高中数学 第3课时函数的概念和图象(3)(教师版) 苏教版
《函数的概念和图象》示范公开课教案【高中数学苏教版】
第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。
苏教版5.1函数的概念和图象课件(26张)
高中数学 必修第一册 配套江苏版教材
随堂小测
C D
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6. 如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.（临界 状态不考虑） （1）试将横断面中水的面积A（m2）表示成水深h（m）的函数； （2）确定（1）中函数的定义域和值域；（3）画出（1）中函数的图象.
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新知学习
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二、函数的三要素
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. 【知识解读】 1.定义域：函数的定义域是函数的自变量构成的集合. 2.对应关系：对应关系f是函数的本质特征，y＝f（x）仅仅是函数的符号，可以是解析式，也可以是图象， 还可以是表格. 3.函数的值域：函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定，函数的值域也是一个数集. 4.由于值域是由定义域和对应关系决定的，因此确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系.即要检验 给定的两个变量（变量均为数值）之间是否具有函数关系，只要检验： （1）定义域和对应关系是否给出； （2）根据给出的对应关系，对于自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值y和它对应.
【解】 （方法1）因为f（0）＝1，f（x-y）＝f（x）-y（2x-y+1）， 所以令x＝y，得f（0）＝f（x）-x（2x-x+1）， 所以f（x）-x（2x-x+1）＝1，即f（x）＝x2+x+1. （方法2）令x＝0，得f（0-y）＝f（0）-y（-y+1），即f（-y）＝1-y（-y+1）. 又令-y＝x，代入上式得f（x）＝1-（-x）（x+1）＝1+x（x+1）， 所以f（x）＝x2+x+1.
苏教版高中数学必修一函数的概念和图象课件
练习：①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉! y
yx
y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y x
x
x 0 1 4 9… y 0 1 2 3…
作业:
1
-1 0 -1
B
1
23 4
x
1、阅读课本，完成P63页第5题：（教材原题如下）
• （1）在直角坐标系内，画出直线y＝x，然后找出下 面这些点关于直线y＝x对称的点，并且写出它们的 坐标（不必说明理由）：
A（2，3），B（I，0），C（－2，－I），D（0，－l）
A1（ ）， B1（ ）， C1（
互为反函数的函数图象间的关系
一、复习引入
1、求反函数步骤?
y f (x) x A y C 用y表示x x y 函数?
互 为 反 函 数
yC xA
y f 1(x) x C y A 习惯改写 x f 1( y) y C x A
1、解(x)
2、调（x, y） 3、注定（定义域）
2、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？ 为什么？ 如何改写定义域才能使其有反函数？
解: 没有; 因为它不是一一映射构成的函数；
把定义域改写为 (-∞,0]、[0,+∞)时它有 反函数.
二、探索研究
y 4A
3
2
y=x ●P(2,4)
O’ ● Q(4,2)
原函数图象与反函数图象关于直线y=x对称。
自学例1 求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函
高中数学苏教版必修一《2.1.1函数的概念和图象》课件PPT
函数的概念和
图象（2）
苏教版 高中数学
函数的概念以及记法：
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f， 对于集合 A中的每个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这 样的对应 叫从A到B的一个函数．通常记为：y＝f(x)，xA， x的值构成的 集合A叫 函数y＝f(x)的定义域．
已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－3x＋2，试分别求出g(f(x) 和f(g(x)的值域，比较一下，看有什么发现．
定义域 函数的 对应法则 通常称之函数的三要素．
值域
f(g(x)型的函数通常被称之为复合函数．
作业： P31第5，8，9．
2.1.1
谢谢大家
苏教版 高中数学
例2 已知f (x)＝(x－1)2＋1，根据下列条件，分别 求函数f (x)的值域． (1)x{－1，0，1，2，3}． (2)xR． (3)x[－1，3]． (4)x(－1，2]． (5)x(－1，1)．
数学应用：
例3 求下列函数的值域.
(1) y x2 4
(2) y 4 x2
思考： 求函数f(x)＝ x －2 的值域.
