六种三角函数性质
三角函数的基本概念与性质
三角函数的基本概念与性质三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的基本概念与性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，记作sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
在单位圆上，角度x对应的点的纵坐标即为sin(x)的值。
正弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。
正弦函数具有以下性质：1. 奇函数：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
2. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数的图像在每个周期内重复。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数余弦函数是另一个重要的三角函数，记作cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
在单位圆上，角度x对应的点的横坐标即为cos(x)的值。
余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π。
即对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。
余弦函数具有以下性质：1. 偶函数：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
2. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数的图像在每个周期内重复。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于x轴对称。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一个重要函数，记作tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
在单位圆上，角度x对应的点的纵坐标除以横坐标即为tan(x)的值。
正切函数也是一个周期函数，其周期为π。
即对于任意实数x，有tan(x+π)=ta n(x)。
正切函数具有以下性质：1. 奇函数：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
2. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数的图像在每个周期内重复。
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、三角函数的定义三角函数是用于描述角度与弧长之间关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。
用数学符号表示为：sinθ = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。
用数学符号表示为：cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。
用数学符号表示为：tanθ = 对边 / 邻边。
4. 余切函数（cot）：在一个直角三角形中，余切函数定义为邻边与对边之比。
用数学符号表示为：cotθ = 邻边 / 对边。
5. 正割函数（sec）：在一个直角三角形中，正割函数定义为斜边与邻边之比。
用数学符号表示为：secθ = 斜边 / 邻边。
6. 余割函数（csc）：在一个直角三角形中，余割函数定义为斜边与对边之比。
用数学符号表示为：cscθ = 斜边 / 对边。
二、三角函数的性质三角函数具有一系列的性质，这些性质在解决三角函数相关问题时起着重要的作用。
1. 周期性：所有的三角函数都是周期函数，即函数值在一定区间内重复出现。
其中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数和余切函数的周期为π。
2. 奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数和余切函数是偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域是[-1, 1]，而正切函数和余切函数的值域是实数全集。
4. 互余关系：正弦函数和余弦函数满足互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
6个三角函数
6个三角函数三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在各种科学、工程和技术领域中广泛应用。
其中，最基本的三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数，它们常常被称为“6个三角函数”。
在这篇文档中，我们将详细介绍这6个三角函数的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，它通常表示为sin(x)。
它的定义域是所有实数，值域是[-1,1]。
正弦函数的图像是一个周期为2π的波形，它的振幅为1，周期为2π。
正弦函数在数学中应用非常广泛，例如在解析几何、微积分、数学分析等领域都有着重要的作用。
在图像处理、信号处理、音频处理等领域，正弦函数经常被用来表示周期性信号。
二、余弦函数余弦函数也是三角函数中的一种，它通常表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域是[-1,1]。
余弦函数的图像是一个周期为2π的波形，它的振幅也是1，周期为2π。
余弦函数在数学中也是非常重要的，它经常被用来表示两个向量之间的夹角、傅里叶级数等。
在各种领域的信号处理中，余弦函数也是非常有用的。
三、正切函数正切函数是三角函数中的第三种函数，它通常表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但是它的值域是（-∞，+∞）。
在x轴上，正切函数有一个无限的奇点，即在每个奇数π/2处，它的函数值分别趋向于正无穷大和负无穷大。
正切函数在三角学和微积分中非常重要，它经常被用来表示斜率、曲率半径等。
四、余切函数余切函数是三角函数中的第四个函数，它通常表示为cot(x)。
余切函数的定义域也是所有实数，但是它的值域是（-∞，+∞）。
与正切函数一样，余切函数在x轴上也有无数个奇点。
余切函数在三角学、微积分和工程学中都有重要的应用，例如在电路分析、通信系统等领域中经常被用来表示电阻、电感、电容等元件。
五、正割函数正割函数是三角函数中的第五个函数，它通常表示为sec(x)。
正割函数的定义域包括所有不等于(2n+1)π/2的实数，其中n为任意整数。
三角函数
