复合函数及抽象函数的单调性

ຫໍສະໝຸດ Baidu
当x1 < 0时令a = x1 , b = − x1则f (0) = f ( x1 ) f ( − x1 ) = 1 ⇒ f ( x1 ) =
Q f ( − x1 ) > 1∴ f ( x1 ) > 0
1 f ( − x1 )
故对于任 x 1 ∈ R 都有 f ( x 1 ) > 0 .
又 1 − f ( x 2 − x1 ) < 0 ⇒ f ( x1 ) − f ( x 2 ) < 0
满足： 例 2：定义在 R + 上的函数 f ( x )满足： (1 ) f ( 2 ) = 1 ( 2 ) f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) ( 3 ) x > y 时， f ( x ) < f ( y ) 求 x 的取值范围 . (4) f ( x ) + f ( x − 3) ≤ 2
证：令 a = 0 , b = 1 则 f ( 1 ) = f ( 0 ) f ( 1 )
⇒ f (0) = 1. Q x > 0 时 f ( x ) > 1 ∴ f (1 ) > 0
对任 x 1 < x 2 , x 1、 x 2 ∈ R , 有 x 2 − x 1 > 0 ⇒ f ( x 2 − x 1 ) > 1 , ∴ f ( x1 ) − f ( x 2 ) = f ( x1 ) − f ( x 2 − x1 + x1 ) = f ( x 1 ) − f ( x 2 − x 1 ) f ( x 1 ) = f ( x 1 )[ 1 − f ( x 2 − x 1 )] 当x1 > 0时f ( x1 ) > 1; 当x1 = 0时f ( x1 ) = 1;
抽象函数
是定义在实数集R上的 例1：设f(x)是定义在实数集 上的奇函数， ： 是定义在实数集 上的奇函数， 且在区间（ ， ）上是增函数， 且在区间（-∞，0）上是增函数，又 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求 的取值范围。 试求a的取值范围 试求 的取值范围。 是定义在实数集R上的奇函 问：设f(x)是定义在实数集 上的奇函 是定义在实数集 且在区间（ ， 上是增函数 上是增函数， 数，且在区间（-∞，0)上是增函数， 区间(0， ） 问在 区间 ，+∞）上f(x)是 增函数还 是 是减函数？ 是减函数？ 是定义在实数集R上的 例2：设f(x)是定义在实数集 上的偶函数， ： 是定义在实数集 上的偶函数， 且在区间（ ， 上是增函数 上是增函数， 且在区间（-∞，0]上是增函数，又 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求 的取值范围。 试求a的取值范围 试求 的取值范围。 (0<a<3)
在f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )中令y = − x则
f (0) = f ( x ) + f ( − x ),
再令x = y = 0则f (0) = 2 f (0) ⇒ f (0) = 0
故f ( − x ) = − f ( x ), 从而 f ( x )为奇函数 .
∴ f (1) = − f ( −1) = 2, f ( −2) = f ( −1) + f ( −1) = −4,
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b, 因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为 函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b) 上是增函数。
∴ 对于任意 x 2 > 0 , 都有 f ( x 2 ) > 0 .
∴ f ( x1 ) − f ( x 2 ) = f ( x 2 )[ f ( x1 ) − 1] < 0 x2
∴ f ( x ) 在 ( 0 , +∞ ) 上是增函数 .
•复合函数的单调性
•复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u) 在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b, 因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2 (c,d).因为函 数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)<f(u2), 即 y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上 是增函数。
•复合函数的单调性 复合函数的单调性
若u=g(x)
y=f(u) 则y=f[g(x)]
增函数 减函数 增函数 减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增 规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增 函数；当两个函数的单调性不相同时， 函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是 减函数。 同增异减” 减函数。 “同增异减”
（4）x∈(1，+∞)时， +∞)时 函数①递减， 函数①递减，且t∈(－∞，1) 函数②递增， 而t∈(－∞，1) 时，函数②递增， +∞)是 的单调减区间． 故(1，+∞)是g ( x )的单调减区间． 综上知，所求g ( x )的增区间是 综上知，所求g
(−∞ , − 1] 和 ( 0 , 1 ]
1 解（）令y = −1则f ( − x ) = f ( x ) f ( −1) = f ( x ) ∴ f ( x )为偶函数 .
x1 x1 ( 2)设 0 < x1 < x 2则0 < < 1 ⇒ f ( ) ∈ (0,1) x2 x2
f ( x1 ) − f ( x 2 ) = f ( x1 = f ( x 2 )[ f ( ) − 1] x2 x1 x ⋅ x2 ) − f ( x2 ) = f ( 1 ) ⋅ f ( x2 ) − f ( x2 ) x2 x2
当0 < x 2 < 1时，f ( x 2 ) ∈ (0,1); 当x 2 = 1时， f (1) = f ( −1) = 1 > 0; 1 1 当x 2 > 1时, ∈ (0,1) ⇒ f ( ) ∈ (0,1) x2 x2 1 ∴ f (1) = f ( x 2 ) f ( ) ⇒ f ( x 2 ) = x2 1 > 1. 1 f( ) x2
例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8， 已知f )=－ g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间． 的单调增区间． 【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以 讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题， 应“分层剥离”为两个函数 分层剥离” t = － x 2+ 2 y = f ( t ) =－ t 2 + 2 t + 8 ① ② 【解题思路】 解题思路】 x∈某区间A 某区间A ①在A上的增减性 ②在B上的增减性 t∈某区间B 某区间B g ( x )在A上的 ⇒ 单调性
•复合函数的单调性
复合函数的定义： y=f(u)定义 复合函数的定义：设y=f(u)定义 u=g(x)值域为 值域为B B， 域A，u=g(x)值域为B，若A ⊇ B， 关于x函数的y=f[g(x)] y=f[g(x)]叫做函 则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 的复合函数， 数f与g的复合函数，u叫中间量
上减， 解：由 ( 3 )知 f ( x )在 R + 上减，又 f ( 4 ) = f ( 2 ) + f ( 2 ) = 2
从而(4) ⇒ f ( x ( x − 3)) ≤ f (4)
x ( x − 3) ≥ 4 ⇒ x≥4 ⇒ x>0 x−3>0
例 3：函数 f ( x ) 定义在 R 上，当 x > 0 时， f ( x ) > 1 , 且对于任意 a 、 b ∈ R , 有 f ( a + b ) = f ( a ) f ( b ). 求证： 求证： f ( x ) 是 R 上的增函数 .
综上： 综上： f ( x )为增函数 .
注：常用的佩凑方法: f ( x1 ) = f ( x1 + x2 − x2 ); x1 f ( x1 ) = f ( ⋅ x2 ); f ( x1 − x2 ) = f ( x1 + (− x2 )); x2
例4:
已知函数 f ( x )对于任意实数 x、 y , 均有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), 且当 x > 0时， f ( x ) > 0, f ( − 1) = − 2, 求 f ( x )在区间 [ − 2,1]上的值域 .
1 2 的单调区间。 1 − 9 x 的单调区间。 例1：求函数 f ( x ) = − 2
解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3 得 增大时， 增大， 当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小 增大时 减小 当0<x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大 增大时， 减小， ， 增大时 增大 ∴函数的单调区间是 [-1/3，0]，[0，1/3]。 ， ， ， 。
关键是A的端点如何确定？ 关键是A的端点如何确定？
【 解 】 设 t =－ x 2 + 2 ① y =－ t 2 +2 t + 8 ② 函数②的增、 代入① 函数②的增、减转折点是 t = 1，把 t = 1 代入①，得 x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是 x3 = 0， 的增、 于是三个关节点把数轴分成四个区间： 于是三个关节点把数轴分成四个区间： (−∞,−1] ， (−1, 0] ， ( 0 , 1 ] ，( 1 , + ∞) − (1)x∈(-∞,-1] 时,函数①递增,且t≤1,而t ∈ (-∞, 1] )x∈( ∈(函数①递增, 函数②也递增， ∞,时 ,函数②也递增 ，故 (-∞,-1] 是所求的一个单调增 区间； 区间；
(−∞,−1] −
(2)x∈ (-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2] ， )x∈ 函数①递增， ∈(1 而 t∈(1,2] 时，函数②递减， ∈(1 函数②递减， 的单调减区间； 故(-1,0] 是g ( x )的单调减区间； (3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2] ， )x∈( ∈(0 函数①递减， ∈(1 ],函数 也递减， 函数② 而 t∈(1,2],函数②也递减， (0,1]是 的单调增区间； 故(0,1]是g ( x )的单调增区间；
所以 f ( x )的值域为 [ − 4 , 2 ].
例 5：已知函数 f ( x )对任意实数 x、 y都有 f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) 且 f ( − 1) = 1, f ( 27 ) = 9,当0 < x < 1时 f ( x ) ∈ ( 0,1). (1)判断 f ( x )的奇偶性 .( 2 )判断 f ( x )在 ( 0,+∞ )上的单调性，并证明 . 上的单调性， ( 3 )若 a ≥ 0 且 f ( a + 1) ≤ 3 9 , 求 a的取值范围 .
解：设 x1 < x 2 ⇒ x 2 − x1 > 0 ⇒ f ( x 2 − x1 ) > 0
又 f ( x 2 ) = f [( x 2 − x 1 ) + x 1 ] = f ( x 2 − x 1 ) + f ( x 1 )
∴ f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ( x 2 − x1 ) > 0即f ( x 2 ) > f ( x1 ) 故f ( x )为增函数 .