求函数值域的常用方法： (1) 视察法——依托图象． (2) 代入法——一般适用于定义域为孤立 数集． (3) 依托已知函数的值域． (4) 其他方法．
例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出， x123 4 x 1 234 f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
试分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．
f(g(x))与g(f(x))的涵义以及不同之处. x f f(x) g
g(f(x))
5_1 函数的概念与图像(课件)-高一数学(苏教版2019必修第一册)
x 1
令 x 0 ，可得 f 2 0 .故选：D.
D．0
）
讲授新课
知识点四 求函数值
【变式 4-1】函数 = − 1 + 1 的值域为 ( )
A. (0,+∞)
B. (1,+∞)
C. [0,+∞)
【答案】D 【解析】解：因为 − 1 ≥ 0，所以 − 1 + 1 ≥ 1，
A． [1,3]
B． [1, 4]
C． [2,5]
【答案】A
【解析】∵函数 f ( x 1) 的定义域为 [1,5] ，
∴ 1≤x≤5 ，则 2 x 1 6 ，
即 f ( x) 的定义域为 [2, 6] ，
由 2 2 x 6 ，得1 x 3 ，
∴ f (2 x) 的定义域是 [1,3] ，故选：A
解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，
只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的
每一个值，是否都有唯一确定的函数值．
答案
(2)
解析 由于(1)中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素，并且(3)中集合 P 不是数集，
所以(1)和(3)都不是集合 P 上的函数．由题意知，(2)正确．
讲授新课
知识点一
函数定义的理解
【例 1】下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是（
）
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正 n 边形的边数和内角和
D．母亲的身高与子女的身高
【答案】D
【解析】A 中的任意一个角总对应唯一的一个余弦值，是函数关系；
5.1函数的概念与图象第3课时函数的图象-【新教材】苏教版(2019)高中数学(学生版+教师版)
编号：024 课题:函数的概念与图象——第3课时 函数的图象 目标要求1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3.会画基本函数的图象；4.能进行函数图象的平移变换. 重点难点重点：函数图象的简单应用； 难点：函数图象的平移变换． 教学过程 基础知识点 函数的图象(1)定义: 函数的图象：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为________坐标，相应的函数值作为________坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ，当自变量_________时，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．(2)集合表示:所有这些点组成的集合(点集)为_____________,即_____________.(3) 函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合对应着函数的_________，在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的_____． (4)本质:函数对应的图形,即几何意义. 【思考】集合{x |y =f (x ),x ∈A }、{y |y =f (x ),x ∈A }能表示函数的图象吗?为什么?【基础小测】1.函数()y f x =的图象与y 轴的交点个数为 （ ）A ．至少一个B ．至多一个C ．必有一个D ．一个或无穷多个2.函数2(1)y x =-的图象可由2y x =的图象向____平移_____个单位.3.(多选．．)下列坐标系中的曲线或直线,能作为函数y =f (x )的图象的有( )4. 函数y =x 0的图象是 ( )关键能力·合作学习类型一作函数的图象(直观想象) 【题组训练】1.函数xy xx||=+的图象是（）2. (多选．．)下列各图形中，哪一个可能是函数()y f x=的图象（）A B C D3.