高中数学人教A版必修第一册5.3《诱导公式》课件PPT
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5.3诱导公式(1)课件-高一上学期数学人教A版
sin 4 .
随堂检测
1．下列各式不正确的是( B )
A．sin(α＋180°)＝－sin α B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C．sin(－α－360°)＝－sin α D．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故 B 项错误． 答案：B
2.若 sin(π＋α)＝－1，则 sin(4π－α)的值是( B ) 2
A．12
B．－12
C．－
3 2
D．
3 2
解析：由题知，sin α＝1，所以 sin(4π－α)＝－sin α＝－1.
2
2
答案：B
3．tan 690°＝___3_3____. 解析：tan 690°＝tan(2×360°－30°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ 33. 答案：－ 3
2
(2) sin( 7 ) sin 7 sin( ) ( sin ) 1 .
6
6
6
ห้องสมุดไป่ตู้62
(3) tan(1140 ) tan1140 tan(60 3 360 ) tan 60 3.
(4) cos( 77 ) cos 77 cos(5 6 2 ) cos 5
4
4
4
42
(3)tan(240 ) tan240 tan(180 60 ) tan60 3.
探究三：角π－α与 α 的三角函数值之间的关系
思考 4：仿照上面的方法，角π－α的终边与角
α的终边关于 y轴 对称.设角π－α的终边与
单位圆交于点 P4 ，则 P4 的坐标是 (x, y). y
5.3诱导公式（1）
《必修》（第一册）P188 ~ P191
数学人教A版必修第一册5.3诱导公式课件
归 思 想
tan(180 ° -α) = -tanα
诱导公式（一）
sin(2k ) +sin sin( ) sin
公 式
cos(2k
) cos
cos( ) cos
公 式
一 tan(2k ) + tan tan( ) tan 二
公 sin( ) sin 式 cos( ) cos 三 tan( ) tan
)
2
sin tan . cos
变式
3. 已 知
f(α)
＝
cos π2＋α sin 32π－α cos－π－αtanπ－α
，
则
f
－25π 3
的值为
____解_．析：因为f(α)＝cocsos－π2π＋－ααsitnan32ππ－－αα
＝ －sin －cos
αα－－ccsoiosnsααα＝cos
例3.化简:
cos(
)sin(3
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
解：
( sin )( cos )( sin )cos[5 ( )]
原式
( cos )sin(
)[ sin(
2
)]sin[4 (
)]
2
sin2 cos[ cos( )]
2
( cos )sin[( sin )]sin(
3
sin(2 + 2 ) sin 2
3
3
sin（ ） sin
3
3
3 2
(3)
sin(
16 3
)
sin
16 3
sin(5
3
)
sin(
三角函数的诱导公式 高中数学课件(人教A版2019必修第一册)
x
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －
x
3
tan
( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=
(1)解:原式=
( +)( +)
(°+°)+(°+°)
=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a
-
2
cos( -)=sin
2
c
α
b
sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与
角
2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －
x
3
tan
( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=
(1)解:原式=
( +)( +)
(°+°)+(°+°)
=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a
-
2
cos( -)=sin
2
c
α
b
sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与
角
2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的
高中数学人教A版必修第一册《诱导公式》课件
sin( - ) sin cos( - ) - cos tan( - ) - tan
sin( - ) cos
2
cos( - ) sin
2
sin(
)
cos
2
cos( ) - sin
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
高中数学人教A版(必20修19第)必一修册第 《一 诱册 导《 公 式5.3》课诱件导公式》课件
-
2
-sin
-
=
sin 4
- sin
2
- tan
-
cos
sin
-
-
sin
sin
2
cos
高中数学人教A版(必20修19第)必一修册第 《一 诱册 导《 公 式5.3》课诱件导公式》课件
高中数学人教A版(必20修19第)必一修册第 《一 诱册 导《 公 式5.3》课诱件导公式》课件
我们再来研究角 与 - 的三角函数值之
间的关系
r 1
sin y cos x
sin(- ) - y
tan y
x
cos(- ) x
tan(- ) - y - y
xx
-
公式三
sin(- ) - sin
cos(- ) cos
tan(- ) - tan
高中数学人教A版必修第一册《诱导公 式》课 件
3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称
思 考2
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请 同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个 点的坐标是什么?