三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
直角三角定义它有六种基本函数(初等基本表示)：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。
）在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦函数cosθ=x/r 余弦（cos）:角α的邻边比斜边正切函数tanθ=y/x 正切（tan）:角α的对边比邻边余切函数cotθ=x/y 余切（cot）:角α的邻边比对边正割函数secθ=r/x 正割（sec）:角α的斜边比邻边余割函数cscθ=r/y 余割（csc）:角α的斜边比对边以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ=1-cosθ余矢函数coversθ=1-sinθsinα、cosα、tanα的定义域：sinα定义域无穷，值域[-1，1]cosα定义域无穷，值域[-1，1]tanα的定义域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k属于整数，值域无穷单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：三角函数x2+y2 = 1图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质三角函数是高中数学中的重要概念之一，它涉及到三角形的边长比例和角度的关系。
本文将从三角函数的定义、三角函数的性质以及三角函数在几何图形中的应用等方面进行探讨。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三角函数。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，其中一个锐角为θ。
根据定义，我们有以下三角函数：正弦函数（sinθ）：正弦函数定义为直角三角形中对边（b）与斜边（c）的比值，即sinθ = b/c。
余弦函数（cosθ）：余弦函数定义为直角三角形中邻边（a）与斜边（c）的比值，即cosθ = a/c。
正切函数（tanθ）：正切函数定义为直角三角形中对边（b）与邻边（a）的比值，即tanθ = b/a。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都是周期函数，周期为2π或π。
即对于任意实数θ，有sin(θ+2π) = sinθ，cos(θ+2π) = cosθ，tan(θ+π) = tanθ。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-θ) ≠ -tanθ。
3. 值域范围：正弦函数和余弦函数的值域范围是[-1, 1]，而正切函数的值域是整个实数集。
4. 互余关系：在直角三角形中，两个角的正弦值互为余弦值，两个角的余弦值互为正弦值，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
5. 基本关系：根据勾股定理，有sin^2θ + cos^2θ = 1，这是三角函数的基本关系。
三、三角函数的应用三角函数在几何图形中有广泛的应用，下面介绍三角函数在直角三角形和单位圆中的应用：1. 直角三角形中的应用：- 利用三角函数可以求解直角三角形中的边长和角度。
- 利用正弦定理和余弦定理可以解决一般三角形中的边长和角度问题。
2. 单位圆中的应用：- 在单位圆中，角度θ对应的点坐标为(cosθ, sinθ)，这是三角函数与单位圆的重要关系。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要的函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数（csc，sec，cot）。
下面是关于三角函数的一些图像与性质：1. 正弦函数（sin）的图像：正弦函数是一个周期函数，它的图像在一个周期内呈现出振荡的形式，取值范围在-1到1之间。
当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，正弦函数的值为0、1、0、-1，分别对应于函数的最小值、最大值、0点和最大负值。
2. 余弦函数（cos）的图像：余弦函数也是一个周期函数，它的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位差了π/2。
余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，余弦函数的值依次为1、0、-1、0。
3. 正切函数（tan）的图像：正切函数的图像在每个周期上有无穷多个交点，它的值可以为任何实数。
正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，即tan(x) =sin(x) / cos(x)。
当自变量取π/2、3π/2、5π/2等特殊值时，正切函数的值为正无穷大；取-π/2、-3π/2、-5π/2等特殊值时，正切函数的值为负无穷大。
4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，它们的周期分别为2π、2π和π。
这意味着，当自变量增加一个周期时，函数的值将重复出现。
例如，sin(x + 2π) = sin(x)。
5. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) =f(x)。
这些是关于三角函数图像与性质的一些基本信息，三角函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。
六种三角函数性质
六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割y=s inx-5J*-/ 一 \ 巧-3正割函数y =sccxjt」-6n—s 1-r )ny=cosx-5_________ 2 -7-\-3-—1 -132___-25 2■y=ta nx [i \f J /y-------------------- 1111II/r''—j 1J r f f f—Ay=cotx11i1\] 1 1\\32 _2I i j/J fo23/ ~ffI x一1o2 'i iI3、2 p\1T*x2-4 -2 1-1余割帽数y二出疋玄函数y=s inx y=cosx y=ta nx y=cotx定义域R R{x | x € R 且x 丰 k n于，k € Z} 2{x | x € R 且x 丰 k n€,IZ}值域[-1 , 1 ] x=2k n+ —时2y max = 1x=2k n —时y min =-12[-1,1:x=2k n时y max=1x=2k n + 时y min =-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2n周期为2n周期为n周期为n奇偶性奇函数:偶函数奇函数奇函数—单调性在[2k n-—,2k n+ ]2 2上都是增函数；在在[2k n- n, 2k n] 上都是增函数；在]2k n, 2k n + n]上都是减函数在(k n-—,2在(k n, k n + n I内都是减函数(k € Z) JI2ZL-仃应1XY•■ ：aVI.