作出下列函数图象:(1)f(x)=x-2(x∈(-1,4]);(2)f(x)=x2-2x+2(x∈{-2,-1,0,1}).CBA关于作函数的图象的关注点 (1)作函数的图象首先要关注函数的定义域,定义域未知的要先求定义域.函数的定义域有全体实数、定区间、离散的实数集几种.如果函数的定义域是离散的实数集,则函数的图象是由离散的点构成的.(2)其次要关注函数的类型,如一元一次函数、一元二次函数、反比例函数等.如作一元二次函数的图象时,需要注意图象的开口、对称轴.取点的时候要全面.【补偿训练】作出函数y =x 2+x (-1≤x ≤1)的图象.类型二 函数图象的简单应用(直观想象) 角度1 利用函数的图象求值【典例】已知函数f (x )的图象是如上图所示的曲线OAB , 其中O (0,0),A (1,2),B (3,1),则1()(3)f f =________.【变式探究】若本例中的函数图象变为, 则f {f [f (2)]}=________.角度2 利用函数的图象比较大小【典例】画出函数f (x )=-x 2+2x +3的图象,并根据图象回答下列问题. (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小;(2)若x 1<x 2<1,比较f (x 1)与f (x 2)的大小.【变式探究】已知函数()()10f x x x x=+>的图象如图所示，（1）由图知，函数()y f x =在x = 时取得最小值为 ;（2）比较大小：12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ()2f ，13f ⎛⎫⎪⎝⎭()2f .关于函数图象的简单应用函数图象上的点为(x0,f(x0)),横坐标x0对应唯一的纵坐标(函数值),因此可以利用函数的图象求值.也可以根据图象上点的高低比较函数值的大小.【题组训练】如图,函数f(x)的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点.(1)(4)(2)(12)(8)________24f f f f--(用“>,=,<”填空);(2)若4<x1<x2<8时,试比较f(x1)与f(x2)的大小. 类型三函数图象的平移变换(直观想象)【典例】在初中我们学习过反比例函数1(0)y xx=≠,能否利用反比例函数的图象用平移的方法作出12(1)1y xx=+≠-的图象.【解题策略】函数图象平移的规则(1)对于函数图象左右的平移,遵循自变量“左加右减”,即自变量加向左平移,自变量减向右平移;(2)对于函数图象上下的平移,遵循函数值“上加下减”,即函数值加向上平移,函数值减向下平移.【跟踪训练】1.函数111yx=--的图象是 ( )2.把f(x)=2x2+x-1的图象向右平移一个单位长度,再向下平移一个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)=________.课堂检测·素养达标1. 函数y =x +1,x ∈Z ,且|x |<2的图象是________.(填序号)2.函数13y x =+的大致图象只能是 ( )3.二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象的顶点为(4,0),且过点(0,2),则abc 等于 ( )A .-6B .11C .-D .4.若函数y =f (x )的图象经过点(0,1),那么函数y =f (x +4)的图象经过点________.5.若函数y =f (x )的图象经过点(0,1),那么函数y =f (x +4)+1的图象经过点________.6.若函数y =f (x )的图象经过点(0,1),那么函数y =f (x -4)-1的图象经过点________.编号：024 课题:函数的概念与图象——第3课时 函数的图象 目标要求1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3.会画基本函数的图象；4.能进行函数图象的平移变换. 重点难点重点：函数图象的简单应用； 难点：函数图象的平移变换． 教学过程 基础知识点 函数的图象(1)定义: 函数的图象：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为 横 坐标，相应的函数值作为 纵 坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ，当自变量 取遍函数定义域A 中的每一个 时，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象． (2)集合表示:所有这些点组成的集合(点集)为___{(x ,f (x ))|x ∈A }____, 即___{(x ,y )|y =f (x ),x ∈A }___.