20191128有限元讲稿第四章等效载荷rev4

2020/5/8
11
（4）结构整体刚度矩阵的集成
利用这个结果，将相应的子阵代入总刚阵计算式中，经整理后可得该结构的 总刚度矩阵为如下形式：
1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
2 0 2
0
0
0
0
0
0
0
0
6 1 4 1 1 1 0 1 0 0
6 1 2 0 2 1
0
0
0
节点i只沿y方向移动单位1； 而其余两节点j,k为铰支约束
2、由于位移模式为线性函数变化， 当节点i移动后，单元内部bi线段上 各点位移均按直线移动，即变形后 仍为直线bi’；
3、重力W作用在形心： bc/bi=1/3
当ii’=1，则形心c沿y移动： c’c/ii’=bc/bi=1/3
2020/5/8
6 1 0 0 2 1 0 1
[K
]
Et 4
6 0 0 1 4 0 0
3
1 2 1 0
0
对称
3 0 1 0 0 6 1 2 1
6 0 1
2
0
1
2020/5/8
12
（4）结构整体刚度矩阵的集成
最后获得的线性代数方程为：
1 0 1 1 0
2 0 2
0
1 0
0 0
0 0
kkijmm
kmi kmj kmm
注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点编 号的对应关系：
(i, j, m)=(5, 3, 2)
当许多单元共用一个节点时，作用在
该节点的合力就是每个单元刚阵中具
6
有相同下标子矩阵[kij]的迭加，也就是 总刚阵中具有相同下标的元素，即：
Kij [kij]e
Fy3 Fx4
对称
3
0 6
1 1
0 2
0 1
v4
u5
Fy4 Fx5
6
0 2
1
0
v5
u6
Fy5
Fx6
1 v6
Fy6
2020/5/8
13
（5）代入边界条件
在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程： [K]{}={R}
式中，{}为全部节点位移列阵，{R}为全部节点载荷列阵。但由于没有代入边 界条件，这个方程组的解是不确定的。
2j
X2
m i
m3 3 ji
[K52]=[k52](2)+[k52](3),[K53]=[k53](3)+[k53](4),[K54]=[k54](2)， [K55]=[k55](2)+[k55](3)+[k33](4)，[K56]=[k56](4)
a
4j 2
4
i m
j
5
[K63]=[k63](4)，[K65]=[k65](4)，[K66]=[k66](4)；
3
（3）等效节点载荷的计算
几种载荷的等效节点载荷计算。考虑单元中某一点(x,y)作用有集中载荷P：
{P}=[px, py]T 对应等效节点载荷列阵为：
{R}e=[Xi, Yi, Xj, Yj, Xk, Yk]T 单元内部产生虚位移，集中载荷作用点(x,y)的虚位移为：
对应节点虚位移为：
{f}=[u, v]T
从线性代数理论上讲，上述线性方程组是奇异的，即线性代数方程组的系数 矩阵的行列式的值为零det[K]=0，因此线性代数方程组无法求解。
这一点从力学意义上理解，是因为采用位移法求解时，如果对受载结构不引 入符合实际的几何约束条件，则该结构将产生没有限制的刚体运动，显然解是 不确定的。这一点反映在数学上，总刚度矩阵[K]是奇异的，即它的行列式的 值为零，因而其逆阵不存在。
{}e=[ui, vi, uj, vj, uk, vk]T 由位移模式有：
利用虚位移原理可得：
{f}=[N]{}e
({}e)T{R}e={f}T{P}=([N]{}e)T{P} 利用矩阵乘积逆序法则：
({}e)T{R}e=({}e)T[N]T{P} 由于虚位移是任意的，则有：
{R}e=[N]T{P}
2020/5/8
1
（3）等效节点载荷的计算
有限元法是以节点处的“力平衡条件”建立求解方程的，因此当单元内 部存在体力或边界上存在面力时，必须通过某种方式将这些载荷转移变 换到单元的节点处。
在有限元法中，采用“静力等效原则”进行等效节点载荷计算。所谓“ 静力等效原则”是指，对任意虚位移，原来载荷与转换后的节点载荷在 同一虚位移上的虚功相等。
e
2020/5/8