反三角函数:y=secx 的性质：(1)定义域，{x|x Mn /2+k n«Z}(2)值域,| secx | >1.即secx >1 或secx < —1;(3) y=secx 是偶函数，即sec( —x)=secx .图像对称于y轴；(4) y=secx 是周期函数.周期为2k n (k€ Z,且k M 0),最小正周期T=2n .(5)正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；(6 )正割函数无限趋于直线x= n /2+K n ;(7)正割函数是无界函数；(8)正割函数的导数：( secx ) ' =secx x tarx;(9正割函数的不定积分： / secxdx=ln I secx+tanx I +Cy=cscx的性1、定义域：{x|x M k n, k € Z}2、值域：{y| y< -1 或y > 1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2n5、图像：图像渐近线为：x=k n ，k € Z余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式两角和与差的三角函数cos( a + B )=cos a-sincc a 0 sin [3cos( )=cos a - cos 3 +sin a - sin 3sin( a±3 )=sin -• cos 3 士cos -• sin 3tan( a + 3 )=(tan a +tartan )/(1- tan 3)tan( 诩)=(tan-tan 3 )/(1+tan a - tan 3)和差化积[/url]公式：sin a +sin 3 =2sin[( a + 3 )-3c)o2I( asin -sin 3 =2cos[( a + 3 )/2]s3W2I acos a +cos 3 =2cos[( a + 3 )/230/21 acos -cos 3=sin[( a + 3 )/2]sin[( )/2] a积化和差[/url]公式：sin a - cos 3 =(1/2)[sin( a- + 3] )+sin( acos a - sin 3 =(1/2)[sin-sin( a+3 )cos a - cos 3 =(1/2)[cos( a-+3))+CoS(asin a - si-(1/2=cos( -COS O—3 )]倍角公式[/url]:sin(2 a )=2sin -• cos a =2/(tan a +cot a)cos(2 a )=(cos a s也a )A2=2(cos -a=)122(sin a )A2tan(2 a )=2tan -ta/nA2 a)cot(2 a )=(cotA21)/(2cotsec(2 a )=secA2 -ta/(A2 a)csc(2 a )=1/2*sec -• csc a三倍角公式：sin(3 a ) = 3si-4sinA3 a = 4sin -•sin(60 °-+-) )sin(60 °cos(3 a ) = 4cosA33cos a = 4cos -•cos(60 °+ a )cos(60 °tan(3 a ) = (3tantanA- a )/(-13ta门八2 a ) = tan a tan( n /3+ a -tan( n /3cot(3 a )=(cotA33cot a )/(3cotA2-1) an倍角公式：sin(n a )=ncosA(fh) -• sC(r-3)cosA(n- 3) a sinA5sinA3 a +C(n,5)cdsr(a -acos(n a )=cosAnC(n,2)cosA(n-2) -• sinA2 a +C(n,4)cosA(a - sinA4…a 半角公式[/url]:sin( a /2)= 士c6((a )/2)cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2)tan( a /2)= 士也s(- )/(1+cos a ))=sina)y=(ncot( a /2)= ±V ((1+coco aa/)1=(1+cos a )/sin a-essi aa)/(1sec( a /2)= ±V ((2sec a /(sec a +1))csc( a /2)= ±V ((2sec-1))/(sec a辅助角公式：As in a +Bcos a =V (A A2+B A2)si n( ) a ta+i© © =B/AAs in a +Bcos a =V (AA2+BA2)cos©) (dtan © =A/B万能公式sin( a)= (2ta n(a/2))/(1+ta 门八2@/2))cos(a)= (1-ta nA2(a/2))/(1+ta 门八2@/2))tan (a)二(2ta n(a/2))/(1-ta 门八2@/2))降幕公式sinA2 a =-1os(2 a ))/2二versin(2 a )/2cosA2 a =(1+cos(2 a ))/2二covers(2 a )/2tanA2 a =(-tos(2 a ))/(1+cos(2 a ))三角和的三角函数：sin( a + B + Y )=sin a・cos 厂cos 丫+cos a・sin [3-sinco s 丫+irosp a-^scos 厂n 丫cos( a + B + Y )=cos a • coosp a …cosi 丫阳nsi a Y cos [B sinsi a in [3 • cos Ytan( a + 3 + Y )=(tan a +tan-tan+tan- Y an B • t-tan丫a/(1 tatan p B • tan 丫tan 丫• tan a/其它公式两角和与差的三角函数cos( a + B )=cos a-sinco a B sin Bcos( -cB )=cos a • cos B +sin a • sin B sin( a±B )=sin a • cos B 士cos a • sin B tan( a + B )=(tan a +ta-tan )/(1 • tan B/ tan( aB )=(tan-tan B )/(1+tan a • tan B/=sin a /(1os a和差化积[/url]公式：sin a +sin B =2sin[( a + B )-B co2I( asin -sin B =2cos[( a + B )/2]sBW2I acos a +cos B =2cos[( a + B )/2B o/?I acos -cos B=sin[( a + B )/2]sin[( )/2] a积化和差[/url]公式：sin a・cos B=(1/2)[sin( a- + B] )+sin( acos a・sin B =(1/2)[sin-sin( a+R /cos a・cos B=(1/2)[cos( a-+B))+CoS(asin a・si-(1/2=cos( -COS()—B )]倍角公式[/url]:sin(2 a )=2sin a・cos a =2/(tan