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y) 点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y) 点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
数学人教A版(2019)必修第一册5.3诱导公式(共29张ppt)
且角 与角 的终边关于 轴对称.
探究新知——诱导公式（互学）
二
（二）− 与 的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角 与角 的三角函数值之间的关系，只要研究− 与 的三角
函数值关系即可.
∵ （ , ）是 （ , ）关于 轴的对称的点，
边相同的角，即 = + ( + ）
且角 与角 的终边关于原点O对称.
探究新知——诱导公式（互学）
二
（一） + 与 的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角 与角 的三角函数值之间的关系，只要研究 + 与 的三
角函数值关系即可.
∵ （ , ）是 （ , ）关于原点 O 的对称点，
3.诱导公式四：
单位圆 ⊙ 的半径 =
( − ) =
∴ 满足 = − ， = ��
( − ) = −
∴据三角函数的定义可得
=
= ,
( − ) =
=
= ,
= , ( − ) =
1.问题：如图，在直角坐标系内，设任意角 的终边与单位
圆交于点 （ , ）
作 （ , ）关于直线 = 的对称点 （ , ），
Hale Waihona Puke 从而可得 ( − ) = ;
=
( − ) = −
= , ( − ) =
( − ) = − ;
( − ) = −
探究新知——诱导公式（互学）
二
探究新知——诱导公式（互学）
二
（二）− 与 的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角 与角 的三角函数值之间的关系，只要研究− 与 的三角
函数值关系即可.
∵ （ , ）是 （ , ）关于 轴的对称的点，
边相同的角，即 = + ( + ）
且角 与角 的终边关于原点O对称.
探究新知——诱导公式（互学）
二
（一） + 与 的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角 与角 的三角函数值之间的关系，只要研究 + 与 的三
角函数值关系即可.
∵ （ , ）是 （ , ）关于原点 O 的对称点，
3.诱导公式四：
单位圆 ⊙ 的半径 =
( − ) =
∴ 满足 = − ， = ��
( − ) = −
∴据三角函数的定义可得
=
= ,
( − ) =
=
= ,
= , ( − ) =
1.问题：如图，在直角坐标系内，设任意角 的终边与单位
圆交于点 （ , ）
作 （ , ）关于直线 = 的对称点 （ , ），
Hale Waihona Puke 从而可得 ( − ) = ;
=
( − ) = −
= , ( − ) =
( − ) = − ;
( − ) = −
探究新知——诱导公式（互学）
二
高中数学必修第一册人教A版5.3《诱导公式---第一课时》名师课件
2
；
47
cos
；
6
(3)tan945° .
解析
(1)sin −1200° = sin −4 × 360° + 240° = sin240° = sin 180° + 60° = −sin60° = −
(2)cos
47
6
= cos
11
6
+ 6 = cos
11
6
= cos 2 −
6
6
= cos =
y
y
tan( )
x
x
公式四
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
y
tan
x
探究新知
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos
公式一 tan( k 2 ) tan
= −1.
=
1−2sin70° cos70°
−sin70° +cos70°
=
|cos70° −sin70° |
cos70° −sin70°
=
方法归纳
化简是一种不指明答案的恒等变形，将三角函数式化为
最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类最少，项数最
少，函数次数最低，能求出数值的求出数值，分母上不含三
sin(−)+5cos(2+)
3cos(−)−sin(−)
解析
由已知得−sin = 2cos，所以tan = −2.
左边=
sin+5cos
−3cos+sin
人教A版必修第一册5.3诱导公式课件
90
解：因为 sin 37 sin(90 (53 )) cos(53 ),
因为-270 90 , 所以143 53 323 ,
1
由sin(53 )= 0， 得143 53 180 ，
5
1
2
所以cos(53 )= 1-sin 2 (53 ) 1 ( )2 6,
同名三角函数间的相互转化.
k （k Z , R）的三角函数求值.
2
口诀：奇变偶不变 ，符号看象限.