(3) 函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合对应着函数的 定义域 ，在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的 值域 ．(4)本质:函数对应的图形,即几何意义. 【思考】集合{x |y =f (x ),x ∈A }、{y |y =f (x ),x ∈A }能表示函数的图象吗?为什么?提示:不能.上述两个集合都是数集,不是点集.因此不能表示函数的图象.第一个集合表示函数的定义域,第二个集合表示函数的值域.【基础小测】1.函数()y f x =的图象与y 轴的交点个数为 （ ）A ．至少一个B ．至多一个C ．必有一个D ．一个或无穷多个【解析】选B .根据函数的定义判断，函数()y f x =的图象与y 轴的交点个数可以为1个或没有交点，所以函数()y f x =的图象与y 轴的交点个数至多有一个.2.函数2(1)y x =-的图象可由2y x =的图象向____平移_____个单位. 【解析】函数2(1)y x =-的图象可由2y x =的图象向右平移1个单位得到.3.(多选．．)下列坐标系中的曲线或直线,能作为函数y =f (x )的图象的有( )【解析】选BD .能作为函数的图象,必须符合函数的定义,即定义域内的每一个 x 只能有唯一的y 与x 对应,故BD 可以,AC 不可以. 4. 函数y =x 0的图象是( )【解析】选B .因为函数y =x 0的定义域为{x |x ≠0},所以排除A ,C .又y =x 0=1,所以排除D .关键能力·合作学习类型一 作函数的图象(直观想象) 【题组训练】 1. 函数x y x x||=+的图象是 （ ）【解析】选D .先化简1,0,1,0,x x x y x x x x +⎧||=+=⎨-<⎩≥再作出函数的图象如上图所示. 2. (多选．．)下列各图形中，哪一个可能是函数()y f x =的图象（ ）CBAA B C D【解析】选AB.当0x=时，函数的图象上有3个值与之对应.3.作出下列函数图象:(1)f(x)=x-2(x∈(-1,4]);(2)f(x)=x2-2x+2(x∈{-2,-1,0,1}).【解析】 (1)描点作出图象,如右边左图所示:(2)描点作出图象,如右边右图图所示:【解题策略】关于作函数的图象的关注点(1)作函数的图象首先要关注函数的定义域,定义域未知的要先求定义域.函数的定义域有全体实数、定区间、离散的实数集几种.如果函数的定义域是离散的实数集,则函数的图象是由离散的点构成的.(2)其次要关注函数的类型,如一元一次函数、一元二次函数、反比例函数等.如作一元二次函数的图象时,需要注意图象的开口、对称轴.取点的时候要全面.【补偿训练】作出函数y=x2+x(-1≤x≤1)的图象.【解析】描点作出图象,如图所示:下题典例图类型二函数图象的简单应用(直观想象)角度1 利用函数的图象求值【典例】已知函数f(x)的图象是如上图所示的曲线OAB, 其中O(0,0),A(1,2),B(3,1),则1()(3)ff=________.【思路导引】先求f(3),再求1 ()(3)ff.【解析】由题图可知,f(3)=1,11(3)f=，1()(1)2(3)f ff==.答案:2【变式探究】若本例中的函数图象变为, 则f {f [f (2)]}=________.【解析】由题意可知f (2)=0,f (0)=4,f (4)=2. 因此,f {f [f (2)]}=f [f (0)]=f (4)=2. 答案:2角度2 利用函数的图象比较大小【典例】画出函数f (x )=-x 2+2x +3的图象,并根据图象回答下列问题. (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小;(2)若x 1<x 2<1,比较f (x 1)与f (x 2)的大小.【思路导引】(1)根据函数f (x )=-x 2+2x +3求出f (0)、f (1)、f (3)的值,描出相应的点,观察图象比较大小.(2)观察函数的图象,判断函数值的大小. 【解析】(1)函数图象 如图(1)所示.可见f (0)=f (2),f (1)>f (2)>f (3), 所以f (1)>f (0)>f (3).(2)如图(2)所示.当x 1<x 2<1时,f (x 1)<f (x 2). 【变式探究】已知函数()()10f x x x x=+>的图象如图所示，（1）由图知，函数()y f x =在x = 时取得最小值为 ; （2）比较大小：12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ()2f ，13f ⎛⎫⎪⎝⎭()2f . 【解析】（1）当1x =时，最小值为2；（2）115()(2)2222f f ==+=，111015()3(2)233322f f =+=>=+=. 