a +cot a)cos(2 a )=(cos —S A2 a F2=2(cos -1=A22(sin a )八2 tan(2 a )=2tan -taf(iA2 a)cot(2 a )=(COtA21)/(2cot a) sec(2 a )=sec A 2 -tani2 a) csc(2 a )=1/2*sec a 、csc a 三倍角公式：sin(3 a ) = 3sin4si nA3 a = 4s in a 、sin (60° -+a) )si n(60 °cos(3 a ) = 4cosA33cos a = 4cos a 、cos(60 ° + a )cos(60 ° tan(3 a ) = (3tanta 门八(3 a )/(-13ta 门八2 a ) = tan a tan( n /3+ a a tan( n /3cot(3 a )=(COtA33cot a )/(3C0tA2-1) an 倍角公式：sin(n a )=ncosA(n )a ・ sC(a 3)cosA(n- 3) a sinA5 aAs in a +Bcos a =V (AA2+BA2)si n( ) a tan © © =B/AAs in a +Bcos a =V (AA2+BA2)cos ©) (dtan © =A/B 万能公式sin( a)= (2ta n(a/2))/(1+ta 门八2@/2)) cos(a)= (1-ta nA2(a/2))/(1+ta 门八2@/2)) tan (a)二(2ta n(a/2))/(1-ta 门八2@/2)) 降幕公式sinA2 a =-1os(2 a ))/2=versin(2 a )/2 cosA2 a =(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2 tanA2 a =fCos(2 a ))/(1+cos(2 a )) 三角和的三角函数：sin( a + B + Y )=sin a ・ cos 厂 cos 丫 +cos a ・ sin [3-sincos 丫 +Cosp a-^sCos 厂 n 丫cos( a + B + Y )=cos a • coosp a …cosn y^sinsi a Y cos [Bsinsi a in [3 • co s Ytan( a +B + Y )=(tan a +tan-tan+tan- y an B • t-tan 丫a /(1 tatan p B • tan 丫 tan 丫 • tan a) 其它公式1+si n( a)=(si n(a/2)+cos(a/2)F2 1-si n( a)=(s in (a/2)-cos(a/2)F2 csc(a)=1/s in(a) sec(a)=1/cos(a) cos30=si n60sin30tan a +cot a =2/sin2 atan a cot a -2cot21+cos2 a =2cosA2 a 1-cos2 a =2sin^2 a1+sin a =[sin( a /2)+cos( a /2)]A 2sinA3 a +C(n,5)cdsr (a •cos(n a )=cosAnC(n,2)cosA(n- 2) a ・ si 门八2半角公式[/url]:sin( a /2)= 土co&(a )/2) cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2) tan( a /2)= 士也)/(1+cos a ))=sin acot( a /2)= 士 V ((1+Cocoao)/(1=(1+CoS a a +C(n,4)cosy (a • sinA4・)y=(n )/sin a1+si n( a)=(si n(a/2)+cos(a/2))A2 1-si n( a)=(s in (a/2)-cos(a/2)F2 csc(a)=1/s in(a)sec(a)=1/cos(a)cos30=si n60sin 30=cos60推导公式tan a +cot a =2/sin2 atan a cot a-2cot2 a1+cos2 a =2cosA2 a1-cos2 a =2sinA2 a1+sin a =[sin( a /2)+cos( a /2)]A2tan Q — ----- sec^ 二---------------- -cosy cos91CSC 0 = —―- cot 0 =—―—sin (f sin B如右團'当平面上的三点入氐C的连绻呱AC. BC?构成Y肓角二甬形，其中ZACBft直角。
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质在数学中，三角函数是一类重要的函数，涉及到角度和三角形的关系。
它们具有许多基本性质，理解这些性质对于解决三角函数相关的问题非常重要。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、范围、周期性等。
1. 正弦函数的基本性质正弦函数（sine function）是三角函数中最常见的一种。
它的定义如下：$$sin(x) = \frac{{opposite}}{{hypotenuse}}$$其中，\(x\) 为角度，\(opposite\) 表示对边的长度，\(hypotenuse\) 表示斜边的长度。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为 \([-1, 1]\)。
正弦函数具有以下基本性质：- 周期性：\(sin(x)\) 的周期为 \(2\pi\)，即当自变量 \(x\) 增加 \(2\pi\) 时，函数值重新回到原来的值。
这是由于三角函数是周期性函数的特性决定的。
- 对称性：正弦函数是奇函数，即满足关系式 \(sin(-x) = -sin(x)\)。
这表示对称轴为原点，对称性质在许多数学和物理问题中非常有用。
- 不等式性质：对于任何角度 \(x\)，有 \(-1 \leq sin(x) \leq 1\)。
这意味着正弦函数的值始终位于闭区间 \([-1, 1]\) 中。
2. 余弦函数的基本性质余弦函数（cosine function）是三角函数中另一个重要的函数。
它的定义如下：$$cos(x) = \frac{{adjacent}}{{hypotenuse}}$$其中，\(adjacent\) 表示临边的长度。
余弦函数的定义域为全体实数，值域也为 \([-1, 1]\)。
余弦函数具有以下基本性质：- 周期性：\(cos(x)\) 的周期同样为 \(2\pi\)，与正弦函数相同。
这意味着余弦函数的值在每个周期内重复。
- 对称性：余弦函数是偶函数，即满足关系式 \(cos(-x) = cos(x)\)。
三角函数基本性质
三角函数基本性质三角函数是数学中常见的函数类型，它们在解决几何、物理和工程问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括定义域、值域、周期性等。
1. 正弦函数（sin）的基本性质：正弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。
其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于y轴对称。