公 sin π α sin α,
式 cos π α cos α,
四 tan π α tan α.
三
公式剖析
口诀：奇变偶不变，符号看象限
问题1：作关于直线y=x的对称点5 (x5, y5)，以为终边的角与以
5 为终边的角有什么关系？角，的三角函数值之间有什么关系？
2k (k Z ), 易证 x y5 , y x5 ,
2
sin y,cos x,
略解：
A
P5 ( x5 , y5 )
一 tan( 2k ) tan
二 tan π α tan α. 三
同名三角函数间的相互转化和化简.
sin α sin α,
cos α cos α,
tan α tan α.
公 sin π α sin α,
2
=
解：原式
cos sin sin sin
2
解：因为 sin 37 sin(90 (53 )) cos(53 ),
因为-270 90 , 所以143 53 323 ,
1
由sin(53 )= 0， 得143 53 180 ，
5
1
2
所以cos(53 )= 1-sin 2 (53 ) 1 ( )2 6,
同名三角函数间的相互转化.
k （k Z , R）的三角函数求值.
2
口诀：奇变偶不变 ，符号看象限.
公 sin π α sin α,
式 cos π α cos α,
四 tan π α tan α.
三
公式剖析
口诀：奇变偶不变，符号看象限
问题1：作关于直线y=x的对称点5 (x5, y5)，以为终边的角与以
5 为终边的角有什么关系？角，的三角函数值之间有什么关系？
2k (k Z ), 易证 x y5 , y x5 ,
2
sin y,cos x,
略解：
A
P5 ( x5 , y5 )
一 tan( 2k ) tan
二 tan π α tan α. 三
同名三角函数间的相互转化和化简.
sin α sin α,
cos α cos α,
tan α tan α.
公 sin π α sin α,
2
=
解：原式
cos sin sin sin
2
5.3诱导公式 课件ppt
; 关于 轴对称：
; 关于原点对称：
诱导公式二~四 【拓展】进一步，通过作出P点关于 轴的对称点和关于
轴的对称点，我们可以得出如下结论： 【公式三】
【公式四】
诱导公式二~四
【总结】对于公式一~四的概括： 【1】α+2kπ，-α，(π±α)的三角函数值，在绝对值上 等于α的同名函数值，正负取决于把α看成锐角时 原函数值的符号. 即“函数名不变，符号看象限.” 【2】对于正弦与余弦的诱导公式，α可以为任意角；对 于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即
例题讲解： 例1 求下列三角函数值：
（1）cos 225
(2) sin 8
3
（3）sin
16
3
例 2 化简tanco－sα1－801°8＋0°αcsoinsα－＋138600°＋° α.
(4) tan 20400
解析：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)]＝－tan(180°＋α)＝－tan α，
课时作业： 1、教材习题：
P194: 1、2、3、4、5、6、7、8
2、教辅书中对应课时习题
“ THANKS ”
求证：scions52απ－＋π2α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.
解析：证明：左边＝csoinsπ2π2＋－αα·[－sin(2π－α)]cos α＝csoins αα[－(－
sin
α)]cos
α＝csoins
α α·sin
α·cos
α＝sin2α＝右边，故原式成立．
等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．
诱导公式二~四 【问题1】如何用公式二和公式三推导出公式四？
【答】
【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解. 【答】①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名； ②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由 新角所在象限确定符号.如sin(α+π)，若把α看成锐角，则π+α在 第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα
数学人教A版(2019)必修第一册5.3诱导公式(共30张ppt)
y
的终边
y
P1 ( x, y )
的终边
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
终边关于原点对称
的终边 y
P( x, y ) P3 ( x, y )
P( x, y )
O
的终边
x
x
O
的终边
1
= sin 180° + 30° = −sin30° = − 2 ．
故选：B
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练2】sin
1
89π
6
=（
）
1
A． 2
B．− 2
C．
3
2
D．−
【答案】A
【解析】sin
故选：A．
89π
6
= sin 15π −
π
6
π
1
= sin 6 = 2 ．
3
2
作出与的终边关于直线 = 对称的角的终边, 并指出该角的大小.