【解题策略】关于函数图象的简单应用函数图象上的点为(x 0,f (x 0)),横坐标x 0对应唯一的纵坐标(函数值),因此可以利用函数的图象求值.也可以根据图象上点的高低比较函数值的大小.【题组训练】如图,函数f (x )的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点. (1)(4)(2)(12)(8)________24f f f f --(用“>,=,<”填空); 1O xy(2)若4<x 1<x 2<8时,试比较f (x 1)与f (x 2)的大小. 【解析】(1)由函数图象可知(4)(2)6(12)(8)83,22244f f f f --====，所以(4)(2)(12)(8)24f f f f -->. 答案:>(2)根据函数的图象容易发现, 当4<x 1<x 2<8时, f (x 1)>f (x 2).类型三 函数图象的平移变换(直观想象) 【典例】在初中我们学习过反比例函数1(0)y x x=≠,能否利用反比例函数 的图象用平移的方法作出12(1)1y x x =+≠-的图象. 【思路导引】12(1)1y x x =+≠-可以看作1(0)y x x=≠先向右移动一个单位,再向上移动2个单位得到.【解析】如图所示:【解题策略】函数图象平移的规则(1)对于函数图象左右的平移,遵循自变量“左加右减”,即自变量加向左平移,自变量减向右平移;(2)对于函数图象上下的平移,遵循函数值“上加下减”,即函数值加向上平移,函数值减向下平移.【跟踪训练】 1.函数111y x =--的图象是 ( )【解析】选A .函数111y x =--,此函数的图象可以看成由反比例函数1y x=- 先向右平移1个单位得函数11y x =--的图象,再向上平移1个单位得函数111y x =--的图象,反比例函数1y x =-的图象在二、四象限,两支都是增函数. 2.把f (x )=2x 2+x -1的图象向右平移一个单位长度,再向下平移一个单位长度得到函数g (x )的图象,则g (x )=________.【解析】由题意知g (x )=f (x -1)-1=2(x -1)2+(x -1)-1-1=2x 2-3x -1.答案:2x 2-3x -1课堂检测·素养达标1. 函数y =x +1,x ∈Z ,且|x |<2的图象是________.(填序号)【解析】由题意知,函数的定义域是{-1,0,1},值域是{0,1,2},函数的图象是三个点,故③正确.答案:③2.函数13y x =+的大致图象只能是 ( )【解析】选B .函数13y x =+的大致图象由1y x =的图象向左平移3个单位得到. 3.二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象的顶点为(4,0),且过点(0,2),则abc 等于( ) A .-6 B .11 C .- D .【解析】选C .因为二次函数的图象过(4,0),所以16a +4b +c =0.① 又过点(0,2),所以c =2.② 由顶点坐标为(4,0)可知42b x a =-=. ③ 由①②③可解得1,1,28a b c ==-=,所以14abc =- .4.若函数y=f(x)的图象经过点(0,1),那么函数y=f(x+4)的图象经过点________.【解析】y=f(x+4)可以认为把y=f(x)向左移了4个单位,由y=f(x)经过点(0,1),易知y=f(x+4)经过点(-4,1).答案:(-4,1)5.若函数y=f(x)的图象经过点(0,1),那么函数y=f(x+4)+1的图象经过点________.【解析】y=f(x+4)可以认为把y=f(x)向左移了4个单位,由y=f(x)经过点(0,1),易知y=f(x+4)经过点(-4,1)，再把y=f(x+4)向上平移1个单位，易知y=f(x+4)+1经过点（-4,2）.答案:(-4,2)6.若函数y=f(x)的图象经过点(0,1),那么函数y=f(x-4)-1的图象经过点________.【解析】y=f(x+4)可以认为把y=f(x)向右移了4个单位,由y=f(x)经过点(0,1),易知y=f(x-4)经过点(4,1)，再把y=f(x-4)向下平移1个单位，易知y=f(x-4)-1经过点（4,0）.答案:(4,0)。
高中数学2.1.1函数的概念和图象(3)教案苏教版必修1