正弦函数是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。
在定义域内，正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
2. 余弦函数（cos）的基本性质：余弦函数的定义域为实数集R，值域为闭区间[-1, 1]。
其图像为一条连续的曲线，通过坐标原点，关于x轴对称。
余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π（或360度）。
在定义域内，余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 正切函数（tan）的基本性质：正切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，正切函数有无穷多个极值点。
其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。
正切函数的值域为实数集R。
4. 余切函数（cot）的基本性质：余切函数的定义域为实数集R，在其定义域内，余切函数有无穷多个极值点。
其图像没有定义域内的极值点，但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。
余切函数的值域为实数集R。
5. 正割函数（sec）的基本性质：正割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。
其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。
注意到正割函数与余弦函数的关系，即sec(x) = 1/cos(x)。
6. 余割函数（csc）的基本性质：余割函数的定义域为实数集R，其在定义域内没有极值点。
其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。
注意到余割函数与正弦函数的关系，即csc(x) = 1/sin(x)。
三角函数的基本性质对于解决几何、物理和工程问题至关重要。
在解决角度、周期性、波动等问题时，我们可以利用这些性质计算和推导。
三角函数还与复数、级数等数学概念有着广泛的联系，为更深入的数学研究提供了基础。
三角函数基础知识点
三角函数基础知识点三角函数是数学中的一个重要分支，它研究了三角形的角和边之间的关系。
它在解决几何问题、物理问题、工程问题等方面有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的基础知识点，包括三角函数的定义、性质、基本关系、常用公式等。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数sin、余弦函数cos和正切函数tan。
这些函数将一个角映射为一个比值，该比值与三角形的边的长度有关。
1. 正弦函数sin:正弦函数是一个周期函数，定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinA = a/c。
2. 余弦函数cos:余弦函数也是一个周期函数，定义为一个角的邻边与斜边的比值，即cosA = b/c。
3. 正切函数tan:正切函数也是一个周期函数，定义为一个角的对边与邻边的比值，即tanA = a/b。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数是周期函数，周期为360度或2π弧度。
即sin(x + 360n) = sin(x)、cos(x + 360n) = cos(x)、tan(x + 180n) = tan(x)。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
3.交替性：正弦函数和余弦函数在一些点上交替变换，即sin(x + π) = -sin(x)、cos(x + π) = -cos(x)。
正切函数在一些点上没有定义，即tan(x + π) = tan(x)。
三、三角函数的基本关系1.三角函数之间的关系：sin²A + cos²A = 1，这是三角恒等式之一，可以利用勾股定理推导出来。
2.三角函数的互换关系：sin(x) = cos(90° - x)cos(x) = sin(90° - x)tan(x) = 1/tan(90° - x)3.三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))四、常用三角函数公式1.加法公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) 2.减法公式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) 3.和差与倍角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))以上是三角函数基础知识的介绍，了解这些知识点对于理解三角函数的性质和应用是非常重要的。
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起来深入了解一下三角函数的基本性质。
首先，我们来认识一下常见的三角函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
正弦函数 sin(x) 的定义是：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。
其定义域为全体实数，值域为-1, 1。
正弦函数是一个周期函数，其最小正周期为2π。
这意味着 sin(x ＋2π) ＝ sin(x) 对于任意实数 x 都成立。
余弦函数 cos(x) 则是这个锐角的邻边与斜边的比值。
它的定义域也是全体实数，值域同样为-1, 1，最小正周期也是2π。
正切函数 tan(x) 定义为正弦函数与余弦函数的比值，即 tan(x) ＝sin(x) ／ cos(x) ，但要注意，cos(x) 不能为 0，所以正切函数的定义域是x ≠ （2k ＋1)π/2 ，其中 k 为整数。
正切函数的周期为π。
从图象上来看，正弦函数的图象是一个波浪形，它在 x ＝kπ ＋π/2 （k 为整数）处取得最大值 1 和最小值－1 。
余弦函数的图象与正弦函数类似，只是相位不同，它在 x ＝kπ （k 为整数）处取得最大值 1 和最小值－1 。
正切函数的图象则有一些不同，它在每个周期内都有垂直渐近线 x ＝（2k ＋1)π/2 ，并且在区间（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 内单调递增。
三角函数还有一些重要的性质。
比如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即 sin(x) ＝ sin(x) ，cos(x) ＝ cos(x) 。
在三角函数的运算中，有着许多重要的公式。