= cos155° = cos 90° + 65° = −sin65°，
故选：D．
D．−sin65°
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练1】sin −1230° =（
1
A． 2
1
B．− 2
）．
C．
3
2
D．−
3
2
【答案】B
【解析】sin −1230° = sin −360° × 4 + 210° = sin210°
诱导公式一~四
公式一
( + ) =
的终边
y
P1 ( x, y )
的终边
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
终边关于原点对称
的终边 y
P( x, y ) P3 ( x, y )
P( x, y )
O
的终边
x
x
O
的终边
1
= sin 180° + 30° = −sin30° = − 2 ．
故选：B
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练2】sin
1
89π
6
=（
）
1
A． 2
B．− 2
C．
3
2
D．−
【答案】A
【解析】sin
故选：A．
89π
6
= sin 15π −
π
6
π
1
= sin 6 = 2 ．
3
2
作出与的终边关于直线 = 对称的角的终边, 并指出该角的大小.
= cos155° = cos 90° + 65° = −sin65°，
故选：D．
D．−sin65°
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练1】sin −1230° =（
1
A． 2
1
B．− 2
）．
C．
3
2
D．−
3
2
【答案】B
【解析】sin −1230° = sin −360° × 4 + 210° = sin210°
诱导公式一~四
公式一
( + ) =
人教版高中数学必修第一册5.3诱导公式 第1课时 诱导公式(1)【课件】
怎样判断任意角所在的象限呢?
【问题8】从诱导公式二、三、四的结构特征来看,它们的主要作用
是什么?
【问题9】我们可以怎样运用诱导公式二、三、四来计算任意角的三
角函数值? 请举例说明.
【问题10】你能归纳出运用诱导公式一、二、三、四求任意角的三
角函数值的一般步骤吗?
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列三角函数值：
化简条件和结论后再求值.
【变式训练3】已知k∈
(−) [(−)−]
，求证则
[(+)+](+)
= −
【解】
(−)(−)(+)
（备选例题）已知α是第三象限角,且f(α)=
(−−)(−−)
(1)
【问题5】在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对
称的情况外，还有关于x轴、y轴对称的情况．请你试着探究当角
的终边关于x轴、y轴对称时，三角函数值之间的关系．
【问题6】你能发现公式一、二、三、四的共同特征吗？
【活动3】归纳总结求任意角三角函数值的一般流程
【问题7】诱导公式二、三、四中等式右端的符号由角的象限确定,
第五章
三角函数
5.3
诱导公式
第 课时
诱导公式
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三
角函数诱导公式二、三、四.
2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导
公式二、三、四的结构特征.
3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式
的求值、化简与恒等式的证明.
学习目标
若sin(α-3π)= ,求f(α)的值;
(2) 若α=-1920°,求f(α)的值.
【问题8】从诱导公式二、三、四的结构特征来看,它们的主要作用
是什么?
【问题9】我们可以怎样运用诱导公式二、三、四来计算任意角的三
角函数值? 请举例说明.
【问题10】你能归纳出运用诱导公式一、二、三、四求任意角的三
角函数值的一般步骤吗?
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列三角函数值：
化简条件和结论后再求值.
【变式训练3】已知k∈
(−) [(−)−]
，求证则
[(+)+](+)
= −
【解】
(−)(−)(+)
（备选例题）已知α是第三象限角,且f(α)=
(−−)(−−)
(1)
【问题5】在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对
称的情况外，还有关于x轴、y轴对称的情况．请你试着探究当角
的终边关于x轴、y轴对称时，三角函数值之间的关系．
【问题6】你能发现公式一、二、三、四的共同特征吗？
【活动3】归纳总结求任意角三角函数值的一般流程
【问题7】诱导公式二、三、四中等式右端的符号由角的象限确定,
第五章
三角函数
5.3
诱导公式
第 课时
诱导公式
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三
角函数诱导公式二、三、四.
2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导
公式二、三、四的结构特征.
3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式
的求值、化简与恒等式的证明.
学习目标
若sin(α-3π)= ,求f(α)的值;
(2) 若α=-1920°,求f(α)的值.
