专升本练习题(综合2)

四川工业科技学院专升本复习题

（综合2）

（100分钟完卷）

一、选择题 1.若函数⎪⎩⎪

⎨⎧>+≤=0,sin 0,3)(x a x

x x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （c ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2.当0→x 时，与函数2)(x x f =是等价无穷小的是（ A 等价为x 方 ） A. )1ln(2x + B. x sin C. x tan D. x cos 1-

3.设)(x f y =可导，则'-)]([x e f =（ D ）

A. )(x e f -'

B. )(x e f -'-

C. )(x x e f e --'

D. )(x x e f e --'-

4.设x 1

是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f x )(3（ B ）

A. C x +2

2

1 B. C x +-221 C. C x +331 D. C x x +ln 414

5.下列级数中收敛的是（ C ）

A. ∑∞

=-1

374n n n

n B.

∑

∞

=-1

2

31

n n C. ∑∞

=1

3

2n n n D. ∑∞

=1

21

sin

n n

6.交换⎰⎰⎰⎰+=1

02

12

11

2

1),(),(y

y y dx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则下列各项正确的是

（ b ） A.

⎰⎰

1

22),(x x

dy y x f dx B.

⎰⎰

10

22

),(x x dy y x f dy

C.

⎰

⎰2

1

22

),(x x

dy y x f dx D.

⎰

⎰

21

22

),(x x dy y x f dx

二、填空题

1．设函数2

1613

1arcsin x

x y --

-=，则函数的定义域为 [-2,4) .

2．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标是 (1,0) 曲线求导即为斜率 .

3．设函数x x y arctan =，则=''y 求得 .

4．

=+⎰

dx x

x 2012

)1(ln 把那个1忽略掉，一阶导逆

球

. 5．=⎰∞

++-dx xe x 01= .

6．幂级数∑∞

=-15

)2(n n

n

n x 的收敛域为 .

7．设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，且，032=--E A A 则=--1)2(E A .

8．设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=100101110A ，记1-A 表示

A 的逆矩阵, *A 表示A 的伴随矩阵,则

专业______________ 班级______________ 姓名____________________________

1

=-*1)(A . 三、计算题： 1．计算极限x

x

x x 2

0tan sin lim

-→. 2．求由方程xy y x

=确定的隐函数的导数

dx

dy .

3．计算定积分⎰

-22

2

2

1

1dx x x

4．求微分方程02=--'x

e y y 的通解.

5．计算二重积分⎰⎰D

yd x σ2,其中D 是由直线222===xy x y x 和、所围成的区域.

6．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=320031101A ，,231⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=B 且满足X B A B AX +=+2,求矩阵

X .

7．设行列式1

3

2

1

312132113211

)(++++=x x x x x D ,求)(x D 在0=x 处的导数D(0).

四、证明题与应用题。

1．设)(2y

x f xy u =，其中)(t f 可微，u y z

y x z x 3:=∂∂+∂∂证明.

2．设D 是由曲线e x x y ==,ln 及x 轴所围成的的平面区域 求: (1) 平面区域D 的面积S ;

(2) D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积V ． 3．证明不等式：当e b a >>时，)71828.2(ln ln ≈<

a

a b a

b

.

专升本练习题（综合2）

一、CADBCB 二、1、)4,2[-2、

)0,1(3、

2

2)1(2

x +

4、C x ++2013

)1(ln 2013

5、e

6、)7,3[-

7、E A +

8、⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛----100101110

1、解：由)0()00()00(f f f =-=+得231=⇒=+a a ,故选C.

2、解：由11ln(lim 1ln()(lim )

22

0)20=+=+→→x x x x f x x ,故选A.

3、解：)()()()]([x x x x x e f e e e f e f -----'-='⋅'=',故选D.

4、解：因x 1是)(x f

的一个原函数,所以211)(x x x f -='

⎪⎭⎫

⎝⎛=,所以

5、

C x xdx dx x f x +-=-=⎰⎰23

21)(故选B. 6、解：因121

)1(lim 2122)1(lim 33313

<=+=+∞→+∞→n n n n n n

n n ,所以∑∞=132

n n

n 收敛,

故选C.

1、解：由题意画出积分区域如图:故选B.

2、解：42444

2016,13112<≤-⇒⎩

⎨

⎧<<-≤≤-⇒>-≤-≤-x x x x x . 3、解：12+='x y ，由1312=⇒=+='x x y ，从而0=y ，故填)0,1(.

4、解：21arctan x

x x y ++=',222

2222)1(2

)1(2111x x x x x y +=+-+++=''.

5、解：C x x d x dx x x ++=++=+⎰⎰2013

)1(ln )1(ln )1(ln )1(ln 20132012

2012.

6、解：e dx xe e dx xe x x ==⎰

⎰

+∞-∞

++-0

1.

7、解：由152215lim 5)2(15)2(lim )()(lim 111<-=-+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n

x n x x u x u n n n n n n n

n n . 得73<<-x 级数收敛,

当3-=x 时,级数为∑

∞

=-1

)1(n n

n 收敛; 当7=x 时,级数为∑∞

=1

1n n

发散;

故收敛域为)7,3[-.

8、解：)()2())(2(0312E A E A E E A E A E A A +=-⇒=+-⇒=---

1、解：原式= 2

sin lim

x

x

x x -→ =x x

x 2cos 1lim 0-→ =2

sin lim 0

x

x →=0 2、解：两边取对数得y x y x ln ln ln +=,

两边求导得y y

x

y y

x y '+='+11ln ,

从而)

1()ln 1(--=x x y x y dx

dy .

3、解：令t x sec =,则,tan sec tdt t dx =当2=x 时, 4

π

=t ;当2=x 时, 3

π

=

t .

所以原式=

⎰3

42tan sec tan sec π

πdt t t t t =

⎰34

cos ππtdt = =|34

sin π

πt =

)23(2

1

-. 4、解：原方程可整理为x e y y =-'2

这是一阶线性微分方程,其中x e x Q x P =-=)(,2)(.

所以原方程的通解为