比如两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(A ＋ B) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinBsin(A B) ＝ sinAcosB cosAsinBcos(A ＋ B) ＝ cosAcosB sinAsinBcos(A B) ＝ cosAcosB ＋ sinAsinBtan(A ＋ B) ＝（tanA ＋ tanB) ／（1 tanAtanB)tan(A B) ＝（tanA tanB) ／（1 ＋ tanAtanB)这些公式在解决许多数学问题时都非常有用。
三角函数的基本概念和性质
三角函数的基本概念和性质三角函数是数学中重要的概念之一，被广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的基本概念和性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、基本概念三角函数是指在单位圆上，以圆心为原点，边长为1的圆为准，则任意一个圆周上的点P(x,y)，其对应的三角函数值可以表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ为弧度。
常用的三角函数还包括其倒数：cscθ、secθ和cotθ。
1. 正弦函数（sinθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的纵坐标y作为sinθ的值。
2. 余弦函数（cosθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的横坐标x作为cosθ的值。
3. 正切函数（tanθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的纵坐标y除以横坐标x得到tanθ的值。
4. 余切函数（cotθ）：tanθ倒数的值，即1/tanθ。
5. 正割函数（secθ）：cosθ的倒数的值，即1/cosθ。
6. 余割函数（cscθ）：sinθ的倒数的值，即1/sinθ。
二、基本性质三角函数具有一些重要的性质，这些性质的理解和应用对于解决问题至关重要。
1. 基本关系：- cosθ = sin(90° - θ)- tanθ = sinθ/cosθ- cotθ = 1/tanθ- secθ = 1/cosθ- cscθ = 1/sinθ2. 周期性：- sinθ和cosθ的周期为360°（或2π弧度），即在一个周期内，函数值重复出现。
- tanθ、cotθ、secθ和cscθ的周期为180°（或π弧度）。
3. 正负关系：- sinθ、cscθ的值域在-1至1之间。
- cosθ、secθ的值域在-1至1之间。
- tanθ、cotθ在整个定义域上均无定义，只有在特定区间上有正负之分。
4. 对称性：- sin(-θ) = -sinθ- cos(-θ) = cosθ- tan(-θ) = -tanθ三、应用示例三角函数在几何、物理、工程等领域具有广泛的应用，下面举例说明：1. 几何中的应用：- 利用三角函数可以计算任意角形的各个角的大小、边长和面积。
三角函数的性质及应用
三角函 数
正弦函数 y＝sinx
余弦函数 y＝cosx
正切函数 y＝tanx 周期是 kπ(k∈Z 且
周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小正周 周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0)， 周期性 k≠0)，最小正周期 2π 期是 最小正周期是 2π 是 π
π x＝2＋kπ 对称轴是 对称性 对称中心是 (kπ，0)
R
[－1,1] 奇函数
R
[－1,1]
偶函数
R
奇函数
续表 三角函数 在 单调性
正弦函数 y＝sinx
π π －2＋2kπ，2＋2kπ (k∈Z)上
余弦函数 y＝cosx 在
[2kπ－π，2kπ]
正切函数 y＝tanx (k 在
π π －2＋kπ，2＋kπ
2π 3．若函数 y＝2cosωx 在区间 0， 3 上单调递减，且有最小值 1，则 ω 的值可以是( A．2 C．3
解析
)
1 B.2 1 D.3
2π 2π 2π 2π 由 y＝2cosωx 在 0， 3 上是递减的，且有最小值为 1，则有 f ＝ 1 ，即 2cos ω ＝ 1 ，即 cos 3 3 3
是递增函数， 在
π 3π ＋ 2 k π ＋ 2 k π ， 2 2
∈Z)上是递增函数， 在 [2kπ，2kπ＋π] (k (k∈Z) ∈Z)上是递减函数
(k∈Z)上是递增函数
上是递减函数 当且仅当 最值
π x＝2＋2kπ
(k∈Z) 当且仅当 x＝2kπ (k∈Z) 无最值
时，取得最大值 1；当且仅 时，取得最大值 1；当且仅 π 当 x＝－2＋2kπ (k∈Z)时，取 当 x＝π＋2kπ (k∈Z)时， 得最小值－1 取ห้องสมุดไป่ตู้最小值－1
三角函数的概念与基本性质
三角函数的概念与基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它与三角形的关系密切，是解决三角形相关问题的基础。
本文将介绍三角函数的概念与基本性质，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的概念三角函数是指以角度为自变量，以某一边的长度比例为函数值的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
以一个直角三角形为例，假设其中一个锐角为θ。
那么，正弦函数sinθ的定义为：sinθ = 对边/斜边，余弦函数cosθ的定义为：cosθ = 邻边/斜边，正切函数tanθ的定义为：tanθ = 对边/邻边。
这些定义是根据三角形中的几何关系推导而来的。
二、三角函数的基本性质1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性。
以正弦函数为例，sin(θ+2π) = sinθ，即正弦函数在每个周期内的取值是相同的。
这一性质在解决三角函数相关问题时非常重要。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
这意味着正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 互余关系：正弦函数和余弦函数具有互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
这一性质可以通过三角函数的定义和几何关系进行推导。
4. 三角函数的范围：正弦函数和余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，而正切函数的取值范围为全体实数。
5. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像是连续的曲线，呈现周期性变化。
正切函数的图像则是一条连续的曲线，但在某些点上有无穷大的间断点。
三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 三角函数在三角形相关问题中的应用：通过三角函数的定义和性质，可以解决三角形的边长、角度等相关问题。