8
（4）结构整体刚度矩阵的集成
建立每个单元的刚度矩阵，如对单元③可表示为：
k(3) kkijii
kmi
kij kjj
kkijmm
kmj kmm
注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点编 号的对应关系：
(i, j, m)=(5, 3, 2)
其中，[kii]=[k55]表示单元③的节点5作用单位位移时在节点5产生的节点力； 它应与总刚阵子阵[K55]迭加； [kij]=[k53]表示单元③的节点3作用单位位移时在节点5产生的节点力；它应与 总刚阵子阵[K53]迭加； [kij]=[k52]表示单元③的节点2作用单位位移时在节点5产生的节点力；它应与 总刚阵子阵[K52]迭加等，
当单元的尺寸越来越小时，每个单元内的应变应趋于一个确定的值。因此 对有限区域（元）讲，所选择位移模式必须包含能描述上述特性的函数项，即 包括两部分：一部分能给出常应变，另一部分给出与坐标有关的应变，即变量 应变。由于变量应变随单元尺寸减小逐渐变小，因此常应变项为应变的主要部 分。即位移模式至少需包含线性函数项。
3）位移模式应反映实际结构位移的连续性
位移的连续性包括两方面要求：一是每个单元在整体结构变形后仍能保持 为一个连续的构件；二是相邻单元的共同边界在变形后仍是连续的，不会发生 脱离和重叠现象。这就需要假设位移模式必须是坐标的单值连续函数。
2020/5/8
17
（8）精度较高的平面单元简介
如前所述，线性位移模式的单元为常应变单元，当单元尺寸较大时会产生明 显误差。为减少离散化带来的误差，使所求得位移和应力能更好反映真实状态 ，可采用具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单元。
16
（7）有限元数值解的收敛准则
在此我们从物理意义对位移模式的要求作一分析： 1）位移模式必须能反映单元的刚性位移
单元的刚性位移是指平移和转动，与单元的内部变形无关，它是由于其他 单元发生了变形后而连带发生的，因此要正确反映单元的位移形态，位移模式 中必须包含反映单元刚性位移的函数项，即常数项。
2）位移模式必须能反映单元的常应变项
2020/5/8
9
（4）结构整体刚度矩阵的集成
即“相同下标的单元子阵元素相加”就可以得到该结构的总刚度矩阵元素为
：
1 Y1
X1 i
a
1
[K11]=[k11](1)，[K12]=[k12](1) ，[K13]=[k13](1)； [K21]=[k21](1)，[K22]=[k22](1)+ [k22](2)+ [k22](3)，[K23]=[k23](1)+ [k23](3)； [K31]=[k31](1)，[K32]=[k32](1)+ [k32](3)，[K33]=[k33](1)+ [k33](3)+ [k33](4)； [K42]=[k42](2)，[K44]=[k44](2)，[K45]=[k45](2)；
2020/5/8
2Biblioteka Baidu
（3）等效节点载荷的计算
设有一均质、等厚度的三角形单元i,j,k受重力W的作用，其合力作用在 单元的形心，试根据静力等效原则求转换到节点上的等效载荷。
j y
b
m
c’ c
Yi
i’
W
i
o
x
4、所以可得：
-W1/3=Yi1，Yi=W/3； 同理可得：
Yj=W/3，Yk=W/3；
1、假设单元产生以下几何容许的虚 位移：
a
4j 2
4
i mj
5
m
6
a
a
2020/5/8
6
（4）结构整体刚度矩阵的集成
按节点编号列出总刚阵结构，每一个子阵先用零表示：
1 Y1
X1 i
a
1
2j
X2
m i
a 4j 2
K11 K21
K12 K22
K13 K23
K14 K24
K15 K25
K16 U1=1 K26U2=0
FF12
K K3411
对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。
2020/5/8
18
（8）精度较高的平面单元简介
矩形平面单元：
以矩形四个角点作为节点，节点局部标号用(i, j, k, m)表示，为简单起见
，坐标系选在矩形单元的中心，如图所示。
vm
2020/5/8
4
（3）等效节点载荷的计算