人教A版数学必修第一册5.3.1诱导公式(一)课件
tan
1
α＝___3_____.
因为 tan(π＋α)＝tan α，所以 tan α＝tan(π＋α)＝13
新知精讲
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于___原__点____对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝__－___si_n__α___， cos(π＋α)＝___－__c_o_s__α__， tan(π＋α)＝____t_a_n_α_____.
课前预习
任务二：简单题型通关
C 1．计算 sin －π3的值为(
)
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
课前预习
任务二：简单题型通关
2．已知
sin
α＝
55，则
5 sin(π－α)＝___5_____.
sin(π－α)＝sin
α＝
5 5
课前预习
任务二：简单题型通关
3．若
tan(π＋α)＝13，则
α α
＝1.
(2)原式＝sinco4s×18306°0＋°＋αα·[－·cossin31×8306°＋0°－ α]α ＝s－incαo·scoαs·－ sinαα ＝－cocsosαα ＝－1.
归纳总结
注意
利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而到达统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦， 有时也将弦化切．
达标检测
1．已知 sin π4＋α＝ 23，则 sin 34π－α的值为( C )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
5.3诱导公式(第一课时)高一数学课件(人教A版必修第一册)
锐求值
得到锐角的三角函数后求值
跟 踪 训 练 1
利用诱导公式，求三角函数值
(1)cos 210°；
11
(2)sin
4
(3)sin
43
−
6
；
；
(4)cos(－1920°).
典 型 例 题 2
例2 化简
化简求值问题
(180°+)(+360°)
(−−180°)(−180°+)
所以π+α可以看成第三象限角，-α可以看成第
四象限角，π-α可以看成第二象限角
自我检测
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．(
)
(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y).(
)
(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．(
(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．(
已知 tan
，则 tan
6
3
6
课堂小结
诱导公式一
诱导公式二
sin (π＋α)＝-sinα
cos (π＋α)＝-cosα
tan (π＋α)＝tanα
诱导公式三
诱导公式四
sin (-α)＝sinα
sin (π - α)＝sinα
cos (-α)＝-cosα
tan (-α)＝-tanα
值之间有什么关系？
β
3
角-α与角α的终边关于 x轴 对称
诱导公式三
(x,y)
sin (-α)＝
3
(x,-y)
，
cos (-α)＝
，
tan (-α)＝________
5.3诱导公式课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
;
9
5
; (4)tan(−70∘ 6′) =
(3)sin(− ) =
6
(5)cos
7
=
(6)tan1000∘ 21′ =
;
2.利用公式求下列三角函数值：
7
(1)cos(−420∘ ); (2)sin(− );
4 cos
77
−
6
;
;
5
6
tan315∘ ;
(3)tan(−1140∘ );
11
(6)sin(− ).
2.运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简
与恒等式的证明.
教学难点 发现圆的对称性与三角函数之间的关系,建立联系.
复习
回顾
问题1.如图,角的终边与单位圆相交与点
(, ). 你能用角的三角函数值表示点
的坐标吗？
y
根据三角函数定义有：
=
=
∴ 点的坐标可表示为
( , ）
y
公式二
( + ） = −sin
( + ） = −
( + = tan
P1
O
P2
x
新知
探究
课堂活动二（分组协作讨论）
如图,在直角坐标系内，设任意角
的终边与单位圆相交与点1 (, ).
请同学们作出1 关于轴的对称点2 ,思考
并回答下列问题.
诱导公式
(1)
教学目标
1.能够利用三角函数的定义及单位圆推导三角函数
知识目标 的诱导公式.
2.能够运用诱导公式，完成对任意角的化简求值.
1. 通过对诱导公式的探求，体会转化与化归的思想.
素养目标 2. 在诱导公式的推导应用过程中发展数学运算和数
9
5
; (4)tan(−70∘ 6′) =
(3)sin(− ) =
6
(5)cos
7
=
(6)tan1000∘ 21′ =
;
2.利用公式求下列三角函数值：
7
(1)cos(−420∘ ); (2)sin(− );
4 cos
77
−
6
;
;
5
6
tan315∘ ;
(3)tan(−1140∘ );
11
(6)sin(− ).