例如，已知一个三角形的一边和一个角度，可以利用正弦函数或余弦函数求解其他边长或角度。
初中数学三角函数知识点归纳
初中数学三角函数知识点归纳三角函数是初中数学中的重要知识点之一，它涉及到了数学中的几何形状和数值关系。
了解和掌握三角函数的概念、性质和相关计算方法，对于学生理解几何形状和解决实际问题具有重要的作用。
一、三角函数的概念三角函数是以单位圆为基础，通过正弦和余弦的数值关系来描述角度与长度的关系。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数(sin)：在单位圆上，对于任意一点P(x, y)，以原点O为顶点的弧OP所对应的角的正弦值定义为y坐标。
2. 余弦函数(cos)：在单位圆上，对于任意一点P(x, y)，以原点O为顶点的弧OP所对应的角的余弦值定义为x坐标。
3. 正切函数(tan)：在单位圆上，对于任意一点P(x, y)，以原点O为顶点的弧OP所对应的角的正切值定义为y坐标与x坐标的比值。
二、三角函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即对于任意实数x，有sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。
而正切函数的周期是π，即tan(x+π) = tanx。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx；而正切函数既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-x) ≠ -tanx。
3. 函数值的范围：对于正弦函数和余弦函数，函数值的范围是[-1, 1]；对于正切函数，函数值的范围是全体实数。
4. 特殊角的函数值：常用的特殊角如0°、30°、45°、60°和90°对应的三角函数值需要熟记，以便在计算中能够快速准确地使用。
三、三角函数的计算方法1. 根据已知角度计算三角函数值：根据已知角度，可以利用计算器或查表法来计算其对应的正弦、余弦和正切值。
需要注意的是，计算器需要设置为弧度制或角度制，以便得到正确的计算结果。
2. 根据已知三角函数值求解角度：根据已知的正弦、余弦或正切值，可以利用逆三角函数来求解对应的角度。
三角函数的特性与基本性质
三角函数的特性与基本性质三角函数是初中、高中阶段学习数学中的重要一部分，它们是描述角度与直线之间关系的函数。
包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等常用三角函数。
由于三角函数在这个层次的数学中频繁出现，因此学生需要对其特性与基本性质有一定的了解。
一、正弦函数的特性与基本性质正弦函数在坐标系中的图像为一个以原点为中心的正弦曲线，其特点如下：1. 呈现周期性。
正弦函数为周期函数，即当自变量增加2π时，函数值再次重复。
2. 范围从-1到1。
正弦函数在自变量取任意实数时，其函数值的范围为[-1,1]。
3. 有奇偶性。
正弦函数为奇函数，即在自变量取相反数时，函数值取相反数。
正弦函数的基本性质如下：1. 呈现连续性。
正弦函数在任意实数点处都连续。
2. 具有可导性。
正弦函数在任意实数点处都可导。
3. 有角度关系。
正弦函数描述的是角度与其对应的斜边与直角边之间的比值，因此它们之间存在角度关系。
二、余弦函数的特性与基本性质余弦函数在坐标系中的图像为一个以原点为中心的余弦曲线，其特点如下：1. 呈现周期性。
余弦函数为周期函数，即当自变量增加2π时，函数值再次重复。
2. 范围从-1到1。
余弦函数在自变量取任意实数时，其函数值的范围为[-1,1]。
3. 有奇偶性。
余弦函数为偶函数，即在自变量取相反数时，函数值保持不变。
余弦函数的基本性质如下：1. 呈现连续性。
余弦函数在任意实数点处都连续。
2. 具有可导性。
余弦函数在任意实数点处都可导。
3. 有角度关系。
余弦函数描述的是角度与其对应的斜边与直角边之间的比值，因此它们之间存在角度关系。
三、正切函数的特性与基本性质正切函数在坐标系中的图像为一条渐近线和一系列摆动的曲线，其特点如下：1. 呈现周期性。
正切函数为周期函数，即当自变量增加π时，函数值再次重复。
2. 函数值可以为任意实数。
正切函数在自变量取某些值时，其函数值为无穷大或无穷小。
3. 没有奇偶性。
正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
六种三角函数性质
六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1［-1,1］x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数在(kπ-2π，在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)y=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；(7) 正割函数是无界函数；（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×tarx；（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+Cy=cscx的性1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}2、值域：{y|y≤-1或y≥1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2π5、图像：图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z 余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)=sinα/(1-cosα) ·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinαsec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2。
三角函数所有公式及基本性质[整理]