如果单元上有体力作用，沿x,y方向的体力分量为{P}=[X, Y]T，相当于在点 (x,y)处作用集中力为{P}tdxdy，则等效节点载荷为：
Re [N]T{P}tdxdy
V
如果单元某边界受有面力q作用，沿x,y方向的面力分量为{q}=[qx, qy]T，若 将微元体tds上的面力qtds当作集中载荷P，相当于在边界点(x,y)处作用集中 力为P={q}tds，则等效节点载荷为：
Et
4
6
1 6
0 0 3
0 2 1 0 0 1 4 0 1 2 1 0
1 0 0
u
3
uv34
Fx3
Fy3 Fx4
对称
3
0 6
1 1
0 2
0 1
v4
u5
Fy4 Fx5
6
0 2
1
0
v5
u6
Fy5
Fx6
1 v6
Fy6
2020/5/8
Re [N]T{q}tds
ij
2020/5/8
5
（4）结构整体刚度矩阵的集成
对结构分析建立整体刚度矩阵的方法，是利用单元“节点的平衡方程”。
用具体例题说明如下。
1 Y1
由于该结构有6个节点，节点自 由度为12，即需要确定的节点位
X1 i
a
1
2j
X2
m i
m3 3 ji
移参量为12个，应列出12个线性 方程。这样，线性方程组的系数 矩阵，也即总刚度矩阵有1212 个元素，按(x, y)分块后有66子 矩阵。
因此对结构受力分析，要使有限元模型能够求解，必须保证至少有一 个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。
2020/5/8
14
（6）总刚度矩阵的特点
总刚度矩阵具有以下特点： 1）对称性
很容易证明，总刚度矩阵是个对称矩阵。利用对称性，有限元程序只需存 储对角线元素以上的部分即可，这样将节约一半的存储空间。
2）稀疏性 总刚度矩阵是一个稀疏矩阵，其绝大部分元素都是零，非零元素只占总元
素的很少一部分。对稀疏矩阵线性方程组，已建立了许多有效求解方法。在有 限元程序中，只需存储非零元素，这样又可大大减少存储量，提高计算效率。
3）带状分布
总刚度矩阵中的非零元素呈斜带状区域，对称分布在主对角线的两侧。总刚 阵中每行包括主对角线元素的“半带中”非零元素的个数，称为“半带宽”。 应充分利用有效的节点编号方法，减小半带宽度，提高有限元程序计算效率。
2020/5/8
15
（4）结构整体刚度矩阵的集成
最后获得的线性代数方程为：
1 0 1 1 0
2 0 2
0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 u1
0
v1
Fx1 Fy1
6
1 4 1 1 1 0 6 1 2 0 2 1
1 0
0 0
0 0
uv22
Fx2 Fy2
0 0
0 0
0 0
0 u1
0
v1
Fx1 Fy1
6
1 4 1 1 1 0 6 1 2 0 2 1
1 0
0 0
0 0
uv22
Fx2 Fy2
Et
4
6
1 6
0 0 3
0 2 1 0 0 1 4 0 1 2 1 0
1 0 0
u
3
uv34
Fx3
m
6
a
a
2020/5/8
10
（4）结构整体刚度矩阵的集成
如果取泊松比=0，可得单元①、②、③、④的单元刚度矩阵是相同的，均 为如下形式：
1 0 1 1 0 1
0
2
0 2 0
0
[k]e
Et1 4 1
0 2
3 1
1 2 1 3 0 1,(e1,2,3,4)
0 0 2 0 2 0
1 0 1 1 0 1
K32 K42
K33 K43
K34 K54
K35 K45
KK3466U U43==00
FF43
m3 3 ji
K K5611
K52 K62
K53 K63
K54 K64
K55 K65
KK5666U U65==00
F5 F6
如果取U1=1，其余U2=…=U6=0,则有：
4
i m
j
5
m
6
[K11}=F1； [K21]=F2；
…
[K61]=F6；
a
a
则[K11]表示节点1作用单位1位移时，
在节点1产生的载荷，其余类推。
2020/5/8
7
（4）结构整体刚度矩阵的集成
建立每个单元的刚度矩阵，如对单元③可表示为：
1 Y1 X1 i
a
1
2j
X2
m i
m3 3 ji
a
4j 2
4
i m
j
m
5
a
a
k(3) kkijii
kij kjj