2.1.1 函数的概念和图象(3)教学目标：1 •进一步理解函数的概念，理解函数的本质是数集之间的对应，能作出给定函数的图象；2 •通过作图，了解图象可以是连续的曲线，也可以是散点，并能通过图象揭示函数的本质属性；3 •通过教学，培养学生数形结合的能力，能由具体逐步过渡到符号化，并能对其进行理性化思考，对事物间的联系的进行数学化的思考.4•理解作图是由点到线，由局部到整体的过程，培养学生辩证地看待事物的观念和数形结合的思想.教学重点：作函数的图象.教学过程：一、问题情境1 •情境.回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图象.2. 问题.是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？二、学生活动1. 回忆初中作函数图象的步骤；2 12. 按初中的作图步骤作出函数f(x) = x—1, f(x) = x - 1,f(x)=-等函数的图象;X 3•思考课本29页的思考题并给出答案；4•阅读课本29页的阅读内容，尝试借助于电脑完成有关函数的图象.三、数学建构1 •函数的图象：一般地，我们将自变量的一个值X。
作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x o, f(x o)),自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为｛( x, y)| y= f (x) , x€ A｝，这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象.(1)函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成，或是几个孤立的点；(2)函数图象上每一点的纵坐标y = f(x o)，即横坐标为X。
时的相应函数值；(3)每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数.2•利用图象初步了解函数图象的对称性与单调性；3. 用E x cel帮助作图(1)赋值;(2)命令函数；(3)进行函数运算；(4)选择“ XY散点图/无数据点平滑线散点图”插入图表.四、数学运用1.例题.例1画出下列函数的图象：(1)f(x) = x +1；(2)f(x) = x + 1, x € { —1, 0, 1 , 2, 3}；2(3)f(x) = (x—1) + 1, x € R；2(4)f(x) = (x—1) + 1, x € [1 , 3).例2从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示:把人口数y(百万人)看作是年份x的函数，试根据表中数据画出函数的图象.120010008006004002000x/年份例3试画出函数f(x)= x2+ 1的图象，并根据图象回答下列问题：(1)较f( - 2), f(1) , f(3)的大小；(2)若0v X1V X2，试比较f(x"与f (X2)的大小.2•练习：(1)课本30页练习1, 2, 3;(2)作出下列函数的图象；① f(x) = |x- 1| + |x + 1| ;② f(x) = | x- 1| - |x + 1| ;③ f (x) = x|2 - x| .五、回顾小结1•函数图象的作法；2•函数的作图是利用局部来反映全部；3. 函数的图象具有直观性，生活因有图而美丽，函数因有图而生动.六、作业课堂作业：课本31页第3小题；课外作业：利用E x cel帮助研究函数f (x)与f (x + a)、f (x) + a的关系.。
高一数学最新课件-苏教版必修1函数的概念 精品
y=f(x)的定义域。
数学运用
例1 判断下列对应是否是函数 （1）x 2/x, x 0,x∈R (2)X y,这里y2=x,x∈N,y∈R
例2
给出对应法则：y x2 1 ，如果x是输入值，y
是输出值，那么你能解决下面的输入输出 的问题吗？
①结论是否正确地概括了例子的共同特征? ②比较上述认识和初中函数概念是否有本
质上的差异？ ③一次函数、二次函数、反比例函数等是
否也具有上述特征？ ④进一步，你能举出一些“函数“的例子
吗？它们具有上述特征吗？
提出问题5 如何用集合的观点来表 述函数的概念？
一般的，设A,B是两个非空的数集，如果按 某种对应法则f，对于集合A中的每一个元 素x，在集合B中都有唯一的元素y与它对应， 这样的对应叫做从A到B的一个函数，
两个变量中，当一个变量确定后， 另一个变量的值也随之确定。
建构数学
提出问题3 如何用集合的观点来理解函数 的概念？
提出问题4 如何用集合的语言来阐述上面3 个例子中的共同特点．
结论：函数是建立在两个非空数集之间的单 值对应．
人口问题
两个非空集A,B。A是由年份数组成，即 A={1949，1954，1959，1964，1969，
输入这些 x 1 x=1 x=2 x= 3 值，那么输出
________________
如果输出是y=5,y=1,y=0，那么输入 为_______________
问题：1.你还能提出有关于输入与输出的 不同的例子吗？
2.你能得出输入与输出的简单规律吗？
3.能输入“x+2”这样的式子吗？
例3.下列各式是否表示
新教材苏教版高中数学必修第一册5.1函数的概念和图像 精品教学课件
3.(教材二次开发:练习改编)如图能表示函数关系的是________.