2.运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简
与恒等式的证明.
教学难点 发现圆的对称性与三角函数之间的关系,建立联系.
复习
回顾
问题1.如图,角的终边与单位圆相交与点
(, ). 你能用角的三角函数值表示点
的坐标吗？
y
根据三角函数定义有：
=
=
∴ 点的坐标可表示为
( , ）
y
公式二
( + ） = −sin
( + ） = −
( + = tan
P1
O
P2
x
新知
探究
课堂活动二（分组协作讨论）
如图,在直角坐标系内，设任意角
的终边与单位圆相交与点1 (, ).
请同学们作出1 关于轴的对称点2 ,思考
并回答下列问题.
诱导公式
(1)
教学目标
1.能够利用三角函数的定义及单位圆推导三角函数
知识目标 的诱导公式.
2.能够运用诱导公式，完成对任意角的化简求值.
1. 通过对诱导公式的探求，体会转化与化归的思想.
素养目标 2. 在诱导公式的推导应用过程中发展数学运算和数
数学人教A版(2019)必修第一册5.3诱导公式(共21张ppt)
(3) tan 5 tan 5
tan
题型一：利用诱导公式化简
例 1 化简
( + )sin(-2π- )tan(2π- )
( +
)
(
+
)
【变式训练1】
化简
( - )
( +)
( -)
( -
;
)
题型二：给角求值
例2 求下列三角函数值
5.3诱导公式
梳理1 诱导公式二、三、四
(1)诱导公式二
①角π+α与角α的终边关于 原点
如图所示.
②公式:sin(π+α)= -sin α,
cos(π+α)=-cos α,
tan(π+α)= tan α.
对称.
(2)诱导公式三
①角-α与角α的终边关于 x 轴对称.
如图所示.
②公式:sin(-α)= -sin α.
8
sin
;
3
16
sin
3
;
cos 225 ;
tan 2040
拆角，即把角
拆为我们诱导
公式形式
[例3] 求下列各三角函数式的值.
(1)cos 210°;
(2)sin
;
(3)sin(-
);
(4)cos(-1 920°).
解:(1)cos 210°= cos(180°+30°) = -cos 30°=
cos(-α)= cos α.
tan(-α)= -tan α .
(3)诱导公式四
①角π-α与角α的终边关于 y 轴对称.
数学人教A版高中必修一(2019新编)5-3 诱导公式(教学课件)
tan( )
y2
x2
从而得公式二：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
1.5
1
T
P
0.5
M1 O
-2
M
-1
-0.5
P1
-1
-1.5
1
A
2
如图, 作P1关于x轴的对称点P3 , 则以OP3为终边的角为 , 并且有
即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函
数名最少.
π
2对于 kπ±α 和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，
2
而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.
下面在探究1的基础上继续探究
探究2
作P1关于直线y x的对称点P5 , 则以OP5为终边的角 与角 有什么关系?
符号看象限
例1 利用公式求下列三角函数值
8
;
3
(1) cos 225;
(2) sin
16
(3) sin
3
(4) tan( 2040)
(1) cos 225 cos(180 45 ) cos 45
(2) sin
8
2
sin 2
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan
其中
k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
其中 k Z
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数
y2
x2
从而得公式二：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
1.5
1
T
P
0.5
M1 O
-2
M
-1
-0.5
P1
-1
-1.5
1
A
2
如图, 作P1关于x轴的对称点P3 , 则以OP3为终边的角为 , 并且有
即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函
数名最少.
π
2对于 kπ±α 和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，
2
而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.
下面在探究1的基础上继续探究
探究2
作P1关于直线y x的对称点P5 , 则以OP5为终边的角 与角 有什么关系?
