax bx c =++经过原点O 和点C ,并且有最低点()2,1G -点E ,F 分别在线段OC ,BC 上,且516AEF OABCS S ∆=矩形,1CF =,直线BE 的解析式为2y kx b =+,其图像与抛物线在x 轴下方的图像交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）当120y y <<时,求x 的取值范围； （3）在线段BD 上是否存在点M ,使得14DMC EAF ∠=∠,若存在,请求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．【变式训练】一、单选题1．如图,坐标平面上有一顶点为A 的抛物线,此抛物线与方程式2y ＝的图形交于B 、C 两点,ABC ∆为正三角形．若A 点坐标为()3,0-,则此抛物线与Y 轴的交点坐标为何？（ ）A．90,2⎛⎫⎪⎝⎭B．270,2⎛⎫⎪⎝⎭C．()0,9D．()0,192．如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y＝﹣43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,M是y轴上的点（不与点B重合）,若将△ABM沿直线AM翻折,点B恰好落在x轴正半轴上,则点M的坐标为（）A．（0,﹣4 ）B．（0,﹣5 ）C．（0,﹣6 ）D．（0,﹣7 ）3．如图,直线y＝23x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣34,0）B．（﹣12,0）C．（﹣32,0）D．（﹣52,0）4．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D,与x轴正半轴交于A、B两点,A在B左,与y轴正半轴交于点C,当△ABD 和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时,b的值为（）A ．2B ．﹣2或﹣4C ．﹣2D ．﹣45．如图,菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴,垂足为点E,顶点A 在第二象限,顶点B 在y 轴的正半轴上,反比例函数y=kx（k≠0,x ＞0）的图象同时经过顶点C,D ．若点C 的横坐标为5,BE=3DE,则k 的值为（ ）A ．52B ．154C ．3D ．56．如图,已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A 、B 两点,点B 坐标为(-4,-2),C 为双曲线(0)ky k x =>上一点,且在第一象限内,若△AOC 面积为6,则点C 坐标为（ ）A ．（4,2）B ．（2,3）C ．（3,4）D ．（2,4）二、填空题7．如图,在平面直角坐标系xOy 中,直角三角形的直角顶点与原点O 重合,顶点A,B 恰好分别落在函数1(0)y x x =-＜,4(0)y x x=＞的图象上,则tan ∠ABO 的值为___________8．如图,直线y=﹣12x+3与坐标轴分别交于点A 、B,与直线y=x 交于点C,线段OA 上的点Q 以每秒1个长度单位的速度从点O 出发向点A 作匀速运动,运动时间为t 秒,连接CQ ．若△OQC 是等腰直角三角形,则t 的值为_____．9．如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(03)，,点B 为x 轴上一动点,以AB 为边在AB 的右侧作等腰Rt ABD △,90ABD ∠=︒,连接OD ,则OD AD +的最小值是 __________．10．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．11．如图,已知⊙P 的半径是1,圆心P 在抛物线y ＝212x -x-12上运动,当⊙P 与x 轴相切时,圆心P 的坐标为_____．12．如图,四边形ABCD 的项点都在坐标轴上,若//,AB CD AOB V 与COD △面积分别为8和18,若双曲线ky x=恰好经过BC 的中点E ,则k 的值为__________．三、解答题13．如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =++经过点3(2,)A -和点(5,0)B ,顶点为C . （1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ,联结,OD BD ,求ODB ∠的正切值；（3）将抛物线2y x bx c =++向上平移(0)t t >个单位,使顶点C 落在点E 处,点B 落在点F 处,如果BE BF =,求t 的值.14．在平面直角坐标系xOy 中,存在抛物线2y mx 2=+以及两点()A 3,m -和()B 1,m . (1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若该抛物线经过点()A 3.m -,求此抛物线的表达式;(3)若该抛物线与线段AB 只有一个公共点,结合图象,求m 的取值范围.15．如图,抛物线的表达式为y=ax2+4ax+4a-1（a≠0）,它的图像的顶点为A,与x轴负半轴相交于点B、点C （点B在点C左侧）,与y轴交于点D,连接AO交抛物线于点E,且S△AEC:S△CEO=1:3.（1）求点A的坐标和抛物线表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△BDP的内心也在对称轴上,若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）连接BD,点Q是y轴左侧抛物线上的一点,若以Q为圆心,22为半径的圆与直线BD相切,求点Q的坐标.16．在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2﹣4ax﹣32（a≠0）交x轴于A、B两点,交y轴于点C,这条抛物线的顶点为D．（1）求点D的坐标．（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时,求点D的坐标．（3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交,其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m,0）作x轴的垂线,交这条抛物线于点M,交直线y＝﹣x于点N,且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时,求m的取值范围．（4）点Q 在这条抛物线上运动,若在这条抛物线上只存在两个点Q ,满足S △ABQ ＝3S △ABC ,直接写出a 的取值范围．17．如图1,在平面直角坐标系中,直线y ＝﹣5x+5与x 轴,y 轴分别交于A,C 两点,抛物线y ＝x 2+bx+c 经过A,C 两点,与x 轴的另一交点为B ．（1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点,连接MA 、MB 、BC,当点M 运动到某一位置时,四边形AMBC 面积最大,求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；（3）如图2,若P 点是半径为2的⊙B 上一动点,连接PC 、PA,当点P 运动到某一位置时,PC+12PA 的值最小,请求出这个最小值,并说明理由．18．如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标是()0,2,动点A 从原点O 出发,沿着x 轴正方向移动,以AB 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABP ∆,设动点A 的坐标为()(),00t t ≥.(1)当2t =时,点P 的坐标是 ；当1t =时,点P 的坐标是 ； (2)求出点P 的坐标(用含t 的代数式表示)；(3)已知点C 的坐标为()1,1,连接PC 、BC ,过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ,求当t 为何值时,当PQB ∆与PCB ∆全等.压轴解答题·直面高考精品资源·战胜高考 19．如图,在平面直角坐标系中,直线l 1的解析式为y x =,直线l 2的解析式为132y x =-+,与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B,直线l 1与l 2交于点C ．（1）求点A 、点B 、点C 的坐标,并求出△COB 的面积；（2）若直线l 2上存在点P （不与B 重合）,满足S △COP =S △COB ,请求出点P 的坐标；（3）在y 轴右侧有一动直线平行于y 轴,分别与l 1,l 2交于点M 、N,且点M 在点N 的下方,y 轴上是否存在点Q,使△MNQ 为等腰直角三角形？若存在,请直接写出满足条件的点Q 的坐标；若不存在,请说明理由. 20．如图,已知直线y ＝12x+b 与y 轴交于点B （0,﹣3）,与反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象交于点A,与x 轴交于点C,BC ＝3AC（1）求反比例函数的解析式；（2）若P 是y 轴上一动点,M 是直线AB 上方的反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象上一动点,直线MN ⊥x 轴交直线AB 于点N,求△PMN 面积的最大值．。
2023秋季初三AA第12讲几何压轴题
第12讲 几何压轴题模块1 旋转类【经典例题】例1 如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP 绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；（2）当∠BPC＝120°时，①直接写出∠P'BP的度数为 _____；②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；（2）用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系；并证明．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）∠BAE＝∠BCD；（2）AE＝CE+DE．模块2 中点类【经典例题】例3 在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为射线CA上一点，过点D作DE∥CB且DE＝CB（点E在点D的右侧），射线ED交射线BA于点F，点H是AF的中点，连接HC，HE．（1）如图1，当点D在线段CA上时，判断线段HE与HC的数量关系及位置关系；（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段CB，CD，CH之间的数量关系，并证明．【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】（1）HE＝HC，且HE⊥HC；（2）CB2+CD2＝2CH2．例4 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点 （不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．（1）如图1，当点E在线段CD上时，①依题意补全图形；②求证：点G为BF的中点．（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）见解答过程；（2）2AE2﹣4AG2＝BE2．附加题1 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD ＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．附加题2 在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α （0°＜α＜180°）得到线段AD．（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．【作业】作业1 △ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CFE的度数为 ______；（2）如图2，当30°＜∠A＜60°时，①依题意补全图2；②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明．作业2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且BE＝CD，连接DE，过点A作AM⊥DE于M．（1）依题意补全图，用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为 __，使得AN＝DE成立，并证明．。
2020年中考数学冲刺专题卷专题12 压轴题(解析版)
2020年中考数学冲刺专题卷12 压轴题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，''B C 与BC ，AC 分别交于点D ，E.设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接B′C ，作AH ⊥B′C′，垂足为H ，∵AB=AC ，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，∴AH=12AC′=1， ∴223AC AH '-=∴3，∵AB′=AC ，∴∠AB′C=∠ACB′，∵∠AB′D=∠ACD=30°，∴∠AB′C -∠AB′D=∠ACB′-∠ACD ，即∠DB′C=∠DCB′，∴B′D=CD ，∵CD+DE=x ，∴B′D+DE=x ，即B′E=x ，∴C′E=B′C′-B′E=23-x ，∴y=12C E AH 'g =12×(23-x)×1=132x -+， 观察只有B 选项的图象符合题意，故选B.2．（2019·四川中考真题）如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）A ．3B ．412C ．72D ．4 【答案】C【解析】∵抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0），B （4,0），即OA=4.在直角三角形COB 中BC=2222345+=+=OC OB∵Q 是AP 上的中点，O 是AB 的中点∴OQ 为△ABP 中位线，即OQ=12BP 又∵P 在圆C 上，且半径为2，∴当B 、C 、P 共线时BP 最大，即OQ 最大此时BP=BC+CP=7OQ=12BP=72. 3．（2019·山东中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数k y x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】C【解析】作A H y '⊥轴于H ．∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒，∴90ABO A BH ∠+∠'=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，∴BAO A BH ∠=∠'，∵BA BA ='，∴()AOB BHA AAS 'V V ≌，∴OA BH =，OB A H ='，∵点A 的坐标是()2,0-，点B 的坐标是()0,6，∴2OA =，6OB =，∴2BH OA ==，6A H OB '==，∴4OH =，∴()6,4A '，∵BD A D ='，∴()3,5D ，∵反比例函数k y x =的图象经过点D ， ∴15k =．故选：C ．4．（2019·四川中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，90ADC ∠=o ，5AB =，3CD AD ==，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，FEG ∠的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若32BG =，45FEG ∠=o ，则HK =( )A ．223B ．526C ．322D ．1326【答案】B【解析】∵90ADC ∠=o ，3CD AD ==，∴32AC =∵5AB =，32BG =，∴72AG =， ∵AB DC P ，∴CEK AGK ∆∆:，∴CE CK EK AG AK KG ==， ∴172CK EK AK KG ==，∴27CK EK AK KG ==， ∵32CK AK +=，∴22CK =， 过E 作EM AB ⊥于M ，则四边形ADEM 是矩形，∴3EM AD ==，2AM DE ==，∴32MG =， ∴2235EG EM MG =+=， ∵27EK KG =，∴53EK =， ∵45HEK KCE ∠=∠=o ，EHK CHE ∠=∠，∴HEK HCE ∆∆:，∴55HE EC HK EK ===，∴设3HE x =，5HK x =，∵HEK HCE ∆∆:，∴EH HK HC EH=， ∴532253x x x =+，解得：106x =，∴526HK =， 故选：B ．5．（2019·辽宁中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③2BC CG =﹣1；④HOM HOG S S V V ＝2﹣2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】A【解析】如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CDBCE DCG CE CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC+∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，DN HN DC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a a a b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212a b∴=1BC CG∴= 故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ， ∴HO ＝12EG ， 设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝b ，∴HOb ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ，∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF 2b 2===， ∴EMOM ，∴1OM OE ===，∴1HOM HOES S ∆∆= ∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴1HOM HOGS S ∆∆= 故④错误，故选：A ．6．（2019·湖北中考真题）抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③8>0+a c ；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C【解析】 ∵对称轴在y 轴左侧，图象与y 轴交于y 轴正半轴，∴ab>0，c>0，故①错误，∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，∴图象与x 轴的另一个交点为（-3，0），∵抛物线的开口向下， ∴a<0，∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，∵对称轴x=2b a -=-1， ∴b=2a ，∵x=1时，a+b+c=0，∴3a+c=0，∴8a+c=5a<0，故③错误，∵3a+c=0，∴c=-3a ，∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c ，故④正确， ax 2+bx+c=2x+2，整理得：ax 2+(b-2)x+c-2=0，∵直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，∴x 1+x 2+x 1⋅x 2=2b a --+2c a -=22(3)2a a a-++--=-5，故⑤正确，综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.故选C.7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是A．CE=3DE B．CE=2DEC．CE=3DE D．CE=2DE【答案】B【解析】过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，根据勾股定理可得DH=AB=2222DC CH-=，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，又∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴Rt△ADE∽Rt△BEC，∴AD AE DE BE BC CE==，设BE=x，则AE22x=-，即122xx-=，解得x=2，∴2DECE=，即CE=2DE，故选B．8．（2019·山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当AE＝AF时，BEEC＝22，③BE+DF＝EF，④存在点E、F，使得NF＞DF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝12EF＝22x，△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC2＝AO+OC，∴1+22x2，x＝22，∴BEEC＝1(22)22---＝(21)(22)-+＝2；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，AE AEFAE HAEAF AH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．若数a使关于x 的不等式组2122224x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2a y +- 22y-=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是__________． 【答案】-2【解析】解不等式组2122224x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩，可得342x a x ≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴-1≤42a +-<0，∴-4<a ≤-2，解分式方程222a y y +--=2，可得y =22a +， 又∵分式方程有非负数解，∴y ≥0，且y ≠2，即22a +≥0，22a +≠2，解得a ≥-2且a ≠2，∴-2≤a ≤3，且a ≠2， ∴满足条件的整数a 的值为-2，故答案为：-2．10．（2019·江苏中考真题）如图，过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ，∠ABC=90°，AB=CB ，曲线0k y x x=>（）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为________．【答案】4【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N ，则∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入2y x b =+，得4=6+b ，解得：b=-2，所以y=2x-2，令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，所以A(1，0)，∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABN=90°，∵∠ANB=90°，∴∠BAN+∠ABN=90°，∴∠CBM=∠BAN ，又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC ，∴△ABN ≌△BCM ，∴AN=BM ，BN=CM ，∵C(3，4)，∴设AN=m ，CM=n ，则有413m n m n +=⎧⎨+-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩， ∴ON=3+1=4，BN=1，∴B(4，1)，∵曲线0k y x x =>（）过点B ，∴k=4，∴4y x=， ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A 移动后对应点的坐标为(1，a)， ∴a=4，故答案为：4.11．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为______．【答案】4【解析】∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上，∴12OCE S k ∆=，12OAD S k ∆=， 过点M 作MG y ⊥轴于点G ，作MN x ⊥轴于点N ，∴四边形ONMG 是矩形，∴ONMG S k =矩形，∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形，∵函数图象在第一象限，∴0k >，∴ABCO S =矩形OCE S ∆+OAD S ∆+S 四边形ODBE =12422k k k ++=， 解得：4k =．故答案为：412．（2019·辽宁中考真题）如图，直线113y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB AM ⊥，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为_____．【答案】42223n n -． 【解析】在直线113y x =+中，当0x =时，1y =；当0y =时，3x =-； ∴1OA =，3OM =，∴1tan 3AMO ∠=， ∵90OAB OAM ︒∠+∠=，90AMO OAM ︒∠+∠=，∴OAB AMO ∠=∠， ∴1tan 3OB OAB OA ∠==，∴13OB =． ∵正方形ABCA 1中的四个小正方形都与△AOB 全等， ∴第一个阴影正方形的边长为：12133-=， ∴212439S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，同理：111tan tan 3B C CBB OAB BC ∠==∠=， ∴11111333B C BC AC AB ===， ∴1143A B AB =， ∴221141639S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 同理可得2321161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3431161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，…，11116164999n n n S S --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭142442422222222222233333n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：42223n n -． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2019·山西中考真题）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 (1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，∴BM 1=N 1D=4，∴OM 1=OB+BM 1=8，∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.14．（2019·广东中考模拟）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=3，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．【解析】（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB ，∴∠PBC=∠PCB ，∴PC=PB ；（2）如图2，连接OD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB ，∴BG ∥DC ， ∵BC ∥DE ，∴四边形DHBC 是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt △ABC 中，3tan ∠ACB=3AB BC ∴∠ACB=60°，∴BC=12AC=OD ， ∴DH=OD ，在等腰△DOH 中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE 交AC 于N ，∵BC ∥DE ，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD ）=40°，∴∠DOC=∠DOH ﹣∠NOH=40°，∵OA=OD ，∴∠OAD=12∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC ∥DE ，∴∠BDE=∠CBD=20°．15．（2019·广西中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点,A B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ．（1）求证：ABF BCE ∆∆≌；（2）如图2，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交,AD BF 于点,M N ，求MN NH的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）54MN NH =. 【解析】（1）证明：∵BF CE ⊥，∴90CGB ∠=︒，∴90GCB CBG ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90,CBE A BC AB ∠=︒=∠=，∴90FBA CBG ∠+∠=︒，∴GCB FBA ∠=∠，∴()ABF BCE ASA ∆∆≌；（2）证明：如图2，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，设2AB CD BC a ===，∵点E 是AB 的中点， ∴12EA EB AB a ===， ∴5CE a =，在Rt CEB ∆中，根据面积相等，得BG CE CB EB ⋅=⋅， ∴25BG =， ∴2255CG CB BG a =-=， ∵90,90DCE BCE CBF BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴DCE CBF ∠=∠，∵,90CD BC CQD CGB =∠=∠=︒，∴()CQD BGC AAS ∆∆≌，∴25CQ BG ==， ∴55GQ CG CQ a CQ =-==， ∵,90DQ DQ CQD GQD =∠=∠=︒，∴()DGQ DCQ SAS ∆∆≌，∴CD GD =；（3）解：如图3，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，1122CDG S CG DQ CH DG ∆=⋅=⋅， ∴85CG DQ CH a DG ⋅==， 在Rt CHD ∆中，2CD a = ，∴2265DH CD CH a =-=， ∵90,90MDH HDC HCD HDC ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴MDH HCD ∠=∠，∴CHD DHM ∆∆∽，∴34DH HM H DH C ==， ∴910HM a =， 在Rt CHG ∆中，458,5CG CH a ==， ∴2245GH CG CH a =-=， ∵90,90NGH CGH HCG CGH ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴NGH HCG ∠=∠，∴NGH GCH ∆∆∽，∴HN HG HG CH=， ∴225HG HN a CH ==， ∴12MN HM HN a =-=，∴152245a MNNH a==。
专题12 三角函数(全题型压轴题)-2024年高考数学压轴专题复习(学生版)
.
6．（2023 春·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）将函数 y 3sin 2x+ 0 π 的图像向左平移 π 个
6
单位后得到函数 y g x ，若函数 y g x 是 R 上的偶函数，则
．
③三角函数零点问题（解答题）
1．（2023 春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数
4．（2023 春·四川成都·高一统考期末）已知函数 f x 3 sin x cos x 1 sin 4 x cos4 x 1 x R ，函数 2
y f x 的图象向左平移 π 个单位，再向上平移 1 个单位得到 y g x 的图象，
6
h x cos x cos x 3m mmR .
3
sin
x
π 6
0
的图象上相邻两个最高点
的距离为 π ．
(1)求函数 f x 的图象的对称轴；
(2)若函数
y
f
x
m
在
0,
π 2
内有两个零点
x1
,
x2
，求
m
的取值范围及 cos x1
x2
的值．
7．（2023
春·江西·高一统考期末）已知函数
f
x 2cos2xcos cos
2sinxcosxsin
B．
π 2
,
17π 24
C．
7π 24
,
19π 24
D．
7π 24
,
17π 24
5．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
与偶函数
g(x)
满足
f
(x)
专题12三角形内角和定理(原卷版)
2021-2022学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题12三角形内角和定理一．选择题1．（2021春•曹县期末）如图，在△ABC中，DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，连接DC，∠A＝70°，∠D＝38°，则∠DCA的度数是（）A．42°B．38°C．40°D．32°2．（2021春•仁寿县期末）如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是（）A．35°B．50°C．65°D．80°3．（2021春•济南期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°4．（2021春•海陵区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°5．（2021春•建平县期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这个“特征角”α的度数为（）A．48°B．96°C．88°或48°D．48°或96°或88°6．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题7．（2021春•盘龙区期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF＝．8．（2021春•遂宁期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC 交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的是．9．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．将三角形沿EF翻折，使点C与边AB上的D点重合．若∠EFD＝2∠AED，则∠AED的度数为．10．（2021春•沙坪坝区校级期中）将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝．11．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝．12．（2021春•射阳县校级期末）如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝°．13．（2021春•淮阳区校级期末）如图，∠B＝36°，∠E＝48°，∠BAE的平分线与∠BDE的平分线交于点F，则∠F＝°．14．（2021春•江都区校级期末）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC ＝．15．（2019春•江汉区期中）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．16．（2019秋•临安区期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1＝（∠2+∠3）；（2）∠1＝2（∠3﹣∠2）；（3）∠4＝（∠3﹣∠2）；（4）∠4＝∠1．其中有两个式子是正确的，它们是和．17．（2018春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为．三．解答题18．（2021春•朝阳区校级期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB 之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．19．（2021春•海陵区校级期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠EAD的度数．20．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．AD为△ABC的角平分线．点E为BC上一点，过点E作射线EF，交AC于点G．（1）若∠C＝30°，求∠BAD的度数；（2）若∠FGC+∠BAD＝180°，求证：EF∥AD．21．（2021春•大英县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）如图1，若∠B＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的度数．（2）探索∠B，∠C，∠DAE之间的数量关系（如图1，∠B＞∠C），请证明你的结论．（3）如图2、3，设点F为AE所在直线上一动点，当它在AE上运动，AD变成FD时，探索∠DFE，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．22．（2021春•市中区期末）在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O．（1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为；（2）点D在BA，AC边上运动．①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB．试说明：∠ADO＝∠AOC；②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC者之间的数量关系．23．（2021春•广陵区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度数．24．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC 交AD于E，求∠4的度数．25．（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．（1）当∠B＝72°时；①若∠CPB＝54°，则△ACP“倍角三角形”（填“是”或“否”）；②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．26．（2021春•江阴市校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．27．（2021春•太康县期末）【问题背景】如图1，在三角形ABC中，直线EF经过点A且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°；【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A 在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）．①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE；【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时，直接写出∠AGE＝．。
中考数学复习重难点与压轴题专题12 新定义型几何图形综合问题(重点突围)(原卷版)
专题12 新定义型几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一 与三角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 1 【考向二 与四角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 5 【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】 ................................................................................................. 8 【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】 .. (10)【直击中考】【考向一 与三角形有关的新定义型问题】例题：（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．例如：如图1，AD 把△ABC 分成△ABD 和△ADC ，若△ABD 是等腰三角形，且△ADC ∽△BAC ，那么AD 就是△ABC 的“华丽分割线”． 【定义感知】(1)如图1，在ABC 中，40B ∠=︒，110BAC ∠=︒，AB=BD ．求证：AD 是ABC 的“华丽分割线”． 【问题解决】(2)①如图2，在ABC 中，46B ∠=︒，AD 是ABC 的“华丽分割线”，且ABD △是等腰三角形，则C ∠的度数是________；②如图3，在ABC 中，AB =2，AC =3，AD 是ABC 的“华丽分割线”，且ABD △是以AD 为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD 的长．【变式训练】1．（2022·山东济宁·三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图，在ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad BCA AB==底边腰，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：(1)sad60︒=___________，sad90︒=___________；(2)如图，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sad A 的值．2．（2022春·福建龙岩·九年级校考期中）在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然90αβ+<︒，则这个三角形的第三个角为()18090αβ︒-+>︒，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．(1)【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100︒，请求出它的两个锐角的度数； (2)【尝试运用】:如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，8BC =，点D 在边BC 上，连接AD ，且AD 不平分BAC ∠．若ABD △是“亚直角三角形”，求线段AD 的长；(3)【素养提升】:如图2，在钝角ABC 中，90ABC ∠>︒，5AB =，35BC =，ABC 的面积为15，求证：ABC 是“亚直角三角形”．3．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为90︒，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． (1)已知△ABC 是“准直角三角形”，且90C ∠>︒． ①若60A ∠=︒，则B ∠=______︒； ②若40A ∠=︒，则B ∠=______︒； 【巩固新知】(2)如图①，在Rt ABC △中，9062ACB AB BC ∠=︒==，，，点D 在AC 边上，若ABD △是“准直角三角形”，求CD 的长；【解决问题】(3)如图②，在四边形ABCD 中，58CD CB ABD BCD AB BD =∠=∠==，，，，且ABC 是“准直角三角形”，求BCD △的面积．4．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在ABC 和A B C '''中，,AD A D ''分别是BC 和B C ''边上的高线，且AD A D ''=，则ABC 和A B C '''是等高三角形．【性质探究】 如图①，用ABCS ，A B C S'''分别表示ABC 和A B C '''的面积．则11,22ABC A B C S BC AD S B C A D '''=⋅=''⋅''△△， ∽AD A D ''=∽::ABC A B C S S BC B C ''=''△△． 【性质应用】(1)如图②，D 是ABC 的边BC 上的一点．若3,4BD DC ==，则:ABD ADC S S =△△__________；(2)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若:1:2BE AB =，:1:3CD BC =，1ABC S =△，则BEC S =△__________，CDE S =△_________；(3)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若:1:BE AB m =，:1:CD BC n =，ABCS a =，则CDE S =△__________．【考向二 与四角形有关的新定义型问题】例题：（2022·陕西西安·校考三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)问题发现：如图1，筝形ABCD 中，AD CD =，AB CB =，若12AC BD +=，求筝形ABCD 的面积的最大值；(2)问题解决：如图2是一块矩形铁片ABCD ，其中60AB =厘米，90BC厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH ，要求点E 是AB 边的中点，点F 、G 、H 分别在BC 、CD 、AD 上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH 的面积最大？若存在，求出筝形EFGH 的面积最大值，若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互余四边形．(1)问题1．利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（ ）①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形．(2)如图①，在对角互余四边形ABCD 中，30D ∠=︒，且AC BC ⊥，AC AD ⊥．若1BC =，求四边形ABCD 的面积和周长．(3)问题2．如图②，在对角互余四边形ABCD 中，AB BC =，13BD =，90ABC ADC ∠+∠=︒，8AD =，6CD =，求四边形ABCD 的面积和周长．(4)问题3．如图③，在对角互余四边形ABCD 中，2BC AB =，3sin 5ABC ∠=，90ABC ADC ∠+∠=︒，10BD =，求ACD 面积的最大值．2．（2023春·江西抚州·九年级金溪一中校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【问题探究】(1)如图①，已知矩形ABCD 是“等邻边四边形”，则矩形ABCD ___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如图②，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，动点M 、N 分别在AD 、CD 上（不含端点），若60MBN ∠=︒，试判断四边形BMDN 是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形BMDN 的周长的最小值为___________； 【尝试应用】(3)现有一个平行四边形材料ABCD ，如图③，在ABCD 中，17AB =，6BC =，tan 4B =，点E 在BC 上，且4BE =，在ABCD 边AD 上有一点P ，使四边形ABEP 为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．