【解析】由于③中的2与1和3同时对应,故③不是函数关系. 答案:①②④
类型一 函数的概念(数学抽象) 【题组训练】 1.以下从M到N的对应表示函数的是 ( ) A.M=R,N={y|y>0},f:x→y=|x| B.M={x|x≥2,x∈N*},N={y|y≥0,y∈N*},f:x→y=x2-2x+2 C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=± x D.M=R,N=R,f:x→y= 1
提示:(1)×.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是 关系所施加的对象. (2)×.根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一的y与之对 应. (3)√.同一个题中,为了区别不同的函数,常采用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ( ) A.出租车车费与出租车行驶的里程 B.商品房销售总价与商品房建筑面积 C.铁块的体积与铁块的质量 D.人的身高与体重 【解析】选D.A.出租车车费与行程是函数关系;B.商品房销售总价与建筑面积是 函数关系;C.铁块的体积与质量是函数关系;D.人的身高与体重不是函数关系.
B.(-∞,3]
C.(-1,3]
D.(-∞,-1)
【解析】选A.函数f(x)= 2 3 x，
x 1
令
x 3
1 x
解0得, x≤3且x≠-1.
0
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,3].
3.已知f(x)=x2+1,则f(f(-1))= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选D.因为f(-1)=(-1)2+1=2, 所以f(f(-1))=f(2)=22+1=5.
苏教版高中数学必修一南京第三教案§函数的概念和图象⑵教案
课 题：§2.1.1函数的概念和图象⑵教学目标：1.在实际情境中,了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法;2.从集合的角度了解函数图象的概念,从形的角度进一步加深对函数概念的理解;3.了解函数的图象不仅可以是连续的曲线,也可以是一些孤立的点或其它形式.重点难点：重点——函数图象的概念; 难点——理解函数图象可能是一些孤立的点． 教学教程：一、问题情境问题1:在我们的日常生活、学科教学中,哪些地方用到了函数的图象?二、学生活动可以在课前布置学生通过报纸、杂志、网络及在其它学科的课本中,寻找一些函数图象的实例,并在课堂上展示.其实在初中我们已经研究过函数的图象,了解了一次函数y=kx+b 、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)、反比例函数y=k x (k ≠0)的图象.问题2:前面我们已经用集合的观点重新定义了函数的概念,那么大家能用集合的观点来定义函数图象的概念吗?学生如果课前预习了,可能说出函数图象的定义,但不完整,可以让其他学生进行补充,只有学生都不能完整说出函数图象的概念时,才适当点拨,最后由师生共同得到函数图象的定义.三、建构数学函数图象的定义:将自变量的一个值x 0作为横坐标,相应的函数值f(x 0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x 0,f(x 0)).当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x ∈A},即 {(x,y)|y=f(x),x ∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.在初中我们已经画过一次函数y=kx+b 、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)、反比例函数y=k x (k ≠0)的图象,知道它们的图象分别是直线、抛物线、双曲线.例1 画出下列函数的图象,并由图象求出函数的值域.⑴f(x)= x －1 ⑵f(x)= (x －1)2+1,x ∈[－1,2)解:描点作出图象,分别如下图所示.⑴⑵问题3:所有函数的图象一定是连续的直线或者曲线吗?例2 在P21的第一个实例中,如果把人口数(百万人)看作是年份的函数,请根据此实例中的表画出这个函数的图象.此函数图象是一群孤立的点.四、数学运用1．例题例3 画出函数f(x)=x 2+1的图象,并根据图象回答下列问题:⑴ 较f(－2),f(1),f(3)的大小;}{]2,1(,1)()3(;1)1()()2(;3,2,1,)()1(22∈+=--=∈+=x x x f x x f x x x x f例5：f(x)=x+1 求f[f(x)] , f{f[f(x)]}如果求f…f[(x)]呢？例6：(1)已知f(x)=x+1求f(x+1) ，f(x-1)(2)已知f(x+1)=x+2 求f(x)，f(x-1)2.练习P28 练习1~3五、回顾小结本节课主要学习了函数图象的定义,了解到函数图象也可能是一些孤立的点.六、课外作业1．P31 32．若函数g(x＋2)＝2x＋3，则g(3)的值是________．3．函数f(x)＝x－2＋2－x的定义域是________，值域是________．4．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝________.5．函数y＝1－1x－1的图象是________(填序号)．6．若函数y ＝f (x )的图象经过点(0,1)，那么函数y ＝f (x ＋4)的图象经过点________．7．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为________． 8．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4： (1)求函数f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (12)的值．9．画出下列函数的图象：(1)y ＝|x －1|＋|x ＋1|； (2)y ＝x |2－x |10.若函数f (x )＝mx 4x －3(x ≠34)在定义域内恒有f [f (x )]＝x ，则m ＝________.11．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．。
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高中数学 第3课时函数的概念和图象（3）（教师版） 苏教版
【学习导航】
学习要求
1．掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；
2．能选用恰当的方法来求出两个变量之间的函数关系；
3．培养抽象概括能力和解决问题的能
力．
自学评价
1
．用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然；用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称解析式），其优点是函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质；用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法，其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势．
2．购买某种饮料x 听，所需钱数y 元 ．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y 表示成({1,2,3,4})x x ∈的函数，并指出函数的值域．
解：解析法：2,{1,2,3,4}y x x =∈； 列表法： 图象法：
【精典范例】
例1：画出函数()||f x x =的图象，并求
(3)f -， (3)f ，(1)f -，(1)f 的值．
【解】,0,
(),0.