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一、任意角的三角比〔一〕诱导公式ααπsin )2sin(=+k ααπcos )2cos(=+k ααπtg k tg =+)2( ααπctg k ctg =+)2( ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=-ααtg tg-=-)(ααctgctg -=-)(ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtg tg =+)( ααπctg ctg =+)( ααπsin )sin(=-ααπcos )cos(-=-ααπtg tg -=-)(ααπctg ctg -=-)(ααπsin )2sin(-=- ααπcos )2cos(=- ααπtg tg -=-)2( ααπctg ctg -=-)2(ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=-ααπctg tg =-)2(ααπtg ctg =-)2(ααπcos )2sin(=+ααπsin )2cos(-=+ ααπctg tg -=+)2( ααπtg ctg -=+)2(ααπcos )23sin(-=- ααπsin )23cos(-=- ααπctg tg =-)23( ααπtg ctg =-)23(ααπcos )23sin(-=+ ααπsin )23cos(=+ ααπctg tg -=+)23( ααπtg ctg -=+)23(〔二〕关系结构图〔三〕三角比符号1.同角三角比的关系 倒数关系 1csc sin =αα 1sec cos =αα 1=ααctg tg商数关系 αααcos sin =tg αααsin cos =ctg平方关系 1cos sin 22=+αα αα22sec 1=+tg αα22csc 1=+ctg2.两角和与差的三角比两角差的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 两角和的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 两角差的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 两角和的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ 两角差的正切公式 βαβαβαtg tg tg tg tg +-=-1)(两角和的正切公式 βαβαβαtg tg tg tg tg -+=+1)(形式)sin(ϕα+Aπϕϕϕϕααα20,sin ,cos )sin(cos sin 222222<≤+=+=++=+ba bb a a b a b a 3.二倍角的三角比ααααααααααα22222122sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin tg tg tg -=-=-=-==4.半角的三角比αααααααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=+-±=+±=-±=tg5.万能置换公式21222121cos 2122sin 2222αααααααααtg tgtg tg tg tg tg-=+-=+=_1. 三角形的面积C ab B ca A bc S sin 21sin 21sin 21===∆ 2. 正弦定理)2(sin sin sin R Cc B b A a === 3. 余弦定理abc b a C ca b a c B bc a c b A C ab b a c B ca c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 2222222222222222222-+=⇔-+=⇔-+=-+=⇔-+=⇔-+=或三角比补充概念或公式一、 有关sin α与cos α，tg α与tg α，|sin α|与|cos α|，|tg α|与|ctg α|大小比拟1.sin α与cos α〔下左图〕当α的终边在第一、第三象限的角平分线上时，sin α=cos α 当α的终边在此角平分线的上方，即图中区域①时，sin α>cos α 当α的终边在此角平分线的下方，即图中区域②时，sin α<cos α2.tg α与ctg α〔上右图〕当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，tg α=ctg α 当α的终边在图中区域①、或③、或⑤、或⑦时〔不包括坐标轴〕，tg α>ctg α 当α的终边在图中区域②、或④、或⑥、或⑧时〔不包括坐标轴〕，tg α<ctg α3. |sin α|与|cos α|〔下左图〕当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|sin α|=|cos α| 当α的终边在图中区域①或③时，|sin α|>|cos α| 当α的终边在图中区域②或④时，|sin α|<|cos α|4. |tg α|与|ctg α|〔上右图〕当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|tg α|=|ctg α| 当α的终边在图中区域①或③时〔不包括坐标轴〕，|tg α|>|ctg α| 当α的终边在图中区域②或④时〔不包括坐标轴〕，|tg α|<|ctg α| 二、三角中常用的手法〔sin α+sin β〕与〔cos α+cos β〕分别平方后相加，可以产生cos(α-β) 〔sin α+sin β〕与〔cos α+cos β〕分别平方后相加，可以产生sin(α+β) 三、1.在非直角ΔABC 中，有tgAtgBtgC tgC tgB tgA =++2.在tgA ，tgB ，tgC 存在的前提下，A+B+C=k π〔k 属于整数〕是tgAtgBtgC tgC tgB tgA =++的充要条件。
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六种三角函数性质六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy xy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R｛x｜x∈R且x≠kπ+2,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值［-1，1］［-1,1］R Ry=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；(7) 正割函数是无界函数；（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×ta rx；（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣se cx+tanx∣+Cy=cscx的性1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}2、值域：{y|y≤-1或y≥1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2π5、图像：图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z 余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)=sinα/(1-cosα) ·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinαsec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^211 / 11。