3．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，B C ∠=∠，则四边形ABCD 为“等邻角四边形”．(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形ABCD 为“等邻角四边形”，且120100A B ∠=︒∠=︒，，则D ∠=________．②如图②，在五边形ABCDE 中， DE BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，求证：四边形ABDE 为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD 中，B C ∠=∠，点P 为边BC 上的一动点，过点P 作PM AB PN CD ⊥⊥，，垂足分别为M ，N ．在点P 的运动过程中，PM PN +的值是否会发生变化？请说明理由．【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022·江西上饶·统考一模）定义：如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是60︒，那么称该三角形为“特异角平分三角形”，这条角平分线称为“特异角平分线”．(1)如图1，ABC 是一个“特异角平分三角形”，AD 是一条“特异角平分线” ①当90C ∠=︒时，试求:AD BD 的值．②在ABC 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长至点H ，HE DE =，若:3:3DE AE =，证明：AHE ADC ≌． (2)如图2．BD 是O 的直径，AC 是O 的切线，点C 为切点，AB AC ⊥于点A 且交O 于点H ，连接DH 交BC 于点E ，4BD =，3AB =．试证明DBH △是一个“特异角平分三角形”．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，∽E 是ABC 中∽A 的“好角”，若A α∠=，则E ∠=______；（用含α的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD 内接于O ，点D 是优弧ACB 的中点，直径BF ⊥弦AC ，BF 、CD 的延长线于点G ，延长BC 到点E ．求证：∽BGC 是ABC 中∽BAC 的“好角”．(3)如图3，ABC 内接于O ，∽BGC 是ABC 中∽A 的“好角”，BG 过圆心O 交O 于点F ，O 的直径为8，45A ∠=︒，求FG ．2．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）我们不妨定义：有两边之比为1：3的三角形叫敬“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30︒角的直角三角形；④含120︒角的等腰三角形．(2)如图1，∽ABC 是∽O 的内接三角形，AC 为直径，D 为AB 上一点，且2BD AD =，作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交∽O 于点E ，连接BE 交AC 于点G ．试判断∽AED 和∽ABE 是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出EDBE的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，当AF ：FG ＝2：3时，求BED ∠的余弦值．【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）定义：有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．(1)如图1，若∽ABCD 的一组邻边AB ＝4，AD ＝7，且它的面积为142．求证：∽ABCD 为半矩形． (2)如图2，半矩形ABCD 中，∽ABD 的外心O （外心O 在∽ABD 内）到AB 的距离为1，∽O 的半径＝5，求AD 的长．(3)如图3，半矩形ABCD 中，∽A ＝45° ①求证：CD 是∽ABD 外接圆的切线； ②求出图中阴影部分的面积．【变式训练】1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．(1)如图1，在“对角互余四边形” ABCD 中， 6.5AD CD BD ==，，9043ABC ADC AB CB ∠+∠=︒==，，，求四边形ABCD 的面积．(2)如图2，在四边形ABCD 中，连接AC ，90BAC ∠=︒，点O 是ACD 外接圆的圆心，连接OA ，OAC ABC ∠∠=．求证：四边形ABCD 是“对角互余四边形”；(3)在（2）的条件下，如图3，已知3AD a DC b AB AC ===，，，连接BD ，求2BD 的值．（结果用带有a ，b 的代数式表示）2．（2022·江苏淮安·统考一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．(1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是 ；(2)如图1，在等腰Rt ∽ABC 中，∽BAC =90°，经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ，交BC 于点E ，连接DE ，若四边形ABED 为圆美四边形，则AB DE的值是 (3)如图2，在∽ABC 中，经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ，交BC 于点E ，连接AE 、BD 交于点F ，若在四边形ABED 的内部存在一点P ，使得∽PBC =∽ADP =α，连接PE 交BD 于点G ，连接P A ，若P A ∽PD ，PB ∽PE ． ①试说明：四边形ABED 为圆美四边形；②若2tan 3α=，8PA PE +=，33CD BC =，求DE 的最小值．。
专题12 利用切线求解恒成立-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)
1专题12 利用切线求解恒成立【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.零点问题有时也可以转化为【典型题示例】例1 (2021·江苏南京市期初)若不等式2(1)e 1x ax bx ++≤对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ．【答案】(－∞，﹣1]【分析】思路一：直接转化为为最值问题；思路二：利用“形”， 不等式2(1)e 1x ax bx ++≤对一切x ∈R 恒成立，即21e x ax bx -++≤，设2()1f x ax bx =++，()e x g x -=，因为()f x 恒过点()0,1，故只需2()1f x ax bx =++开口朝下，且在点()0,1与()e xg x -=有相同的公切线即可.【解析一】令2()(1)e x f x ax bx =++，()(0)f x f ≤恒成立，显然a ≤0，2()e [(2)1]x f x ax a b x b '=++++，则(0)101f b b '=+=⇒=-，2()e [(21)]e (21)x x f x ax a x x ax a '=++=+-，当a ＝0时，()f x 在(-∞，0)递增，(0，+∞)递减，()(0)f x f ≤符合题意，a ＜0时，()f x 在(-∞，12a a -)递减，(12a a -，0)递增，(0，+∞)递减 x ＜12a a-，210()0ax x f x -+<⇒<，故()(0)f x f ≤符合题意， 综上，a ≤0，b ＝﹣1，因此a ＋b ∈(-∞，﹣1]．【解析二】不等式2(1)e 1x ax bx ++≤可化为21e x ax bx -++≤，令2()1f x ax bx =++，()e x g x -=当0a =时，因为()f x 恒过点()0,1，故只需直线2()1f x ax bx =++为()e x g x -=在点()0,1处()e x g x -=的切线即可，易得1b =-，此时1a b +=-.当0a ≠时，因为()f x 恒过点()0,1，为使21e xax bx -++≤对一切x ∈R 恒成立，只需2()1f x ax bx =++开口朝下，且在点()0,1与()e x g x -=有相同的公切线即可，2故0(0)1a fb <⎧⎨'==-⎩，此时1a b +≤-.综上，a ＋b 的取值范围是1a b +≤-.例2 已知e 为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a 的取值范围为 ．【答案】 【解析】依题意，有：，即恒成立， a ＝0时显然成立， a ＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a ≤0.当a ＜0时，设23()2f x ax ax =+，()xg x e = 易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为()00,x x e ，则00200032322x x e ax ax e ax a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得00312x x =-=或（舍） ∴切点为()11,e --为使()()f x g x <， 只需11(1)2f a e --=-<，故2a e >- 又a ＜0，所以20a e-<<. 综上，实数a 的取值范围为． 【巩固训练】1.设函数 f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中 a ∈R ，若不等式 f (x )≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ．2()x f x e ax =-32y ax =2(,0]e-2x e ax ->32ax x e >232ax ax +2(,0]e-32.（2019·天津理·8）已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e 3.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数，若函数()f x 有且只有1个零点，则a 的值为 ．4.若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a =>：存在公共切线，则实数 a 的取值范围为 ．4 【答案或提示】1.【答案】,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2.【答案】 C3.【答案】1【解析】 遇含参问题能分离变量则分离. 函数()f x 有且只有1个零点，意即()ln g x x =与2()h x ax ax =-的图象只有一个交点，由于()ln g x x = 与2()h x ax ax =-均过点(1,0)，所以()f x 的零点为1x =.所以()ln g x x =与2()h x ax ax =-在点(1,0)处相切，故()1(1)2x h ax a a ='=-=与11(1)1x g x =⎛⎫'== ⎪⎝⎭相等，所以1a =. 4.【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5。
九年级数学上学期期末专题12 选择压轴题分类练(七大考点)
专题12 选择压轴题分类练（七大考点）一．新定义1．若min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，则当x≥0且y＝min{x2，x+2，7﹣x}时，y的最大值为（）A ．15−√292B ．4C ．112D ．922．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动； ③图2中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；④图3中，在△ABC 中随机取一点，则该点取自勒洛三角形DEF 部分的概率为√3π−26．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④二．最值--相似3．如图，在平面直角坐标系中，已知A （﹣2，4）、P （﹣1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x 轴上，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，则PM 的最小值为（ ）A ．√172B ．√17C ．4√55D ．√5三．相似与三角函数的融合。
4．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l 3，l 4，l 2，l 1上．若直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4且间距相等，AB ＝5，BC ＝3，则tan α的值为（ ）A ．310B ．35C ．√612D ．√525．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，以点A 为旋转中心将矩形ABCD 旋转，旋转后的矩形记为AEFG ，如图所示．CD 所在直线与AE 、GF 交于点H 、I ，CH ＝IH ．则线段HI 的长度为（ ）A ．3√2B ．2√2C ．5D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，将△ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到△DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan ∠DAG 的值为（ ）A ．524B ．513C ．512D ．724四．动点（线）轨迹。
专题12 圆与几何综合的两种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题12圆与几何综合的两种考法类型一、切线问题(1)求证：EF 与O 相切；(2)若30CAB ∠=︒，8AB =，过点E 作EG AC ⊥的长．【答案】(1)见解析(2)2π3【分析】（1）连接OE ，由AB 是O 的直径可得再根据圆周角定理可得290AOE ACE ∠=∠=与O 相切；（2）连接OG ，OC ，先证OBC △是等边三角形，推出据圆周角定理证明290∠=∠=︒GOC MEC ，进而可得解．【详解】（1）证明：如图，连接OE ，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交O 于点E ，30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴=60B ∠︒，OB OC =，∴OBC △是等边三角形，∴∠∴180120∠=︒-∠=︒AOC COB ，45ACE ∠=︒，EG AC ⊥，∴45MEC ∠=︒，∴290∠=∠=︒GOC MEC ，∴∠=∠AOG AOC 8AB =，AB 是O 的直径，∴4OA OG ==∴ 30π42π1803⨯==AG ．即 AG 的长为2π3．【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键．例2（连半径，证垂直）．如图，ABC 中，切线，连接AO 交劣弧BC 于点P ．(1)证明：AC 是O 的切线；(2)若8AB =，AP =【答案】(1)见解析；【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的性质定理得到(1)判断直线AF 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若O 的半径为6,6AC =，求阴影部分的面积．【答案】(1)相切，理由见解析；【分析】（1）连接OC ，证明△PC 为圆O 切线，CP OC ∴⊥，90OCP ∴∠=︒，OF BC ∥，AOF B ∴∠=∠，COF OCB ∠=∠OC OB =Q ，OCB B ∴∠=∠，AOF COF ∴∠=∠，在AOF 和COF 中，OA OC AOF COF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOF ∴△≌△90OAF OCF ∴∠=∠=︒，AF ∴又OA 为圆O 的半径，【变式训练1】．如图，AB 为O 的直径，BC 是圆的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．(1)求证：DC 是O 的切线；(2)直线AB 与CD 交于点F ，且4DF =，2AF =，求O 的半径．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OB BC ⊥，根据平行线的性质可得BOC OAD ∠=∠，DOC ODA ∠=∠，根据等边对等角可得ODA OAD ∠=∠，推得DOC BOC ∠=∠，根据全等三角形的判定和性质可得90ODC OBC ∠=∠=︒，即可根据切线的判定定理证明结论；（2）设O 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程求出O 的半径．【详解】（1）证明：连接OD ，∵BC 是O 的切线，∴OB BC ⊥，∵OC AD ∥，∴BOC OAD ∠=∠，DOC ODA ∠=∠，∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，∴DOC BOC ∠=∠，在DOC △和BOC 中，OD OB DOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DOC BOC ≌△△，∴90ODC OBC ∠=∠=︒，∴OD CD ⊥，∵OD 是O 的半径，∴DC 是O 的切线；（2）解：设O 的半径为r ，在Rt ODF 中，222OD DF OF +=，即()22242r r +=+，解得：3r =，∴O 的半径为3．【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等边对等角，勾股定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式训练2】．如图，以线段AB 为直径作O ，交射线AC 于点C ，AD 平分CAB ∠交O 于点D ，过点D 作直线DE AC ⊥于点E ，交AB 的延长线于点F ．连接BD 并延长交AC 于点M ．(1)求证：直线DE 是O 的切线；(2)求证：AB AM =；【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质得到ODA OAD ∠=∠，根据角平分线的定义得到OAD DAC Ð=Ð，证明OD AC ∥，根据平行线的性质得到DE OD ^，根据切线的判定定理证明即可；（2）根据题意证得M ABM ∠=∠，再根据等边对等角即可证明．【详解】（1）解：证明：连接OD ，OD OA =Q ，ODA OAD ∴∠=∠，AD 平分CAB ∠，OAD DAC ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD AC ∴∥，DE AC ⊥ ，DE OD ∴⊥，OD 是O 的半径，∴直线DE 是O 的切线；（2） 线段AB 是O 的直径，90ADB ∠=︒，18090ADM ADB ∠=︒-∠=︒，90M DAM ∠+∠=︒，90ABM DAB ∠+∠=︒，DAM DAB ∠=∠ ，M ABM ∴∠=∠，AB AM ∴=．【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式训练3】．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【答案】(1)见解析；(2)O 的半径为5．【分析】（1）连接OD ，可得OA OD =，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得ODA CAD ∠=∠，根据“内错角相等，两直线平行”可得OD AC ∥，根据平行线的性质，可得90ODB C ∠=∠=︒，再根据切线的判定方法，即可判定；∴∠=∠，ODA OAD∠的平分线，是BACAD∴∠=∠，OAD CAD∴∠=∠，ODA CAD∴∥，OD AC∴∠=∠=︒，ODB C90的半径，点为OOD的切线；∴BC是O（2）解：过点O作OG∴=，AG FG⊥OG AFCF=，CG CF1∴=+∴∠，OGCOG AF⊥∠=∠=︒，ODB C90∴四边形ODCG是矩形，DO CG∴==，5∴ 的半径为5．O【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．类型二、求长度(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若10,3AB BD ==，求AE 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)AE 【分析】（1）要证DE 是O 的切线，只要连接（2）由切线的性质及勾股定理可得长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．【详解】（1）证明：连接OC ；∵,AE CD CF AB ⊥⊥，又CE =∴12∠=∠．∵OA OC =，∴23∠∠=，∴13∠=∠．∴OC AE ∥．∴OC CD ⊥．又OC 是O 的半径，∴DE 是O 的切线．（2）解：∵,10,OC ED AB ⊥=∴5OB OC ==，OD AB BD =+(1)求证：BD ED =；(2)连接AD ，若6AC =，【答案】(1)证明见解析(2)2AE =【分析】（1）连接DF ，根据到90DFB DCE ∠=∠=︒可得到证明；（2）根据DC DF =，AD 可得到BF ，即可得到答案；∵D 与AB 相切于点F ∴DF AB ⊥，∴90DFB DCE ∠=∠=︒，又∴()AAS DFB DCE ≌，∴BD ED =；（2）解：在Rt ADC 和∵DC DF =，AD AD =∴(Rt Rt HL ADC ADF ≌∴6AC AF ==，∴106BF AB AF =-=-由（1）DFB DCE ≌，∴4CE FB ==，∴64AE AC CE =-=-=【点睛】本题考查圆的切线的性质，等的性质转换线段关系．【变式训练2】．如图，在交边BC 、AC 于点D 、(1)求证：直线DF 是O (2)若1,40OC A =∠=︒，求劣弧【答案】(1)详见解析；(2)【分析】（1）连接OD ，等边对等角推出∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵OC OD =，∴ODC C ∠=∠，∴B ODC ∠=∠，∴OD AB ∥，∴ODF AFD ∠+∠=∴OD DF ⊥，又OD 是O 的半径，即直线DF 是O 的切线；（2）解：∵OD AB ∥∴180EOD ∠=︒-∠∵1OC =，即圆的半径为∴劣弧DE 的长140=【点睛】本题考查切线的判定，公式．【变式训练3】．如图，线交于E ，连接CD (1)求证：CE AE ⊥；(2)若CD AB ∥，DE 【答案】(1)见解析；【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质，则OC CE ⊥，则90OCE ∠=︒，根据点C 是 BD的中点，等弧所对的圆周角相等可得DAC CAB ∠=∠，根据平行线的判定和性质，即可；（2）连接OD ，根据平行四边形的判定，得四边形AOCE 是平行四边形，根据OA OC =，则平行四边形AOCE 是菱形，则ADO △是等边三角形，根据等边三角形的性质，得60OAD ∠=︒，30DCE ∠=︒；根据直角三角形中，30︒所对的直角边是斜边的一边，得2DE DC =，再根据圆的面积公式，即可．【详解】（1）证明：连接OC ，∵OC CE ⊥，∴90OCE ∠=︒，∵点C 是 BD的中点，∴ CDBC =，∴DAC CAB ∠=∠，∵OA OC =，∴CAB OCA ∠=∠，∴OCA DAC ∠=∠，∴OC AD ∥，∴180AEC OCE ∠+∠=︒，∴90AEC ∠=︒，∴CE AE ⊥．（2）解：连接OD ，∵CD AB ∥，OC AE ∥，∴四边形AOCD 是平行四边形，∵OA OC =，∴平行四边形AOCD 是菱形，∴AD CD OA ==，∴AD OA OD ==，∴ADO △是等边三角形，∴60OAD ∠=︒，∵CD AB ∥，【点睛】本题考查圆，三角形，菱形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线，等边三角形的性质，菱形的判定和性质．【变式训练4】．如图1平分线交O 于点D ，连接(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点235AD =，4DE =，求DG 的长．【答案】(1)90︒；(2)210【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．【详解】（1）解：AB 90ACB ∴∠=︒，AD 为CAB ∠的平分线，AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，在Rt ADB 中，22BD AB =-由（1）得，90BED ∠=︒，课后训练(1)求证：DB DE =：(2)若25AB =，2BE =【答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）由角平分线的定义和圆周角定理可知，可得BED DBE ∠=∠即可证明结论；（2）连接OC 、CD 、OD 进而可知BD DC =，结合22BE =，可得2BD =，可得中，根据22OB OF BD =-成解答．【详解】（1）证明：由圆周角定理可得：∵AE 平分BAC ∠，BE ∴BAE CAD CBD ∠=∠=∠∵BED BAE ABE ∠=∠+∠∴BED DBE ∠=∠．∴BD ED =．（2）解：连接OC 、OD(1)若 AD 的长为43π，求B ∠(2)若6AC =，325BD =，求证：【答案】(1)30B ∠=︒；(2)证明见解析【分析】（1）连接OD ，如图，设出n 得到60AOD ∠=︒，然后根据圆周角定理得到（2）连接AD ，如图，先利用圆周角定理得到245AD =，再计算出185CD =∵ AD 的长为43π，AB 为直径，∴441803n ππ⨯=︒，解得60n =，即60AOD ∠=∴1302B AOD ∠=∠=︒；（2）连接AD ，如图，∵AB 为直径，∴ADB ∠=在Rt ABD 中，AD AB =在Rt ACD 中，CD AC =∴321855BC BD CD =+=+∵8AB =，6AC =，BC =∴222AB AC BC +=，∴ABC 为直角三角形，∠∴BA AC ⊥，而AB 为直径，∴AC 是O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定：考查了圆周角定理、弧长公式和勾股定理的逆定理．3．如图，在ABCD Y 中，A 、垂足为F ．(1)若65A ECB ∠=︒∠，(2)若41OF OD ==，，求【答案】(1)详见解析(2)【分析】（1）连接OB 65A OBA ∠=∠=︒，ABC ∠即可得到OC CE ⊥，又由（2）过点F 作FG AB ∥则AG BF ∥，得四边形则1BC AD x ==+，由垂径定理可得222,BF OF OB +=则x ⎛ ⎝3,AG BF ==则OG OA =∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，OA OB OC A ==∠= ，65A OBA ABC ∴∠=∠=︒∠，∴OCB OBC ABC ∠=∠=∠OCE ECB OCB ∴∠=∠+∠∴OC CE ⊥，OC 是O 的半径，EC ∴是O 的切线(1)求证：CF CG =；(2)如图2，若AF DG =，连接OG ，求证：OG AB ⊥．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）连接AC ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，从而可得∠CAG +∠AGC ＝90°，根据垂直定义可得90CEA ∠=︒，从而可得90FAE AFE ∠+∠=︒，然后根据已知可得 DCDB =，从而可得CAG FAE ∠=∠，进而可得AGC AFE ∠=∠，最后根据对顶角相等可得AFE CFG ∠=∠，从而可得AGC CFG ∠=∠进而根据等角对等边即可解答；（2）连接,AC CD ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得AFC CGD ∠=∠，然后根据SAS 证明AFC DGC ≌，从而可得AC CD =，进而可得 AC DCDB ==，最后根据等弧所对的圆周角相等可得ABC DAB ∠=∠，从而可得GA GB =，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAG AGC ∠+∠=︒，∵CE AB ⊥，∴90CEA ∠=︒，∴90FAE AFE ∠+∠=︒，∵D 为弧BC 的中点，∴ DCDB =，∴CAG FAE ∠=∠，∴AGC AFE ∠=∠，∵AFE CFG ∠=∠，∴AGC CFG ∠=∠，∴CF CG =；（2）解：连接,AC CD ，∵CFG CGF ∠=∠，∴180180CFG ∠∠︒-=︒-∴AFC CGD ∠=∠，∵CF CG =，AF DC =，∴()SAS AFC DGC ≌，∴AC CD =，(1)若10AB =，10OE =(2)求证：EF BD ⊥．【答案】(1)AC 的长为【分析】（1）根据垂径定理可得Rt AOE △中，利用勾股定理求出。
2023年高考数学填选压轴题专题12 双变量不等式类能成立、恒成立问题
专题12 双变量不等式类能成立、恒成立问题【方法点拨】1.∀x 1∈D , ∀x 2∈E,均有f (x 1) >g (x 2)恒成立,则f (x )min > g (x )ma x ； ∀x 1∈D , ∃x 2∈E, 使得f (x 1) >g (x 2)成立,则f (x )m in > g (x ) m in ； ∃x 1∈D , ∃x 2∈E , 使得f (x 1) >g (x 2)成立,则f (x ) ma x > g (x ) min .记忆方法：都任意，大小小大（即对于两个变量都是“任意”的，不等式中较大者的最小值大于不等式中较小者的最大值），存在换任意，大小应互换.2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元，逐一处理”的策略，即选择主次元的方法，一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量（所谓”独立变量”是指与所求参数无关的变量），再处置另一变量,而解题过程中往往采取分参方法.【典型题示例】例1 已知0a >，b R ∈，若()3242||2ax bx ax bx a b x b -+≤+++对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则ba的取值范围是______． 【答案】2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】不等式化为221121b b b b x x a x a a a x -+≤+⋅+⋅+，令1t x x =+，52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得21b b t t a a +≥-，分别讨论0b a =，0b a <，和0ba>时，求最值可得出. 【解析】不等式两边同时除以2ax 得221121b b b bx x a x a a ax -+≤+⋅+⋅+， 整理得2111b b x x a x x a⎛⎫++≥+- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则21b b t t a a +≥-， 由于对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则有21b b t t a a +≥-对任意52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， （1）当0ba=时，1t ≥不成立，不符合题意； （2）当0b a <时，则当52t =时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意， 则255142b b a a ⋅+≥-，解得629b a ≥，与0ba<矛盾，不符合； （3）当0ba>时，①当52b a ≥时，则当2t =时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意， 则412b b a a ⋅+≥-，解得1b a ≥-，∴52b a ≥； ②当02b a <≤时，有21b bt t a a⋅+≥-，即2111b t a t t t ≥=++，则当2t =时，11t t +取得最大值为25，则25b a ≥，225ba ∴≤≤； ③当522b a <<时，211b b t t a a ⋅+>>-恒成立，满足题意，综上所述，b a 的取值范围是2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 例 2 已知函数)10)((log )(2≠-=a a x ax x f a ，且＞，若对]3,2[1∈∀x ，总]4,3[2∈∃x ，使得)8(log )(21x x f a -＞，则实数a 的取值范围是 .【答案】183,,292⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】即[]min min ()log (8)a f x x >-.当1a >时，[]min log (8)log 4a a x -=，故只需()log 4a f x >，所以()2min4ax x ->即24ax x ->对[2,3]x ∀∈恒成立，分参得214a x x >+，令111()32t t x =≤≤，24a t t >+，()()221max23442t a t tt t=>+=+=，故32a >； 当01a <<时，[]min log (8)log 5a a x -=，故只需()log 5a f x >，所以()2max4ax x-<，且()2min0axx->，即205ax x <-<对[2,3]x ∀∈恒成立，分参得2115a x x x<<+，令111()32t t x =≤≤，25t a t t <<+，()()22max 1min3185529t t a t tt t==<<+=+=，故1829a <<； 综上，实数a 的取值范围183,,292⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例3 已知函数xx x f 214)(-=，若对任意]21[1，∈x ，都存在]21[2，∈x 使)(22121x f bx x ≥-成立，则实数b 的取值范围是 . 【解析】由条件可知min min 2)()2(x f bx x ≥-因为()22x xf x -=-，且2xy =、2xy -=-在[1，2]上单调递增所以函数)(x f 在[1，2]上单调递增，23)1()(min ==f x f ， 所以23)2(min 2≥-bx x ，即2322≥-bx x 在]21[，∈x 恒成立， 即x x b 232-≤在]21[，∈x 恒成立，记]2,1[,23)(∈-=x xx x h ， 易证)(x h 在[1,2]上单调递增，所以，21)1()(min -==h x h ，从而只需212-≤b ，即41-≤b . 点评：为避免求函数22y x bx =-最小值时的含参讨论，逆向转化为2322x bx -≥在]21[，∈x 上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手段太重要，意味深长！！ 例4 已知函数()2xf x =，()()()g x f x f x =+，若1x ∀∈(0，+∞)，2x ∃∈[﹣1，0]，使得112(2)()2()0g x ag x g x ++>成立，则实数a 的取值范围是 ．【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分 ，当[1,0]x ∈-时，，，即在上为减函数，故所以，所以恒成立，即恒成立，又时取等号，所以实数点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系.例5 若对任意Rx∈1，存在2(1,2]x∈，使不等式3221222121++≥++mxxxxxx成立，则实数m的取值范围是 .【答案】]21,(-∞【解析一】先视为以“1x”为主元的二次不等式的恒成立，即不等式03)2(2221221≥--+-+mxxxxx在Rx∈1上恒成立，所以0)3(4)2(22222≤----=∆mxxx，即016)44(3222≥---xmx，存在2(1,2]x∈，使不等式016)44(3222≥---xmx成立，再视为以“2x”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，设16)44(3)(2222---=xmxxh，则只需(1)0h>或0)2(≥h，即94m<-或21≤m，所以实数m的取值范围为]21,(-∞.【解析二】先视为以“1x”为主元的二次不等式的恒成立，即不等式03)2(2221221≥--+-+mxxxxx在Rx∈1上恒成立，所以0)3(4)2(22222≤----=∆mxxx，即016)44(3222≥---xmx，存在2(1,2]x∈，使不等式016)44(3222≥---xmx成立，再视为以“2x”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，即016)44(3222≥---xmx在2(1,2]x∈能成立分离变量得2216443m xx-≤-设16()3g x xx=-，则16()3g x xx=-在区间(1,2]上单增，所以max()(2)2g x g==-，故442m-≤-，即12m≤所以实数m的取值范围为]21,(-∞.点评：1． 二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想；2． 解法二用到了“分离参数”构造函数的方法，一般来说，求参变量范围问题，应尽量做到“能分则分”，以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦.例6 设a >0，函数f (x )＝x ＋a 2x，g (x )＝x －ln x ＋4，若对任意的x 1∈[1，e]，存在x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为___________． 【答案】⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【分析】问题可转化为f (x )min ≥g (x )min ，函数g (x )不含参，易求得g (x )min ＝g (1)＝5，接下来的思路有二，一是直接分类讨论求f (x )min ，二是将f (x )min ≥g (x )mi 转化为f (x )＝x ＋a 2x ≥5恒成立，通过分离参数再解决 【解析】 问题可转化为f (x )min ≥g (x )min .当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1－1x ≥0，故g (x )在[1，e]上单调递增，则g (x )min ＝g (1)＝5.思路一：又f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a 2x 2，令f ′(x )＝0，易知x ＝a 是函数f (x )的极小值．当a ≤1时，f (x )min ＝1＋a 2，则1＋a 2≥5，不成立； 当1<a ≤e 时，f (x )min ＝f (a )＝2a ，则2a ≥5，得52≤a ≤e ；当a >e 时，f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e ≥5显然成立，得a 2>5e －e 2，所以a >e.综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，＋∞.思路二：故有f (x )min ≥5，即f (x )＝x ＋a 2x ≥5恒成立，分离参数得a 2≥x （5－ x ），易得[x （5－ x ）]max =254，又a >0，故a ≥52所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，＋∞．例7 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，g (x )＝ax，其中a >0，x ≠0.(1) 对任意的x ∈[1,2]，都有f (x )>g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；【解析】由题意知，f (x )－g (x )>0对x ∈[1,2]恒成立，即x 2－2ax ＋1－ax >0对x ∈[1,2]恒成立，即a <x 3＋x 2x 2＋1对x ∈[1,2]恒成立，令φ(x )＝x 3＋x 2x 2＋1，只需a ＜φ(x )min (x ∈[1,2])．由于φ′(x )＝2x 4＋x 2＋12x 2＋12>0，故φ(x )在x ∈[1,2]上是增函数，φ(x )min ＝φ(1)＝23，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. (2) 对任意的x 1∈[1,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)>g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】 由题意知x 2－2ax ＋1>⎝⎛⎭⎫a x min ＝a 2，即a <2(x 2＋1)4x ＋1对x ∈[1,2]恒成立．令φ(x )＝2(x 2＋1)4x ＋1，则φ′(x )＝8(x 2－1)＋4x(4x ＋1)2>0对x ∈[1,2]恒成立，则φ(x )在[1,2]上是增函数，φ(x )min ＝φ(1)＝45，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，45. 点评：防止误将∀x ∈D ，均有f (x ) >g (x )恒成立，转化为f (x )min > g (x )ma x ，一般应作差构造函数F (x )=f (x )－g (x )，转化为F (x ) min >0恒成立.例8 已知函数()2ln x f x a x x a =+-（0a >且1a ≠），若对任意的12,x x [1,2]∈，不等式122()()1f f a x x a ≤--+恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】)2e ,⎡+∞⎣【分析】求导()()1ln 2'=-+xf x a a x ，分01a <<，1a >，求得()()12max -⎡⎤⎣⎦f x f x ，再根据对任意的1x ，2x [1,2]∈，不等式122()()1f f a x x a ≤--+恒成立求解.【解析】因为函数()2ln xf x a x x a =+-（0a >且1a ≠），所以()()1ln 2'=-+xf x a a x ，当01a <<，[]1,2x ∈时，10,ln 0x a a -<<， 则()0f x '>在[]1,2上成立， 所以()f x []1,2上递增，所以()()()()2max min 242ln ,11ln ==+-==+-f x f a a f x f a a ， 所以()()212max 3ln -=-+-⎡⎤⎣⎦f x f x a a a ，因为任意的1x ，2x [1,2]∈，不等式122()()1f f a x x a ≤--+恒成立，所以2213ln -+≥-+-a a a a a ，即ln 2a ≥，解得2e a ≥，当1a >，[]1,2x ∈时，10,ln 0xa a ->>，则()0f x '>在[]1,2上成立， 所以()f x 在[]1,2上递增，所以()()()()2max min 242ln ,11ln ==+-==+-f x f a a f x f a a ，所以()()212max 3ln -=-+-⎡⎤⎣⎦f x f x a a a ，因为任意的1x ，2x [1,2]∈，不等式122()()1f f a x x a ≤--+恒成立，所以2213ln -+≥-+-a a a a a ，即ln 2a ≥， 解得2e a ≥，综上：实数a 的取值范围为)2e ,⎡+∞⎣， 故答案为：)2e ,⎡+∞⎣【巩固训练】1．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________．2．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．4.函数f (x )＝x 3－12x ＋3，g (x )＝3x －m ，若对∀x 1∈[－1,5]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的最小值是________．5.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3a ，g (x )＝2x －1 .若对任意的x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f (x 1)|≤g (x 2)成立，则实数a 的值为________．6.已知函数f (x )＝12x 2＋x ，g (x )＝ln(x ＋1)－a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＞g (x 2) ，则实数a 的取值范围是 .7. 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．8.若对于[]1,1a ∀∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->都成立，则x 的取值范围是_________.9. 若关于x 的不等式2320x mx m -+-≥在区间[]1,2上有解，则实数m 的取值范围是_________.10.关于x 的一元二次方程21+(+1)0()2x m x m Z +=∈有两个根12x x 、，且满足12013x x <<<<，则实数m 的值是（ ）.A ．－2；B ．－3；C ．－4；D ．－5.11.设函数24()x f x x +=，()x g x xe =，若对任意12,(0,]x x e ∈，不等式()()121g x f x k k≤+恒成立，则正数k 的取值范围为（ ）A ．141,e ee +⎛⎤⎥⎝⎦B ．(],4eC ．10,4e e e +⎛⎤⎥-⎝⎦D ．140,4e e +⎛⎤⎥-⎝⎦12.已知大于1的正数a ，b 满足22ln a nb b e a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则正整数n 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．11【答案或提示】1．【答案】(－∞，0)【解析】f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)． 2．【答案】⎣⎡⎭⎫14，＋∞【解析】当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.3.【答案】 (－∞，1]【解析】由题意知，f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )＝x ＋4x ，所以f ′(x )＝1－4x 2，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝5，又因为g (x )在[2,3]上的最小值为g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1. 4.【答案】14【解析】由f ′(x )＝3x 2－12，可得f (x )在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，∴f (x )min ＝f (2)＝－13，∵g (x )＝3x －m 是增函数，∴g (x )min ＝1－m ， 要满足题意，只需f (x )min ≥g (x )min 即可，解得m ≥14， 故实数m 的最小值是14. 5.【答案】13-6.【答案】 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 【解析】 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎡⎦⎤12，1上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.7.【答案】a ＞－4【分析】问题可转化为f (x )max >g (x )min ，易得f (x )max =4，g (x )min =－a ，由f (x ) ma x > g (x ) min 得：4＞－a ，故a ＞－4即为所求. 点评：理解量词的含义，将原不等式转化为[f (x )]max ≤[g (x )]max ；利用函数的单调性，求f (x )与g (x )的最大值，得关于a 的不等式求得a 的取值范围． 8.【答案】()(),13,-∞⋃+∞ 9.【答案】[)2,-+∞【解析】对不等式2320x mx m -+-≥分离参数得：223x m x -≥- 设22()3x g x x -=-（[]1,2x ∈），则min ()m g x ≥令3(12)x t t -=≤≤，则2(3)27()()6t g t t t t--==-++-函数7t t +在区间[]1,2t ∈单减，故max78t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，min ()(1)2g t g ==- 所以2m ≥-，即实数m 的取值范围是[)2,-+∞. 10.【答案】BC上的最大值代入可解得结果. 【解析】因为2224()f x x x =+在(0,2)上递减，在(2,]e 上递增， 所以当22x =时，2()f x 取得最小值(2)4f =，因为111()xg x x e =，所以111111()(1)xxxg x e x e x e '=+=+，当1(0,]x e ∈时，1()0g x '>，所以111()xg x x e =在(0,]e 上单调递增，所以1()g x 的最大值为()·eg e e e =， 因为对任意12,(0,]x x e ∈，不等式()()121g x f x k k≤+恒成立， 所以12max min ()()1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，因为0k >，所以·41ee e k k≤+，解得1404e k e +<≤-. 故选：D 12.【答案】C【分析】22ln n a n b b e a <等价于22ln a n n b e b a <，令()2ln n x f x x =，()2xn e g x x=，分别求()f x ，()g x 的导数，判断函数的单调性，可求得()f x 有最大值2222n n f e e ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭，()g x 有最小值22nnn e g n ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据题意，即求()()maxmin f x g x ≤，代入为2222n n e n e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤⎛⎫⎪⎝⎭，等价于2ln 22n n n +≥-，令()2ln 22x xx x ϕ+=--，即求()0x ϕ>的最大的正整数.对()x ϕ求导求单调性，可知()x ϕ单调递减，代入数值计算即可求出结果.【解析】由题干条件可知：22ln n a n b b e a <等价于22ln an n b e b a<，令()2ln n x f x x =，()1x >，则()121ln (2ln )ln (2ln )'n n n x x n x x n x f x x x-+⋅--== ()'0f x =，2n x e = ，当()'0f x >时，21,n x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()'0f x <时，2,n x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭所以()f x 在21,n e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,n e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 有最大值 2222n n f e e ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭. 令()2xn e g x x =，()1x >，则()()222'x ne x n g x x -=，当12n ≤时，此题无解，所以12n >， 则()'0,2n g x x ==，当()'0,2n g x x >>，当()'0,12ng x x <<<， 所以()g x 在1,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()g x 有最小值22nn n e g n ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭.若22ln a n n b e b a <成立，只需22n n f e g ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2222n n e n e n ⎛⎫⎪⎝⎭≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，即222n n n e -+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 两边取对数可得：22)ln 2(n n n +≥-.2n =时，等式成立，当3n ≥时，有2ln 22n n n +≥-， 令()2ln 22x xx x ϕ+=--，本题即求()0x ϕ>的最大的正整数. ()241'0(2)x x xϕ-=-<-恒成立，则()x ϕ在[)3,+∞上单调递减， ()58ln 403ϕ=->，()1199ln 1.5714 1.51072ϕ=-≈->，()310ln 502ϕ=-<， 所以()0x ϕ>的最大正整数为9. 故选：C.。
专题12解题技巧专题不等式(组)中含参数问题压轴题五种模型全(原卷版)
专题12 解题技巧专题：不等式(组)中含参数问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 .................................................................................................................................................. 1 【类型一 根据不等式(组)的解集求参数】..................................................................................................... 1 【类型二 利用整数解求参数的取值范围】..................................................................................................... 1 【类型三 根据不等式(组)的解集的情况求参数的取值范围】 ..................................................................... 2 【类型四 整式方程(组)与不等式(组)结合求参数】 ..................................................................................... 2 【类型五 分式方程与不等式(组)结合求参数】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【类型一 根据不等式(组)的解集求参数】例题：（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）已知关于x 的不等式1x a ->的解集如图所示，则a 的值等于______【变式训练】1．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）若关于x 的不等式()22a x a ->-的解集是1x <，则a 满足（ ） A ．a<0B ．2a >C ．2a <D ．2a ≠2．（2023春·七年级课时练习）已知不等式组211x m nx m +>+⎧⎨-<-⎩的解集为12x -<<，则n m 的值为__________．【类型二 利用整数解求参数的取值范围】例题：（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）若关于x 的不等式组3211x x m -≥⎧⎨≥+⎩共有2个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．1m =-B ．21m -<≤-C ．21m -≤≤-D ．1m <-【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）已知关于x 的不等式21x a +≤只有3个正整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．75a -<≤-B ．75a -<<-C ．75a -≤<-D ．5a ≤-2．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有四个整数解，那么m的取值范围为（ ） A ．1m ≥- B ．0m <C ．10m -≤<D ．10m -<≤【类型三 根据不等式(组)的解集的情况求参数的取值范围】【变式训练】1．（2023春·全国·八年级阶段练习）若不等式组3x ax >⎧⎨≥-⎩的解集为x a >，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．3a ≤C ．3a >-D ．3a ≥-2．（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式组>162>0x a x -⎧⎨-⎩的解集为13x <<，则=a __________．【类型四 整式方程(组)与不等式(组)结合求参数】例题：（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知关于x y 、的二元一次方程组22124x y m x y m +=-⎧⎨+=+⎩的解满足24x y x y +>⎧⎨-<⎩，则m 的取值范围是______． 【变式训练】解为正整数，则满足条件的所有整数a 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2023春·四川成都·八年级成都市第二十中学校校考阶段练习）若方程组2321x y x y m -=⎧⎨-+=-⎩的解,x y 满足5x y +>，则m 的取值范围为_________．【类型五 分式方程与不等式(组)结合求参数】A ．8B ．24C ．14D ．28【变式训练】【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知关于x 的不等式231x a -≤-的解集在数轴上表示如图所示，11A ．2m ≤B ．2m ≥C ．>2mD ．2m <3．（2023春·山东济宁·七年级统考期末）如果不等式组21600x x m -<⎧⎨->⎩有且仅有3个整数解，那么m 的取值范围是（ ） A ．45m ≤≤B ．45m ≤<C ．45m <<D ．45m <≤4．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，则a b +为（ ）A ．15B ．17C ．18D ．226．（2023春·河北承德·七年级统考期末）已知关于x 的不等式组11x x a >⎧⎨≤-⎩，下列四个结论：①若它的解集是12x <≤，则3a =；②当2a =，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a 的取值范围是56a ≤<； ④若它无解，则2a ≤． 其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题三、解答题a的取值范围．14．（2023春·四川广元·七年级统考期末）已知方程组21242x y ax y a-=+⎧⎨+=+⎩的解满足13x y-<+≤．。
专题12 电荷间的相互作用规律-2021高考物理一轮复习压轴题剖析(电磁学部分)(解析版)
专题12电荷间的相互作用规律压轴题一、单选题1．如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为0k 的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A 球连接。
A 、B 、C 三小球的质量均为M ，A 00q q =>，B 0q q =-，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。
已知静电力常量为k ，则（）A ．0C 47q q =B ．弹簧伸长量为sin Mg k αC ．A 球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为q 【答案】A【解析】AD ．三小球间距r 均相等，对C 球受力分析可知C 球带正电，根据平衡条件：0C 0C22sin (2)q q q q Mg kk r r α+=对B 小球受力分析，根据平衡条件：20C 022sin q q q Mg k k r rα+=两式联立解得：0C 47q q =，r q =A 正确，D 错误；B ．对A 、B 、C 三小球整体受力分析，根据平衡条件：03sin Mg k xα=弹簧伸长量：03sin Mg x k α=，故B 错误；C ．对A 球受力分析，根据平衡条件：sin Mg F kx α+=库解得A 球受到的库仑力为：2sin F Mg α=库故选A ．2．如图所示质量为m 、电荷量为q 的带电小球A 用绝缘细线悬挂于O 点，带有电荷量也为q 的小球B 固定在O 点正下方绝缘柱上.其中O 点与小球A 的间距为l ．O 点与小球B ，当小球A 平衡时，悬线与竖直方向夹角30θ=︒，带电小球A 、B 均可视为点电荷，静电力常量为k ，则()A ．A 、B 间库仑力大小222kq F l=B ．A 、B 间库仑力3F =C ．细线拉力大小223T kq F l=D ．细线拉力大小T F =【答案】B【解析】A 的受力如图所示，几何三角形OAB 与力三角形相似，由对应边成比例T F mg =，则3T F =，由余弦定律AB l ==，则2233T kq F F l===，故B 正确．3．如图所示，两个相同的小球AB 用等长的绝缘细线悬挂在竖直绝缘的墙壁上的O 点，将两小球分别带上同种电荷，其中小球A 的电荷量为q 1，由于库仑力，细线OA 恰好水平．缓慢释放小球A 的电荷量，当细线OA 与竖直方向夹角为60°时，小球A 的电荷量为q 2．若小球B 的电荷量始终保持不变，则q 1：q 2的值为（）A．BC:1D．【答案】D【解析】受力分析如图所示，利用相似三角形可知2sin 2C F mg L L θ=，由库仑定律可知22sin 2C kQqF L θ=（），可得q =238sin 2mgL kQ θ，即331212:sin:sin :122q q θθ==，故D 正确；ABC 错误；故选D 4．如图所示，A 、B 是两个带异号电荷的小球，其质量相等，所带电荷量分别为q 1，q 2，A 球刚绝缘细线悬挂于O 点，A 、B 球用绝缘细线相连，两细线长度相等，整个装置处于水平匀强电场中，平衡时，两细线张紧，且B 球恰好处于O 点正下方，则可以判定，A 、B 两球所带电荷量的关系为（）A ．q l =-q 2B ．q l =-2q 2C ．2q 1=-q 2D ．q 1=-3q 2【答案】D【解析】设OA 绳子对A 球的作用力为1F ，AB 球之间的作用力为2F ，对A 和B 整体分析，有平衡条件可得1cos 2F mg θ=，112sin F q E q E θ=-，对B 球受力分析，有平衡条件可得2cos F mg θ=，22sin F q E θ=，由以上4式可得两球的电荷量的关系为123q q =，又因为两球是异种电荷，所以D 正确．5．A 、B 两带电小球，质量分别为m A 、m B ，电荷量分别为q A 、q B ，用绝缘不可伸长的细线如图悬挂，静止时A 、B 两球处于同一水平面．若B 对A 及A 对B 的库仑力分别为F A 、F B ，则下列判断正确的是（）A ．F A <F BB ．AC 细线对A 的拉力2ATA m F g =C ．OC 细线的拉力F TC =(m A +m B )gD ．同时烧断AC 、BC 细线后，A 、B 在竖直方向的加速度不相同【答案】C【解析】A 、两球间的库仑力是作用力与反作用力，大小一定相等，与两个球是否带电量相等无关，故A 错误；B 、对小球A 受力分析，受重力、静电力、拉力，如图：根据平衡条件，则有：30A TA m g F cos =︒，因此：233TA A F m g =，故B 错误；C 、由整体法可知，细线OC 的拉力等于两球的重力，故C 正确；D 、同时烧断AC 、BC 细线后，A.B 在竖直方向重力不变，所以加速度相同，故D 错误；故选C ．6．用等长的两根轻质绝缘细线，把两个带异种电荷的小球a 、b 悬挂起来，已知2a b m m =，3a b q q =，如果该区间加一水平向右的匀强电场，且绳始终拉紧．最后达到的平衡状态可以表示为图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对整体分析，整体的受力分析图如左图所示，可知绳子拉力方向斜向左上方，与竖直方向的夹角：2tan 3qEmgα=；隔离对b 分析，b 受力图如右图所示，绳子拉力方向斜向右上方．绳子与竖直方向的夹角tan tan qEmgβα=>，即β>α，所以b 球处于虚线左侧位置．故A 正确，BCD 错误．故选A ．7．如图a 所示是卡文迪许扭秤实验（实验Ⅰ）和库伦扭秤实验（实验Ⅱ）的原理图，同学们在仔细观察这两个实验后发现：实验Ⅰ测量的是两组质量为分别为M 和m 的两球之间的引力；实验Ⅱ测量的只有一组点电荷Q 与q 之间的引力，扭秤另外一端小球不带电．分析两实验的区别，同学们发表了以下观点，正确的是：（）A ．甲同学认为：实验Ⅰ需要两组小球而实验Ⅱ只需要一组带电小球的原因是质点间的万有引力很小，而电荷间的静电力很大B ．乙同学认为：实验Ⅰ需要两组小球而实验Ⅱ只需要一组带电小球的原因是实验Ⅰ是在空气中完成的，而实验Ⅱ需要在真空进行C ．丙同学认为：在实验Ⅰ中若只用一组小球进行实验，如图b 所示，则对实验结果并无影响D ．丁同学认为：在实验Ⅱ中无论用两组还是一组带电小球进行实验，对实验结果并无影响，但在实验Ⅰ中若按图b 只用一组小球进行实验，则对实验结果产生较大影响【答案】D【解析】在实验Ⅰ中必须要有两组小球，假设只有一组小球，则受力情况如图所示：此时扭称无法扭转，实验无法完成．实验Ⅱ中，由于另一个小球不带电，故一组带点小球也可完成实验．故D 正确，ABC 错误．8．如图所示，直径为L 的光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，电荷量为q 1、q 2的两个正点电荷分别置于半圆环的两个端点A 、B 处，半圆环上穿着一带正电的小球（可视为点电荷），小球静止时位于P 点，PA 与AB 间的夹角为α．若不计小球的重力，下列关系式中正确的是（）A ．321tan q q α=B ．221tan q q α=C ．312tan q q α=D ．212tan q q α=【答案】A【解析】对小球进行受力分析如图所示：根据库仑定律有：F 1=k 121 q q r ，r 1=Lcosα…①F 2=k 222q q r ，r 2=Lsinα…②根据平衡条件有：F 1sinα=F 2cosα…③联立①②③解得：tan 3α=21q q ，故BCD 错误，A 正确．故选A ．二、多选题9．如图所示，绝缘底座上固定一电荷量为8×10-6C 的带正电小球A ，其正上方O 点处用轻细弹簧悬挂一质量为m =0.06kg 、电荷量大小为2×10-6C 的小球B ，弹簧的劲度系数为k =5N/m ，原长为L 0=0.3m 。
2024年中考数学二次函数压轴题专题12菱形的存在性问题(学生版)
专题12菱形的存在性问题_、知识导航作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四边都相等的四边形是菱形.坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直"或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCQ是菱形，则其4个点坐标需满足：工人++X D<Zi+%=%+为W a-乌尸+(为-％尸=j(Xc-乌尸+(%-无尸考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.即才艮据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：(1)2个定点+1个半动点+1个全动点(2)1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1:先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+O8+Q”(AC、BQ为对角线)，再结合一组邻边相等，得到方程组.思路2:先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.1.看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1）,B点坐标为（5,4）,点。
在尤轴上，点。
在平面中，求。
点坐标，使得以A、B、C＞。
为顶点的四边形是菱形.2BA思路1：先平四，再菱形设。
点坐标为（秫，0）,。
点坐标为（p,q）.（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CQ互相平分及AC=BC）l+5=m+p<1+4=0+q,解得: (m-1)2+(0-1)2=(m-5)2+(0-4)239 m=一89 p=-8 g=5（2）当AC对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）1+秫=5+p m=2fm=8l+0=4+g,解得：<Q=-2或<p=4(1-5)2+(1—4)2=(秫—5)2+(0—4)2q=—3q=—3（3）当AD为对角线时，由题意得：1+p=5+m m=1+2^/^m=1-2^6 l+q=4+0,解得：L=5+2#<L=5-2^ (1-5)2+(1—4)2=(1—弑+(1—0)2q=3q—3思路2:先等腰，再菱形先求点G点C满足由A、B、。
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专题12 压轴题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB 于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是2．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是A．y=–（x+1）2+2 B．y=–（x–1）2+4C．y=–（x–1）2+2 D．y=–（x+1）2+43．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤4．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是A．4.8 B．5C．6 D．7.25．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为A．6 B．C．2 D．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（1-，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④若点A（–3，y1）、点B（12-，y2）、点C（72，y3）在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤若方程a（x+1）（x–5）=–3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1<–1<5<x2．其中正确的结论有A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是A．CE B．CE DEC．CE=3DE D．CE=2DE8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CADA．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．已知点D为∠ABC的一边BC上一定点，且BD=5，线段PQ在∠ABC另一边AB上移动且PQ=2，若sin∠B=35，则当∠PDQ达到最大值时PD的长为__________．10．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x–6上时，线段BC扫过的面积为．11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=CB=12，∠ABC=90°，点D为AC上一点，tan∠ADB=3，过D作ED ⊥BD，且DE=BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为__________．12．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．以下结论：①△CMP ∽△BPA ；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM 的最小值为ABP ≌△ADN 时，BP =4．其中正确结论的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C 1：y =23622x x ++的顶点为M ，与y 轴相交于点N ，先将抛物线C 1沿x 轴翻折，再向右平移p 个单位长度后得到抛物线C 2，直线l ：y =kx +b 经过M ，N 两点． （1）结合图象，直接写出不等式23622x x kx b ++<+的解集；（2）若抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，求p 的值及抛物线C 2的解析式；（3）若直线l 沿y 轴向下平移q 个单位长度后，与（2）中的抛物线C 2存在公共点，求34q -的最大值．14．如图，平面直角坐标系中，O 为菱形ABCD 的对称中心，已知C （2，0），D （0，–1），N 为线段CD 上一点（不与C 、D 重合）．（1）求以C 为顶点，且经过点D 的抛物线解析式；（2）设N关于BD的对称点为N1，N关于BC的对称点为N2，求证：△N1BN2∽△ABC；（3）求（2）中N1N2的最小值；（4）过点N作y轴的平行线交（1）中的抛物线于点P，点Q为直线AB上的一个动点，且∠PQA= ∠BAC，求当PQ最小时点Q坐标．15．问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是__________；探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP=4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．参考答案 一、选择题 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B 二、填空题9． 10．【答案】16 11．【答案】2 12．【答案】①②⑤ 三、解答题13．【解析】（1）∵y =23622x x ++=23(2)42x +-，∴M （2-， 4-）．（2分）观察函数图象，可以发现：当20x -<<时，抛物线C 1在直线l 的下方， ∴不等式23622x x kx b ++<+的解集为20x -<<．（3分）（3）令y =23622x x ++中x =0，则y =2，∴N （0，2）；将M （2-，4-）、N （0，2）代入y =kx +b 中，得242k b b -+=-⎧⎨=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩，∴直线l 的解析式为32y x =+．（8分）∵若直线l 沿y 轴向下平移q 个单位长度后与抛物线C 2存在公共点， ∴方程2362322x x x q -+-=+-有实数根，即236820x x q -+-=有实数根，∴2(6)43(82)60240q q ∆=--⨯⨯-=-+≥，解得：52q ≥．（10分） ∵40-<，∴当q =52时，34q -有最大值，最大值为53431072-⨯=-=-．（12分） 14．【解析】（1）由已知，设抛物线解析式为y =a （x –2）2． 把D （0，–1）代入，得a =–14， ∴y =–14（x –2）2； （2）如图1，连接BN ．∵N 1，N 2是N 的对称点，∴BN 1=BN 2=BN ，∠N 1BD =∠NBD ，∠NBC =∠N 2BC ，∴∠N 1BN 2=2∠DBC ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∠ABC =2∠DBC ， ∴∠ABC =∠N 1BN 2，1AB BN =2BCBN ，∴△ABC ∽△N 1BN 2； （3）∵点N 是CD 上的动点，根据点到直线的距离，垂线段最短， 得当BN ⊥CD 时，BN 最短． ∵C （2，0），D （0，–1）∴CDBN min=×BD CO CDBN 1min =BN min∵△ABC ∽△N 1BN 2，∴1AB BN =12 AC N N ，∴N 1N 2min =165； （4）如图2，不妨设P （m ，–14（m –2）2），则E （m ，12m +1）， ∴PE =14m 2–12m +2，∴当m =1时，PE min =74，∴P （1，–14），∴Q 1（–52，–14）．此时，PQ 1最小，最小值为1–（–52）=72，∴PQ 1=PQ 2=72．设Q 2（n ，12n +1），∵P （1，–14），∴PQ 272， ∴n =–52或n =3110，∴Q 2（3110，5120），∴满足条件的Q（–52，–14）或（3110，5120）．15．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，边长为4，∴AC⊥BD，AC=BD，∴当P与O重合时，PA的值最小最小值，当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，∴≤PA≤4．故答案为≤PA≤4．（2）存在．理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．∵PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF，∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，∵∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，∴∠EAF=2∠BAC=90°，∵PA =PE =PF ，∴△EAF 是等腰直角三角形，∵PA EF 的最小值为2， ∴△PMN 的周长的最小值为2．∴△AMN 的面积最小时，四边形AMPN 的面积最大，易知当PA ⊥MN 时，△AMN 的面积最小，此时OA ，OM =ON =OP =4–∴MN =8–，∴S △AMN =12×（8––8，∴四边形AMPN 的面积的最大值=8–（–8）=16–．。