x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩图象如右。
(3)f -=(3)3f =， (1)f -(1)1f ==。
例2：某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式；并画出图象． 【解】设路程为xkm ，收费为y 元，则
7,
03,7 2.4(3), 3.x y x x <≤⎧=⎨
+⨯->⎩，即 7,
03,2.40.2, 3.
x y x x <≤⎧=⎨
->⎩ 图象如图：
点评: 分段函数是指函数的解析式是分段表示的。
分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样。
分段函数是一．个．函数，而不是几个函数。
例3．（1）已知一次函数()f x 满足
(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；
（2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ； （3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点
为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； （4）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是
(1,2)-，且经过原点．
6
8
解：（1）由题意设 ()f x ax b =+， ∵(0)5f = 且图象过点(2,1)-，
∴521b a b =⎧⎨-+=⎩ ⇒2
5a b =⎧⎨=⎩
∴()25f x x =+．
（2）由题意设 2
()g x ax bx c =++， ∵(1)1g =，(1)5g -=，且图象过
原点，
∴150a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩ ∴320a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
∴2
()32g x x x =-．
（3）由题意设 ()(2)(3)h x a x x =+-， 又∵(0)3h =-，
∴63a -=- 得1
2
a =
∴211
()322
h x x x =--．
（4）由题意设 2
()(1)2F x a x =++，
又∵图象经过原点，
∴(0)0F =，∴20a += 得
2a =-，
∴2
()24F x x x =--．
点评：此为待定系数法求函数解析式，用此方法必须知道函数的类型，才能设出含有参数的解析式，从而代入条件，解方程（组）得到参数值，即得到函数解析式。
追踪训练一
1．设f (x )=1,1
3-, 1x x x x +≤⎧⎨>⎩
求f [f (5
2)]
解：f (52)=3－52=1
2
f (
21)=21+1=2
3 所以f [f (25
)]=2
3
2. 已知函数()f x 与()g x 分别由下表给
则函数(())y g f x =的值域为 {2,3,5} 。
3.已知f (x )是二次函数，且满足f (0)=1，f (x +1) －f (x )=2x ，求f(x ).
解：设f (x )=ax 2
+bx +c (a ≠0)，由f (0)=1得c =1，由f (x +1)－f (x )=2x ，得
a (x +1)2+b(x +1)+1－(ax 2+bx +1)=2x 整理，得 2ax +(a +
b )=2x 所以⎩⎨
⎧=+=022b a a 所以⎩⎨⎧-==1
1
b a
所以f (x )=x 2
－x +1 【选修延伸】
一、分段函数
例4: 夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．小李到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0．4元．6斤以上9斤以下，每斤0．5元，9斤以上，每斤0．6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧。
可小李马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱。
当小李讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．
同学们，
你知道小李是怎样知道店主坑人的吗?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注意观察，积累，并学以致用，就能成为一个聪明人，因为数学可以使人聪明起来．
【解】若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样的价钱,所以店主坑人了．。