符号看象限
例1 利用公式求下列三角函数值
8
;
3
(1) cos 225;
(2) sin
16
(3) sin
3
(4) tan( 2040)
(1) cos 225 cos(180 45 ) cos 45
(2) sin
8
2
sin 2
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan
其中
k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
其中 k Z
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数
数学人教A版(2019)必修第一册5.3三角函数的诱导公式(共13张ppt)
问题提出
你会求sin750°和sin930°的值吗？
5.3 三角函数的诱导公式
第一课时
知识探究（一）：π+α的诱导公式：
思考1：对于任意给定的一个角α，角 π＋α的终边与角α的终边有什么关系？
y α的终边
o
x
π+α的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点P （x，y），则角π＋α的终边与单位圆 的交点坐标如何？
知识应用
例1 求下列各三角函数的值：
你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐 角三角函数的步骤吗？
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
锐角三 角函数
用公式二或四
用公式一
0 o到 360o的角
的三角函数
课堂小结
这节课你有什么收获？
作业： P191练习：2，3，4.
α的终边
P(x,y)
y π-α的终边
P(-x,y)
o
x
-α的终边
诱导公式（四）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
的三角函数值，等于α的同名三角函数值 前面加上把α看作锐角时原函数值的符号.
简记为“函数名不变，符号看象限”.
作用是把任意角的三角函数，转化成锐角 的三角函数.
tan(π3;α的终边
公式二：
思考5：利用我们探究出的新知识解决一下 之前遇到的问题：sin210°=？
知识探究（二）：-α，π-α的诱导公式：
y α的终边
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α的终边
诱导公式（三）
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
你会求sin750°和sin930°的值吗？
5.3 三角函数的诱导公式
第一课时
知识探究（一）：π+α的诱导公式：
思考1：对于任意给定的一个角α，角 π＋α的终边与角α的终边有什么关系？
y α的终边
o
x
π+α的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点P （x，y），则角π＋α的终边与单位圆 的交点坐标如何？
知识应用
例1 求下列各三角函数的值：
你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐 角三角函数的步骤吗？
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
锐角三 角函数
用公式二或四
用公式一
0 o到 360o的角
的三角函数
课堂小结
这节课你有什么收获？
作业： P191练习：2，3，4.
α的终边
P(x,y)
y π-α的终边
P(-x,y)
o
x
-α的终边
诱导公式（四）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
的三角函数值，等于α的同名三角函数值 前面加上把α看作锐角时原函数值的符号.
简记为“函数名不变，符号看象限”.
作用是把任意角的三角函数，转化成锐角 的三角函数.
tan(π3;α的终边
公式二：
思考5：利用我们探究出的新知识解决一下 之前遇到的问题：sin210°=？
知识探究（二）：-α，π-α的诱导公式：
y α的终边
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α的终边
诱导公式（三）
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
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（2）化简：
cos(
)sin(3
2
)sin(
2
)sin(9
)
2
课堂作业
例 2 已知 f(α)＝sin（αco－s（3π－）πc－osα（）2πsi－n（α－）πsi－n－αα）＋3π 2 . (1)化简 f(α)；(2)若 α 是第三象限角，且 cosα－3π 2 ＝15，求 f(α)的值.
记忆规律： 的三角函数值，等于 的互余函数值，
2
前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号．
概括：函数名变余，符号看象限．
课程讲解
【问题 5】 诱导公式的应用研究
例1
(1)求证： sin(3 ) cos;cos(3 ) sin
2
2
sin(2 ) cos( ) cos( ) cos(11 )
【2】思考：角 的终边与 有什么关系？它们的三角函数值有何关系？
2
【3】请完成本节对应的同步练习
诱导公式 第二课时
课程讲解
【问题 1】上节课学习了三角函数的诱导公式二到公式四， 大家还记得是哪几个公式吗？
课程讲解
【问题 2】能画出角 关于直线 y x 对称的角的终边吗？ 与角 关于直线 y x 对称的角怎样表示？
2
2
2
课程讲解
【问题 4】 诱导公式的应用研究
角 终边与单位圆交点 P(x, y) ,则 终边与单位圆 2
交点
P1
(
y,
x)
，又
2
的终边与
2
的终边关于
y
轴对
称，故
2
终边与单位圆交点
P2
(
y,
x)
，于是
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
2
课程讲解
【问题 4】你能总结公式五与六的记忆规律吗？ 你能概况公式五与六的研究思路吗？
课程讲解
【问题 4】 诱导公式的应用研究
例 1 利用公式求下列三角函数值:
(1) cos 225 ； (2) sin 11 ； (3) sin( 16 )； (4) cos(2040 ).
3
3
例 2 化简：
(1)cos（－siαn（）tπan－（α7）π＋α）；(2)scions（ （1－148400° °＋ －αα） ）· ·csoisn（ （α－－ α1－018800° °） ）.
这两个角的终边上点 P1, P2 的坐标具有什么关系?
sin ( ) co s ; 2
co s( ) sin ; 2
tan ( ) co t 2
课程讲解
【问题 3】能否用已有公式得出
的正弦、余弦
2
与 的正弦、余弦之间的关系式？
sin()sin[()]sin()cos
2
2
2
cos()cos[()]sin()cos
诱导公式 第一课时
课程讲解
【问题 1】如何将任意角的三角函数求值转化为0~2 角三角函数求值问题？
求 9 角的正弦、余弦、正切值
4
角与 2k (k Z) 的三角函数值为什么相等呢？
课程讲解
【问题 2】 两个角的终边特殊的对称关系研究： 1）终边关于原点对称
2）终边关于 x 轴对称 3）终边关于 y 轴对称
课堂小结
【问题 5】 课堂小结，提高认识
1）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法．
2）三个诱导公式的记忆：函数名不变； 看成锐角，符号看象限．
3）三个诱导公式的作用 4）求任意角的三角函数值的步骤为：负化正，正化小，化到锐角就终了．
课后作业
课后研究
【1】课本相关习题；
课后作业
课后研究
【1】课本对应练习． 【2】请完成本节对应的同步练习．
再见
34.以智慧时时修正偏差，以慈悲处处给人方便。 33.这个城市没有草长莺飞的传说，它永远活在现实里面，快速的鼓点，匆忙的身影，麻木的眼神，虚假的笑容，而我正在被同化。 45.自己选择的路，跪着也要把它走完。 60.踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。 30.人生如坐公交车，有的人很从容，可以欣赏窗外的景色；有的人很窘迫，总处于推搡和拥挤之中。 9.阻碍我们飞翔的力量，是来自我们内心的恐惧。 88.如果你想攀登高峰，切莫把彩虹当作梯子。 90.如果周围有人嫉妒你，那么你可以把他从你的竞争者之列排除了，嫉妒人之人，难以成大事。 42.成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒。 84.敢于奋斗的人，心中不怕困难。 10.只有爱你所做的，你才能成就伟大的事情。如果你没找到自己所爱的，继续找别停下来。 43.成功人记住经验，忘记痛苦所以勇往直前;失败人记住痛苦忘记经验所以裹足不前。 23.没有年少轻狂，只有胜者为王。 49.没有退路时潜能就发挥出来了。 71.山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌。 17.如果你曾经把失败当成清醒剂，就千万别让成功变成迷魂汤。 20.生活在笼子里的鸟，认为飞是一种病。 57.只要你在路上，就不要放弃前进的勇气，走走停停的生活会一直继续。 88.如果你想攀登高峰，切莫把彩虹当作梯子。
课程讲解
(1)角 与角 的终边具有什么样的位置关系?
(2)角 与角 的终边上点 P,P 的坐标具有什么关系? 进而角 与角 的三角函数值有什么关系?
y
P(x, y)
o
x
P(x,y)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
课程讲解
【问题 3】思考： ， 与 的三角函数值之间的关系．
课程讲解
【问题 6】 课堂小结，提高认识
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． (2)这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的三角函数值与 α 的三角函数值之 间的关系．当 k 为偶数时得角 α 的同名三角函数值，当 k 为奇数时得角 α 的互余三角函数 值．然后在前面加上一个把角 α 看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变， 符号看象限”． (3）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法．
1）角 与角 的终边有什么关系？三角函数值有何关系？
2）角 与角 的终边有什么关系？三角函数值有何关系？
y
P(x, y)) sin cos( ) cos tan( ) tan
y
P(x, y)
o
x
P(x, y)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan